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壓軸第10題 遞推數(shù)列問題（一題多變）
（2023-2024學(xué)年溫州市普通高中高三期末統(tǒng)一考試）已知數(shù)列滿足，
若，，則的值可能為（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】對于選項(xiàng)，易得數(shù)列為周期數(shù)列，利用周期求解即可；
對于選項(xiàng)，容易通過等差中項(xiàng)公式得數(shù)列為等差數(shù)列利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解．
對于選項(xiàng)C，需要利用特征根法求解，再利用迭代法、配湊法求通項(xiàng)．
對于選項(xiàng)D，易觀察出每兩項(xiàng)的和為定值來求解．
【解答】逐項(xiàng)驗(yàn)證
對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，
，兩式相減得，
即周期為2，所以，
不符合題意，故選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B：當(dāng)時，，即為等差數(shù)列，
由得，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，，①
設(shè)，即，
與①式比較，可令，解得：，或．
所以
解得，所以，
選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：當(dāng)時，，
則，是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，
，相減得，
所以的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，
所以，則選項(xiàng)D正確．
綜上：選BCD．
【總評】本題涉及到遞推公式、等差中項(xiàng)和等差數(shù)列、配湊法、特征根法、迭代法、周期性等，考察學(xué)生的綜合能力，該題實(shí)際上屬于利用遞推公式求通項(xiàng)公式的各種形式的大雜燴考察學(xué)生對這一專題的基本功，個別選項(xiàng)對于計(jì)算準(zhǔn)確度和速度要求較高．對于等差、等比數(shù)列的基本概念的理解要求較高但是又不至于讓學(xué)生無從下手，只不過要選全需要花一定的時間.
三項(xiàng)遞推關(guān)系改為兩項(xiàng)
【變化角度】將三項(xiàng)遞推關(guān)系改為兩項(xiàng)遞推關(guān)系，如下題：
（2023浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
1．對于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（ ）
A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列” B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”
C．若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列” D．若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”
【舉一反三】
（23-24高三上·湖北襄陽·期末）
2．?dāng)?shù)列中，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
（23-24高三上·安徽池州·期末）
3．已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為遞增數(shù)列
C． D．
遞推關(guān)系改為
【變換角度】將遞推關(guān)系改為前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系如下題：
4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．若，則數(shù)列為等比數(shù)列
B．若，則
C．若，且，則
D．若，，，，，則數(shù)列為等差數(shù)列的必要條件為
【舉一反三】
（23-24高三上·廣東深圳·期末）
5．已知數(shù)列的首項(xiàng)不為零，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．不可能為常數(shù)列
B．
C．當(dāng)時，為等差數(shù)列
D．若為等比數(shù)列，則的公比唯一
（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）
6．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，則使得的最小正整數(shù)n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
單數(shù)列改為雙數(shù)列
【變換角度】將單數(shù)列遞推關(guān)系改為雙數(shù)列遞推關(guān)系，如下題：
（2022濰坊二模）
7．已知數(shù)列，，有，，，則（ ）
A．若存在，，則
B．若，則存在大于2的正整數(shù)n，使得
C．若，，且，則
D．若，，則關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根可構(gòu)成一個等差數(shù)列
【舉一反三】
（23-24高二上·江蘇南京·期末）
8．若數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B．，滿足
C．，滿足 D．，使得成立
（2024·山東煙臺·一模）
9．給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，總存在，使得
D．對任意，總存在，使得
（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）
10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列 B．是遞增數(shù)列
C． D．
（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）
11．已知數(shù)列滿足：，則下列命題正確的是（ ）
A．若數(shù)列為常數(shù)列，則 B．存在，使數(shù)列為遞減數(shù)列
C．任意，都有為遞減數(shù)列 D．任意，都有
（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）
12．已知數(shù)列共有項(xiàng)，，且，記這樣的數(shù)列共有個，則（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）
13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是等比數(shù)列
C．是遞增數(shù)列 D．
（23-24高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）
14．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．使得成立的最大的值為4045
C．
D．當(dāng)時，取得最小值
（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）
15．設(shè)數(shù)列滿足（且），是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．?dāng)?shù)列的前2024項(xiàng)和為
C．當(dāng)時，取得最小值 D．當(dāng)時，取得最小值
16．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（　　）
A．為遞增數(shù)列
B．
C．若，則存在大于1的正整數(shù)，使得
D．已知，則存在，使得
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABD
【分析】
對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實(shí)數(shù)即可.
