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第六章 平面向量及其應(yīng)用 單元復(fù)習(xí)提升
拓展3 三角形中周長(zhǎng)（邊）的最值，范圍問題
典例1
（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）
1．在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
典例2
（2024上·河南新鄉(xiāng)·高三新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
2．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
典例3
（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習(xí)）
3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
(1)求角A的大小；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，，，求的最小值．
跟蹤訓(xùn)練1
（2023下·河北石家莊·高一河北趙縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
4．在銳角中，角，，所對(duì)的邊為，，，已知.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
跟蹤訓(xùn)練2
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
5．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長(zhǎng)的取值范圍為 ．
跟蹤訓(xùn)練3
（2023上·廣西玉林·高三博白縣中學(xué)校考階段練習(xí)）
6．在中，角所對(duì)的邊分別為，.
(1)求角；
(2)若，求的范圍.
拓展4 三角形、四邊形面積最值，范圍問題
典例1
（2023下·江蘇淮安·高一馬壩高中校考期中）
7．已知的三個(gè)角，，所對(duì)的邊為，，，若，為邊上一點(diǎn)，且，，則面積的最小值為 ．
典例2
（2023上·全國(guó)·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
8．已知中，在線段上，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求面積的最大值．
典例3
（2023下·北京房山·高一統(tǒng)考期末）
9．某城市計(jì)劃新修一座城市運(yùn)動(dòng)主題公園，該主題公園為平面五邊形（如圖所示），其中三角形區(qū)域?yàn)閮和顒?dòng)場(chǎng)所，三角形區(qū)域?yàn)槲乃嚮顒?dòng)場(chǎng)所，三角形區(qū)域?yàn)榍蝾惢顒?dòng)場(chǎng)所，為運(yùn)動(dòng)小道（不考慮寬度），，，.

(1)求的長(zhǎng)度；
(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的長(zhǎng)度；
(3)在（2）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使兒童活動(dòng)場(chǎng)所（即三角形）的面積最大？
條件①：；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
典例4
（2023下·北京·高一101中學(xué)校考期中）
10．在中，角的對(duì)邊分別為，.
(1)求角的大小；
(2)若，為外一點(diǎn)，如圖，，求四邊形面積的最大值.
跟蹤訓(xùn)練1
（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面積的最大值．
跟蹤訓(xùn)練2
（2023下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）
12．由于某地連晴高溫，森林防滅火形勢(shì)嚴(yán)峻，某部門安排了甲、乙兩名森林防火護(hù)林員對(duì)該區(qū)域開展巡查．現(xiàn)甲、乙兩名森林防火護(hù)林員同時(shí)從A地出發(fā)，乙沿著正西方向巡視走了3km后到達(dá)D點(diǎn)，甲向正南方向巡視若干公里后到達(dá)B點(diǎn)，又沿著南偏西60°的方向巡視走到了C點(diǎn)，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)．設(shè)，如圖所示．

(1)設(shè)甲護(hù)林員巡視走過的路程為，請(qǐng)用表示S，并求S的最大值；
(2)為了強(qiáng)化應(yīng)急應(yīng)戰(zhàn)準(zhǔn)備工作，有關(guān)部門決定在區(qū)域范圍內(nèi)儲(chǔ)備應(yīng)急物資，求區(qū)域面積的最大值．
跟蹤訓(xùn)練3
（2023下·江蘇南京·高一校考期中）
13．如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于180°的四邊形），，，．
(1)若，，求；
(2)已知，求四邊形的面積為S的最大值．
跟蹤訓(xùn)練4
（2023下·江蘇連云港·高一校聯(lián)考期中）
14．如圖，已知半圓的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)與圓心分別在的兩側(cè)，記.
(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形面積；
(2)求當(dāng)取何值時(shí)，四邊形的面積？并求出這個(gè)最大值.
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
15．給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
（2023下·北京·高一東直門中學(xué)校考期中）
16．下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
17．窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進(jìn)入室內(nèi).如圖1，這是一個(gè)外框?yàn)檎诉呅危虚g是一個(gè)正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上 下邊與正八邊形的上 下邊平行，邊長(zhǎng)都是4.如圖2，是中間正方形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，是外框正八邊形上的一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
18．已知向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023上·河南洛陽·高三洛陽市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
19．已知在中，，，，動(dòng)點(diǎn)M位于線段BC上，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）
20．已知為的重心，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）
21．已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）
22．已知平面單位向量滿足，若，則的最小值是（ ）.
