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壓軸小題7 探究立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題
【炎德聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷六T11】（多選）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則四面體的體積為定值
B．若的外心為，則為定值2
C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為
D．若且，則存在點(diǎn)，使得的最小值為
對(duì)于A，取的三等分點(diǎn)分別為，由條件確定的軌跡，結(jié)合錐體體積公式判斷；對(duì)于B，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷；由條件確定的軌跡為，將原問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最小問題求解；對(duì)于C，由條件確定點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長公式求軌跡長度即可判斷；對(duì)于D，把沿著進(jìn)行翻折，使得，A，B，P四點(diǎn)共面，再由勾股定理和余弦定理求出長度．
此時(shí)有最小值．
對(duì)于A，取的三等分點(diǎn)分別為，如圖所示，
因?yàn)椋裕?br/>令，，則，所以．
因?yàn)椋?br/>所以的面積為定值，點(diǎn)P到平面的距離也是定值，故A正確．
對(duì)于B，
若的外心為O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，則H是的中點(diǎn)．
因?yàn)椋?br/>所以，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，
在平面中作，
顯然平面，由長度和角度，可得．
在中，，
所以，則點(diǎn)Q在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)此圓與交于點(diǎn)，因?yàn)榍遥?br/>所以，則點(diǎn)Q的軌跡長度是．故C正確．
對(duì)于D，若且，則點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．
把沿著進(jìn)行翻折，使得，A，B，P四點(diǎn)共面，
此時(shí)有最小值A(chǔ)P（這里和后面的A均為翻折后的點(diǎn)）．
在中，，，，滿足勾股定理，
所以，從而，
在中，由余弦定理得，故D正確．
故選：ACD
（2024·湖北·二模）
1．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為
B．三棱錐體積的最小值為
C．與不可能垂直
D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為
（2024·廣西南寧·一模）
2．在邊長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的最小值為
B．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為
C．當(dāng)，且時(shí)，則的軌跡長度為
D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正弦值的最大值為
A選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點(diǎn)共線，得到平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長公式求出答案；D選項(xiàng)，求出，，得到，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值．
A選項(xiàng)，在上分別取，使得，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕矗?br/>故，即，
所以三點(diǎn)共線，
因?yàn)椋裕?br/>故平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，
又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；
B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈耐庑臑椋浴停?br/>又題意得，
則，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?br/>故⊥，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
故，設(shè)，
則，
化簡(jiǎn)得，
點(diǎn)滿足，
即點(diǎn)在正方形內(nèi)，包括邊界，
故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，
如圖所示：
因?yàn)椋剩?br/>故為等腰直角三角形，，
故點(diǎn)的軌跡長度為，C正確；
D選項(xiàng)，若且，，
即，即，
又，，設(shè)，
設(shè)，即，
解得，即，
，
如圖所示，
設(shè)，且⊥，⊥，
在線段上取一點(diǎn)，設(shè)，則，
故，
顯然，直接連接，此時(shí)取得最小值，最小值即為，
由勾股定理得，
故的最小值為，
D正確．
故選：ACD
（2024·江西鷹潭·一模）
3．直四棱柱的所有棱長都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．點(diǎn)的軌跡的長度為.
B．直線與平面所成的角為定值．
C．點(diǎn)到平面的距離的最小值為.
D．的最小值為-2．
（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）
4．在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直
B．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為
D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為
（2024·湖南·二模）
5．如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為
B．三棱錐體積的最大值為
C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長度最大值為
（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）
6．已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則（ ）
A．
B．四面體的體積為
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
D．當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
（2024·廣東深圳·一模）
7．如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角為
B．當(dāng)∥平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為
D．存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)
（23-24高二上·河北石家莊·期末）
8．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則以下敘述正確的是（ ）

A．存在點(diǎn)P，使得平面
B．若點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線BF的最近距離為
C．若點(diǎn)P到直線與到直線AD的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分
D．若直線與平面BEF無公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長度為
（23-24高三上·江西·期末）
9．如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則（ ）
A．若平面，則點(diǎn)P與點(diǎn)B重合
B．以D為球心，為半徑的球面與截面的交線的長度為
C．若P為棱BC中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的面積為
D．若P到直線的距離與到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧
（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）
10．如圖，在長方體中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是 （ ）
A．不存在點(diǎn)F，使得
B．的最小值為
C．滿足的點(diǎn)F的軌跡長度為
D．若平面，則線段長度的最小值為
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABD
【分析】
對(duì)A由平面，聯(lián)想到存在一個(gè)過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進(jìn)而得到的軌跡為線段，對(duì)B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對(duì)C舉反例即可；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，
又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，
，即的軌跡為線段.
由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，
所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，
此時(shí),所以體積最小值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,
，而，,故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，
由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，
,,,所以底面為直角三角形，
所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,
由,,可得外接球半徑，
外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.