【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；
對B，數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；
對C，是等差數(shù)列，設(shè)，
則，若是“線性數(shù)列”，
則，則應(yīng)有，
故不是“線性數(shù)列”，C錯誤；
對D，是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，
若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；
若時，由，得，
，
累加的，
則，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時，滿足，則，
若是“線性數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，
則，
，
，
則，則，
則是“線性數(shù)列”，D正確.
故選：ABD
2．A
【分析】
先將條件變形得到，進(jìn)而構(gòu)造常數(shù)數(shù)列求出的通項(xiàng)公式，代入，通過參變分離，求最值即可.
【詳解】由已知，
兩邊同時除以可得
，
即，
即，
則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，
所以，
所以，
又恒成立，
即恒成立，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以
又
所以要恒成立，有，所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過遞推式兩邊同時除以后，構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，可快速求出的通項(xiàng)公式，然后通過參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.
3．ACD
【分析】
利用作差法由數(shù)列單調(diào)性可求得數(shù)列為遞增數(shù)列，可得A正確；再根據(jù)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷B，化簡整理可判斷C正確，由關(guān)系式可得，再利用累加法可判斷D正確.
【詳解】
因?yàn)椋矗?br/>所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項(xiàng)A正確；
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯誤；
因?yàn)椋傻茫?br/>兩邊平方整理得，選項(xiàng)C正確．
因?yàn)椋淼茫?br/>兩邊平方得，即，
可得，
累加可得，
即，所以，故D正確．
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：再判斷D選項(xiàng)時，關(guān)鍵要對表達(dá)式整理變形后進(jìn)行合理放縮可得，即，再利用累加法即可作出判斷.
4．BC
【分析】
對于A,D兩項(xiàng)，主要是通過舉反例或舉例子的方法驗(yàn)證結(jié)論，而B,C兩項(xiàng)是將遞推式中的和互相轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造等差或等比數(shù)列進(jìn)行求解通項(xiàng)或前項(xiàng)和.
【詳解】對于A選項(xiàng)，若則滿足，但不是等比數(shù)列，故A項(xiàng)錯誤；
對于B選項(xiàng)，由，得，則，即，
.當(dāng)時，，即，解得，，
，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，
，故B項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，由，得，，
即，.，，，
即，∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時，，解得或（舍去），
，故C項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，若，則滿足數(shù)列是等差數(shù)列，此時對于，，，恒成立，
從而不是數(shù)列為等差數(shù)列的必要條件，故D項(xiàng)錯誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列中已知前項(xiàng)和與通項(xiàng)的遞推式時常用的方法：
（1）互相轉(zhuǎn)化法：根據(jù)題意將和 互相轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解；
（2）反例驗(yàn)證法；對于難以正面處理的數(shù)列特征判斷題，常可以通過舉反例說明不成立.
