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第六章 平面向量及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）
1．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．
2．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．
3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．
5．靈活應(yīng)用正余弦定理解三角形，會(huì)運(yùn)用正（余）弦定理，解決三角形中的邊，角問題．
6．能靈活運(yùn)用正余弦定理解決生活中的三角形問題．
知識(shí)點(diǎn)01：向量的加法
（1）向量加法的定義
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量叫做與的和，記作，即.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.
（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移，共起點(diǎn)，四邊形，對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量，，作，，以，為鄰邊作，則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
知識(shí)點(diǎn)02：向量的減法
（1）相反向量
與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.
①零向
量的相反向量仍是零向量
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:
③若，互為相反向量，則，，.
（2）向量減法定義
向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義，可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.
（3）向量減法的幾何意義
已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量，的起點(diǎn)放在一起，則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
知識(shí)點(diǎn)03：向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；
知識(shí)點(diǎn)04：向量的數(shù)乘
（1）向量數(shù)乘的定義
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
知識(shí)點(diǎn)05：向量共線定理
內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
知識(shí)點(diǎn)06：平面向量數(shù)量積的概念
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).
記作：，即.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
（2）投影
如圖，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，作如下變換:過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
知識(shí)點(diǎn)07：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使.
若，不共線，我們把，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
知識(shí)點(diǎn)08：平面向量的坐標(biāo)表示
（1）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.
坐標(biāo)表示：，則：
；
（2）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
坐標(biāo)表示:，則.
知識(shí)點(diǎn)09：平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)，使得；
用坐標(biāo)表示，可寫為，即：
消去得到：.
這就是說，向量()共線的充要條件是.
知識(shí)點(diǎn)10：兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知識(shí)點(diǎn)11：向量模的坐標(biāo)表示
向量模的坐標(biāo)表示
若向量，由于，所以．
其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．
知識(shí)點(diǎn)12：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示
已知非零向量，是與的夾角，則．
知識(shí)點(diǎn)13：平面幾何中的向量方法
① 平面兩個(gè)向量的數(shù)量積：；
② 向量平行的判定: ；
③向量平行與垂直的判定:；
④平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式： （其中，）
⑤求模：； ；
知識(shí)點(diǎn)141：余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號(hào)語言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，則：
；
（2）余弦定理的推論
；
；
知識(shí)點(diǎn)15：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語言：在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥ ⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
知識(shí)點(diǎn)16：解決幾何問題的常見公式
三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
題型一：平面向量基本概念
【例1】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
1．已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【例2】（2023下·北京·高一北京市第九中學(xué)校考期中）
2．給出下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若且，則 D．若，，則
【例3】（2019·浙江·高三專題練習(xí)）
3．給出下列命題：
①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
②若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
③若與同向，且，則>；
④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ＝μ，則與共線．
其中假命題的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
鞏固訓(xùn)練
（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
4．設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2022下·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）
5．下列命題中，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等
D．若，則與方向相同或相反
（2020下·四川涼山·高一四川省越西中學(xué)校考階段練習(xí)）
6．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
題型二：平面向量共線定理及推論
【例1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
7．在中，點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)D，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）
8．已知點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【例3】（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
9．在中，E為AC上一點(diǎn)，，P為線段BE上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
鞏固訓(xùn)練
（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
10．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
（2023下·廣東深圳·高一翠園中學(xué)校考期中）
11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上，且，過點(diǎn)P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，若，，則實(shí)數(shù)的值是（ ）

A． B． C． D．
（2022下·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)階段練習(xí)）
12．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;
(2)AM交DN于O點(diǎn)，求的值．
題型三：平面向量基本定理
【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
13．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
【例2】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）
14．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）

A． B．
C． D．
【例3】（2023下·江西·高一校聯(lián)考期中）
15．如圖，在中，為重心，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
鞏固訓(xùn)練
（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）
16．已知長(zhǎng)方形中，，是線段的中點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
（2020上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）
17．在梯形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）
18．如圖，在梯形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)O，設(shè)，．