A． B． C． D．
（2023下·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）
23．已知單位向量，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2021下·廣東佛山·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）
24．在一個(gè)圓心角為，半徑為1米的扇形鐵板中按如圖方式截出一塊矩形，則該矩形的面積的最大值為 平方米.

（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
25．已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為 ．
（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）
26．已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是 .
（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）
27．在中內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b、c，，，則面積的最大值為 ．
（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）
28．如圖，直線，，，為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別為直線、上的點(diǎn)，且，設(shè).
(1)當(dāng)，求的面積；
(2)用表示的面積，并求的最小值.
（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）
29．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下面的問題．①，②，③．
(1)求角的大小；
(2)若外接圓的面積為，求的最大值．
（2023·山東日照·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
30．如圖，在凸四邊形中，.
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若該四邊形有外接圓，求的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得，進(jìn)而求得，再把化為，結(jié)合即可求解.
【詳解】 ，,
即 ，
，，
，，
，
.
故選：A.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)形式，得到邊和角之間的等式關(guān)系，根據(jù)正弦定理將角化為邊，解得邊之間關(guān)系，再根據(jù)余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求周長(zhǎng)為：，由，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由題知向量，，且.
所以，由正弦定理可得，
所以，所以，因?yàn)椋裕?br/>（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
所以.
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為.
3．(1)
(2)27
【分析】
（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）根據(jù)求出的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，即，
，
所以，
又，所以；
（2）由，得，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為．
4．(1)；
(2)．
【分析】
（1）由給定的等式，結(jié)合余弦定理求出角作答.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合正弦定理邊化角，再利用三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求解作答．
【詳解】（1）在中，由，得，
由余弦定理得，又，解得，
所以.
（2）在銳角中，由（1）知，，則，解得，
由正弦定理得，，即，，
因此
，而，有，于是，
所以的取值范圍是．
5．
【分析】本題利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將已知轉(zhuǎn)化為角后，利用角的范圍求三角函數(shù)的范圍，從而解出周長(zhǎng)的范圍.
【詳解】由，得，
化簡(jiǎn)為，因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，即，因?yàn)闉殇J角，所以．
由正弦定理，得，
，
故的周長(zhǎng)為
.
因?yàn)榍覟殇J角三角形，
所以，，
因?yàn)椋淼茫?br/>解得，
所以，故，
所以，
即周長(zhǎng)的取值范圍為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題得關(guān)鍵時(shí)在利用正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角之后，根據(jù)已知條件推導(dǎo)出角范圍，繼而得出三角函數(shù)的取值范圍.
6．(1)
(2)
【分析】
（1）由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，即可求得的值，從而求出角.
（2）由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，可求出，根據(jù)角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，即，
則，
所以，
即，因?yàn)椋裕?br/>可得，因?yàn)椋?
（2）因?yàn)椋瑒t，所以，，
由正弦定理可得， ，
所以
，
因?yàn)椋裕瑒t，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最大值是，
所以的范圍為.
7．
【分析】
設(shè)，則，利用面積關(guān)系可以得到，從而求得；再利用面積關(guān)系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范圍，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得.
【詳解】
設(shè)，則，
∵，，
∴，
即，化簡(jiǎn)得，即，
又，解得或（舍去），
所以，
又，
所以，
即，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即面積的最小值為.
故答案為：
8．(1)
(2)
【分析】
（1）先利用正弦定理求得，再利用余弦定理即可得解.
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式與三角形面積公式求得的最大值，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）
因?yàn)樵诰€段上，，
所以，又，，
在中，，即，
則，又，所以，則，
在中，
，
所以．
（2）
在中，，
所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以，即的最大值為．
因?yàn)椋裕?br/>故的最大值為．
9．(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，兒童活動(dòng)場(chǎng)所（即三角形）的面積最大
【分析】
（1）在中，利用余弦定理可直接求解；
（2）若選①，在中，利用余弦定理構(gòu)造方程求解；若選②，利用勾股定理直接求解；
（3）在中，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，.
（2）若選條件①，由（1）知：，
在中，由余弦定理得：，
解得：（舍）或，；
若選條件②，，，，
，.
（3）在中，由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
；
即當(dāng)時(shí)，兒童活動(dòng)場(chǎng)所（即三角形）的面積最大.
10．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進(jìn)而可得最值.
【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫?br/>，即，
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋?
（2）在中，，，
所以，
又，則為等邊三角形，，
又，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值，最大值為.
11．(1)
(2)
【分析】
（1）方法一：利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角為邊，即可得解；
（2）利用余弦定理結(jié)合已知及基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
【詳解】（1）方法一：由，
根據(jù)正弦定理邊化角得：，
即，所以，
因?yàn)椋裕郑裕?br/>又，所以；
方法二：由，
根據(jù)余弦定理：得，
即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的面積，
所以面積的最大值為.
