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壓軸小題15 三角函數(shù)的切線問題
【2024屆溫州高三期末】已知，函數(shù)在點處的切線
均經(jīng)過坐標原點，則（ ）
A． B． C． D．
先根據(jù)導數(shù)的幾何意義化簡得出，再根據(jù)圖象結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定零點的大致范圍，再適當放縮判定即可.
設(shè)切點為，則切線方程為，將代入切線方程，則有，
故A，B錯誤．
由圖易知，，，，
要考慮與的大小關(guān)系，只需考慮與的大小，
由于，，且在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，即，故．
故選：C
（22-23高三上·江西新余·期末）
1．已知函數(shù)，，若與圖像的公共點個數(shù)為，且這些公共點的橫坐標從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
（2023·湖北武漢·二模）
2．已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
先根據(jù)導數(shù)的幾何意義化簡得出，由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)及兩點斜率公式數(shù)形結(jié)合判定即可.
設(shè)切點為，則切線方程為，將代入切線方程，則有，
故A，B錯誤．
設(shè)，如上圖易知：
，
由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得
，即，
則有
又，所以，
解得，故C正確，D錯誤．
綜上：選C．
3．不等式，恒成立，則的最小值為
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)有且只有三個零點，則屬于
A． B． C． D．
總評
本題的切入點為三點的切線均過原點，可設(shè)切點后將原點代入得到這一過渡條件．
而本題的難點在于比較與的大小關(guān)系，其實要判斷的是之間的距離是增大還是縮小，其實這里可以用極限思想先猜出答案，當時，會無限接近于極值點則，則可以猜測是單調(diào)遞減的，即．
而嚴格的證明，需要將與進行聯(lián)系，如方法一通過單調(diào)性聯(lián)系，方法二通過數(shù)形結(jié)合后與斜率進行聯(lián)系．
5．已知函數(shù)，直線過原點且與曲線相切，其切點的橫坐標從小到大依次排列為，，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．數(shù)列為等差數(shù)列
C． D．
6．已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）
A． B．0 C．1 D．
7．設(shè)函數(shù)．過點作函數(shù)圖象的所有切線，則所有切點的橫坐標之和為（ 　　）
A． B． C． D．
（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）
8．已知，若恒成立，則不正確的是（ ）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間為
B．方程可能有三個實數(shù)根
C．若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則
D．過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線
（22-23高三下·江蘇常州·開學考試）
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)不是周期函數(shù)
B．函數(shù)的圖象只有一個中心對稱點
C．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
D．曲線只有一條過點的切線
10．設(shè)正整數(shù)使得關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實根，則（ ）
A．
B．
C．
D．，，成等差數(shù)列
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】對于A，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究其零點個數(shù)，可得答案；對于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對于C，由題意，作圖，根據(jù)對稱性以及公共點所在區(qū)間，可得答案；對于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.
【詳解】對于A：當時，令，則，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
又當時，所以函數(shù)有且僅有一個零點為，
同理易知函數(shù)有且僅有一個零點為，即與也恰有一個公共點，故A錯誤；
對于B：當時，如下圖：
易知在，且，與圖象相切，
由當時，，則，，
故，從而，
所以，故B正確；
對于C：當時，如下圖：
則，，所以，又圖象關(guān)于對稱，
結(jié)合圖象有，即有，故C錯誤；
對于D：當時，由，
與的圖象在軸右側(cè)的前個周期中，每個周期均有個公共點，共有個公共點，故D錯誤.
故選：B.
2．B
【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點坐標，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.
【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，
只需考慮的情況，
設(shè)對應的切點為，，，
設(shè)對應的切點為，，，
，，，
只需考慮，，其中的情況，
則，
，其中，
；
又，，
，；
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
設(shè)，
，又，，
；
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
，
即，在上單調(diào)遞減，，
，；
綜上所述：.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)與三角函數(shù)綜合應用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對所求式子進行放縮，從而求得的范圍.
3．A
【分析】首先確定函數(shù)的特征，然后結(jié)合函數(shù)圖像求得k的取值范圍即可確定k的最小值.
【詳解】令，則，
很明顯函數(shù)的周期為，
由導函數(shù)的符號可得函數(shù)在區(qū)間上具有如下單調(diào)性：
在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
繪制函數(shù)圖像如圖所示，
考查臨界條件，滿足題意時，直線恒在函數(shù)的圖像的上方，
臨界條件為直線與曲線相切的情況，
此時，即的最小值為.
故選A.
【點睛】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，導函數(shù)求解切線方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
4．D
【分析】有且僅有三個不同零點等價于與有且僅有三個不同交點，數(shù)形結(jié)合知當與相切時，滿足題意，利用導數(shù)的幾何意義可得，進一步得到，所以，再求出的范圍即可得到答案.
【詳解】由已知，有且僅有三個不同零點等價于方程有且僅有三個
不同實根，等價于與有且僅有三個不同交點，
如圖
當與相切時，滿足題意，因為，
所以，且，消a得
由誘導公式，有，
又，所以.
故選：D
【點睛】本題考查已知函數(shù)的零點個數(shù)求范圍問題，涉及到導數(shù)的幾何意義，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有一定難度的題.
5．D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程組，化簡得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)直線的方程為，切點為，，則，
由導數(shù)的幾何意義可得，
，故B、C錯誤．
由，可得：，
，，
，
，則，故A錯誤，D正確．
故選：D
6．A
【分析】先將函數(shù)解析式化簡為，結(jié)合題意可求得切點及其范圍，根據(jù)導數(shù)幾何意義，即可求得的值.