2．AD
【分析】對(duì)于A，確定M的位置，利用側(cè)面展開的方法，求線段的長，即可判斷；對(duì)于B，利用平移法，作出異面直線所成角，解三角形，即可判斷；對(duì)于C，結(jié)合線面垂直以及距離確定點(diǎn)M的軌跡形狀，即可確定軌跡長度；對(duì)于D，利用等體積法求得M點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求得與平面所成角的正弦值，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)K，使，
因?yàn)椋矗蔒點(diǎn)在上，
將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：

連接交于P，此時(shí)三點(diǎn)共線，取到最小值即的長，
由于，則，
故，
即此時(shí)的最小值為，A正確；
對(duì)于B，由于時(shí)，則，
此時(shí)M為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為N，連接，

則,故即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
又,，
故，
而異面直線所成角的范圍為，
故異面直線與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)M的軌跡在內(nèi)（包括邊界），
由于平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，同理可證,
平面，故平面，
設(shè)與平面交于點(diǎn)P，由于，
為邊長為的正三角形，則點(diǎn)A到平面的距離為，
若，則，
即M點(diǎn)落在以P為圓心，為半徑的圓上，

P點(diǎn)到三遍的距離為，
即M點(diǎn)軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度小于圓的周長，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)槠矫妫矫妫势矫妫?br/>
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即M在上，
點(diǎn)M到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d，
則，
為邊長為的正三角形，即，
解得，
又M在上，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，即與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確，
故選：AD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題，以及線線角和線面角的求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于C，D選項(xiàng)的判斷，對(duì)于C，要結(jié)合空間距離，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀；對(duì)于D，要結(jié)合等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求解.
3．BC
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，表示，化簡(jiǎn)后得點(diǎn)的軌跡方程，得軌跡長度判斷A；向量法求線面角判斷B，向量法求點(diǎn)到平面距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡得最小值判斷C；坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，結(jié)合點(diǎn)的軌跡最小值判斷D.
【詳解】直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，
又，則和都是等邊三角形，
設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，
點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，
由，有，
即，
所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，
所以點(diǎn)的軌跡的長度為， A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
平面的法向量為，，
直線與平面所成的角為，則，
又由，則，
所以直線與平面所成的角為定值， B選項(xiàng)正確；
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，得，，
所以點(diǎn)到平面的距離，
，所以時(shí)，，
所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；
，
，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，
由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，
的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.
4．BD
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷AD，根據(jù)線面角的幾何法可判斷的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，即可判斷B，根據(jù)展開圖，轉(zhuǎn)化為平面中兩點(diǎn)距離最小，結(jié)合余弦定理即可求解C.
【詳解】
A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，，，
所以，，
則，，設(shè)平面的法向量為，
所以令，則，即平面的一個(gè)法向量為．
若平面，則，即，
，令，解得．
即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫妫B接，則即為與平面所成角，
若與平面所成角為，則，所以，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長度為，故B正確；
C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，,此時(shí)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，
線段即為的最小值，利用余弦定理可知
，所以，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，,故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),
正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
，，所以點(diǎn)到直線的距離為
，
于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；
當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確．
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
5．CD
【分析】
利用線面垂直的性質(zhì)定理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，其周長為；顯然三棱錐體積的最大值即為正四面體，易知最大值為；易知當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，可知其軌跡長度為；根據(jù)面面平行的判定定理可求出點(diǎn)在底面上的軌跡為三角形，易知長度的最大值為.
【詳解】對(duì)于A，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為矩形的周長，即為，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋冗叺拿娣e為定值，
要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大，
易知點(diǎn)是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，
所以，此時(shí)三棱錐即為棱長是的正四面體，
其高為，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，
當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，
又，
弧長度，故點(diǎn)的軌跡長度為，故正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)分別為，
連接，如圖2所示，
因?yàn)槠矫嫫矫妫势矫妫?br/>，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面與平面是同一個(gè)平面.
則點(diǎn)的軌跡為線段：
在三角形中，
則，
故三角形是以為直角的直角三角形；
故，故長度的最大值為，故正確.
故選：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題經(jīng)常利用不動(dòng)點(diǎn)的位置和動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系，利用線面、面面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)而計(jì)算出其軌跡長度.
6．AC
【分析】
根據(jù)線面的垂直可判斷線線垂直，判斷A；根據(jù)棱錐的體積公式可判斷B；根據(jù)條件，確定軌跡的形狀，結(jié)合圓的周長求得軌跡長度或范圍，即可判斷C，D.
【詳解】對(duì)于A，依題意，可知，
設(shè)F為的中點(diǎn)，連接，則，
而平面，故平面，
平面，故，A正確；
對(duì)于B，將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，
則，解得，
由于，即異面直線和的距離為，且平面，，
所以四面體的體積為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由以上分析可知，四面體的外接球半徑為，
由，知點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，
則，解得，
所以的軌跡長度為，C正確；
對(duì)于D，由題意可得,
故的外接圓半徑為，
所以球心到所在平面的距離為，
設(shè)三棱錐的高為h，
由三棱錐的體積為時(shí)，可得，
故，
又由，故E點(diǎn)軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個(gè)截面圓，
其中一個(gè)圓為外接球的大圓，
所以點(diǎn)的軌跡長度大于，D錯(cuò)誤，
故選：AC.
【點(diǎn)睛】
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了四面體中的線面以及線線的位置關(guān)系，以及體積和空間幾何體中的軌跡問題，難點(diǎn)在于要發(fā)揮空間想象，明確空間幾何體中的線線位置關(guān)系，特別是選項(xiàng)D中要明確E點(diǎn)軌跡，從而確定軌跡長度或其范圍.
7．ACD
【分析】
根據(jù)幾何體的特征，化空間為平面，逐個(gè)推理，計(jì)算分析.
【詳解】
因?yàn)闉檎叫危B接與，相交于點(diǎn)，連接，則，，兩兩垂直，
故以為正交基地，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，為的中點(diǎn)，則.
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)， ，，，
設(shè)異面直線與所成角為，，，故，A正確；
設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則∥，平面，平面，
則∥平面， 又∥平面，又，設(shè)，
故平面∥平面，平面平面，
平面平面，則∥，則為的中點(diǎn)，
點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則，
點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，長度為4，B不正確；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，
，得，即，
即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段弧（如下圖），
到的距離為，弧上的點(diǎn)到的距離最小值為，
因?yàn)椋源嬖邳c(diǎn)到的距離為，C正確；

