資源簡介

3.1.1　對函數概念的再認識
【學習目標】
1.進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型.(數學抽象)
2.理解函數的概念,能用集合與對應的語言刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.(數學抽象)
3.通過實例領悟構成函數的三要素.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在初中我們學過哪幾類函數 函數的定義是什么
2.如何用集合語言來描述函數概念
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數值域中的每一個數都有定義域中的數與之對應. (　　)
(2)函數的定義域和值域一定是無限集合. (　　)
(3)定義域和對應關系確定后,函數值域也就確定了. (　　)
(4)若函數的定義域中只有一個元素,則值域中也只有一個元素. (　　)
2.已知函數f(x)=x2+2x-3,則f(-5)=(　　).
A.-38　　　B.12　　　C.17　　　D.32
3.函數f(x)=+的定義域為　　　　　　.
【合作探究】
探究1：函數的概念
情境設置
　　微信是即時聊天工具,通過微信,我們可以結交很多全國各地的新朋友,所以說現在微信成了我們很多人日常生活中不可缺少的一部分.大部分同學都有微信號,這樣微信號與同學之間就有對應關系,即微信號(可能不止一個)對應唯一一位同學.在數學領域也有類似的對應問題,即實數x(可能不止一個)對應實數y(唯一一個).
問題1:你知道這種對應關系在數學中叫什么嗎
問題2:有人認為“y=f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”,這種看法對嗎
問題3:f(x)與f(a)有何區別與聯系
新知生成
1.函數的定義
設A,B是兩個非空實數集合,如果按照某種確定的對應關系f,使得對于集合A中的任何一個數x,在集合B中都有唯一的數y和它對應,那么就稱這樣的對應關系f:A→B為集合A到集合B的一個函數,也記作y=f(x)(x∈A).
2.函數的定義域、值域
在函數的定義中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數的定義域,與x∈A對應的數y叫作函數值,記作f(x),所有函數值組成的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的值域.值域是集合B的子集.
新知運用
一、函數概念的理解
例1　判斷下列對應關系是否為集合A到集合B的函數.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=Z,B=Z,f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.
方法指導　結合函數的定義進行判斷.
【方法總結】判斷對應關系是否為函數,主要從以下三個方面去判斷:
(1)A,B必須是非空實數集;
(2)A中任何一個元素在B中必須有元素與其對應;
(3)A中任何一個元素在B中的對應元素必須唯一.
二、求函數值
例2　設f(x)=2x2+2,g(x)=.
(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2));
(2)求g(f(x)).
方法指導　(1)直接把變量的取值代入相應函數解析式,求值即可;(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).
【方法總結】f(x)中的x可以是一個具體的數,也可以是一個字母或者是一個表達式,不管是什么,要求對應的函數值,只需把相應的x換成對應的數、字母或式子即可.
三、求函數的定義域
例3　求下列函數的定義域:
(1)f(x)=2+;
(2)f(x)=(x-1)0+;
(3)f(x)=·;
(4)f(x)=-.
方法指導　要求函數的定義域,只需分母不為0,偶次方根中被開方數大于或等于0,冪運算有意義即可.
【方法總結】求函數定義域的常用方法
(1)若f(x)是分式,則分母不為零.
(2)若f(x)是偶次根式,則被開方數大于或等于零.
(3)若f(x)是指數冪,則函數的定義域是使冪運算有意義的實數集合.
(4)若f(x)是由幾個式子構成的,則函數的定義域是幾個部分定義域的交集.
(5)若f(x)是實際問題的解析式,則函數的定義域應使實際問題有意義.
鞏固訓練
1.下列圖形中,y不是x的函數的是(　　).
A　　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　　D
2.已知f(x)=(x≠-1).
(1)求f(0)及ff的值;
(2)求f(1-x)及f(f(x));
(3)若f(x)=2,求x的值.
3.求下列函數的定義域:
(1)f(x)=++4;
(2)f(x)=.
探究2：相等函數
情境設置
　　已知f(t)=80t(0≤t≤5),g(x)=80x(0≤x≤5).
問題1:函數f(t),g(x)是不是同一個函數
問題2:如果兩個函數相等,那么需要滿足怎樣的條件呢
新知生成
1.確定函數的要素
確定一個函數主要取決于三個要素:定義域、對應關系和值域.
2.相等
兩個函數f(x)和g(x),當且僅當有相同的定義域U且對每一個x∈U都有f(x)=g(x)時,叫作相等.
新知運用
例4　(多選題)下列各組函數是相等函數的是(　　).
A.f(x)=與g(x)=x·
B.f(x)=x與g(x)=
C.f(x)=x0與g(x)=
D.f(x)=x2-x+1與g(t)=t2-t+1
【方法總結】判斷相等函數的三個步驟和兩個注意點
(1)判斷相等函數的三個步驟
(2)兩個注意點
①在化簡解析式時,必須是等價變形;
②與用哪個字母表示無關.