12．(1)；最大值為
(2)
【分析】
（1）結(jié)合題意，利用三角形內(nèi)角和定理和正弦定理求出路程的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換和正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)題意，求出面積的表達(dá)式，令，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）
由題意知：．
在中，由正弦定理：，即：，
在中，∵，∴．
由正弦定理：，
，，
∴且，
又，
∵，∴，
∴S的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．
（2）
由（1）知：，．
∴
，
∴，
不妨設(shè)，又∵，∴，，
∴而S在上單調(diào)遞增，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).
13．(1)
(2)
【分析】
（1）在中，由余弦定理得出，在中由余弦定理得出；
（2）在和中，由余弦定理得出，進(jìn)而由三角形面積公式以及余弦函數(shù)的性質(zhì)得出S的最大值．
【詳解】（1）連接，在中，由余弦定理，得
，所以，
由余弦定理，得，
即，所以；
（2）在和中，，
，
所以，
又，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，S取最大值為.
14．(1)
(2)，最大值為
【分析】
（1）先根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；
（2）先根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）
在中，由余弦定理得
，
四邊形的面積為
；
（2）在中，
由余弦定理得，
所以四邊形的面積為
，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)，即時(shí)，，
所以四邊形面積的最大值為.
15．A
【分析】
根據(jù)向量的概念及零向量，平行向量的概念進(jìn)行判斷.
【詳解】
對(duì)于①，前一個(gè)零是實(shí)數(shù)，后一個(gè)應(yīng)是零向量，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，兩個(gè)向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若，則，④正確.
故選：A.
16．D
【分析】
根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际牵较虿灰欢ㄏ嗤蕟挝幌蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C：平行向量一定是共線向量，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；
故選：D．
17．A
【分析】
利用平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合線段長(zhǎng)即可得解.
【詳解】記正八邊形右下角的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接，
由題意易得是等腰直角三角形，，則，
不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，
過作，垂足為，則，又，
所以，
顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，
所以的最大值為.
故選：A.
18．D
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕矗?br/>整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以當(dāng)與反向時(shí)，取得最大值，且最大值為.
故選：D.
19．C
【分析】
根據(jù)給定條件，求出，用向量表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.
【詳解】
在中，，即，且，
則
，而，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.
故選：C
20．D
【分析】取的中點(diǎn)為，由重心的性質(zhì)可知，再根據(jù)已知條件可知，又，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

因?yàn)镚為三角形ABC的重心，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
又
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
故選：D.
21．A
【分析】
設(shè)，即可得到，，再根據(jù)夾角公式得到，最后利用換元及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】
設(shè)，則，
，
則，
令，因?yàn)椋裕?br/>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以，
所以向量與夾角的最大值為．
故選：A．
22．C
【分析】
由已知可得，，，令，則，化簡(jiǎn)配方后，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>所以，得，得，
同理可得，，
設(shè)，則
，
因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值是，
故選：C
23．A
【分析】
利用平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計(jì)算即可.
【詳解】
設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)椋裕?br/>則，即恒成立.
所以，解得，
因?yàn)椋裕?br/>故，的夾角的取值范圍是.
故選：A.
24．
【分析】
設(shè)，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理結(jié)合基本不等式即可得所求.
【詳解】設(shè)，則，連接，

于是在中，由余弦定理，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以該矩形面積的最大值為平方米.
故答案為：.
25．
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角形的面積的取值范圍.
【詳解】
由題意及正弦定理，得．
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理，得，
所以，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，
所以，所以，從而．
26．
【分析】
先利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化得：；再結(jié)合三角恒等變形得到；最后利用三角形是銳角三角形和正弦定理邊角轉(zhuǎn)化即可求解.
【詳解】，
由正弦定理得：.
由余弦定理知：，
則.
由正弦定理得：，即.
，
.
則，即.
所以.
是銳角三角形，
，
則.
在上單調(diào)遞增，
，即.
所以.
由正弦定理得：，即.
是銳角三角形
，即，解得.
則，
所以，即的取值范圍是
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形.解題關(guān)鍵在于正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的掌握和靈活運(yùn)用，以及三角恒等變形的熟練運(yùn)用.
27．
【分析】
利用正弦定理的邊角變換求得，進(jìn)而求得，再利用余弦定理與基本不等式求得，從而利用三角形面積公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br/>因?yàn)椋裕裕瑒t，
因?yàn)椋裕?br/>又，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以.