(1)用，表示；
(2)用，表示．
題型四：平面向量共線的坐標(biāo)表示
【例1】（2022下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）
19．已知，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023下·云南大理·高一大理白族自治州民族中學(xué)校考期中）
20．已知兩個(gè)非零向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例3】（2023上·陜西寶雞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
21．，且，則 .
鞏固訓(xùn)練
（2023上·湖南·高二邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
22．已知向量，且，則 .
（2023上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）
23．已知向量，若，則 ；若，則 .
（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）
24．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且，求實(shí)數(shù)關(guān)于的表達(dá)式.
題型五：平面向量的數(shù)量積（含定值，最值，范圍）
【例1】（2023上·廣東中山·高三中山一中校考階段練習(xí)）
25．正三角形中，，為上的靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
26．已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【例3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
27．如圖，在四邊形中，已知，，，點(diǎn)在邊上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓(xùn)練
（2023上·浙江湖州·高二湖州中學(xué)校考階段練習(xí)）
28．在邊長(zhǎng)為的正方形中，是中點(diǎn)，則 ；若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .
（2023上·天津·高三天津市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）
29．如圖，在菱形中，，E、F分別為、上的點(diǎn)．，，點(diǎn)M在線段上，且滿足， ；若點(diǎn)N為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
（2023上·天津薊州·高三天津市薊州區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
30．如圖，已知直角三角形△中，，，，點(diǎn)在以為圓心且與邊相切的圓上，若與圓的切點(diǎn)為，則 ，則的取值范圍為 .
題型六：向量的模（含定值，最值，范圍）
【例1】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
31．已知平面向量，的夾角為，則 ．
【例2】（2023上·上海·高二上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）
32．單位向量，，兩兩之間的夾角都是，求 .
【例3】（2016上·湖南·高三階段練習(xí)）
33．已知為單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）
34．已知不平行的兩個(gè)向量滿足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
【例5】（2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
35．已知向量滿足，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，則的最小值為 .
鞏固訓(xùn)練
（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
36．已知向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）
37．已知向量，滿足，，則 .
（2023上·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考期中）
38．若，與、的夾角都是60°，且，，，則 .
（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
39．在中，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最大值為 ．
（2023下·浙江紹興·高二紹興一中校考學(xué)業(yè)考試）
40．已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是 .
題型七：向量的夾角（含定理，最值，范圍）
【例1】（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）
41．如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）
42．中，若，，點(diǎn)滿足，直線與直線相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中校考階段練習(xí)）
43．若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·上海·校考三模）
44．在中，，點(diǎn)滿足,則的最大值是
鞏固訓(xùn)練
（2019上·廣東深圳·高三深圳市南頭中學(xué)校考期末）
45．在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
46．已知向量，，，則向量與的夾角為 ．
（2019上·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）
47．已知，向量滿足，設(shè)的夾角為，則的最小值為 .
（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）
48．設(shè)，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
（2019上·廣東深圳·高三深圳市南頭中學(xué)校考期末）
49．在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
50．已知向量，，，則向量與的夾角為 ．
（2019上·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）
51．已知，向量滿足，設(shè)的夾角為，則的最小值為 .
（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）
52．設(shè)，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
題型八：向量的投影
【例1】（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
53．已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）
54．若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．在上的投影向量為
B．在上的投影向量為
C．在上的投影向量為
D．在上的投影向量為
【例3】（2022上·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）
55．在中，已知，，，若，且，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓(xùn)練
（2022上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期中）
56．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
57．已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2022下·上海金山·高一上海市金山中學(xué)校考期末）
58．已知菱形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2022下·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）
59．已知，，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C．－ D．－
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)向量共線和模長(zhǎng)相等的幾何與意義結(jié)合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】
A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項(xiàng)，如圖

，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．
選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
對(duì)于A，當(dāng)與方向不同時(shí)，不成立，∴A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，，則，∴B正確，
對(duì)于C，當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，∴C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定成立．所以D錯(cuò)誤.
故選：B．
3．C
【分析】根據(jù)向量共線定義判斷①；根據(jù)向量相等的定義和平行四邊形的定義判斷②；根據(jù)兩向量不能比較大小判斷③；舉反例否定④.
【詳解】①不正確．當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線；
②正確．∵＝，∴||＝||且；
又∵是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形．
反之，若四邊形是平行四邊形，
則且與方向相同，因此＝；
③不正確．兩向量不能比較大小．
④不正確．當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，
滿足λ＝μ，但與不一定共線．
故選：.
4．C
【分析】
根據(jù)非零向量的方向是否相同分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
因?yàn)椋释?
對(duì)于A:，方向相反,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B:，得出,不能得出方向，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C:,方向向相同,則成立，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D:,不能確定的方向，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C．
5．B
【分析】對(duì)ABC選項(xiàng)找出反例，證明其錯(cuò)誤，選項(xiàng)B根據(jù)傳遞性很明顯正確，即可求解.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)： 平行于任何向量，若，滿足，，但不一定滿足，故A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)向量傳遞性，正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)：零向量與任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一個(gè)是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D錯(cuò).
故選：B.
6．（1）5；（2）2.
【分析】根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.
【詳解】解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，
每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，
則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.
【點(diǎn)睛】本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計(jì)算，考查理解能力和數(shù)形結(jié)合思想.
7．C
【分析】
方法一：由三角形重心的性質(zhì)求解；方法二：設(shè)，根據(jù)題意計(jì)算可得，再由共線可求出的值.
【詳解】
方法一：可由三角形重心的性質(zhì)知：
方法二：設(shè)，則，
由共線可知，，，故，
故選：C．
8．D
【分析】
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則由角平分線定理得到的長(zhǎng)度關(guān)系，再由平面向量基本定理，利用三點(diǎn)共線，得到關(guān)系式，比較系數(shù)可得答案.
【詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)镺是的內(nèi)心，所以為的平分線，
所以根據(jù)角平分線定理可得，
所以,
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，
故選：D
9．B
【分析】
由題可得，后由基本不等式可得答案.
【詳解】由題可得B，P，E三點(diǎn)共線，則.
又，，則，則.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：B

10．B
【分析】
由題設(shè)是的重心，應(yīng)用向量加法、數(shù)乘幾何意義可得，根據(jù)得，最后應(yīng)用基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立條件.
【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)是的重心，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>綜上，.
因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，則，即.
因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以的最小值為.
故選：B
11．B
【分析】結(jié)合向量的運(yùn)算可得，然后由三點(diǎn)共線得，可得答案.
【詳解】由題意知：，
又，，即，
由三點(diǎn)共線，可得，即.
故選：B.
12．(1)，
(2)
【分析】
（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算將用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)使，再結(jié)合平面向量基本定理即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以；
（2）設(shè)，
則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使，
由于向量不共線，則，，解得，
所以.
13．B
【分析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.
【詳解】
分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
14．B
【分析】
利用表示，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.
【詳解】設(shè)，，
所以，
又，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，解得，
所以，
故選：B.
15．(1)；
(2).
【分析】
（1）連接并延長(zhǎng)交于，利用三角形重心定理，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理求解作答.
（2）由已知表示出向量，結(jié)合（1）中信息，利用平面向量基本定理列式計(jì)算作答.
【詳解】（1）在中，連接并延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭侵匦模瑒t是的中點(diǎn)，
，由知，，
即，因此，
而不共線，且，于是，
所以.
（2）依題意，，，
而，且，因此存在，使得，
即，則，解得，
所以的值是.
16．A
【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及平面共線定理的推論以，結(jié)合平面向量基本定理，即可求得的值，從而得結(jié)論.
【詳解】由題可知，

