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壓軸小題1 由直線與圓位置關系求參數
【浙江省名校協作體2023-2024學年高三下學期開學適應性考試】在平面直角坐標系中，圓的方程為，且圓與軸交于，兩點，設直線的方程為，直線與圓相交于，兩點，直線與直線相交于點，直線、直線、直線的斜率分別為，，，則（ ）
A. B. C. D.
法一：聯立直線和圓的方程得出求出A，B，M的坐標，借助，得出，再由得出點P坐標，進而由斜率公式得出，，的關系式.
法二：聯立，得出點A坐標，進而代入圓的方程得出是關于的二次方程的兩根，由韋達定理得出，再由得出點P坐標，進而由斜率公式得出，，的關系式.
法一：如圖，由題意得：，與圓：聯立，
消整理得，，
，同理可得
，，即
，，設，
，，即，
.
法二：解：由已知，不妨設點，則直線，直線.
由得即點
由點在圓上得
即.①
同理可得，即.②
由①②知，是關于的二次方程的兩根，
（顯然，否則若，則.
又是圓的直徑，∴的交點位于圓上.這與題意不相符）.
.
由得，
，即點
，選A
（22-23高三上·河南·期末）
1．已知圓與過原點的直線相交于A，B兩點，點為x軸上一點，記直線的斜率分別為，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知圓，若不過原點的直線與圓交于、兩點，且滿足直線、、的斜率依次成等比數列，則直線的斜率為（ ）
A．或 B．或
C． D．
法一：利用參數方程設A，B坐標，再由化簡得出，即，再由得出點P坐標，進而由斜率公式得出，，的關系式.
法二：利用參數方程設A，B坐標，再由得出點共線于直線，且均位于圓上，聯立由韋達定理得出，再由得出點P坐標，進而由斜率公式得出，，的關系式.
法三：利用參數方程設A，B坐標，再由化簡得出，結合三角恒變換得出，再由得出點P坐標，進而由斜率公式得出，，的關系式.
法一：解：依題意，不妨設點，則
即.
又，．
，．
，得，
，即點，
，選Ａ
法二：解：依題意.不妨設點，則
則，
∴點共線于直線，
且均位于圓上.
記.則
由得，即，
， .
又，，
.
由得，
，即點
，選A
法三：解：依題意.不妨設點，則
其中
即
，或.
又的終邊不相同，∴，，，
又
又得，
即點，
，選A
（2022·浙江·模擬預測）
3．已知與軸交于，兩點（為坐標原點），過點的直線交于另一點，與軸交于點，且，過點且斜率大于零的直線與相切，則直線的方程為 ；直線的方程為 ．
4．已知圓，過點的直線與圓在軸上方交于，兩點，且，則直線的斜率為 ．
由為點關于圓的極線，得出，再由得出點P坐標，并代入得出.
由題意圓，
連接，相交于點，可知即為點關于圓的極線.
即
即，從而
又解得①②
① ②代入*即可得.
（福建省漳州市部分學校2024屆高三下學期普通高考模擬測試數學試題）
5．過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則 ．
極端化，設直線與圓相切于點，此時點、、三點重合，由銳角三角函數定理得出，再由結合半角公式得出，進而由得出.
解：設直線與圓相切于點，此時點、、三點重合.如圖：
則，在中可得
為等腰三角形，
而
∵.∴
（2022·全國·模擬預測）
6．已知斜率存在的直線l與圓C：相交于P，Q兩點，點A為圓C與y軸正半軸的交點，記直線AP，AQ的斜率分別為，，當時，直線l恒過點（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江·二模）
7．已知是圓上一點，是圓的直徑，弦的中點為.若點在第一象限，直線、的斜率之和為0，則直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
（2024·寧夏銀川·一模）
8．斜率為k的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點，則 .
（23-24高二上·安徽亳州·期末）
9．已知點，圓的半徑為1，圓心是直線和直線的交點.若過點的直線與圓有公共點，則直線斜率的取值范圍為 ．
（22-23高二上·江蘇連云港·期中）
10．圓的一條切線l，與拋物線相交于A，B兩點，與x軸相交于點M．若，則切線l的斜率 ．
（23-24高二上·吉林·期末）
11．設O為坐標原點，P是圓上任意一點，，M是線段PA上的點，且，，則直線BM的斜率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
先把直線與圓聯立求出兩根之和與兩根之積,再把斜率和轉化為用表示,計算即可求解.