鞏固訓練
下列函數中與函數y=x2是相等函數的是(　　).
A.u=v2　　　　　B.y=x·|x|
C.y= D.y=()4
探究3：求抽象函數的定義域
情境設置
問題1:若函數y=f(x)的定義域是[0,+∞),則函數y=f(x+1)的定義域是什么
問題2:已知函數y=f(x+1)的定義域是[1,2],這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍 函數y=f(x)的定義域是什么
新知運用
例5　(1)已知函數y=f(x)的定義域為[-2,3],求函數y=f(2x-3)的定義域;
(2)已知函數y=f(2x-3)的定義域是[-2,3],求函數y=f(x+2)的定義域.
方法指導　(1)由函數y=f(x)的定義域為[-2,3],解不等式-2≤2x-3≤3即可.
(2)由函數y=f(2x-3)的定義域,先求函數y=f(x)的定義域,再求函數y=f(x+2)的定義域.
【方法總結】若已知函數y=f(x)的定義域為[a,b],則函數y=f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b解得.本題考查了數學抽象和數學運算素養.
鞏固訓練
已知函數f(x+1)的定義域為[-2,3],求f(2x-1)的定義域.
【隨堂檢測】
1.下列各圖中,可表示函數的圖象的是(　　).
　A 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
2.已知函數f(x)=,則f=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.a D.3a
3.將函數y=的定義域用區間表示為　　　　.
4.已知一個函數的對應關系為y=x2,它的值域為{1,4},這樣的函數有　　　　個.
23.1.1　對函數概念的再認識
【學習目標】
1.進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型.(數學抽象)
2.理解函數的概念,能用集合與對應的語言刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.(數學抽象)
3.通過實例領悟構成函數的三要素.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在初中我們學過哪幾類函數 函數的定義是什么
【答案】正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數.函數的定義為:在變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值,那么我們稱y是x的函數.其中x是自變量,y是因變量.
2.如何用集合語言來描述函數概念
【答案】設A,B是兩個非空實數集合,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任何一個數x,在集合B中都有唯一的數y和它對應,那么就稱這樣的對應關系f:A→B為集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x)(x∈A).
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數值域中的每一個數都有定義域中的數與之對應. (　　)
(2)函數的定義域和值域一定是無限集合. (　　)
(3)定義域和對應關系確定后,函數值域也就確定了. (　　)
(4)若函數的定義域中只有一個元素,則值域中也只有一個元素. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知函數f(x)=x2+2x-3,則f(-5)=(　　).
A.-38　　　B.12　　　C.17　　　D.32
【答案】B
【解析】因為函數f(x)=x2+2x-3,所以f(-5)=(-5)2+2×(-5)-3=12.
3.函數f(x)=+的定義域為　　　　　　.
【答案】[-2,0)∪(0,2]
【解析】由題意得解得-2≤x≤2,且x≠0,則函數的定義域為[-2,0)∪(0,2].
【合作探究】
探究1：函數的概念
情境設置
　　微信是即時聊天工具,通過微信,我們可以結交很多全國各地的新朋友,所以說現在微信成了我們很多人日常生活中不可缺少的一部分.大部分同學都有微信號,這樣微信號與同學之間就有對應關系,即微信號(可能不止一個)對應唯一一位同學.在數學領域也有類似的對應問題,即實數x(可能不止一個)對應實數y(唯一一個).
問題1:你知道這種對應關系在數學中叫什么嗎
【答案】函數.
問題2:有人認為“y=f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”,這種看法對嗎
【答案】這種看法不對.
問題3:f(x)與f(a)有何區別與聯系
【答案】f(x)是變量,是函數;f(a)是函數值.
新知生成
1.函數的定義
設A,B是兩個非空實數集合,如果按照某種確定的對應關系f,使得對于集合A中的任何一個數x,在集合B中都有唯一的數y和它對應,那么就稱這樣的對應關系f:A→B為集合A到集合B的一個函數,也記作y=f(x)(x∈A).
2.函數的定義域、值域
在函數的定義中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數的定義域,與x∈A對應的數y叫作函數值,記作f(x),所有函數值組成的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的值域.值域是集合B的子集.
新知運用
一、函數概念的理解
例1　判斷下列對應關系是否為集合A到集合B的函數.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=Z,B=Z,f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.
方法指導　結合函數的定義進行判斷.
【解析】(1)A中的元素0在B中沒有對應元素,故不是集合A到集合B的函數.
(2)對于集合A中的任意一個整數x,按照對應關系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一一個確定的整數x2與其對應,故是集合A到集合B的函數.
(3)集合A中的負整數沒有平方根,在集合B中沒有對應的元素,故不是集合A到集合B的函數.