設(shè)
則
,
又
，
所以，解得，所以.
故選：A.
17．ABD
【分析】
結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
由題意可得，，故A正確；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確．
故選：ABD．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由題設(shè)知且，根據(jù)用表示出即可；
（2）由題意可得，再用表示出即可.
【詳解】（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，且，
故.
（2）因?yàn)椋裕瑒t，
故
.
19．A
【分析】利用向量的共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，得,
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得.
所以.
故選：A.
20．C
【分析】
利用向量平行的坐標(biāo)公式求參數(shù)，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系即可.
【詳解】
由得：，即或，
因?yàn)闉榉橇阆蛄浚裕矗?br/>故“”是“”的充要條件．
故選：C
21．
【分析】
先求和向量坐標(biāo)再應(yīng)用平行的坐標(biāo)關(guān)系得出，最后應(yīng)用模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【詳解】由，且，得，
所以.
故答案為: .
22．
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到，再根據(jù)向量平行坐標(biāo)要求列方程求出的值，再利用模長(zhǎng)定義求出.
【詳解】，
因?yàn)椋裕獾茫?br/>所以.
故答案為：.
23． 4
【分析】
根據(jù)兩個(gè)向量平行及數(shù)量積的運(yùn)算可求得的值.
【詳解】向量，若，
則，得；
若，則，得.
故答案為：4 ；
24．
【分析】
由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量平行的充要條件即可列式求解.
【詳解】
因?yàn)椋?
所以，即.
25．A
【分析】
根據(jù)題意，由平面向量基本定理可得，，再由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)闉樯系目拷乃牡确贮c(diǎn)，
則，
而為的中點(diǎn)，則，
又為等邊三角形，且，
則
.
故選：A
26．A
【分析】
將中向量進(jìn)行分解，即：，
由是的中點(diǎn)，可將上式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理為，所以只需求最大，即的長(zhǎng)加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)橄宜鶎?duì)的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，
取的中點(diǎn)，所以，，如圖所示：
因?yàn)?
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
，
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故選：A
27．A
【分析】方法一：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關(guān)系，然后利用平面向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算律將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式求向量數(shù)量積的最值；
方法二：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關(guān)系，然后建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出向量數(shù)量積的最值即可；
方法三：同方法二一樣，但是選擇另外的邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為平面向量坐標(biāo)形式求解即可；
【詳解】解法一 由，，，
得，，
所以，，
．
設(shè)，則，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．
解法二： 由，，，
得，，
所以，，
，，
連接，交于點(diǎn)，則易知，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以．
設(shè)，
則，
所以，
，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．
解法三 由，，，
得，，
所以，，
，，
如圖，
分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，
所以設(shè)，
所以，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故選：A.
28．
【分析】
根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，且是中點(diǎn)，
則，
則，
所以；
設(shè)，其中，
則，則，
所以，，
則，，
其中，，
當(dāng)時(shí)，有最小值為.
所以的最小值是.
故答案為：30；
29． ,．
【分析】
根據(jù)模長(zhǎng)公式即可由數(shù)量積的運(yùn)算律求解空1，用基底，表示，，然后求數(shù)量積，再由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍．
【詳解】
由可得，
所以,
設(shè)，,，
，
所以，
，
所以
，
因?yàn)?，所以,，
故答案為：；,．
30．
【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，求出，利用三角形等面積法求出圓的半徑，進(jìn)而求出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出；設(shè)BC的中點(diǎn)為，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合圓的最值問題即可求解.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，且，由，
所以，解得，即圓的半徑為，
則，所以；
設(shè)BC的中點(diǎn)為，
則，
又，，
所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：；
31．
【分析】
利用向量的坐標(biāo)表示可得，將平方代入計(jì)算即可求出.
【詳解】
由得，
由的夾角為，得，
又，所以，
所以．
故答案為：
32．
【分析】由題意得，，兩兩之間夾角都是，展開后利用數(shù)量積的定義直接運(yùn)算再開方即可得解.
【詳解】由題意得單位向量，，且兩兩之間夾角為，
所以，
，
所以.
故答案為：.
33．B
【分析】
設(shè)，將兩邊平方，化簡(jiǎn)整理即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，
，
由，得，
即，
即，又，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
故選：B.
34．
【分析】
先由數(shù)量積的定義推得，再將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，從而得解.
【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，
因?yàn)椋裕矗?br/>則，所以，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，即，即對(duì)于恒成立，
故，又，解得，
綜上，，則的最小值為.
故答案為：.
35．##
【分析】
利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次不等式恒成立計(jì)算得，再根據(jù)向量不等式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋詫?duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為.
故答案為：.
36．D
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕矗?br/>整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以當(dāng)與反向時(shí)，取得最大值，且最大值為.
故選：D.
37．
【分析】由向量模、數(shù)量積公式先求出，再由公式即可得解.
【詳解】由題意，
，
所以.
故答案為：.
38．
【分析】
利用數(shù)量積模的運(yùn)算結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕峙c、的夾角都是60°，
且，，，
所以，，
所以
.
故答案為：.
39．
【分析】
結(jié)合圖形及平面向量共線相關(guān)結(jié)論，可得，又由余弦定理可得，后由基本不等式可得答案.
【詳解】由題可得， ，則，因D,P,C 三點(diǎn)共線，
則.
又注意到，結(jié)合，余弦定理可得：
.
則.又由基本不等式，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
則.
故答案為：.