故答案為：.
28．(1)
(2)，；
【分析】
（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合面積公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，，再利用面積公式結(jié)合三角恒等變換整理得，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求最值.
【詳解】（1）由題意可知：，，
當(dāng)，則，
在中，可得，
在中，可得，
所以的面積.
（2）因?yàn)椋瑒t，
在中，可得，
在中，可得，
所以的面積
，
即，，
因?yàn)椋瑒t，
可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1，
即取到最小值，
所以取到最小值.
29．(1)
(2)
【分析】（1）選①，根據(jù)條件、正弦定理以及三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；選②，根據(jù)條件、余弦定理以及三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；選③，根據(jù)條件以及射影定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；
（2）先根據(jù)題意求出外接圓的半徑，再結(jié)合（1）及正弦定理求出，再根據(jù)余弦定理，基本不等式及三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）選①，由，
則根據(jù)正弦定理得，
在中，有，
則，
又，所以，即，
又，所以．
選②，由，
則根據(jù)余弦定理可得，
在中，有，
所以，即，
又，所以．
選③，由，
在中，根據(jù)射影定理可得，
所以，即，
又，所以．
（2）因?yàn)橥饨訄A的面積為，所以外接圓半徑為，
又結(jié)合（1）可知，則根據(jù)正弦定理可得，
則根據(jù)余弦定理可得，
又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積，
所以的最大值為．
30．(1)
(2).
【分析】
（1）利用同角公式及差角的余弦公式，結(jié)合余弦定理求解即得.
（2）根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，再利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.
【詳解】（1）在中，由，得，
則，
在中，由余弦定理得，
所以.
（2）由四邊形有外接圓，得，令此圓直徑為，
由正弦定理得，又，則，
而，因此，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理，得，則，
在中，同理得，
因此，
由，得，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，
所以的最大值是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第六章 平面向量及其應(yīng)用 單元復(fù)習(xí)提升
（易錯(cuò)與拓展）
易錯(cuò)點(diǎn)1 忽略向量平行（共線）同向還是反向
【指點(diǎn)迷津】向量的共線指方向相同，或者方向相反，與三點(diǎn)共線是有區(qū)別的，兩個(gè)向量的共線在位置上可以是在同一條直線上的兩個(gè)向量，也可以是兩條平行線上的兩個(gè)向量；
典例1
1．用有向線段表示兩個(gè)相等的向量，這兩個(gè)有向線段一定重合嗎？
典例2
2．如圖所示，點(diǎn)是正六邊形的中心，則以圖中點(diǎn)、中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量有（ ）

A． B． C． D．
跟蹤訓(xùn)練1
3．下列說法中不正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線
C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等
跟蹤訓(xùn)練2
4．如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A B C D E F O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量有（ ）
A． B． C． D．
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視零向量
【指點(diǎn)迷津】零向量的方向是任意的，零向量與任意向量平行；平行關(guān)系注意別忽視了零向量；
典例1
（2023下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）
5．若與任意都平行，則 .
典例2
（2023下·陜西咸陽·高一校考期中）
6．下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則與方向相同或相反
B．若，，則
C．若，，則
D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等
跟蹤訓(xùn)練1
（2023下·江西鷹潭·高一鷹潭一中校考期中）
7．下列說法錯(cuò)誤的為（ ）
A．共線的兩個(gè)單位向量相等
B．若，，則
C．若，則一定有直線
D．若向量，共線，則點(diǎn)，，，不一定在同一直線上
跟蹤訓(xùn)練
（2023下·貴州遵義·高一遵義二十一中校考階段練習(xí)）
8．下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反
D．若，都是單位向量，則
易錯(cuò)點(diǎn)3 向量夾角忽視了共起點(diǎn)找夾角
【指點(diǎn)迷津】在找向量夾角時(shí)，注意將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)再找夾角，考生容易忽略這個(gè)條件而找成了補(bǔ)交至錯(cuò).