5．ABD
【分析】假設(shè)為常數(shù)列，推出矛盾，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B，通過當(dāng)時進(jìn)行驗(yàn)證即可；通過對條件進(jìn)行變形得到①，當(dāng)時，化簡得或，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D，當(dāng)為等比數(shù)列時，由①得，分別討論，，時，即可做出判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A，若為常數(shù)列，則，且，
所以，即
由，所以，顯然為常數(shù)，則為常數(shù)，矛盾，
所以不可能為常數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，，即，
所以，所以，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕裕?br/>所以，整理得①，
當(dāng)時，由①得，所以，
所以，或，所以不一定為等差數(shù)列，故選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，當(dāng)為等比數(shù)列時，，設(shè)的公比為，則，
由①得，整理得②，
（i）當(dāng)時，②顯然不成立；
（ii）當(dāng)時，由②得；
（iii）當(dāng)時，由②得，因?yàn)槭浅?shù)，所以為常數(shù)列，所以，與矛盾，
故若為等比數(shù)列，則的公比，即的公比唯一，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題條件中給出的是數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和滿足的關(guān)系式，二者的關(guān)系是解決題目的關(guān)鍵.
6．C
【分析】由遞推關(guān)系可得，取對數(shù)并利用累乘法可求得的通項(xiàng)公式，再求出，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】由題，，又，
，，兩式相除可得，
上式兩邊取對數(shù)，可得，即，，
，
化簡得，解得，
又，即，
所以的通項(xiàng)公式為，
，
要使，即，解得，
且，所以滿足題意的最小正整數(shù)的值為6.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題要由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)前項(xiàng)積求出.
7．ACD
【分析】根據(jù)題意，證明得到時，且，再逐個選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算和證明，逐個選項(xiàng)判斷即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕矗裕赜校玫剑?br/>對于A，若存在，取，有，則，所以，必有，則有，同理，若，由可得故A正確；對于B，若，則，，又因?yàn)椋赜校玫剑援?dāng)時，因?yàn)椋赜校蔅錯；
對于C，若，，且，則，則，又，所以，，根據(jù)遞推公式，可得，；利用累加法，，整理得，
又因?yàn)椋赜校玫剑裕?br/>，所以，
，所以，C正確；
對于D，若，，，得到，所以，，則關(guān)于的方程可以化為，
，化簡得，
，
設(shè)，可得，
化簡得，，
所以，或(舍去)，
，得，寫成數(shù)列形式，即所有實(shí)數(shù)根可構(gòu)成一個等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：，故D正確；
故選：ACD
8．C
【分析】
由，可得，化簡得，即有、，可得、，由、時可得、、、，即可逐項(xiàng)研究判斷.
【詳解】由，故，
即，
即有，，
由，有，
即，化簡得，
有，有，
即，化簡得，故B錯誤；
當(dāng)時， ，由，故，，
當(dāng)時，，即，故，，
故A錯誤；
由，，且，，，，
故當(dāng)時，恒成立，故D錯誤；
，
又，有，
故，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
即，
故，故C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是借助，得到，即可得，，從而得到，.
9．BC
【分析】
由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.
【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，
因此不存在，使得恒成立，A錯誤；
對于B，由選項(xiàng)A知，，則，
顯然當(dāng)時，恒成立，B正確；
對于C，由，得，
當(dāng)時，
即，
于是，
兩式相減得，
因此，顯然滿足上式，則，由，
得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，
從而對任意，總存在，使得，C正確；
對于D，，由選項(xiàng)C得，
顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.
10．C
【分析】
利用數(shù)列的遞推式與放縮法，結(jié)合基本不等式，等比數(shù)列的求和公式與錯位相減法，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】對于A，由題意易得，
由，得，故A正確；
對于C，由選項(xiàng)A得，所以，
則，故C錯誤；
對于B，由，得也是遞增數(shù)列，
所以，即，故B正確；
對于D，由選項(xiàng)AC得，
累加得，
令，則，
兩式相減，得
，
則，所以，故D正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列的放縮法與錯位相減法，從而得解.
11．D
【分析】
解方程判斷A,利用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法判斷BD,舉反例判斷C.