40．
【分析】由條件求出，設(shè)向量與向量的夾角為，將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的范圍解不等式即可得的取值范圍.
【詳解】由得，
即 ，
又，
則，
設(shè)向量與向量的夾角為，
則，
因?yàn)?，由已知等式可知，所以，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，
解得.
故答案為：
41．D
【分析】由題得為直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求與夾角的余弦即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>由余弦定理得，，
得到，又，所以為直角三角形，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則有，又分別為中點(diǎn)，
所以，故，
所以，
故選：D.
42．A
【分析】本題首先可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出、、，然后根據(jù)、、三點(diǎn)共線以及、、三點(diǎn)共線得出，再然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則得出、，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，
因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，，，
因?yàn)椋ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，
聯(lián)立，解得，，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以，
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的幾何應(yīng)用，可借助平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解題，考查應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求夾角，考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是難題.
43．C
【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，即可確定，的橫坐標(biāo)，設(shè)出坐標(biāo)由得到兩向量縱坐標(biāo)的關(guān)系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.
【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，
故選：C.
44．
【分析】以，為，軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，，求出，利用數(shù)量積公式表示出，利用基本不等式求出最小值，，
，求出的最大值．
【詳解】解：以，為，軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，
，
，
，，，
，
最小值為，
，，
的最大值是為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查通過結(jié)論坐標(biāo)系解決向量問題；利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
45．A
【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出、、三點(diǎn)坐標(biāo)，將的最小值轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算處理，利用基本不等式即可求解．
【詳解】依題意，如圖，設(shè)、，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，
，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了利用基本不等式求最值，主要考查分析解決問題的能力和計(jì)算能力，推理轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
46．
【分析】
由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】，則，則，又，則
故答案為：.
47．
【解析】根據(jù)條件可設(shè)，從而根據(jù)即可得出，且得出，從而得出，從而得出，從而配方即可求出的最小值.
【詳解】解：∵，
∴不妨設(shè)，
，
∴由得，，則，
∴，
∴，
，即時(shí)取最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積的運(yùn)算，向量的夾角公式，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及二次函數(shù)最值的求解，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.
48．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可求，，代入夾角公式運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椤危瑒t，解得，
即，，
可知，即，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
則，，
可得，
且，則，
所以向量與夾角為.
49．A
【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出、、三點(diǎn)坐標(biāo)，將的最小值轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算處理，利用基本不等式即可求解．
【詳解】依題意，如圖，設(shè)、，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，
，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了利用基本不等式求最值，主要考查分析解決問題的能力和計(jì)算能力，推理轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
50．
【分析】
由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】，則，則，又，則
故答案為：.
51．
【解析】根據(jù)條件可設(shè)，從而根據(jù)即可得出，且得出，從而得出，從而得出，從而配方即可求出的最小值.
【詳解】解：∵，
∴不妨設(shè)，
，
∴由得，，則，
∴，
∴，
，即時(shí)取最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積的運(yùn)算，向量的夾角公式，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及二次函數(shù)最值的求解，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.
52．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可求，，代入夾角公式運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椤危瑒t，解得，
即，，
可知，即，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
則，，
可得，
且，則，
所以向量與夾角為.
53．B
【分析】根據(jù)投影向量的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由題意得，，
則在上的投影向量是，
即在上的投影向量的坐標(biāo)為，故B項(xiàng)正確.
故選:B.
54．AC
【分析】過作于，連接，設(shè)，由可得，求出可得，可得在上的投影向量； 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，可得在上的投影向量．
【詳解】過作于，連接，
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>設(shè)，則，，
由可得，
所以，則，所以在上的投影向
量為，
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，
所以在上的投影向量為．
故選： AC.

55．C
【分析】根據(jù)題意得到，建系，得到，，的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)表示，最后分，，和四種情況討論的范圍.
【詳解】在中，，，，所以，，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建系，
則，，，所以，又，所以，
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)， ；
綜上所述，.
故選：C.
56．A
【分析】根據(jù)投影向量的公式求解即可
【詳解】在上投影向量
故選：A
57．D
【分析】
由題設(shè)得為正三角形，數(shù)形結(jié)合及投影向量定義即可得答案.
【詳解】由得：為中點(diǎn)，的外接圓圓心為，