典例1
（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）
9．在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（ ）
A．與的夾角是銳角
B．與的夾角是銳角
C．與的夾角是鈍角
D．與的夾角是銳角
典例2
（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
10．在等邊三角形中，與的夾角為 ；點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與的夾角為 ．
跟蹤訓(xùn)練1
（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）
11．已知三角形中，，則三角形的形狀為_________三角形（ ）
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰直角
跟蹤訓(xùn)練2
（2023·高一單元測(cè)試）
12．在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為 ．
易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律
【指點(diǎn)迷津】注意多個(gè)向量點(diǎn)成時(shí)，注意不滿足結(jié)合律
典例1
（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
13．下列關(guān)于向量，，的運(yùn)算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
典例2
（2023下·福建廈門·高一校考期中）
14．下列說法正確的有（ ）
A． B．若，則與的夾角為鈍角
C． D．若，則
跟蹤訓(xùn)練1
（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
15．已知，是夾角為的單位向量，且，，則（ ）
A．在上的投影向量為 B．
C． D．
跟蹤訓(xùn)練2
（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）
16．下列說法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
易錯(cuò)點(diǎn)5 求向量模時(shí)忽視開根號(hào)
【指點(diǎn)迷津】求向量模時(shí)注意開根號(hào)：；
典例1
（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）
17．已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A． B．4 C．2 D．0
典例2
（2023上·安徽·高三安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
18．已知向量，滿足，，則 ．
跟蹤訓(xùn)練1
（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）
19．已知，為單位向量，且與的夾角為，則＝（ ）
A．49 B．19 C．7 D．
跟蹤訓(xùn)練2
（2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
20．已知向量滿足，則 .
易錯(cuò)點(diǎn)6 解三角形時(shí)忽視了的可能性和恒成立
【指點(diǎn)迷津】在解方程中，忽視了0不可約，而在解三角形問題中，是有可能的，所以方程左右兩邊不能同時(shí)約去，這樣會(huì)造成漏根.
典例1
（2023上·江西九江·高二九江一中校考期中）
21．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面積．
典例2
（2022下·江西撫州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
22．已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．判斷的形狀；
跟蹤訓(xùn)練1
（2022下·遼寧阜新·高一阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）
23．在中，，，.求證：為直角三角形；
跟蹤訓(xùn)練2
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
24．在中，已知，判斷的形狀．
易錯(cuò)點(diǎn)7 誤解為而造成漏解
【指點(diǎn)迷津】在三角形中，解，很多考生直接得到，而忽視了而造成漏解.
典例1
（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）
25．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，試判斷的形狀.
典例2
（2022·上海·高一假期作業(yè)）
26．在中，若試判斷的形狀.
典例3
（2022下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）
27．在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．
在，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 ．判斷的形狀并給出證明；
跟蹤訓(xùn)練1
（2021·高二課時(shí)練習(xí)）
28．在中，已知，用正弦定理判斷這個(gè)三角形的形狀．
跟蹤訓(xùn)練2
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
29．在中，若試判斷的形狀.
跟蹤訓(xùn)練3
（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）
30．已知a、b、c分別是的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．
（1）若面積為，求a，b的值；
（2）若，試判斷的形狀．
易錯(cuò)點(diǎn)8 解三角形周長(zhǎng)，邊長(zhǎng)，忽視了銳角三角形這個(gè)重要條件
【指點(diǎn)迷津】在解銳角三角形中周長(zhǎng)取值范圍問題時(shí)，忽視了銳角這個(gè)條件而錯(cuò)誤的使用兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊，造成范圍放大.
典例1
（2023下·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）
31．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的角平分線交于點(diǎn)D．

(1)若，求的長(zhǎng)度；
(2)若為銳角三角形，且的角平分線交于點(diǎn)E，且與交于點(diǎn)O，求周長(zhǎng)的取值范圍．
典例2
（2022上·河南省直轄縣級(jí)單位·高二校考期末）
32．已知為銳角三角形，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍.
跟蹤訓(xùn)練1
（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
33．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.
跟蹤訓(xùn)練2
（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）
34．已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足.
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍.
拓展1 自主建系法求平面向量數(shù)量積的最值問題
典例1
（2023上·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）
35．平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）
36．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖l是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若，則的值為 ；若正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
典例3
（2022·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校聯(lián)考二模）
37．在梯形中，與相交于點(diǎn)Q．若，則 ；若，N為線段延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
跟蹤訓(xùn)練1
（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）
38．在梯形中，已知，點(diǎn)分別在線段和上，則的最大值為 ．
跟蹤訓(xùn)練2
（2023下·黑龍江·高一龍江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）
39．已知，，，；若P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為 ．
跟蹤訓(xùn)練3
（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）
40．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為 ．
拓展2 自主建系法求平面向量模的最值問題
典例1
（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考期中）
41．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D，E分別是AC、AB上的兩點(diǎn)，且，，BD與CE交于點(diǎn)G，則是（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2021·山東·校考三模）
42．在等腰梯形中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
跟蹤訓(xùn)練1
（2021上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）
43．如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．4
跟蹤訓(xùn)練
（2023下·遼寧鞍山·高一校考期末）
44．在矩形中，，，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)P，使得，，過M點(diǎn)作交于N點(diǎn)，若上存在一動(dòng)點(diǎn)E，上存在一動(dòng)點(diǎn)F，使得，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．不一定重合
【分析】
根據(jù)有向線段表示向量的意義，即可得出結(jié)論．
【詳解】
用有向線段表示兩個(gè)相等的向量，這兩個(gè)有向線段不一定重合；
例如在中，，但有向線段和不重合．
2．AC
【分析】
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和向量共線的定義進(jìn)行分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谡呅沃校危耘c共線，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)樵谡呅沃校c不平行，所以與不共線，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)樵谡呅沃校危耘c共線，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)樵谡呅沃校c不平行，所以與不共線，所以D錯(cuò)誤，
故選：AC
3．B
【分析】
根據(jù)向量的定義、共線向量、相等向量的定義求解.