【詳解】函數(shù)
即
直線與函數(shù)圖象恰有四個公共點，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，
因為，
故，
所以.
故選：A.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用，由交點及導數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.
7．A
【分析】根據(jù)題意，所有切線過點，顯然點不一定為切點，因此先設(shè)切點，，對求導，得切線斜率，從而寫出切線方程，點坐標代入，得到關(guān)于的方程：
，注意到函數(shù)與函數(shù)都關(guān)于點對稱，因此推出所有切點的橫坐標也關(guān)于點成對出現(xiàn)，每對和為，當，時，數(shù)出共2019對，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：函數(shù)，
；
設(shè)切點為，切線的斜率為
故切線方程為：；
；
，
令 ；
這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以他們交點的橫坐標關(guān)于點對稱；
從而所做所有切點的橫坐標也關(guān)于點成對出現(xiàn)；
又在區(qū)間內(nèi)共有對，每對和為，
所有切點的橫坐標之和為．
故選：．
【點睛】本題考查了函數(shù)曲線上切線方程的求法，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．
8．ABC
【分析】A選項，根據(jù)，得到，畫出函數(shù)圖象，可得單調(diào)區(qū)間；
B選項，結(jié)合函數(shù)圖象得到方程的根的個數(shù)；
C選項，分和兩種情況，得到或；
D選項，設(shè)上一點，分M為切點和不是切點，結(jié)合函數(shù)圖象可得過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線.
【詳解】A選項，因為函數(shù)，時，由于恒成立，
故要想恒正，則要滿足，
時，恒成立，，
當時，在恒成立，
故在單調(diào)遞增，又當時，，
故在上恒成立，滿足要求，
當時，令，故存在，使得，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，
又當時，，故時，，不合題意，舍去，
綜上：，
當時，，，
且，畫出函數(shù)圖象如下，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，A錯誤；
B選項，可以看出方程最多有兩個實數(shù)解，不可能有三個實數(shù)根，B錯誤；
C選項，當時，，則，
則函數(shù)在處的切線方程為，
將代入切線方程得，解得，
當時，，則，
則函數(shù)在處的切線方程為，
將代入切線方程得，，
其中滿足上式，不滿足，故C錯誤；
D選項，當時，設(shè)上一點，
，當切點為，則，
故切線方程為，此時有一條切線，
當切點不為時，設(shè)切點為，
則，此時有，
即，其中表示直線的斜率，
畫出與的圖象，
最多有6個交點，故可作6條切線，
時，當切點不為時，設(shè)切點為，
則，，，
，，
結(jié)合圖象可得，存在一個點，
使得過點的切線過上時函數(shù)的一點，
故可得一條切線，
當M點在時的函數(shù)圖象上時，由圖象可知，
不可能作8條切線，綜上，過圖象上任何一點，
最多可作函數(shù)f(x)的8條切線，D正確.
故選：ABC
【點睛】應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數(shù)；(2) 已知斜率求切點,即解方程；(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設(shè)出切點,利用求解.
9．AD
【分析】A選項，利用反證法判斷出答案；B選項，設(shè)關(guān)于中心對稱，得到，列出方程，求出，得到對稱中心不止一個；C選項，由導函數(shù)結(jié)合定義域求出函數(shù)的單調(diào)性；D選項，設(shè)出切點，得到切線方程，代入，化簡后得到，換元后得到，，分，與，得到函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值情況，結(jié)合隱零點推出零點個數(shù).
【詳解】對于A，因為的定義域是，
所以若有周期，則周期為的整數(shù)倍，假設(shè)周期，
則即，
當為奇數(shù)時，等式可整理為，，該等式矛盾，故假設(shè)不成立；
當為偶數(shù)時，等式可整理為，，該等式矛盾，故假設(shè)不成立；
綜上，則不是周期函數(shù)，A正確；
對于B，設(shè)關(guān)于中心對稱，
，
∴，即；
令，，則，，所以，
則，解得：，，
關(guān)于，中心對稱，對稱中心不止一個，B不正確；
對于C，令，得，
解得或，；
∵的定義域為，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，，，C不正確；
對于D，設(shè)切點，
切線方程為，
∵切線過
∴，化簡得，
故，令，
，
當時，，故，
∴在上單調(diào)遞減，
因為，
由零點存在性定理可得：在上有唯一零點，
當時，令，，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
故，
故，
當時，單調(diào)遞減，
因為，
，
故存在，使得，即，
結(jié)合，可得：或，
因為，所以，，
故，，
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，
因為，所以，
故時，，
所以在上無零點，
在有且僅有一個零點，D正確.
故選：AD.
【點睛】方法點睛：隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
10．ABC
【分析】利用函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷每個選項即可.
【詳解】解：如圖所示，函數(shù)與函數(shù)恰有個交點.
選項A，根據(jù)對稱性可知，正確；
選項B，考慮在區(qū)間內(nèi)，兩函數(shù)在時相切，所以，
所以滿足，
而，
所以，正確；
選項C，兩函數(shù)在時相切，所以，所以，正確；
選項D，若，，成等差數(shù)列，則因為，關(guān)于原點對稱，所以必有 ，即，則，則，
故不符合題意，錯誤.
故選：ABC.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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