則，又，所以，為正三角形，
由投影向量的定義，得向量在向量上的投影向量為.
故選：D
58．C
【分析】
由已知條件可知向量在方向上數(shù)量投影為，令，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，利用即可求出參數(shù)的取值范圍，結(jié)果即為所求.
【詳解】解：已知菱形的邊長(zhǎng)為1，則向量在方向上數(shù)量投影為，
若恒成立，則恒成立，
，
，
令，則，即，
要使恒成立，
則，解得，
即向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是，
故選：C.
59．C
【分析】根據(jù)題意寫出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求得，根據(jù)投影向量的定義即可求得答案.
【詳解】由題意得，,
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
即，
則在上的投影向量為 ，
故選：C
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第六章 平面向量及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）
題型九：向量平行垂直的坐標(biāo)表示
【例1】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
1．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
【例2】（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）
2．已知向量，．
(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)t的值．
【例3】（2022下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）
3．已知向量，.
(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若非零向量滿足，求與的夾角.
鞏固訓(xùn)練
（2023上·河北秦皇島·高二校考開學(xué)考試）
4．設(shè)向量，滿足，，．
(1)求向量，的夾角及；
(2)若，則實(shí)數(shù)k的值．
（2023下·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
5．已知兩個(gè)非零向量與不共線，
(1)試確定實(shí)數(shù)k，使得與共線；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．
（2023下·陜西西安·高一高新一中校考階段練習(xí)）
6．已知向量，，，
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)向量，互相垂直，試求的值．
（2021下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）
7．已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)；
(3)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)的值．
題型十：兩個(gè)向量所成角為銳角或鈍角
【例1】（2023上·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）
8．已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
【例2】（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期中）
9．若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【例3】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期中）
10．已知向量，且與的夾角為.
(1)求及；
(2)若與所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
鞏固訓(xùn)練
（2023上·安徽蕪湖·高二蕪湖市第二中學(xué)校考開學(xué)考試）
11．已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
（2023下·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)校考階段練習(xí)）
12．設(shè)向量，，向量與的夾角為銳角，則x的范圍為 .
（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）
13．已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
題型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【例1】（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期中）
14．根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是（ ）
A．，，，有兩解
B．，，，有一解
C．，，，有一解
D．，，，無解
【例2】（2023下·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）
15．已知在中，，若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則a的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）
16．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.
問題：在中，角所對(duì)的邊分別為，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【例4】（2022下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）
17．在中，.
(1)若，求；
(2)若存在且唯一確定，求的取值范圍.
鞏固訓(xùn)練
（2023下·江蘇連云港·高一校考期中）
18．由下列條件解，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2022上·北京·高三北京四中校考開學(xué)考試）
19．在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
（2023下·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）
20．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
21．在中，，．分別根據(jù)下列條件，求邊長(zhǎng)a的取值范圍．
(1)有一解；
(2)有兩解；
(3)無解．
題型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形狀
【例1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
22．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知．若，，成等比數(shù)列，則是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．等腰三角形 D．不確定
【例2】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）
23．在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
24．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則的形狀為 .
鞏固訓(xùn)練
（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）
25．中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．直角或鈍角三角形 D．鈍角三角形
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
26．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則的形狀為 .
（2023下·上海松江·高一上海市松江一中校考階段練習(xí)）
27．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，滿足，則該三角形的形狀是 ．
題型十三：求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（含定值，最值，范圍）
【例1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
28．在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且，則：
（1） ．
（2）若的中點(diǎn)為，則的取值范圍為 ．
【例2】（2023上·安徽淮南·高三校考階段練習(xí)）
29．在中，角的對(duì)邊分別是,若是銳角三角形且角，則的取值范圍為 .
【例3】（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
30．在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的取值范圍是 .
【例4】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）
31．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，若D為邊上一點(diǎn)，，．
(1)求角；
(2)求的取值范圍．
【例5】（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
32．在銳角中，為角所對(duì)的邊，.
(1)求角；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
鞏固訓(xùn)練
（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）
33．在中，，，則銳角周長(zhǎng)的范圍是 .
（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校校考階段練習(xí)）
34．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足，，則的取值范圍是 .
（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）
35．已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求的值；
(2)已知分別為中角的對(duì)邊，且滿足，求的周長(zhǎng)的最大值．
（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
36．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.
（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）
37．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
題型十四：求三角形（四邊形）面積（含定值，最值，范圍）
【例1】（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高二校聯(lián)考期末）
38．如圖為矩形與半圓的組合圖形，其中，為半圓弧上一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，則的面積的最大值為 ．
【例2】（2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期中）
39．如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，點(diǎn)處有一個(gè)路燈，，，現(xiàn)過點(diǎn)建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點(diǎn)和點(diǎn)，若對(duì)五邊形區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為 ．
【例3】（2023上·河北秦皇島·高二校考開學(xué)考試）
40．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；
(2)求面積的取值范圍．
【例4】（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）
41．彩云湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖所示.為考慮露營(yíng)客人娛樂休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊、、、修建觀賞步道，邊修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.
(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的屬離防護(hù)欄（用根號(hào)表示）？
(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？
鞏固訓(xùn)練
（2023下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）
42．為滿足群眾就近健身和休閑的需求，很多城市開始規(guī)劃建設(shè)“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑，圓心角，A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，B是半徑OQ上的動(dòng)點(diǎn)，，則面積的最大值為 .

（2022上·安徽·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
43．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是 ．
（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）
44．的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長(zhǎng)，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.
（2023下·陜西咸陽·高一校考期中）
45．如圖所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上(M，N不與A，B重合，M在A，N之間)，且．

(1)若M在距離A點(diǎn)2km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；
(2)為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，設(shè)∠AOM=，，試確定，當(dāng)θ為多大時(shí)△OMN的面積最小，并求出最小面積值．
題型十五：利用正（余）弦定理解決實(shí)際問題
【例1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
46．如圖，相距的之間是一條馬路（可近似看作兩條平行直線），為了測(cè)量河對(duì)岸一點(diǎn)到馬路一側(cè)的距離，小明在這一側(cè)東邊選擇了一點(diǎn)，作為測(cè)量的初始位置，其中與交于點(diǎn)，現(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)沿著向西走到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，繼續(xù)向西走到達(dá)點(diǎn)，其中與交于點(diǎn)，繼續(xù)向西走到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得.根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，完成下列問題.

(1)求的值；
(2)求的值.
【例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
47．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20250m，速度為189km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過960s后，又看到山頂?shù)母┙菫椋笊巾數(shù)暮０胃叨龋ň_到1m）

【例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
48．南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年，是南京市辦學(xué)歷史最長(zhǎng)的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè)，中山路東側(cè)，長(zhǎng)江路北側(cè)如圖所示的位置.南京人民中學(xué)到長(zhǎng)江路和中山路十字路口約330米，長(zhǎng)江路和中山路夾角約為70.5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長(zhǎng)江路和中山路十字路口200米，300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為60米/分鐘

(1)起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；
(2)t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計(jì)時(shí)到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；
(3)什么時(shí)候兩人間的直線距離最短，最短距離時(shí)多少？（忽略路寬 等侯紅綠燈時(shí)間）
鞏固訓(xùn)練
（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考期中）
49．如下圖所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)、、.景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn).經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向處，位于景點(diǎn)的正北方向，還位于景點(diǎn)的北偏西方向上.已知.

