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壓軸小題3 三角函數與恒等變換結合問題
【2024年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）T8】已知是函數在上的兩個零點，則（ ）.
A． B． C． D．
角度一、先根據三角函數的對稱性得出，及，再利用和差化積轉化即可.角度二、兩次使用和差化積直接計算.
角度一、令，得．
的其中一條對稱軸為，
又，所以，即．
由題意得．
兩式相加，得．
由和差化積公式，得，即．
選A．
角度二、由得．
由已知得且．
，即．①
即．
由，且得，且，，代入①得
，選A．
根據三角函數的對稱性消元結合誘導公式計算即可.
因為，則，則，
關于對稱，，，
選A．
（23-24高一上·福建南平·期末）
1．已知函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)若方程在區間上恰有三個實數根，且，求的取值范圍．
根據同角三角函數的平方關系及二倍角公式計算即可.
不妨設：
易知：，
，
即.
故選：A
根據反三角函數結合誘導公式計算即可.
由題意知：
.
根據三角函數的對稱性得，結合整體思想與輔助角公式計算即可.
令，得，可知的其中一條對稱軸為，
又，所以，即．
.
故選：A
2．已知函數若方程在上的解為則 .
（2023·河南·模擬預測）
3．若關于的方程在內有兩個不同的解，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇徐州·模擬預測）
4．已知，則 ．
（22-23高一上·重慶沙坪壩·期末）
5．已知的部分圖象如下圖，且.
(1)求的解析式.
(2)令，若，求.
6．已知向量，．設函數，．
(1)求函數的單調增區間．
(2)當時，方程有兩個不等的實根，求的取值范圍；
(3)若方程在上的解為，，求．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】
（1）利用三角恒等變換化簡的表達式，結合正弦函數的周期公式，即可求得答案；
（2）利用換元，，將的根的問題轉化為在上有三個實根的問題，結合正弦函數的對稱性以及周期性得到之間的關系式，繼而推出，結合參數的范圍，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意，
，
所以函數的最小正周期為；
（2）
由得，令，則，
因為，所以，
依題意，在上有三個實根，且，
則，，
所以，
即，
又，
所以，
因為，所以，從而，
所以的取值范圍是
【點睛】
關鍵點點睛：（2）中，要利用換元法，將方程在區間上恰有三個實數根，轉化為在上有三個實根的問題，結合正弦函數的對稱性，即可解決.
2．
【分析】利用倍角公式和輔助角公式先化簡函數解析式得 ，結合函數圖像的對稱性找出的關系代回求得
【詳解】
，令，
得的對稱軸方程為，時，的
解為，結合圖像一定有，代回得:，又時的
解為
故答案為：.
3．D
【分析】
利用輔助角公式化簡已知方程，求得，進而求得.
【詳解】
關于的方程在內有兩個不同的解，
即（，取為銳角）
在內有兩個不同的解，
即方程在內有兩個不同的解．
不妨令，由，則，
所以，
所以．則，
即，
所以．
故選：D．
4．
【分析】
由條件等式右邊含有，可聯想到中分離出來處理，設，待求表達式中用表示，結合萬能公式進行求解.
【詳解】設，于是，
整理可得，根據萬能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根據誘導公式，，
根據兩角和的正切公式，，
故.
故答案為：
5．(1)；
(2).
【分析】
（1）先由最大值得到，再由周期與的范圍求得，再代入點求得，由此得到的解析式.
（2）利用三角恒等變換化簡，再利用整體代換法，結合正弦函數的和差公式求得，從而求得.
【詳解】（1）由圖像可知，的最大值為，又，所以，
因為，所以，
又由圖像可知，則，
所以，得，又，故，
所以，
將點代入，得，即，
因為，則，所以，則，
所以.
（2）因為
，
因為，所以，則，
因為，所以，故，
所以，
所以
，
所以.
6．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由題可得，然后利用正弦函數的性質即得；
（2）令，根據方程有兩個不等的實根，則需函數在上的圖象與有兩個交點，求解即可；
（3）令，則函數變形為，從而等價于，根據函數的圖象與性質，可知與的兩交點的橫坐標，滿足，則，即，代入，求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，
，
由，可得，
∴函數的單調增區間為；
（2）令，
當時，令，則
且在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
若使得方程有兩個不等的實根
則需函數與有兩個交點
即，與有兩個交點，
所以，即；
（3）由，令，則
所以
又因為時，圖象關于對稱，且，
時，圖象關于對稱，且，
所以等價于，
設為與的兩交點的橫坐標，則，
，為方程的兩個解，
，
即，即，，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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