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壓軸小題8 四棱錐中的線面角問題
【名校聯(lián)盟全國優(yōu)質(zhì)校2024屆高三大聯(lián)考】如圖，在中，，在直角梯形中，，，，，，二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值最大值為______．
根據(jù)題意以和過點(diǎn)垂直于平面的直線建立空間直角坐標(biāo)系，可知為二面角的平面角，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由線面角的空間向量法求解最值．
如圖，以和過點(diǎn)垂直于平面的直線建立空間直角坐標(biāo)系，
則
由，，可知為二面角的平面角，
又，，
設(shè)，，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
其中，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
則的最大值為．
故答案為：
（2024·河北滄州·一模）
1．如圖，已知點(diǎn)是圓臺的上底面圓上的動(dòng)點(diǎn)，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為 ．
（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）
2．在中，，若空間點(diǎn)滿足，則的最小值為 ；直線與平面所成角的正切的最大值是 .
法一：由面得出為二面角的平面角，通過線段比例將點(diǎn)C到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面距離的2倍，到平面的距離為點(diǎn)到平面距離的2倍，從而得出，設(shè)直線與平面所成角的平面角為，由結(jié)合換元法、基本不等式得出最值．
法二：過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，利用為二面角的平面角結(jié)合幾何關(guān)系得出，進(jìn)而由等體積法得出點(diǎn)C到平面SED的距離，由結(jié)合換元法、基本不等式得出最值．
法一：通過線段比例轉(zhuǎn)化點(diǎn)面距
因?yàn)椋悦妫?br/>所以為二面角的平面角．
由，可得．
如圖在底面中延長交于點(diǎn)．
在中，由，得是中位線，
又．
又交平面與點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面距離的2倍．過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，因?yàn)槊妫悦婷妫颐妫悦妫?br/>所以即為點(diǎn)到平面的距離．
在中可得．
從而可得點(diǎn)到平面的距離為．
由得
．
設(shè)直線與平面所成角的平面角為．
則．
因?yàn)椋裕?br/>所以．
令，因?yàn)椋茫?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號．
直線與平面所成角的正弦值最大值為．
法二：等體積法求點(diǎn)面距
過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)．
因?yàn)椋?br/>所以為二面角的平面角．
由，可得．
因?yàn)椋悦?br/>又因?yàn)槊妫裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫?br/>在中有．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有
代入計(jì)算得，
化簡得，故點(diǎn)到平面的距離為．
由得
．
設(shè)直線與平面所成角的平面角為．
則．
令，因?yàn)椋茫?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號．
直線與平面所成角的正弦值最大值為．
（20-21高二上·浙江杭州·期末）
3．已知正的頂點(diǎn)在平面上，頂點(diǎn)、在平面的同一側(cè)，為的中點(diǎn)，若在平面上的投影是以為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線與平面所成角的正弦值的最小值為 .
（22-23高三上·江蘇南京·期末）
4．在三棱錐中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為 .
（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）
5．如圖，在圓柱中有一內(nèi)接正六棱柱，圓柱的高為，底面半徑為，上、下底面的中心分別為，點(diǎn)在上底面的圓周上運(yùn)動(dòng)，若直線與平面所成角的正弦值的最小值為，則 ．
（2021·湖南永州·模擬預(yù)測）
6．已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是 ；直線與直線所成角的取值范圍為 .
（2022·全國·模擬預(yù)測）
7．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且平面是邊上一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正切值的最大值為，則球的表面積為 .
（21-22高二上·浙江·期末）
8．如圖，在中，，，所在平面垂直平面，正方體的棱為的斜邊，M為中點(diǎn)，在正方體繞棱旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正切值的最大值為 ．
（17-18高二上·浙江衢州·期末）
9．如圖，矩形與所成的二面角的平面角的大小是，，，現(xiàn)將繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的取值范圍是 ．
（22-23高二上·山東煙臺·階段練習(xí)）
10．三棱錐的所有棱長均為2，點(diǎn)M在棱BC上，滿足，點(diǎn)N在棱BD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線MN與平面ABC所成角為，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【詳解】連接，過作垂直于的延長線于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：
在三角形中，因?yàn)椋?br/>故，則，
則，，故點(diǎn)；
又，設(shè)點(diǎn)，由，則可得；
，
設(shè)平面的法向量，
則，即，取，則，
故平面的法向量，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
因?yàn)椋遥柿睿?br/>則
又，故，，也即，
故的最大值為，又，故的最小值為.
即直線與平面所成角的余弦值的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題用向量法處理線面角的求解，結(jié)合問題的關(guān)鍵一是，能夠準(zhǔn)確求得的坐標(biāo)，二是能夠根據(jù)，求得的范圍；屬綜合困難題.
2．
【分析】
根據(jù)空間點(diǎn)滿足的條件可知點(diǎn)在以直線為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，即可求得的最小值；建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求得直線與平面所成角的正弦值的表達(dá)式，再利用換元及基本不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】過點(diǎn)作與點(diǎn)，過點(diǎn)作與點(diǎn)，如下圖所示

又，則，又，則，
即點(diǎn)為空間中到直線的距離為，
所以點(diǎn)在以直線為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，如圖所示

易知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
且最小值為；
以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，如下圖所示：