(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)向景點(diǎn)修建一條筆直的公路.求線段的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0.1km）；
(2)求線段的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0.1km）（）.
（2023上·陜西榆林·高三校考期中）
50．如圖所示，公園有一塊邊長(zhǎng)為4的等邊三角形草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上．
(1)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又在哪里？
（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）
51．某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．

(1)求的值；
(2)測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由數(shù)量積坐標(biāo)表示求解即可；
（2）計(jì)算，由垂直向量的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】（1）時(shí)，，，
所以．
（2），
，
因?yàn)椋?br/>所以
整理得，故．
2．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.
（2）求出向量、的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>．因?yàn)椋?br/>所以，解得．
（2），因?yàn)椋?br/>所以，解得．
3．(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；
（2）由，得，又，得，設(shè)向量與的夾角為，，則，然后分和討論即可得答案.
【詳解】（1）解：∵，，∴，
又，∴，即，
∴；
（2）解：，
由，得，
∵，∴，
設(shè)向量與的夾角為，，
則，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
∴與的夾角為或.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）由夾角公式及模長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可；
（2）由向量垂直的性質(zhì)，利用數(shù)量積為0建立方程，求得值．
【詳解】（1）由可得：，又，，
則，
又，所以，
；
（2）由，可得，
即，
由（1）可得：，解得．
5．(1)1
(2)
【分析】（1）由共線向量得性質(zhì)得，再由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求得實(shí)數(shù)k；
（2）將代入中求得，再由得，代入，化簡(jiǎn)即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）若與共線，則，
解得
（2）得
由，知，解得.
6．(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示列式求解；
（2）由向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解.
【詳解】（1），，
當(dāng)時(shí)，，解得.
（2）
由題意得，則，
即，解得.
7．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；
（2）設(shè)，由， 得，解方程組可得答案；
（3）求出向量與在坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】（1），，.
（2）設(shè)，由，且得，
解得，或，故，或.
（3）若向量與相互垂直，則，
即，所以，
即，故．
8．
【分析】先利用題意算出，再利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，
所以且，
解得且，所以的取值范圍為，
故答案為：.
9．
【分析】根據(jù)向量的夾角列式，從而求得的取值范圍.
【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，
所以，解得且，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
10．(1)
(2)且
【分析】
（1）根據(jù)與的夾角列方程，由此求得，進(jìn)而求得.
（2）根據(jù)與所成的角是銳角列不等式，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由于與的夾角為，
所以，解得，
則，
所以
（2），
由于與所成的角是銳角，
所以，，
解得且.
11．
【分析】根據(jù)兩向量夾角為鈍角列不等式，求解的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，
解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
12．且
【分析】根據(jù)已知可得，且不共線，求解即可.
【詳解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共線.
則，所以.
又不共線，則.所以x的取值范圍為且.
故答案為：且.
13．(1)①或；②或
(2)
【分析】
（1）根據(jù)向量平行，垂直可構(gòu)造方程求得；
（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】（1），，
①若，則，即，解得或；
②若，則，解得或.
（2）由，解得或，
又時(shí)，或，
若向量與的夾角為鈍角，則或或，
故的取值范圍為.
14．C
【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判斷A，B，C，D即可.
【詳解】A中，因?yàn)椋裕?br/>又，所以，即只有一解，故A錯(cuò)誤；
B中，因?yàn)椋裕?br/>且，所以，故有兩解，故B錯(cuò)誤；
C中，因，所以，
又，所以角B只有一解，故C正確；
D中，因?yàn)?,，所以，有解，故D正確.
故選：C.
15．D
【分析】由正弦定理和三角形解的個(gè)數(shù)可得答案.
【詳解】由正弦定理可得，
若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則或，
所以或，
可得或.
故選：D.
16．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）若選①，由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可求出求角的大小；若選②，利用正弦定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
（2）將代入正弦定理可得，要使角有兩解，即，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）若選①：整理得，因?yàn)椋?br/>所以，因?yàn)椋裕?br/>若選②：因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
所以，所以，因?yàn)椋裕?br/>若選③：由正弦定理整理得，所以，
即，因?yàn)椋裕?br/>（2）將代入正弦定理，得，所以，
因?yàn)椋堑慕庥袃蓚€(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，所以，
即，又，所以，解得.
17．(1)答案見解析
(2)或
【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一確定，則，或，從而求得的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
由余弦定理知
所以.
得.
所以，或.
由正弦定理知
.
所以，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
（2）由（1）得，存在且唯一確定，則，或，
綜上，當(dāng)或時(shí)，存在且唯一確定.
18．C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為及三角形三邊關(guān)系，結(jié)合正弦定理逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；
對(duì)于B，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜芍挥形ㄒ唤猓?br/>所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即只有唯一解；
對(duì)于C，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>即，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解；
對(duì)于D，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>所以，又c>a，所以，所以角只有一個(gè)解，即只有唯一解.
故選：C
19．B
