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壓軸小題9 立體幾何中折線長度最值問題
【2024年廣東省廣州六中高考數(shù)學(xué)一調(diào)試卷】已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，點分別是線段的中點，點分別是線段和平面上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，進而求得三棱錐的高，并推出側(cè)面為等腰直角三角形，作輔助線，將兩個三角形展開到同一平面計算最短距離．將轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定最小時的線段的位置，再結(jié)合三角函數(shù)值，解直角三角形從而求得答案．
依題意，，解得，
由 是正三角形可知：其外接圓半徑為 ，
設(shè)點S到平面ABC的距離為h，故，
解得或，+
則或（舍去），
故，則 ，而 ，故 為等腰直角三角形， ，
故 為等腰直角三角形，，則 ，
又 ，故平面SCM，
取CB中點F，連接NF交CM于點O，則 ，則平面SCM ，
故平面SCM，則，
要求最小，首先需PQ最小，此時可得平面SCM，則；
再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中 位置，
當共線且時，的最小值即為的長，
由 為等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故選：B．
（21-22高一·全國·單元測試）
1．已知三棱錐的各棱長都相等，，為上一點，且的最小值為，則該棱錐外接球的體積為
（19-20高二上·山西·期中）
2．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，為線段上的動點，則的最小值為 ．
通過引入變量，設(shè)利用直角三角形的邊角關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)得出，把這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值，即可利用代數(shù)方法求解．
同解法一可得，則，
設(shè)，
則，
由知得，
即，化簡得，
，
設(shè)，
則，
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
所以．故選：B．
（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）
3．已知底面邊長為a的正四棱柱內(nèi)接于半徑為的球內(nèi)，E，F(xiàn)分別為，的中點，G，H分別為線段，EF上的動點，M為線段的中點，當正四棱柱的體積最大時，的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）
4．四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（ ）
A．不存在點M，使得
B．的最小值為
C．四棱錐的外接球表面積為5π
D．點M到直線AB的距離的最小值為
（23-24高三上·貴州安順·期末）
5．如圖，在棱長為2的正方體中，點E、F、G、H分別為棱、、、的中點，點M為棱上動點，則（ ）

A．點E、F、G、H共面 B．的最小值為
C．點B到平面的距離為 D．
（2023·河南·三模）
6．已知正方體的棱長為2，，，，.點P是棱上的一個動點，則（ ）
A．當且僅當時，平面DMN
B．當，時，平面
C．當時，的最小值為
D．當時，過B，M，N三點的截面是五邊形
（23-24高三上·福建福州·期中）
7．在四棱錐中，底面為矩形，平面，則以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長為 ；若是上的動點，則的最小值為 ．
（20-21高一下·湖北十堰·期末）
8．如圖，在正四棱錐中，.從拉一條細繩繞過側(cè)棱和到達點，則細繩的最短長度為 .
（19-20高二上·浙江·期中）
9．如圖，棱長為1的正方體中，為的中點，為對角線上的動點，為棱上的動點，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】先把側(cè)面和展開到同一平面中，利用的最小值為求出三棱錐的棱長，再找到外接球的球心，利用勾股定理建立半徑的關(guān)系，求出半徑，進而求出體積.
【詳解】將三棱錐的側(cè)面和展開到同一平面中，
如圖所示，設(shè)，則三棱錐的各棱長均為，
在中，，，，
由余弦定理得的最小值為：
，解得，
還原回三棱錐，如圖所示，
設(shè)底面的中心為，外接球的球心為，
連接、、，則，，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，
則，∴，外接球體積.
故答案為：.
2．
【分析】根據(jù)長度關(guān)系得到，，將翻折至與平面共面，如圖所示，得到當為與的交點時，取得最小值，利用余弦定理計算得到答案.
【詳解】平面 ，，平面
易知：，，
在中，.
利用余弦定理得到：，所以.
將翻折至與平面共面，如圖所示：
則圖中，
當為與的交點時，取得最小值.
此時，.
故答案為
【點睛】本題考查了立體幾何中的最值問題，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.
3．B
【分析】
求出正四棱柱的高，表示出體積，用導(dǎo)數(shù)求得最大值，得正四棱柱為正方體，的最小值就是點G到EF的距離，為的中點（即與的交點）時，，然后兩個，沿展開翻折至共面．如圖，當M，G，H三點共線時，最小，由此計算可得．
【詳解】
正四棱柱的高．
，令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，的最大值為．
當時，，此時正四棱柱為正方體．
的最小值就是點G到EF的距離，
由正方體的性質(zhì)知，，（因為正方體的棱與底面垂直，因此與底面內(nèi)的直線垂直），與是平面內(nèi)兩相交直線，
因此平面，
而E，F(xiàn)分別為，的中點，因此，所以平面，
易知當H為EF的中點時，，平面，所以，
動線段GH，GM分別在，內(nèi)，將兩個平面沿展開翻折至共面．如圖，當M，G，H三點共線時，最小，可得，又因為M為線段的中點，
所以．
故選：
【點睛】
方法點睛：求空間線段之和的最小值問題，常用方法是把兩條線段所在平面剪開攤平到一個平面，利用平面上兩點間線段最小的性質(zhì)求解，這里動點一般在兩個平面的交線上，沿此交線攤平兩個平面是基本思路．
4．BD
【分析】
當點為中點時，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷A；利用展開圖，利用數(shù)形結(jié)合求的最小值，即可判斷B；利用幾何體與外接球的關(guān)系，即可求解球心，并求外接球的表面積，即可判斷C；利用異面直線的距離的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.
【詳解】對于A：連接BD，且，如圖所示，當M在PC中點時，
因為點O為AC的中點，所以，因為平面ABCD，
所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以，
因為ABCD為正方形，所以．
又因為，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因為平面BDM，所以，所以A錯誤；
對于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個平面上，如圖所示，
和是全等的直角三角形，，，
連結(jié)，，
則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，
直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；
對于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，
半徑，表面積，所以C錯誤；
對于D：點M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，
因為，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直線AB到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，過點A作，
因為平面ABCD，面，所以，
又，且，面，
故平面PAD，平面PAD，所以，
因為，且PD，平面PCD，所以平面PCD，
所以點A到平面PCD的距離，即為AF的長，如圖所示，
在中，，，可得，
所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，
故選：BD．
5．ACD
【分析】根據(jù)題意建立空間之間坐標系，利用平面向量基本定理可對A判斷，利用向量的垂直表示可對D判斷；利用正方體面展開圖可對B判斷；利用等體積法可對C判斷.
【詳解】如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，
則，，，，，