【詳解】設，，因為直線的方程為，
代入圓C的方程，得，
所以，.所以
.
因為，所以，解得.
故選:.
2．A
【分析】
設直線的方程為，設點、，將直線的方程與圓的方程聯立，利用韋達定理結合斜率公式可求得的值.
【詳解】
由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，
設點、，聯立可得，
由韋達定理可得，，
，
所以，，解得.
故選：A.
3．
【分析】（1）依題意可知B為中點，設，則可得，根據在軸上，可解得，進而求得點坐標，從而求得（2）利用直線與圓相切，可求得的斜率，即可求解
【詳解】依題意，設，（）
因為，所以B為中點，所以，
又在軸上，所以，所以（舍）或，
所以，則，故直線，
，設：（）即
則圓心到的距離
故直線．
故答案為：；
4．
【解析】由題意設出直線的參數方程為，代入圓的方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系結合，得到，與平方關系聯立求得，的值，即可求得直線的斜率．
【詳解】解：設直線的傾斜角為，則直線的參數方程為，
代入，得，
設，對應的參數分別為，，則，，
由，得，，，
，
整理得：，
由題可知，，則，得，
聯立，解得，則，
即直線的斜率為，
故答案為：．
【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查直線參數方程的用法，考查計算能力，是中檔題．
5．81
【分析】
由題意可知點在以為直徑的圓上，結合兩圓相交可得直線的方程為，再根據直線與圓相切列式求解.
【詳解】圓：的圓心為，半徑；
圓：的圓心為，半徑；
由題意可知：，可知點在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓為，
整理得，結合圓：，
兩圓方程作差，可得直線的方程為，即，
若直線與圓：相切，
則，整理得.
故答案為：81.
6．A
【分析】
根據題意設直線l的方程為，聯立與圓的方程，結合韋達定理，根據，列出方程，即可得到定點坐標.
【詳解】
設直線l的方程為，，
聯立直線與圓的方程可得，消去可得
結合韋達定理可得
由題知，由，得，
整理得，
所以，
化簡得，所以直線l的方程為，即，
由，得，故直線l恒過點，
故選:A．
7．C
【分析】
由題可得圓的方程，設直線的斜率為，則直線的方程為，代入圓的方程可得的坐標，從而可得的坐標，于是根據斜率關系可解得的值，由于點在第一象限，對的值進行取舍，即可得所求.
【詳解】已知是圓上一點，所以
設直線的斜率為，則直線的方程為，所以，
則，恒成立，所以
由于，所以，則，由于是圓的直徑，
所以，則弦的中點為坐標為
因為直線、的斜率之和為0，所以，整理得
解得或，又點在第一象限，所以，故，即直線的斜率是.
故選：C.
8．
【分析】設出坐標，根據在拋物線上，坐標滿足方程，兩式相減可得，繼而利用,兩直線斜率相乘等于1建立方程解出即可.
【詳解】設，
則又
兩式相減得，
則.
設圓心為，則，
因為直線l與圓相切，所以，
解得，代入得
,
故答案為：.
9．
【分析】
由題意求出圓的標準方程，設出過點的直線方程，由圓心到直線的距離小于等于半徑即可求解.
【詳解】
由題得圓心在直線和直線上.則聯立，解得，
即圓心的坐標為, 故圓的方程為，
設過點的直線的方程為，即，當直線與圓切于點時直線的斜率最大，當直線與圓切于點時直線的斜率最小，
由直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離滿足，
解得，所以直線斜率的取值范圍為，
故答案為：.
10．
【分析】
設，根據，得到關系，聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理，即可得到的關系，然后再根據直線與圓相切，列出方程即可求得結果.
【詳解】設，顯然直線的斜率存在且不為0
則直線方程為
因為
因為，則，即
聯立消去，化簡可得
由韋達定理可得
且，所以
所以
即直線方程為
且直線與圓相切，則
令，則，解得或（舍）
即
故答案為:
11．C
【分析】
令，，根據及向量線性關系的坐標表示得，進而有軌跡方程為，再判斷直線BM的斜率最大，直線與圓相切且，即可求最大斜率.
【詳解】令，，又，則，
所以，可得，
故軌跡方程為，即圓心為，半徑為的圓，
令直線，要使直線BM的斜率最大，只需直線與圓相切且，
所以最大斜率.
故選：C
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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