【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及正弦定理，結(jié)合三角形圖像進(jìn)行處理.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋曰颍盛馘e(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以角被唯一確定，
故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一確定，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)椋?br/>所以，所以如圖，不唯一，故④錯(cuò)誤.故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
20．(1);
(2).
【分析】
（1）由正弦定理可得，利用兩角和差公式可得，即可得解；
（2）由及正弦定理可得，因?yàn)榻堑慕庥袃蓚€(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，從而有，，求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以；
（2）解：將代入正弦定理，得，
所以，
因?yàn)椋堑慕庥袃蓚€(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范圍為.
21．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，得到.分、、討論，即可得出；
（2）由已知可得，求解不等式即可得出結(jié)果；
（3）由已知可得，求解不等式即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理可得，.
（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，.
①若，即，則不存在，無解，此時(shí)；
②若，即， ，有一解，此時(shí)；
③若，即，因?yàn)椋藭r(shí)可能是銳角或鈍角，即此時(shí)有兩解，此時(shí)，即.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一解；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，有一解；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)只能是銳角，有一解.
綜上所述，有一解時(shí)，邊長(zhǎng)a的取值范圍是或.
（2）由（1）知，有兩解，應(yīng)滿足，由，即，解得.
（3）由（1）知，無解，應(yīng)滿足，即，解得.
22．B
【分析】由誘導(dǎo)公式、正弦定理可求得，結(jié)合等比中項(xiàng)性質(zhì)及余弦定理可得，進(jìn)而可判斷三角形形狀.
【詳解】因?yàn)椋烧T導(dǎo)公式得，
由正弦定理得，
又，所以，即，
又，所以.
又因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，
由余弦定理得，解得，
所以為等邊三角形.
故選：B.
23．D
【分析】由正弦定理與二倍角公式化簡(jiǎn)后判斷即可.
【詳解】，由正弦定理化簡(jiǎn)得，
即，故，，
則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.
故選：D.
24．直角三角形或等腰三角形
【詳解】用正弦定理對(duì)條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后進(jìn)行求解.
【點(diǎn)睛】根據(jù)，由正弦定理可得，，又為三角形內(nèi)角，即，于是，，上述等式變?yōu)椋海仁阶筮呎归_可得，于是，故當(dāng)?shù)玫剑藭r(shí)為直角三角形，或當(dāng)?shù)玫剑藭r(shí)三角形為等腰三角形.
故答案為：直角三角形或等腰三角形
25．D
【分析】運(yùn)用二倍角公式及余弦定理即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，即，
所以，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以為鈍角三角形.
故選：D.
26．等邊三角形
【分析】先求出B的余弦值，再用余弦定理求出邊長(zhǎng)關(guān)系，最后判斷三角形形狀即可.
【詳解】由，
解得或（舍去），
∵，∴，
∵，∴，
∴，
整理，得，即，故，
∴為等邊三角形.
故答案為：等邊三角形.
27．等腰直角三角形
【分析】根據(jù)正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得結(jié)果.
【詳解】由正弦定理及， 得
，，
，
，
又，
由余弦定理， 得，
即，，
為等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形
28．
【分析】根據(jù)已知條件將邊化為角，即可求出A的大小，中線AD長(zhǎng)通過向量轉(zhuǎn)化為bc的范圍，再借助正弦定理化為三角函數(shù)的值域問題求解.
【詳解】
因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，
又D是BC的中點(diǎn)，，
由余弦定理，
由正弦定理：，
又
，
.
故答案為：；
29．
【分析】由正弦定理可以把邊的比值關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，之后利用銳角三角形得到角的范圍，之后求解即可.
【詳解】解：由正弦定理可得，,
因?yàn)槭卿J角三角形，
所以 即 即 即 ，
所以，所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：
30．
【分析】利用正弦定理邊化角可求得，得到；利用正弦定理和余弦定理角化邊可求得；利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可將所求式子化為，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域求法可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，
，又，，，
又，，
則由得：，
，解得：；
由正弦定理得：，
；
，，，，
，即的取值范圍為.
故答案為：.
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到，然后求即可；
（2）分別在和中利用正弦定理得到，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】（1），由正弦定理可得，
即，
因?yàn)椋剩?br/>又，故.
（2）
因?yàn)椋剩?br/>在中，，得，
在中，，得，
故，而，，
所以，
由題意知，，
故，即的取值范圍為.
32．(1)
(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，然后再結(jié)合兩角和差公式化簡(jiǎn)求出，即得角.
（2）借助于正弦定理，把周長(zhǎng)取值范圍問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在指定區(qū)間求值域問題..
【詳解】（1）由題得，即，
由于，則有，即，
即，由于，則有，即，
又，故．
（2）設(shè)外接圓半徑為，則的周長(zhǎng)為
，
由于為銳角三角形，所以，
所以，
即周長(zhǎng)的取值范圍是.
33．
【分析】將的周長(zhǎng)表示為三角函數(shù)的形式，根據(jù)三角函數(shù)的值域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，由正弦定理得，
則，則
，
由于三角形是銳角三角形，所以，即，
所以三角形的周長(zhǎng)為
，
，，
所以，
所以.
故答案為：
34．
【分析】先利用余弦定理求角A，再利用正弦定理，轉(zhuǎn)化，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)得 ，結(jié)合角的范圍求其取值范圍即可.
【詳解】由余弦定理得，又，
所以，所以，．
由正弦定理可知，（R為外接圓的半徑），
所以
．
又，所以，
由
所以．
故答案為：．
35．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由周期公式求解，代入即可求解，
（2）根據(jù)可得，即可由余弦定理結(jié)合基本不等式求解最值.
【詳解】（1）
因?yàn)樽钚≌芷跒椋裕獾茫?br/>所以，所以．
（2）由得，
由余弦定理有，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
故，即為等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)有最大值
36．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理與正余弦兩角和差公式得，從而求解.
（2）結(jié)合（1）及的內(nèi)心作出圖像，求得，并利用正弦定理得，從而求解.
【詳解】（1）由及正弦定理，得：
即：，所以：，
又：，所以：，
又：，所以：，
所以：.
（2）因?yàn)椋裕?br/>如圖，連接，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以：，
所以：，
設(shè)，則.
在中，由正弦定理得:，
所以：，
所以：，
其中：，
因?yàn)椋圆环寥。?br/>又，所以，其中，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
因?yàn)椋裕?br/>又，所以，
綜上，的取值范圍是.

