資源簡介

第七章 復數（知識歸納+題型突破）
1.了解數系的擴充過程；
2.理解復數的概念、表示法；
3.掌握復數的分類及復數相等的充要條件.
4.理解可以用復平面內的點和向量來表示復數及它們之間的一一對應關系；
5.掌握實軸、虛軸、模等概念以及用向量的模來表示復數的模的方法.
6.通過對復數的幾何意義的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養.
7.掌握復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義.
8.掌握復數代數形式的乘法和除法運算，培養數學運算的核心素養；
9.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律，提升數學運算的核心素養.
知識點1：復數的概念
（1）復數的概念
我們把形如的數叫做復數，其中叫做虛數單位，滿足.全體復數所構成的集合叫做復數集.
復數的表示:復數通常用字母表示，即，其中的與分別叫做復數的實部與虛部.
（2）復數相等
在復數集中任取兩個數，，（），我們規定.
知識點2：復數的分類
對于復數（），當且僅當時，它是實數；當且僅當時，它是實數0；當時，它叫做虛數；當且時，它叫做純虛數.這樣，復數（）可以分類如下:
知識點3：復數的幾何意義
（1）復數的幾何意義——與點對應
復數的幾何意義1：復數復平面內的點
（2）復數的幾何意義——與向量對應
復數的幾何意義2：復數 平面向量
知識點4：復數的模
向量的模叫做復數）的模，記為或公式：，其中
復數模的幾何意義：復數在復平面上對應的點到原點的距離；
特別的，時，復數是一個實數，它的模就等于（的絕對值）.
知識點5：共軛復數
（1）定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
（2）表示方法
表示方法：復數的共軛復數用表示，即如果，則.
知識點6：復數代數形式的加法運算及其幾何意義
（1）復數的加法法則
設，，（）是任意兩個復數，那么它們的和：顯然：兩個復數的和仍然是一個確定的復數
（2）復數加法的幾何意義
如圖，設在復平面內復數，對應的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：
，即對角線表示的向量就是與復數對應的向量.所以：復數的加法可以按照向量的加法來進行.
知識點7：復數代數形式的減法運算及其幾何意義
（1）復數的減法法則
類比實數集中減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數叫做復數減去復數的差，記作
注意：①兩個復數的差是一個確定的復數；
②兩個復數相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.
（2）復數減法的幾何意義
復數 向量
知識點8：（）的幾何意義
在復平面內，設復數，（）對應的點分別是，，則.又復數.則，故，即表示復數在復平面內對應的點之間的距離.
知識點9：復數代數形式的乘、除法運算
（1）復數的乘法法則
我們規定，復數乘法法則如下： 設，是任意兩個復數，那么它們的乘積為 ，即
（2）復數的除法法則
（）
由此可見，兩個復數相除（除數不為0），所得的商是一個確定的復數.
知識點10：共軛復數的性質
設，（）
①；②為實數；③且為純虛數
④；⑤，，
題型一：復數的有關概念
例題1．（2024·吉林白山·統考一模）
1．復數，則的虛部為（ ）
A． B． C．2 D．
例題2．（2024·全國·高一假期作業）
2．復數，則（ ）
A．的實部為 B．的虛部為
C．的實部為 D．的虛部為
例題3．（2023下·上海奉賢·高一校考期末）
3．“”是“復數是純虛數”的（ ）條件.
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要
鞏固訓練
（2024上·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）
4．已知，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·高一假期作業）
5．下列關于復數的說法一定正確的是（ ）
A．是虛數 B．存在x使得是純虛數
C．不是實數 D．實部和虛部均為1
（2023上·廣東湛江·高二校考階段練習）
6．已知復數，則的實部是（ ）
A．2 B．0 C． D．
題型二：復數的相等
例題1．（2024·全國·高一假期作業）
7．已知是虛數單位，，則（ ）
A． B． C．2 D．
例題2．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）
8．設，則復數的模為（ ）
A． B． C．1 D．
例題3．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）
9．已知復數，，則 ．
鞏固訓練
（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）
10．已知，則（ ）
A．1 B． C．3 D．
（2023上·四川成都·高三校考階段練習）
11．設，其中是實數，則（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024·全國·高一假期作業）
12．設復數滿足，則 .