對A：，，，
設(shè)，即，解得，，
所以共面，故A正確．
對B：將正方體沿剪開展開如下圖，連接交于一點，此點為點，
此時為最小值，故B錯誤；

對C：由等體積法可知，即，
由，，求解得，故C正確.
對D：，，，
，則，所以，故D正確.
故選：ACD.
6．ABC
【分析】建立空間直角坐標系利用坐標法可判斷AB；轉(zhuǎn)化為平面中距離最短問題判斷C；利用平面性質(zhì)作出截面判斷D.
【詳解】以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，
因為，，，，所以，
對于A，，，
若平面DMN，則，
所以恒成立，
，解得，
故當且僅當時，平面DMN，正確；
對于B，當，時，，，
因為平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，所以為平面的一個法向量，
因為，所以，
又平面，所以平面，正確；
對于C，將平面和平面展開成一個平面，連接，如圖，

由三點共線時距離之和最小，即，顯然當時，
最小為的高h，對于，利用面積相等得
，即，解得，所以，正確；
對于D，當時，M，N分別為，的中點，連接，如下圖所示，
過點B作AC的平行線交延長線于點，交于點，連接并延長，交于點，
交于，連接并延長，交于點，根據(jù)對稱性在直線上，連接，
因為M為中點，N為中點，所以，又因為，所以，
所以共面，此時，
四邊形為截面，所以截面為四邊形，錯誤.

故選：ABC
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
7． ##
【分析】
以為球心，以為半徑的球與底面的交線為以為圓心，為半徑的圓弧，求出圓心角即可求出弧長，將面翻折到與平面共面，連接交于點，此時取得最小值為，再在平面四邊形中求出的長度，即可得解.
【詳解】
因為平面，底面為矩形，則以為球心，以為半徑的球與底面的交線為以為圓心，為半徑的圓弧，
在上取一點，使得，連接，則的長度即為以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長，
由，，所以，則，所以，
則的長度為，
即以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長為，
將面翻折到與平面共面，連接交于點，此時取得最小值為（平面圖形如下所示），
因為，，，所以，，
，，，
所以，又，
所以，，
所以
，
又
，
所以（負值舍去），
即的最小值為.
故答案為：；
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于處理線段和最值問題，一般是化折為直，利用兩點間線段最短解決.
8．
【分析】將圖形展成平面圖形，進而解三角形PAD即可求得答案.
【詳解】如圖﹐將側(cè)面?zhèn)让鎮(zhèn)让嬲归_到一個平面內(nèi)，
由題意可知，，
設(shè)則，從而，
由二倍角公式可得，則.
由余弦定理可得，則.
故答案為：.
9．
【分析】將三角形和三角形展開成平面圖形，點到直線的距離，也即的最小值.
【詳解】將三角形和三角形展開成平面圖形如下圖所示.過作，交于，交于，則是的最小值.過作，交于.三角形和三角形是全等的直角三角形.設(shè)，則，所以.所以.所以.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查空間線段和的最小值的求法，考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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