【詳解】根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確；
方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，B錯(cuò)誤；
單位向量是模為1的向量，C正確；
根據(jù)相等向量的定義：長(zhǎng)度相等方向相同的兩個(gè)向量稱為相等向量，
所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，D正確；
故選:B.
4．ABD
【分析】
根據(jù)共線向量的概念和圖形中的平行關(guān)系可得答案.
【詳解】與向量共線的向量有、、，
故選：ABD
5．
【分析】根據(jù)零向量的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.
【詳解】零向量與任意向量都平行，.
故答案為：.
6．ABD
【分析】
取，可判斷A選項(xiàng)；取，可判斷B選項(xiàng)；利用相等向量的定義可判斷C選項(xiàng)；利用相等向量、相反向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋簦瑒t零向量的方向任意，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，，但、不一定平行，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，則，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，D錯(cuò).
故選：ABD.
7．ABC
【分析】
根據(jù)共線向量、單位向量的相關(guān)概念與性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A：共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：，不一定有，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：直線與可能重合，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若向量，共線，則與可能平行，此時(shí)A，B，C，D四點(diǎn)不共線，故D正確.
故選：ABC.
8．BCD
【分析】
舉反例說明選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用向量的定義及性質(zhì)判斷選項(xiàng)BCD得解.
【詳解】A. 若，滿足，，但是不滿足，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 若，，則，所以該選項(xiàng)正確；
C. 若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反，所以該選項(xiàng)正確；
D. 若，都是單位向量，則，所以該選項(xiàng)正確.
故選：BCD
9．B
【分析】利用向量夾角的定義逐一判斷即可.
【詳解】為銳角三角形，
A，與的夾角是鈍角，A錯(cuò)誤；
B，與的夾角是銳角，B正確；
C，與的夾角是銳角，C錯(cuò)誤；
D，與的夾角是鈍角，D錯(cuò)誤.
故選：B
10． ## ##
【分析】
根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及向量夾角的定義計(jì)算可得.
【詳解】在等邊三角形中，所以與的夾角為，

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以與的夾角為.
故答案為：；
11．C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷為鈍角，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋剩剩?br/>而，故，故三角形為鈍角三角形，
故選：C.
12．
【分析】在等邊三角形ABC中，根據(jù)可得答案.
【詳解】在等邊三角形ABC中，，
所以向量與的夾角.
故答案為：.
13．AC
【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)和定義逐一判斷即可.
【詳解】A：由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可以判斷本選項(xiàng)一定成立；
B：與共線，與共線，而與不一定共線，
所以不一定成立，因此本選項(xiàng)不一定成立；
C：，所以本選項(xiàng)一定成立；
D：當(dāng) 時(shí)，，所以本選項(xiàng)不一定成立，
故選：AC
14．AD
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、C，利用數(shù)量積夾角公式判斷B、D.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)量積的分配律得，正確；
對(duì)于B，當(dāng)兩個(gè)非零向量與方向時(shí)，，此時(shí)與的夾角為平角，
不是鈍角，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，表示與共線的向量，表示與共線的向量，
而不一定共線，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，正確.
故選：AD
15．AB
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)投影向量的定義可運(yùn)算判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)向量模的定義結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算可判斷；C選項(xiàng)，由數(shù)量積運(yùn)算可判斷；D選項(xiàng)，由向量夾角公式可運(yùn)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，B，，，則，，，
，
所以在上的投影向量為，故A，B正確；
對(duì)于C，，，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
16．AD
【分析】
可由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可逐一判定選項(xiàng).
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
17．C
【分析】
平方展開后，利用向量的數(shù)量積定義進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?br/>，
所以，
故選：C.
18．3
【分析】
將已知條件平方，然后消去可解.