題型三：復數比較大小
例題1．（2024·全國·高一假期作業）
13．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
例題2．（2022·高一課時練習）
14．復數z1=-2mi，z2=-m+m2i，若z1+z2>0，則實數m= ，對應的點位于第 象限.
鞏固訓練
（2024·全國·高一假期作業）
15．設為復數，若，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2022·高一課時練習）
16．已知復數z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|題型四：復數分類
例題1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）
17．已知復數滿足，，若為純虛數，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
例題2．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）
18．設復數，，當a為 時，z為純虛數.
例題3．（2023下·新疆省直轄縣級單位·高一校考期末）
19．實數取什么數值時，復數分別是：
(1)實數？
(2)純虛數？
鞏固訓練
（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習）
20．若，則“”是復數“為純虛數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）
21．已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
（2023上·青海玉樹·高三校考階段練習）
22．已知復數．當實數取什么值時，復數是：
(1)虛數；
(2)純虛數；
題型五：復數的模
例題1．（2024上·重慶長壽·高三統考期末）
23．設復數，則復數的共軛復數的模為（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
例題2．（2023上·北京·高三中關村中學校考階段練習）
24．在復平面內，復數z對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考階段練習）
25． .
鞏固訓練
（2023·廣東·校聯考二模）
26．（ ）
A． B． C．3 D．
（2023上·上海松江·高三統考期末）
27．已知復數（其中是虛數單位），則
（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考階段練習）
28．已知，則 .
題型六：復數模的最值問題
例題1．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯考階段練習）
29．已知復數滿足，當的虛部取最小值時，（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023下·陜西咸陽·高二校考期中）
30．已知，，則的取值范圍為 .
例題3．（2023下·內蒙古呼和浩特·高一內蒙古師大附中校考期末）
31．對于給定的復數，若滿足的復數對應的點的軌跡是圓，則的取值范圍是 .
鞏固訓練
（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）
32．已知復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C． D．
（2023下·廣東廣州·高一校考期中）
33．已知，且，i為虛數單位，則的最小值是 .
（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中學校考期末）
34．已知復數滿足條件，則的最大值為 .
題型七：復數的四則運算
例題1．（2024·陜西寶雞·統考一模）
35．已知復數，為z的共軛復數，則在復平面表示的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例題2．（2024·全國·高三專題練習）
36．已知復數的共軛復數為，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
例題3．（2024·全國·高三專題練習）
37．若復數，則（　 ）
A． B． C．4 D．5
鞏固訓練
（2024·全國·模擬預測）
38．若，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·高三專題練習）
39．若復數，，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·高一假期作業）
40．實數滿足，則 ．
題型八：共軛復數
例題1．（2024上·全國·高三階段練習）
41．復數滿足（為虛數單位），則的共軛復數的虛部是（ ）
A． B．1 C．i D．
例題2．（2024上·云南·高二統考期末）
42．復數（為虛數單位），則復數的共軛復數為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2024上·遼寧丹東·高三統考期末）