37．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得
，
又在銳角中，有，所以，
所以，所以；
（2）結(jié)合（1）可得，
由，則根據(jù)正弦定理有，
得，
根據(jù)余弦定理有，得，
所以
，
又為銳角三角形，則有，得，
所以，所以，
故.
38．
【分析】根據(jù)題目把的底和高都用來表示，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求最大值.
【詳解】如圖，
設(shè)與的交點(diǎn)為，則，
所以，，
所以，
令，則，且，
所以，顯然在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，其最大值為．
故答案為：
39．
【分析】設(shè)和的長(zhǎng)，使的面積最小，即可使五邊形面積最大.
【詳解】設(shè)，，（，），
∵， ，∴，
∴的面積為，
的面積為，
∵的面積，∴，即
∵，，
∴由基本不等式得，解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
∴的面積的最小值為，
∴五邊形面積的最大值．
故答案為：.
40．(1)，
(2)
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合B為銳角，可得B的值，由正余弦定理化簡(jiǎn)已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式可求，由題意可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．
【詳解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B為銳角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
41．(1)m
(2)修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，
【分析】（1）由三角形面積公式求出，得到，利用余弦定理運(yùn)算求解；
（2）先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，m，，設(shè)，利用正弦定理得到，由面積公式得到，結(jié)合，得到面積的最大值，及，得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋獾茫海?br/>又因?yàn)镃是鈍角，所以，
由余弦定理得：
，
故需要修建m的隔離防護(hù)欄.
（2）因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)m，
設(shè)，，
在中，，
解得：，
故
，
因?yàn)椋裕?br/>故當(dāng)，即時(shí)，取的最大值為1，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)m，
所以修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
42．##
【分析】利用基本不等式結(jié)合余弦定理可求面積的最大值.
【詳解】因?yàn)椋剩?br/>故，
故，
由基本不等式可得，
故，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)等號(hào)成立，
故，
故面積的最大值為，
故答案為：.
43．
【分析】由正弦定理和三角恒等變換將題干中等式化簡(jiǎn)求得角B，再根據(jù)的外接圓的面積求得其直徑，代入三角形面積公式中，化為三角函數(shù)求其值域即可.
【詳解】由
∴
得
，
所以，
因?yàn)樗裕裕?br/>而，所以．
又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
的面積取值范圍為．
故答案為：.
44．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長(zhǎng).
（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)椋?br/>所以，化簡(jiǎn)得：，
所以，因?yàn)椋裕?br/>選擇①，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>整理得，
方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．
選擇②，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．
選擇③，由得：，
所以，即，所以，
因?yàn)橐裕?br/>所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周長(zhǎng)為．
（2）由（1）知，，面積，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范圍為，
而面積.
45．(1)km
(2)時(shí)面積最小，最小值為
【分析】（1）由條件根據(jù)余弦定理求得；再用余弦定理和正弦定理即可求得；
（2）利用正弦定理表示出的長(zhǎng)，利用三角形面積公式表示出的面積，化簡(jiǎn)并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求得答案.
【詳解】（1）依題意，，
在中，由余弦定理得，
，則 ,
，
在中，
，
所以在中，由正弦定理，，
得，
即點(diǎn)M，N之間的距離為km.
（2），
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
，
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)，即時(shí)面積最小，最小值為.
46．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)兩角差的正弦公式結(jié)合直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）先由正弦定理求解，再利用直角三角形的性質(zhì)求解距離即可.
【詳解】（1）由圖可知，，，，
則，，
，，
故
.
（2）在中，由正弦定理得，即，
解得，故.
47．2443m
【分析】解三角形計(jì)算即可.
【詳解】
如圖所示，假設(shè)山頂為A點(diǎn)，飛機(jī)經(jīng)過960秒，從B到C處，過A作BC的垂線交BC延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，
由題意可知，，千米，
在直角三角形中，有，
所以千米，
故山頂海拔高度為：.
48．(1)300
(2)
(3)分鐘時(shí)距離最短，最短距離為米.
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；
（2）分類討論結(jié)合余弦定理計(jì)算即可；
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)起初兩人直線距離為，由題意可得，
即起初兩人直線距離為300米；
（2）設(shè)t分鐘后兩人間直線的距離是，則當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)仍在中山路東側(cè)，
此時(shí)由余弦定理可知，
當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)在中山路與長(zhǎng)江路十字路口，顯然兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小王在中山路西側(cè)，小張仍在長(zhǎng)江路南側(cè)，
則由余弦定理可得，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)谥猩铰放c長(zhǎng)江路十字路口，兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)陂L(zhǎng)江路北側(cè)，小王在中山路西側(cè)，
則由余弦定理可知，
又當(dāng)和時(shí)，兩人的直線距離也符合關(guān)系式，
故綜上所示t分鐘后兩人間直線的距離是；
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)分鐘時(shí)，此時(shí).
49．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；
（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理計(jì)算可得.
【詳解】（1）
依題意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得（舍去）或，
所以線段的長(zhǎng)度約為.
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
∴
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以線段的長(zhǎng)度約為.
50．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用三角形面積公式求出，可得到，在中，利用余弦定理即可求得；
（2）利用基本不等式可求得DE的最小值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可求得DE的最大值，進(jìn)而確定DE的位置.
【詳解】（1），
∴，
∴，∴．
在中，，
所以．
（2）由（1）知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以DE的最小值為．此時(shí)，且．
令，則，，
易證在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，
所以．
所以．
所以DE的最大值為．此時(shí)DE與過點(diǎn)B或過C的高線重合
51．(1)
(2)預(yù)算資金夠用
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【詳解】（1）解：由，
得，
則，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于觀光通道每米的造價(jià)為2000元，所以總造價(jià)低于元，故預(yù)算資金夠用．
答案第1頁，共2頁
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