則平面的法向量為，不妨設(shè)與軸正方向夾角為，
則，，
即，
當(dāng)，且時(shí)，最小，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為；
記直線與平面所成角為，則，
因?yàn)椋裕?br/>令，則，則，
而，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，
此時(shí)，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件確定空間中點(diǎn)的軌跡，再利用空間向量解決線面角取值范圍的問題.
3．.
【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，設(shè)、以及，然后根據(jù)投影的相關(guān)性質(zhì)得出以及，結(jié)合線面角的相關(guān)性質(zhì)得出即直線與平面所成角，再然后根據(jù)得出，根據(jù)得出，從而求出，最后根據(jù)以及基本不等式即可求出最小值.
【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像，即在平面上的投影，
作平面于點(diǎn)，連接，
設(shè)，，，則，
因?yàn)榧丛谄矫嫔系耐队埃瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)在線段上且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，
因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的三角形，所以，
因?yàn)槠矫嬗邳c(diǎn)，所以，即直線與平面所成角，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋矗?br/>聯(lián)立，解得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，直線與平面所成角的正弦值的最小值為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面角的正弦值的求法，能否結(jié)合線面角的性質(zhì)確定線面所成角是解決本題的關(guān)鍵，考查勾股定理的靈活應(yīng)用，考查通過基本不等式求最值，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是較難題.
4．
【分析】
先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得面，從而得到為直線PC與平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理與勾股定理求得，從而求得，由此得解.
【詳解】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，過作交的延長線于，如圖，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕瑒t，
又為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槊妫悦妫?br/>又面，所以，
因?yàn)椋妫悦妫?br/>所以為直線PC與平面ABC所成角的平面角，
不妨設(shè)，
在中，，則，，
在中，，
在中，，則，
即，故，
在中，，
所以在中，，
又，則，即，
所以，
所以，
故直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.
故答案為：.
5．
【分析】
用向量法解決直線與平面的夾角問題，結(jié)合三角函數(shù)解決最值問題.
【詳解】
取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，設(shè)，
則，.
設(shè)平面的法向量為，則
，，
可取，因?yàn)椋?br/>所以直線與平面所成角的正弦值為
，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最小值，
則，則.
故答案為：
6．
【分析】設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形的中心，設(shè)正四面體的棱長為x，球O的半徑為R，球心O在上，列式求出得 ，則可求出 ，，推導(dǎo)出P的軌跡為平面內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，三點(diǎn)共線時(shí)，且P在之間時(shí)，可求得的最小值；以E為圓點(diǎn)，所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線與直線所成角的取值范圍．
【詳解】在正四面體中，設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形的中心，
設(shè)正四面體的棱長為x，球O的半徑為R，
則 ，
依題意正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，故球心O在上，
設(shè)球的半徑為R,則，
即，解得 ，（舍去），
則，，
又，
故P的軌跡為平面 內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，
而，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且P在之間時(shí)，最小，最小值是；
以E為圓心，所在直線為x軸，在底面內(nèi)過點(diǎn)E作的垂線為y軸，為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
則,,,，
設(shè)，，
故，,
設(shè)直線與直線所成角為，
,
因?yàn)椋剩剩?br/>又，故，故，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于根據(jù)正四面體中的相關(guān)計(jì)算，確定點(diǎn)P的軌跡為以E為圓心，為半徑的圓，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.求解直線與直線所成角時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為利用向量的夾角公式求解，關(guān)鍵是要明確向量的夾角與直線所成的角之間的關(guān)系.
7．
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合線面角的定義求得的最小值，從而確定的形狀，再利用直三棱柱的外接球的性質(zhì)即可得解.
【詳解】將三棱錐放入直三棱柱，則兩者外接球相同，
取底面的外心為，連接，取其中點(diǎn)為，連接，如圖所示，

平面，則為直線與平面的所成角，
又直線與平面所成角的正切值的最大值為，
所以，則，此時(shí)，
在中，，
，
是邊長為的等邊三角形，
，又，
則球的表面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
8．
【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)可將問題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角的正切值最大值的求解；過作平面，明確所求角為，設(shè)，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可知，由此得到，由此確定當(dāng)時(shí)，正切值最大，從而得到結(jié)果.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，
，，四邊形為平行四邊形，，
直線與平面所成角即為直線與平面所成角；
設(shè)，則，，
過作平面，垂足為，則直線與平面所成角為，
平面，，
，，，，，
又平面，，平面，
平面，，
，
當(dāng)，即平面時(shí)，取得最大值，最大值為，
即直線與平面所成角的正切值的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與平面所成角的最值的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過平移直線明確直線與平面的交點(diǎn)，從而利用線面垂直關(guān)系確定所求的線面角.
9．
【分析】
根據(jù)給定條件，確定所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，作出平面截旋轉(zhuǎn)體所得軸截面，再借助二面角的定義求出范圍作答.
【詳解】
繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)以AD為底面圓半徑，高為AB的圓錐，如圖，
依題意，，則是矩形與所成的二面角的平面角，即，
平面FAB截圓錐BA得圓錐軸截面，中，，則，
從而得，
而平面，平面，有平面平面，因此直線是直線在平面內(nèi)的射影，
則分別是二面角與二面角的平面角，
因此是直線與平面所成的最小角，的鄰補(bǔ)角是直線與平面所成的最大角，而，
所以直線與平面所成角的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的幾何體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.
10．
【分析】設(shè)中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，利用線面角的向量求法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，
三棱錐各棱長均為，
在底面內(nèi)的投影為的中心，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，作的平行線作為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，
設(shè)，，
，，
即，
，
；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
，
；
綜上所述：的最小值為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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