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壓軸第6題 利用導數求兩動點的距離最值
【華附、深中等四校2024年聯考】在同一平面直角坐標系中，分別是函數和函數圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數的最大值為______.
【答案】
【分析】由得，令，利用導數求得最大值，并得到，進而利用數形結合法可知，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，再求出等號成立的條件，從而得到實數的最大值.
【詳解】由，整理得，
即在圓心，半徑為1的半圓上.，
令，則，又，
所以，當時，，則為單調遞增，
當時，，則為單調遞減，
綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，
于是，即，
當且僅當時，等號成立，
所以曲線的一條切線為，
數形結合可知，當分別為對應切點，且與兩切線垂直時取得最小值，
即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，
即的最小值為.
過圓心與垂直的直線方程，
所以，當且僅當即時取到最小值.
綜上所述，，而恒成立，
所以，則的最大值為.
故答案為：.
【感悟反思】易知的圖象是半圓，對于，由切線放縮得，不論的值如何變化，總有，這樣只需求半圓上的點到直線的距離最小值，即圓心到直線的距離減去半徑.注意：是一條定直線，如果不是定直線，那么本解法的邏輯就有問題了.
【試題總評】本題設計十分巧妙，關鍵是對解析式的處理，用切線放縮化，將問題轉化為半圓上的動點到定直線距離是難點.要求考生對常見函數的切線放縮公式掌握得較為熟練，如果本題用兩點間距離公式硬算，其計算難度真的令人望而生畏，根本無法計算到底.這類問題的一般解法有：1、數形結合（例如本題的切線放縮），2、直接代數法求導硬算.
【變化角度】將曲線變為直線，如：（2021·四川成都·二模）已知是曲線上的動點，點在直線上運動，則當取最小值時，點的橫坐標為（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】先表示出最小值，利用導數判斷單調性，求出取最小值時對應的x.
【詳解】設，點在直線上，
當取最小值時，垂直于直線.
此時
記，最小時，最小.
當時，
∴時，，有，∴單減；時，，有，∴單增；
∴當時，最小時，最小.
故選：C
【舉一反三】
（2016·江蘇·一模）
1．若點分別是曲線與直線上的動點，則線段長的最小值 .
（17-18高二上·河北保定·期末）
2．函數與的圖象關于直線對稱，分別是函數圖象上的動點，則的最小值為
【變換角度】將最大值變為最小值，如：（21-22高二下·重慶巴南·階段練習）已知函數，，下列結論正確的是（ ）
A.函數在上單調遞增
B.函數的最小值為2
C.若、，分別是曲線和上的動點，則的最小值為
D.若對恒成立，則<
【思路分析】A選項直接由導數判斷即可；B選項先求導確定極小值點，極小值即為最小值，再結合基本不等式判斷即可；C選項利用圖像關于直線對稱，借助切線求解即可；D選項先通過構造函數將不等式轉化為，再參變分離求解即可
【詳解】對于A：由函數，則，令，可得在上恒成立，則在上單調遞增，而，故在上恒成立，即在上單調遞減，故A錯誤；
對于B：因為，故存在，使得，所以，解得，所以當時，，即函數單調遞減，當時，，即函數單調遞增，
所以，因為，所以，故B錯誤；
對于C，因為函數與函數的圖象關于直線對稱，所以當直線分別和兩函數圖像相切時其距離最小.曲線與直線相切于點，函數與直線相切于點，則的最小值為，故C正確；
對于D，若對恒成立，則對恒成立，即，可設，易可知在上單調遞增，則可化為，即，可設，，可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，則，解得，又因為，所以，故D正確.
故選：CD.
【舉一反三】
（2023·河南·模擬預測）
3．已知動點M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．6
（18-19高二下·安徽黃山·期中）
4．點是曲線上的一個動點，點是曲線上的一個動點，則的最小值為．
A． B．
C． D．
（湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研數學試題）
5．在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數m的最大值為 ．
（河北省2024屆高三上學期學生全過程縱向評價（一）數學試題）
6．在同一直角坐標系中，分別是函數和圖象上的動點，若對于任意.都有恒成立.則實數的最大值為 .
（山西省呂梁市2023-2024學年高三第一次模擬考試數學試題）
7．已知分別是函數和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數的最大值為 ．
（22-23高二下·遼寧鐵嶺·期末）
8．已知點A在函數的圖象上，點B在直線上，則A，B兩點之間距離的最小值是 ．
（22-23高二下·上海奉賢·期末）
9．已知點是函數圖像上任意一點，點是曲線上一點，則、兩點之間距離的最小值是 .
（22-23高二上·福建莆田·期末）
10．點P是曲線上任意一點，且點P到直線的距離的最小值是，則實數a的值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】
將問題轉化為直線到到與其平行的曲線上的切線的距離，從而利用導數的幾何意義與平行線間的距離公式即可得解.