43．復數，則（ ）
A． B．
C． D．
鞏固訓練
（2024·全國·模擬預測）
44．已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南周口·高三統考階段練習）
45．已知復數滿足，則的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
（2024·陜西榆林·統考一模）
46．設，則（ ）
A． B．
C． D．
題型九：待定系數法求復數
例題1．（2024上·重慶·高三統考期末）
47．已知復數，若，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·全國·高三專題練習）
48．若復數滿足，則（為虛數單位）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024·全國·高三專題練習）
49．已知為虛數單位，且，則的最大值是 ．
鞏固訓練
（2024上·吉林白城·高三校考階段練習）
50．若復數滿足為純虛數，則（ ）
A．-3 B． C． D．3
（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）
51．若復數滿足，其中為虛數單位，則（ ）
A．2 B． C． D．3
（2024·全國·高三專題練習）
52．若復數滿足，則 ．
題型十：一元二次方程的復數根
例題1．（2023下·湖南·高二臨澧縣第一中學校聯考期中）
53．若復數為方程（m，）的一個根，則該方程的另一個根是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023·高一單元測試）
54．定義：若，則稱復數是復數的平方根.根據定義，復數的平方根為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例題3．（2023·上海·高三專題練習）
55．已知，為實數，是關于的方程的一個根，其中是虛數單位，則 ．
鞏固訓練
（2023·河南·統考模擬預測）
56．已知，為實數，（i為虛數單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
（2023上·全國·高三校聯考開學考試）
57．若關于的方程有兩個不等復數根和，其中（i是虛數單位），則下面四個選項正確的有（ ）
A． B． C． D．
（2023下·全國·高一專題練習）
58．若實系數方程的一個根是，則 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
根據虛數單位的乘方運算規律將復數化簡，即得其虛部.
【詳解】
由可得：，故的虛部為.
故選:D．
2．B
【分析】
根據復數的概念求解.
【詳解】
因為，所以，所以與的實部均為1，A，C錯誤；
的虛部為，B正確，D錯誤.
故選：B.
3．A
【分析】
根據純虛數的定義，可得答案.
【詳解】因為復數是純虛數且，所以“”是“復數是純虛數”的必要不充分條件.
故選：A
4．A
【分析】
化簡，利用共軛復數的定義即可求解.
【詳解】
，
則，所以的虛部是.
故選：A
5．B
【詳解】由復數，
當時，為實數，故A、C不正確；
當時，，故B正確；
由于的取值未知，故D錯誤；
故選：B
6．B
【分析】
根據復數實部的定義即可得出答案．
【詳解】由復數，得的實部是0，
故選：B．
7．D
【分析】
根據題意，利用復數相等列出方程組，求得的值，結合復數模的計算公式，即可求解.
【詳解】
由，可得，解得，則.
故選：D.
8．D
【分析】可設，根據復數相等的概念列方程求出復數，再求它的模.
【詳解】設，則，所以，.
由，所以.
故選：D
9．
【分析】
由復數的概念及乘法運算計算即可.
【詳解】由，，
得，∴，即，．
∴．
故答案為：
10．C
【分析】
根據復數的加減運算以及復數的相等，即可得答案.
【詳解】
因為，
所以，即，
故選：C.
11．B
【分析】
根據復數相等求得，進而求得
【詳解】依題意，所以，
所以.
故選：B
12．5
【分析】
設，根據復數的共軛復數、復數相等列方程組解得，再根據模長公式求解即可得答案.
【詳解】設，則，于是，
解得，則.
故答案為：.
13．C
【分析】
根據兩個實數才能比較大小進行求解即可.
【詳解】
因為，
所以，解得或．
故選：C
14． 2 三
【分析】根據可得為實數，從而可求的值和，再根據的實部和虛部的符號可確定其對應點的象限.
【詳解】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.，
∵z1+z2>0，∴z1+z2為實數且大于0.
∴解得m=2.
∴z2=-2+4i，=-2-4i，
對應點為(-2，-4)，位于第三象限.
故答案為：2，三.
15．D
【分析】
結合復數的概念結合條件可得a，b范圍，進而即可判斷復數位于第幾象限.
【詳解】設z，則，
∴，，∴，，
∴，，即z位于第四象限，
故選：D.
16．
【分析】根據|z1|【詳解】因為|z1|故b的取值范圍是(－1， 1).
故答案為：.
17．A
【分析】
應用復數除法運算及復數分類即可求解.
【詳解】由，得，
因為純虛數，則，解得.
