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壓軸小題2 正余弦定理在平面圖形中的應(yīng)用
【2023 四川成都 成都七中模擬填空壓軸】如圖，在所在平面內(nèi)，分別以為邊向外作正方形和正方形．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為．已知，且，則______．
通過正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，再結(jié)合面積公式和余弦定理即可求出的長(zhǎng)度．
由題意，在中，，由正弦定理，，
，
，連接如下圖所示，
在中，，由余弦定理得
．故答案為：．
1．如圖，圓的內(nèi)接四邊形中，與相交于點(diǎn)，平分，，．則的面積為 ．
2．如圖， 為邊長(zhǎng)為 2 的正 的重心， ， 為 的外心， 則 ; 的面積為 .
以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，利用距離公式以及正弦定理得出.
以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，
則，所以
，
．故答案為：．
（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）
3．如圖，四邊形中，，，，，則面積的最大值為 .
（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）
4．如圖，某景區(qū)有三條道路，其中長(zhǎng)為千米，是正北方向，長(zhǎng)為千米，是正東方向，某游客在道路上相對(duì)東偏北度的且距離為千米的位置，則 .
（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）
5．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于 ．
（22-23高二上·河南·階段練習(xí)）
6．在中，角所對(duì)的邊分別為.如果，，的面積為，那么= .
（2022高三上·河南·專題練習(xí)）
7．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若的面積為，則的外接圓的半徑的最小值為 ．
（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）
8．在中，，且，則的面積為 ；若，則 ．
（17-18高二上·廣西桂林·期中）
9．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且．則使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的實(shí)數(shù)m的最大值是 ．
（23-24高三上·山東·期中）
10．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且的面積為，則邊的值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】
作出圖形，分析可得、的長(zhǎng)，利用余弦定理可求得的長(zhǎng)，然后利用斜率求解即可.
【詳解】作出四邊形的外接圓，如下圖所示：
因?yàn)椋瑒t，
由余弦定理可得，則，
因?yàn)槠椒郑瑒t，所以，，則，
由余弦定理可得，
整理可得，，即的，
故.
故答案為：.
2．
【分析】由題意易知的外心為斜邊的中點(diǎn)，在三角形中利用余弦定理及三角形面積公式得到結(jié)果.
【詳解】連接，則，
∵，，，
∴，
∴，∴，
∴的外心為斜邊的中點(diǎn)，
∴三點(diǎn)共線，且，又，
在中，，
∵為正的重心，∴，
又∵為的外心，∴，
∴是等邊三角形，∴，∴，
在中，由余弦定理可得，
根據(jù)三角形面積公式，
故答案為：，.
3．
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，求解出相應(yīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，延長(zhǎng)交圓③于點(diǎn)F，得到，，進(jìn)而求解的最大值.
【詳解】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，A在圓①：上，
D在圓②：上，
作圓③：，
延長(zhǎng)交圓③于點(diǎn)F，則，
所以.
設(shè)直線與圓②交于點(diǎn)G，
取，連接，，得，
則，則，
為圓②內(nèi)接三角形，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)，最大，
此時(shí)，所以的最大值為，
即的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用圓的性質(zhì)和三角形面積求解.
4．
【分析】
方法一：利用等面積法可知，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果.
方法二：有垂直可以考慮建立坐標(biāo)系：，，利用三點(diǎn)共線（向量公式或者斜率公式）即可.
【詳解】千米,千米,
三角形的面積，由面積和法得：，
，兩邊平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
法二：由題意可知,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立坐標(biāo)系，則有，，,
因?yàn)?所以，
化簡(jiǎn)可得：
兩邊平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
故答案為：.
5．##
【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【詳解】由，得，
，
注意，得，得，
記，由，知，
如圖，以為鄰邊做平行四邊形，
在中：，即，
得，所以，
故答案為：．
法（2）：設(shè)，在中：①
因?yàn)椋瑒t，
由余弦定理可得，得②
聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案為：
6．##
【分析】
先由三角形的面積公式，求出，再用余弦定理表示，求解即可.
【詳解】
由三角形的面積公式得：
，
即，
由余弦定理得：，
同時(shí)，，
，
得，
解得.
故答案是：.
7．
【分析】
現(xiàn)用正弦定理邊化角得，再由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，然后利用三角形的面積公式得，進(jìn)而利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，從而得到的最小值.
【詳解】由，得，即
，即，
即，因?yàn)槭堑膬?nèi)角，
所以，于是，進(jìn)而得.
由，解得．
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以．
故答案為：．
8． 4 ##
【分析】
利用正弦定理可得，進(jìn)而可得，代入面積公式即可得的面積；根據(jù)題意可得，利用余弦定理可得，進(jìn)而可得.
【詳解】設(shè)角所對(duì)邊分別為，
因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>又因?yàn)椋瑒t，
所以的面積；
當(dāng)時(shí)，則，即，
由余弦定理可得，即，
所以．
故答案為：4；.
9．4
【分析】根據(jù)正弦定理，由sin2B+sin2C=msinBsinC，可得b2+c2=bcm，則，再根據(jù)三角形的面積公式，可得，利用余弦定理，可得cosA=，進(jìn)而可得答案.
【詳解】∵sin2B+sin2C=msinBsinC，∴b2+c2=bcm，∴，
∵，∴，
∴cosA=，
∴m=2cosA+2sinA=4sin（A+），
∴當(dāng)sin（A+）=1即A=時(shí)，m取得最大值4．
故答案為4．
10．
【分析】
根據(jù)正余弦定理和三角形面積公式求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
由正弦定理角化邊得，
所以，
由正弦定理，
所以即，化簡(jiǎn)得，
又的面積為
解得．
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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