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壓軸小題4 解三角形中求參數的范圍
【2023年鷹潭期末T8】在銳角中，角的對邊分別為，且滿足.若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先利用正弦定理進行“邊化角”，而后通過代換減少變量，利用函數的值域即可解決問題，特別注意這里不滿足基本不等式的應用條件.
【詳解】由正弦定理可知，①，
又因為，所以②，
將②式代入①式可得，整理得，
因為，所以，即，
又因為，所以，即可得
又有恒成立恒成立，
又因為是銳角三角形，所以，
即，解得，
所以，故.
設，則易知在區間上單調遞減，故，
所以，
故，即.
故選：B
【變化角度】將恒成立問題變為能成立問題，如：（重慶市2023屆高三學業水平選擇性考試模擬調研（二）數學試題）已知銳角中，內角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】利用余弦定理結合正弦定理化簡可得出，根據為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導公式化簡得出，求出的取值范圍，根據二次函數的基本性質可得出關于實數的不等式，解之即可.
【詳解】
由余弦定理可得，則，
由正弦定理可得
，
因為為銳角三角形，則，，所以，，
又因為函數在內單調遞增，所以，，可得，
由于為銳角三角形，則，即，解得，
，
因為，則，
因為存在最大值，則，解得.
故選：C.
【舉一反三】
（湖北省襄陽五中、夷陵中學、鐘祥一中三校2020屆高三下學期6月高考適應性考試理科數學試題）
1．銳角的內角，，的對邊分別為，，且，，若，變化時，存在最大值，則正數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變換角度】去掉銳角三角形的限制，如：在中，角，，的對邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是＿＿＿＿.
【思路分析】利用正弦定理化簡邊角關系式得到，結合余弦定理構造方程求得，代回余弦定理可利用基本不等式求得的取值范圍；將所求不等式轉化為對恒成立，結合二次函數圖象可得到不等式組：，解不等式組求得結果.
【詳解】
由正弦定理得：
由余弦定理知：
（當且僅當時取等號）
令，即對恒成立
，解得：
本題正確結果：
【舉一反三】
（河南省鄭州市等5地 舞陽縣第一高級中學等2校2022-2023學年高三上學期1月期末聯考理科數學試題）
2．已知在中，，若（表示的面積）恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2020屆湖南省益陽市高三上學期期末數學（文）試題）
3．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.若對于任意實數，不等式恒成立，則實數t的取值范圍為
A． B．
C． D．
（廣東省梅州市2024屆高三下學期2月總復習檢測數學試題）
4．已知是銳角三角形，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（【全國百強校】江蘇省啟東中學2018-2019學年高一下學期期中考試數學試題）
5．若不等式對任意都成立，則實數的最小值為 ．
6．在銳角中，角的對邊分別為，且滿足.則下列結論正確的有（ ）
A． B．
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
7．在銳角中，角、、的對邊分別為、、，已知不等式恒成立，則當實數取得最大值時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（21-22高二上·甘肅蘭州·階段練習）
8．中，角、、的對邊分別為，，且滿足，若恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（20-21高一下·重慶九龍坡·期中）
9．在中，，若以m為參數的不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由，可得，由正弦定理轉化為角的關系可以得到，由此推出，又為銳角三角形，可求出，將都用角A表示可以得到，且，當取最大值時利用可求得的范圍.
【詳解】解：因為，，所以，
可得：，即，
因為為銳角三角形，則有，即，解得：.
= ，
當時，原式有最大值，此時，
則，，，即，所以.
故選：A.
【點睛】本題考查三角函數正弦定理的應用，考查三角函數輔助角公式，對輔助角公式的熟練應用是解題的關鍵，屬于難題.
2．A
【分析】
根據正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，結合換元法，導數的性質進行求解即可.
【詳解】記角所對的邊分別為.因為，
所以由正弦定理可得..
，
令，則，
令，則，
故當時，，當時，，
故，故，
則實數的取值范圍為.
故選：A
【點睛】
關鍵點睛：利用換元法構造新函數，利用導數判斷新函數的單調性，求出最值是關鍵.
3．A
【解析】化角為邊，由余弦定理求出角的取值范圍，設，則，并確定的取值范圍，再由關于的一元二次不等式恒成立，，求出間的不等量關系，利用的取值范圍，即可求出結果.
【詳解】在中，由正弦定理及，
得，由余弦定理，
得，
又因為，所以，
記，則.
因為，所以，從而，
所以
可化為，
即，恒成立，
所以依題有，
化簡得，即得恒成立，
又由，得或.
故選:A.
【點睛】本題以一元二次不等式恒成立為背景，考查三角形邊角互化、余弦定理求角的范圍、以及同角間的三角函數關系，考查不等式的關系，是一道較難的綜合題.
4．A
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等變換的知識化簡，利用三角函數值域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
由解得.
，
由于三角形是銳角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：A
5．81
【分析】由已知及正弦定理得，利用三角形的三邊關系可得，從而得到，結合題意利用二次函數的性質可求得實數的最小值．
【詳解】因為，由正弦定理可得
所以
又因為在三角形中
所以
當時，取得最大值為
所以，即實數 的最小值是
故答案為
【點睛】本題需通過正弦定理，三角形的三邊性質，以及二次函數的性質進行求解，屬于偏難題目．
6．ABD
【分析】利用正弦定理和余弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式化簡，可判斷A；結合銳角，可判斷B；利用正弦定理邊化角結合三角函數性質判斷C；將化簡為，結合A的范圍，利用對勾函數單調性，可判斷D.
【詳解】由余弦定理得，，，
所以，即，
由正弦定理得，
①，
又因為，所以
②，
將②式代入①式可得，
整理得，
因為，所以，即，故A正確；
在銳角中，，解得，故B正確；
由，故C錯誤；
又，，
令，則，
由對勾函數性質可知，在上單調遞增，，
，故D正確.
故選：.
7．B
【分析】由，則利用基本不等式求出的最大值，再用余弦定理表示出，在銳角三角形中，由，求出的取值范圍，再利用函數的單調性，求出的取值范圍
【詳解】解：，
當且僅當即時等號成立，此時取得最小值
在銳角三角形中，所以，代入化簡得
令，則
在上單調遞減，所以
即
故選：
【點睛】本題考查基本不等式，余弦定理的應用，屬于難題.
8．A
【分析】利用正弦定理，余弦定理化簡不等式，由此求得的最小值.
【詳解】由，得，
依題意，
，
有正弦定理，余弦定理得，
即.
所以的最小值為.
故選：A
9．B
【分析】利用余弦定理化簡已知條件，結合基本不等式、一元二次不等式恒成立，求得的取值范圍.
【詳解】依題意中，，
則，
，
，當且僅當時等號成立，
故，，
所以，
由得
，
，
令，則恒成立.
令，則，
解得.
故選：B
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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