故選：A
18．4
【分析】根據純虛數的概念，列出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，解得.
故答案為：4.
19．(1)或
(2)
【分析】
（1）令虛部等于，即可求出值；
（2）令實部為，虛部不為，即可求出值.
【詳解】（1）由已知得,
其中復數的實部為，虛部為，
當時，即或時復數為實數.
（2）當，即，
即時，復數為純虛數.
20．C
【分析】
由復數為純虛數求出參數的值，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】
由“”為純虛數，得，解得，
故“”是復數“為純虛數”的充要條件.
故選：C.
21．D
【分析】
根據實部為零，虛部不為零列式計算.
【詳解】
由題意可得：且，則.
故選：D.
22．(1)實數取任意值
(2)
【分析】
（1）根據虛部不為零列式求解；
（2）根據實部為零，虛部不為零列式求解.
【詳解】（1）
整理得
當復數是虛數時，，此時，
即實數取任意值，復數都是虛數；
（2）當復數是純虛數時，，得，
即實數時，復數是純虛數.
23．C
【分析】
共軛復數的定義求出，再由復數的模長公式求解即可.
【詳解】復數，則，
所以.
故選：C.
24．B
【分析】
根據復數的幾何意義、共軛復數的概念以及模長公式運算求解.
【詳解】由題意可知：，則，
所以.
故選：B.
25．
【分析】
根據復數的運算法則和復數的模長公式求解即可.
【詳解】因為，
所以，
故答案為：
26．B
【分析】先對復數化簡，再計算模.
【詳解】
.
故選：B.
27．
【分析】
根據共軛復數、復數的模等知識求得正確答案.
【詳解】依題意，所以.
故答案為：
28．
【分析】
根據復數的運算法則及幾何意義計算求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故答案為：.
29．A
【分析】
設，利用復數的模長公式可得出，求出的取值范圍，可得出的最小值，進而可得出的值，由此可得出復數的值.
【詳解】設，則，
所以，，即，
所以，，可得，解得，
當的虛部取最小值時，即當時，則，解得，
故，
故選：A.
30．
【分析】
根據已知條件，結合復數模的性質，即可求解.
【詳解】∵，
∴，
即的取值范圍為.
故答案為：.
31．
【分析】
根據復數的幾何意義即可求解.
【詳解】設，因為，
所以，即，
所以，
所以復數對應的點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；
則表示到的距離，
即圖中的，其中，在圓上移動，由圖可知，

，即，
故答案為：
32．A
【分析】
設復數在復平面內對應的點為，由復數的幾何意義可知點的軌跡為，則問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，從而即可求解．
【詳解】
設復數在復平面內對應的點為，
因為復數滿足，
所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，
所以在復平面內點的軌跡為，
又表示點到點的距離，
所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，
當為時，到定點的距離最小，最小值為1，
所以的最小值為1，
故選：A．
33．
【分析】
將問題化為坐標系中點到定點的距離恒為1，求定點與動點的最小距離.
【詳解】令，則，
所以，等價于坐標系中點到定點的距離恒為1，
即動點在以為圓心，半徑為1的圓上，如下圖：

又表示動點到定點的距離，而與的距離為，
所以，
在之間且共線，左側等號成立；在之間且共線，右側等號成立；
所以的最小值是.
故答案為：
34．
【分析】利用向量模的幾何意義求得數的最大值.
【詳解】因為，所以的軌跡是圓心在原點，半徑為的圓，
，表示對應點與點之間的距離，
所以距離的最大值為.
故答案為：
35．D
【分析】
首先利用除法運算化簡復數，并求和，再根據復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】，
，，
所以，對應的點為，在第四象限.
故選：D
36．D
【分析】
先根據復數的乘法運算和加減法運算化簡，再根據復數相等的定義即可得解.
【詳解】由題意，
則，即，
化簡得，
所以，解得，
所以.
故選：D.
37．D
【分析】
先化簡，再由復數的加法運算求出，由復數的模長公式求解即可.