【詳解】對A:若數(shù)列為常數(shù)列，則，解得或，故A錯誤；
對B:易得，若為遞減數(shù)列，則，解得或且，故不存在使得遞減數(shù)列，故B錯誤；
對C,令，則，故不是遞減數(shù)列，故C錯誤；
對D,用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)顯然成立，
假設(shè)當(dāng)，
則時，，故當(dāng)時成立,
由選項(xiàng)B知，對任意 則數(shù)列為遞減數(shù)列，故故D正確
故選：D
【點(diǎn)睛】利用遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明，是本題關(guān)鍵.
12．ABD
【分析】
根據(jù)題目條件，得到或1，通過特殊化列舉分析，理解數(shù)列，再對每個選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】由題意可知，，則或1，
則當(dāng)時，數(shù)列為0，1，故只有1個，
當(dāng)時，數(shù)列為0，1，2或0，2，故有2個，
當(dāng)時，數(shù)列為0，1，2，3或0，2，3或0，1，3，故有3個，
同理可得：
，故A正確；
當(dāng)，數(shù)列可以看成時再增加一項(xiàng)2，或時再增加一項(xiàng)1，
因此，故B正確；
因?yàn)椋?br/>相加可得：，故C錯誤；
又因?yàn)?br/>，
可得，故D正確.
故選：ABD.
13．AD
【分析】
根據(jù)數(shù)列遞推式，可求出，判斷A；計(jì)算，根據(jù)等比數(shù)列定義判斷B；根據(jù)數(shù)列遞推式可求得，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷C，D.
【詳解】
對于A，由題意知，，，
則，故，
，，A正確；
對于B，由于，故不可能為等比數(shù)列，B錯誤；
對于C，D，由于，
故，
即，而，
則是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，
，不適合，
故，而，故不是遞增數(shù)列，C錯誤，D正確，
故選：AD
【點(diǎn)睛】
易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了利用數(shù)列遞推式研究數(shù)列的性質(zhì)問題，易錯點(diǎn)在于利用數(shù)列遞推式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時，很容易忽略驗(yàn)證的情況.
14．ACD
【分析】
直接利用等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)及求和公式，裂項(xiàng)相消法，判斷ABCD的正誤．
【詳解】對于A： ，
且，由等差數(shù)列性質(zhì)，，公差，A正確；
對于B，，
所以成立的最大的值為4046，B錯誤；
對于C：由等差數(shù)列性質(zhì) ，
且，
故，
則，即，C正確；
對于D，，則數(shù)列，
所以．
由于，可得要使取得最小值，需取得最小值，
需先滿足，所以或，
由C選項(xiàng)分析知：，
且，故取最小時，即，
此時最小，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用等差數(shù)列下角標(biāo)性質(zhì)得到正負(fù)分界是解決此題的關(guān)鍵.
15．BCD
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和的應(yīng)用，結(jié)合裂項(xiàng)相消法與二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運(yùn)算對各個選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】
可化為，
易知為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則也為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列公式，易知公差為，
由，得，則，，A錯；
，則，
故2024項(xiàng)和為，B對；
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
易知時，單調(diào)遞增，且，
，C對；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時，，
所以或時，，
當(dāng)時，且，，，D對，
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法對B選項(xiàng)進(jìn)行化簡以及利用二次函數(shù)的單調(diào)性討論數(shù)列的最值是解題關(guān)鍵，本題主要考查了等差數(shù)列的定義，二次函數(shù)討論單調(diào)性求最值以及數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于較難題.
16．AB
【分析】
由已知可得，利用單調(diào)數(shù)列定義判斷A；放縮結(jié)合累乘法計(jì)算判斷B；求出的范圍并結(jié)合（1）判斷C；取倒數(shù)并借助裂項(xiàng)相消法分析判斷D.
【詳解】數(shù)列中，，由，得，
對于A，，因此為遞增數(shù)列，A正確；
對于B，，則，因此，B正確；
對于C，，由，得，有，
顯然，于是，由選項(xiàng)A知，，
因此不存在大于1的正整數(shù)，使得，C錯誤；
對于D，，則，
即，于是，
因此，，則不存在，使得，D錯誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
答案第1頁，共2頁
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