【詳解】
依題意，設直線的平行直線方程為，且與相切，
當線段長取得最小值時，為直線與的切點，
因為，所以，
又直線的斜率為，所以，解得，
當時，，則，
此時兩直線、間距離為；
當時，，則，
此時兩直線、間距離為；
故線段長的最小值為.
故答案為：.
2．2
【分析】根據函數和的圖象關于直線對稱，則利用導數求出圖象上的點到直線的距離的最小值，從而求得的最小值.
【詳解】由，得，
因為和的圖象關于直線對稱，
所以圖象上的點到直線的距離的最小值的2倍，即為的最小值，
平移直線恰好與圖象相切，設切點為，

則，得，
令，則，
所以在上單調遞增，
因為，所以有唯一的零點，
所以方程有唯一的解，而，所以切點為，
所以圖象上的點到直線的距離的最小值為，
所以的最小值為.
故答案為：.
3．A
【分析】
由圓的性質可得，根據兩點間的距離公式結合拋物線的方程整理可得，構建函數，利用導數求其最小值，進而可得結果.
【詳解】設，則，即，
由題意可得：，
∵，
令，則在R上單調遞增，且，
當時，，當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，則，
即，，則.
故選：A.
4．A
【解析】先由與互為反函數，得到兩函數圖像關于直線對稱；因此只需兩點關于直線對稱，點到直線距離最小時，最小；設，根據點到直線距離公式、以及導數的方法求解即可.
【詳解】因為與互為反函數，所以兩函數圖像關于直線對稱；點是曲線上的一個動點，點是曲線上的一個動點，所以只需兩點關于直線對稱，點到直線距離最小時，最小；
設，
由點到直線的距離公式可得，
點到直線距離，
令，
則，
由可得：；由可得：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
故,
所以，因此的最小值為.
故選A
【點睛】本題主要考查導數的應用、以及函數圖像的對稱性，熟記導數的方法求函數的最值，靈活掌握點到直線距離公式等，即可求解，屬于常考題型.
5．
【分析】
利用同構思想構造，得到其單調性，得到，再構造，，求導得到其單調性及其最小值，設設，利用基本不等式得到，求出答案.
【詳解】
，令，，
則
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故在處取得極小值，也是最小值，故，
故，當且僅當時，等號成立，
令，，
則，
令，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
又，故當時，，當時，，
故時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，
設，
由基本不等式得，
，
當且僅當，，時，等號成立，
故，則．
故答案為：
【點睛】
導函數求解取值范圍時，當函數中同時出現與，通常使用同構來進行求解，本題變形得到，從而構造進行求解.
6．
【分析】
根據題意分析可得，整理得，分析可知值域為，構建，，利用導數判斷其單調性和最值，結合恒成立問題分析求解.
【詳解】
因為圖象即為直線，
則到直線的距離，
可知：，
又因為，
由，可知在上單調遞增，
則在上單調遞增，
且當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，
所以值域為，
構建，，則，
令，解得；令，解得；
可得在上單調遞增，在上單調遞減，
則在處取得極小值，也是最小值，即，
可知，可得，
所以實數的最大值為.
故答案為：.
【點睛】
關鍵點睛：導函數求解取值范圍時，當函數中同時出現與，通常使用同構來進行求解，本題變形得到，從而構造進行求解.
7．
【分析】先求出到直線的距離，則，再利用導數求出函數的最小值，即可得解.
【詳解】
點到直線的距離，
則，
又，
由知，和在上單調遞增，
所以在上單調遞增，其值域為，
又，令，
令，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，
因為對任意的，都有恒成立，所以，
所以實數的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
8．
【分析】
分析函數單調性得圖象，確定A，B兩點之間距離的最小值的情況，利用導數的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.
【詳解】由題意可得，令得
所以當，，函數單調遞減，當，，函數單調遞增，所以，
所以的圖象如下圖：

要使得A，B兩點之間距離最小，即直線與平行時，當直線與曲線相切時，
與的距離即為A，B兩點之間最小的距離，
令，解得．由，
所以直線的方程為，即
則與的距離的距離，
則A，B兩點之間的最短距離是．
故答案為：．
9．
【分析】
依題意可得曲線表示圓心為，半徑的圓，由距離公式表示出，令，利用導數說明函數的最小值，即可求出的最小值，最后由計算可得.
【詳解】曲線表示圓心為，半徑的圓，
則，
令，則，
令，則，
所以單調遞增，又，
所以當時，即，即在上單調遞減，
當時，即，即在上單調遞增，
所以在處取得極小值即最小值，即，
所以，
所以.
故答案為：
10．
【分析】首先確定點線距離最小時點的位置，再由導數的幾何意義求點坐標，最后應用點線距離公式表示出最小距離，列出方程即可求解.
【詳解】由題設且，
令，即；令，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，如圖所示，
當為平行于并與曲線相切直線的切點時，距離最近.
令，可得（舍）或，
所以，則曲線上切線斜率為1的切點為，
所以，即（舍去）或，
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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