由于圖形的對(duì)稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，
設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn), ，，

根據(jù)相似，得，即，，
則圓柱體積，
設(shè)，求導(dǎo)得，
令得，或，因?yàn)椋陨崛ィ矗?br/>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即時(shí)有極大值也是最大值，有最大值，
，故
所以存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：異面直線所成的角；線面平行性質(zhì)；空間點(diǎn)的軌跡，圓柱的體積計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最值.
8．BCD
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出點(diǎn)到直線距離判斷B；利用拋物線定義判斷C；作出點(diǎn)P的軌跡并求出長度判斷D.
【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
對(duì)于A，，設(shè)，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
由，解得，與矛盾，即與不共線，因此不垂直于平面，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，點(diǎn)，，
則點(diǎn)P到直線BF的距離
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)P到直線BF的最近距離為，B正確；
對(duì)于C，由平面知，點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，
因此點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線AD的距離，由拋物線的定義知點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

由分別是棱的中點(diǎn)，得，平面，平面，則平面，
由且，得為平行四邊形，則，
又平面，平面，于是平面，而，平面，
因此平面平面，由與平面無公共點(diǎn)，平面，得平面，
又點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，平面平面，
則是點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡，，
所以點(diǎn)的軌跡長度為，D正確.
故選：BCD
9．ABC
【分析】
由線線垂直證明線面垂直判斷選項(xiàng)A；由球面與截面的交線軌跡，計(jì)算長度判斷選項(xiàng)B；由位置關(guān)系得截面形狀，計(jì)算面積判斷選項(xiàng)C；由點(diǎn)位置特征分析軌跡形狀判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
正方體中，平面，平面，，
正方形中，，
平面，，則平面，
平面，，
同理，，
平面，， 平面，
若點(diǎn)P不與B重合，因?yàn)槠矫妫瑒t，與矛盾，
故當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)P與B重合，故A正確；

，，三棱錐為正三棱錐，
故頂點(diǎn)D在底面的射影為的中心H，
連接DH，由，得，
所以，因?yàn)榍虻陌霃綖椋越孛鎴A的半徑，
所以球面與截面的交線是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，
如圖所示，，所以.
，所以，同理，其余兩弦所對(duì)圓心角也等于，
所以球面與截面的交線的長度為，故B正確；

對(duì)于C，過E，P的直線分別交DA、DC的延長線于點(diǎn)G，M，連接、，
分別交側(cè)棱于點(diǎn)N，交側(cè)棱于點(diǎn)H，連接EH和NP，如圖所示：

則截面為五邊形，
，，
，，，
，故，
所以，，
所以五邊形的面積，故C正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，點(diǎn)P到直線的距離即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，
因?yàn)槠矫嫫矫妫庶c(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到的距離，
由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到的距離，
故點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面內(nèi)的部分，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：
“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
作幾何體截面的方法：(1)利用平行直線找截面；(2)利用相交直線找截面.
找交線的方法：(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn)；(2)面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線.
10．AC
【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，列出方程，可判定A正確；由點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，利用，可判定B錯(cuò)誤；由，求得，得到點(diǎn)的軌跡為矩形內(nèi)的線段，可判定C正確；求得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，列出方程，結(jié)合二次函數(shù)，可判定D不正確.
【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，
設(shè)（其中），
對(duì)于A中，若，則，
又由，所以，
即，此時(shí)方程無解，
所以不存在點(diǎn)，使得，所以A正確；
對(duì)于B中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由，可得，
整理得，即點(diǎn)的軌跡為矩形內(nèi)的線段，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即滿足的點(diǎn)的軌跡長度為，所以C正確；
對(duì)于D中，由，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，可得，所以，
因?yàn)槠矫妫裕矗?br/>又由點(diǎn)，所以，
當(dāng)時(shí)，可得的最小值為，所以D不正確.
故選：AC.
答案第1頁，共2頁
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