【詳解】由題意知，即，
消去可得，
所以．
故答案為：3.
19．C
【分析】
將平方， 根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
故，
故選：C
20．
【分析】
由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，運(yùn)算求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由向量滿足，
可得，解得，
又由，所以.
故答案為：.
21．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
（2）由余弦定理得，所以，
故．
22．直角三角形或等腰三角形
【分析】
先根據(jù)題目條件和正弦定理邊化角得出；再利用及兩角和的正弦公式得出，進(jìn)而可判斷的形狀.
【詳解】為等腰三角形或直角三角形.
證明如下：
由及正弦定理得: ，
即，
即，
整理得:，
所以，
故或，
又因?yàn)锳、B、C為的內(nèi)角，
所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
23．證明見解析
【分析】
據(jù)題目所給兩個(gè)向量的數(shù)量積列方程，利用三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此即可得證.
【詳解】由于，
即，
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
又，所以，
所以為直角三角形.
24．直角三角形或等腰三角形.
【分析】結(jié)合正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋Y(jié)合正弦定理可得,
因此,
即，
故，
從而，
所以或，
即或，
故為直角三角形或等腰三角形.
25．等腰三角形或直角三角形
【解析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦定理，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到或，即可求解.
【詳解】由，根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，
即，即，即，
可得或，所以或，
∴是等腰三角形或直角三角形.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形形狀的判定問題，解答中熟練應(yīng)用三角形的正弦定理，熟記三角形解形狀的判定方法是解答的關(guān)鍵，同時(shí)注意容易忽視滿足的另一種關(guān)系，導(dǎo)致丟解，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.
26．等腰三角形或直角三角形
【分析】解法一：利用正弦定理邊化角，可得，所以，根據(jù)，可得或即可求得答案；解法二：利用正弦定理邊化角，可得，利用余弦定理，可得=，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.
【詳解】解法一：由已知條件及正弦定理可得，
，，
，即，
或，
或，
所以為等腰三角形或直角三角形.
解法二：由已知條件及正弦定理可得，
，，即，
由正弦定理和余弦定理可得=，
整理得，即，
或，或，
為等腰三角形或直角三角形.
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為，可得2A=2B或者，容易丟解，屬基礎(chǔ)題.
27．選①②答案相同，為等腰三角形或直角三角形；證明見解析
【分析】
若選①，利用正弦定理邊化角可得，進(jìn)而得或，從而由的關(guān)系可得的形狀；
若選②，利用正弦定理邊化角可得，進(jìn)而切化弦得，即或，從而由的關(guān)系可得的形狀.
【詳解】為等腰三角形或直角三角形，證明如下：
若選①∵，
∴，
∴，即，
∵且，
∴或，
∴或，故為等腰三角形或直角三角形；
若選②，由及正弦定理得，
故，化簡(jiǎn)得，
∴，即，
∵且，
∴或，
∴或，故為等腰三角形或直角三角形.
28．答案見解析
【分析】根據(jù)正弦定理可得，利用正弦的二倍角公式可得
，進(jìn)而即可判斷三角形的形狀.
【詳解】由題意知，，
由正弦定理，得，
即，
所以或，
得或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
29．等腰三角形或直角三角形
【分析】解法一：利用正弦定理邊化角，可得，所以，根據(jù)，可得或即可求得答案；解法二：利用正弦定理邊化角，可得，利用余弦定理，可得=，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.
【詳解】解法一：由已知條件及正弦定理可得，
，，
，即，
或，
或，
所以為等腰三角形或直角三角形.
解法二：由已知條件及正弦定理可得，
，，即，
由正弦定理和余弦定理可得=，
整理得，即，
或，或，
為等腰三角形或直角三角形.
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為，可得2A=2B或者，容易丟解，屬基礎(chǔ)題.
30．（1），；（2）為等腰三角形或直角三角形.
【分析】（1）直接利用三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步利用余弦定理求出的值．
（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角的正弦公式能判斷三角形的形狀．
【詳解】（1）由已知得，
．
由余弦定理，
．
（2）由正弦定理得，，
，
即，
由已知、為三角形內(nèi)角，
或．
為直角三角形或等腰三角形．
31．(1)
(2)
【分析】
（1）由關(guān)系，結(jié)合面積公式列方程求解；
（2）由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)求，結(jié)合正弦定理利用角表示，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的范圍，由此可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，，
所以，
因?yàn)?br/>所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，則，
又，所以，又，則.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，于是，
則，所以，
所以，從而，
所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等變換得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到其值域，則得到周長(zhǎng)的范圍.