【詳解】因為，所以
所以，
所以.
故選：D.
38．B
【分析】
由復數的乘法和除法運算化簡復數，再由共軛復數的定義即可得出答案.
【詳解】因為，所以．
故選：B．
39．A
【分析】利用復數的運算法則、復數的相等運算即可得解.
【詳解】解：由題意，∵，
∴，解得：.
故選：A.
40．1
【分析】根據復數的除法運算化簡，結合復數相等，求得答案.
【詳解】由得：，
即 ，故，
故答案為：1
41．B
【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出，即可得到其虛部．
【詳解】解：由可得：，
得，
，
則的共軛復數的虛部為，
故選：B．
42．D
【分析】
先求出復數，再求即可.
【詳解】，
則.
故選：D.
43．A
【分析】
由共軛復數的概念以及復數的四則運算即可求解.
【詳解】由題意有.
故選：A.
44．A
【分析】
根據復數的四則運算以及模的定義求解即可．
【詳解】
由題，，
故選：A．
45．D
【分析】
借助復數的基本概念和運算即可得.
【詳解】
，故.
故選：D.
46．B
【分析】
根據復數的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】
由復數，所以.
故選：B.
47．A
【分析】
利用復數共軛復數的定義與復數相等的性質即可得解.
【詳解】因為，，
所以，則且，
所以.
故選：A.
48．B
【分析】
首先設復數，(且不同時為0)，根據條件化簡求得的關系式，再根據復數模的幾何意義求最值.
【詳解】設，(且不同時為0)，
由題意可知，得或，
當時，的軌跡是軸（除原點外），
此時的幾何意義表示復數對應的點和的距離，此時，
當時，復數所對應點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
如圖，根據復數模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點到的距離，
如圖可知，的最小值是點與的距離.
故選：B
49．##
【分析】
利用復數模長的幾何意義可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，根據幾何意義為點到坐標原點的距離，結合圓的知識即可得解.
【詳解】依題意，設，
由，得，則，
其幾何意義為：對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
因為的幾何意義為點到坐標原點的距離，
所以.
故答案為：.
50．A
【分析】將代入條件化簡，然后根據其為純虛數，可求出結果.
【詳解】是純虛數，所以，
所以.
故選：.
51．C
【分析】
設出對應復數，列方程解參數即可.
【詳解】設，則，
解得，，故，則
故選：C
52．
【分析】
設，，依題意可得，根據復數代數形式的乘法運算及復數相等的充要條件得到方程，即可求出、的值，從而求出其模.
【詳解】設，，由，所以，
即，所以，
所以，所以，則.
故答案為：
53．B
【分析】
根據實系數方程的虛根成共軛復數求解即可.
【詳解】根據實系數方程的虛根成共軛復數可知，另一個復數根為.
故選：B．
54．C
【分析】
設復數的平方根為，然后平方后根據復數相等即可得出結論.
【詳解】
設復數的平方根為，則，
化簡，所以，，解得
，或，，即復數的平方根為或，
故選：C
55．0
【分析】直接利用實系數一元二次方程的虛根成對原理及根與系數關系求解.
【詳解】是關于的方程的一個根，
是關于的方程的另一個根，
則，即，
，
.
故答案為：0
56．D
【分析】
由是關于的方程的一個根，則是關于的方程的一個根，結合根與系數的關系求解即可.
【詳解】
由是關于的方程的一個根，
則是關于的方程的一個根，
則，，
即，，則，
故選：D.
57．ACD
【分析】
根據韋達定理可得，，即可結合選項逐一求解.
【詳解】
由題可知，，所以，，故A正確；，均為虛數，不能比較大小，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.
故選：ACD
58．1
【分析】根據虛根成對定理以及韋達定理可得結果.
【詳解】解：因為關于的實系數方程的一個根是，所以另一個根為，
根據韋達定理可得，所以.
又，所以，所以
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
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