32．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)原式得到，結(jié)合即可得到答案；
（2）根據(jù)正弦定理和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合與三角函數(shù)值域相關(guān)知識(shí)求解答案即可.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，
所以，
所以，
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，
所以，則，
所以的取值范圍為.
33．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合余弦定理可推得.進(jìn)而根據(jù)正弦定理邊化角以及三角恒等變換，化簡(jiǎn)可得.結(jié)合銳角三角形，即可得出證明；
（2）先根據(jù)已知得出.根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，然后根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得出，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的取值范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理邊化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，則.
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，解得.
根據(jù)正弦定理可得，
，.
因?yàn)?br/>，
所以，，
，
所以，.
因?yàn)椋?br/>所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周長(zhǎng)的取值范圍為.
34．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)求值即可；
（2）根據(jù)三角形為銳角求出，利用正弦定理化邊為角，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正切函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）由正弦定理得，
整理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由（1）知，即.
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得.
由正弦定理，得，
則
，
當(dāng)時(shí)，，則，
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是.
35．C
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把的取值范圍轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題，即可求得本題答案.
【詳解】作，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?所以，
在直角中，因?yàn)椋裕?br/>則，設(shè)，
所以，
所以，
因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，且，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，
所以的取值范圍是.
故選：C
36．
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，列出方程組，求得，從而得到；設(shè)，則，由線性規(guī)劃可求得的取值范圍.
【詳解】
，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
正八邊形內(nèi)角和為，則，
所以，,
,
因?yàn)椋瑒t，
所以，解得，
所以；
設(shè)，則，則，
令，即，由線性規(guī)劃知平行移動(dòng)直線，當(dāng)此直線經(jīng)過時(shí)有最小值, 當(dāng)此直線經(jīng)過時(shí)有最大值,
所以， 取值范圍 .
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：在解決向量數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等有關(guān)問題，以及在求有關(guān)最大、最小值問題時(shí)，常常會(huì)碰到某些難以突破的幾何關(guān)系.在題目所給出的幾何條件、幾何關(guān)系或所隱藏的幾何關(guān)系相對(duì)較難尋找的情況下，運(yùn)用數(shù)量積的定義、向量的幾何意義難以完成解題思路時(shí)，可建立直角坐標(biāo)系、運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的意識(shí)、運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、尋找出變量與變量之間的關(guān)系、運(yùn)用函數(shù)與方程求最值的方法、基本不等式等解決問題的方法是一種非常好的思想方法.
37．
【分析】易得四邊形為平行四邊形，設(shè)，再將用表示，根據(jù)共線，求得，再將用表示，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出；根據(jù)求得，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以且，
則可設(shè)，
故，
因?yàn)楣簿€，
所以，解得，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以；
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
又，所以，
因?yàn)椋裕?br/>如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
故，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
38．3
【分析】
先建立平面直角坐標(biāo)系，通過寫出的坐標(biāo)表示，再進(jìn)行運(yùn)算，最后根據(jù)取值范圍得到最大值.
【詳解】
如圖建系，，所以，

設(shè)，則，
令，
則，
所以
當(dāng)時(shí)取到等號(hào).
故答案為：3
39．13
【分析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出的坐標(biāo)，再利用基本不等式計(jì)算的最大值.
【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，
因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為13．
故答案為：13.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
40．
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達(dá)式，配方后即可求得答案.
【詳解】如圖，以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則,設(shè)點(diǎn)，
則,
故
，
故當(dāng)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，
取到最小值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的表達(dá)式即可求解最值.
41．C
【分析】以所在的直線為軸，的垂直平分線所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，從而可求得答案
【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，D，E分別是AC、AB上的兩點(diǎn)，且，，
所以,
則
設(shè)，則，，
因?yàn)榕c共線，所以，
因?yàn)椋?
所以，所以，
所以解得，即，
所以,
所以，
所以，
故選：C

42．C
【分析】如圖，以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，即可求出答案
【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則由題意可得，設(shè)，其，
則，
所以，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
故選：C
43．B
【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，，
所以，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.
故選：B
44．
【分析】
方法一：建立合適的平面坐標(biāo)系，設(shè)，，計(jì)算得，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示，再利用消元法結(jié)合基本不等式即可求出的最值；方法二：利用，則，再根據(jù)即可得到最值.
【詳解】方法一：由題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
由題意可知，E，F(xiàn)分別在線段，上
，設(shè)，，
則，，
所以，
所以，，，
所以
，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)或，，時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為.

方法二：因?yàn)椋?br/>所以，因?yàn)椋?br/>所以，故.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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