(4)對于集合A中任意一個實數x,按照對應關系f:x→y=0,在集合B中都有唯一一個確定的數0和它對應,故是集合A到集合B的函數.
【方法總結】判斷對應關系是否為函數,主要從以下三個方面去判斷:
(1)A,B必須是非空實數集;
(2)A中任何一個元素在B中必須有元素與其對應;
(3)A中任何一個元素在B中的對應元素必須唯一.
二、求函數值
例2　設f(x)=2x2+2,g(x)=.
(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2));
(2)求g(f(x)).
方法指導　(1)直接把變量的取值代入相應函數解析式,求值即可;(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).
【解析】(1)因為f(x)=2x2+2,所以f(2)=2×22+2=10,f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.
因為g(x)=,
所以g(a)+g(0)=+=+(a≠-2),g(f(2))=g(10)==.
(2)g(f(x))===.
【方法總結】f(x)中的x可以是一個具體的數,也可以是一個字母或者是一個表達式,不管是什么,要求對應的函數值,只需把相應的x換成對應的數、字母或式子即可.
三、求函數的定義域
例3　求下列函數的定義域:
(1)f(x)=2+;
(2)f(x)=(x-1)0+;
(3)f(x)=·;
(4)f(x)=-.
方法指導　要求函數的定義域,只需分母不為0,偶次方根中被開方數大于或等于0,冪運算有意義即可.
【解析】(1)當且僅當x-2≠0,即x≠2時,函數f(x)有意義,
所以這個函數的定義域為{x|x≠2}.
(2)當且僅當即x>-1且x≠1時,函數f(x)有意義,
所以這個函數的定義域為{x|x>-1且x≠1}.
(3)當且僅當即1≤x≤3時,函數f(x)有意義,
所以這個函數的定義域為{x|1≤x≤3}.
(4)要使函數f(x)有意義,自變量x的取值必須滿足
解得x≤1且x≠-1,
即函數的定義域為{x|x≤1且x≠-1}.
【方法總結】求函數定義域的常用方法
(1)若f(x)是分式,則分母不為零.
(2)若f(x)是偶次根式,則被開方數大于或等于零.
(3)若f(x)是指數冪,則函數的定義域是使冪運算有意義的實數集合.
(4)若f(x)是由幾個式子構成的,則函數的定義域是幾個部分定義域的交集.
(5)若f(x)是實際問題的解析式,則函數的定義域應使實際問題有意義.
鞏固訓練
1.下列圖形中,y不是x的函數的是(　　).
A　　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　　D
【答案】D
【解析】任作一條垂直于x軸的直線x=a,移動直線,根據函數的定義可知,此直線與函數圖象至多有一個交點,結合選項可知D不滿足要求,因此D中圖形不表示函數關系.
2.已知f(x)=(x≠-1).
(1)求f(0)及ff的值;
(2)求f(1-x)及f(f(x));
(3)若f(x)=2,求x的值.
【解析】(1)f(0)==1.
∵f==,
　　∴ff=f==.
(2)f(1-x)==(x≠2).
f(f(x))=f==x(x≠-1).
(3)由f(x)==2,得1-x=2(1+x),
∴3x=-1,解得x=-.
3.求下列函數的定義域:
(1)f(x)=++4;
(2)f(x)=.
【解析】(1)要使函數有意義,必須滿足即所以≤x≤,即函數的定義域為,.
(2)要使函數有意義,必須滿足即解得所以函數的定義域為(-∞,-3)∪(-3,0).
探究2：相等函數
情境設置
　　已知f(t)=80t(0≤t≤5),g(x)=80x(0≤x≤5).
問題1:函數f(t),g(x)是不是同一個函數
【答案】是.
問題2:如果兩個函數相等,那么需要滿足怎樣的條件呢
【答案】兩個函數相等需要滿足定義域和解析式分別相同.
新知生成
1.確定函數的要素
確定一個函數主要取決于三個要素:定義域、對應關系和值域.
2.相等
兩個函數f(x)和g(x),當且僅當有相同的定義域U且對每一個x∈U都有f(x)=g(x)時,叫作相等.
新知運用
例4　(多選題)下列各組函數是相等函數的是(　　).
A.f(x)=與g(x)=x·
B.f(x)=x與g(x)=
C.f(x)=x0與g(x)=
D.f(x)=x2-x+1與g(t)=t2-t+1
【答案】CD
【解析】對于A,定義域都是(-∞,0],但解析式不相同;對于B,g(x)==|x|與f(x)=x的解析式不同;C,D是相等函數.
【方法總結】判斷相等函數的三個步驟和兩個注意點
(1)判斷相等函數的三個步驟
(2)兩個注意點
①在化簡解析式時,必須是等價變形;
②與用哪個字母表示無關.
鞏固訓練
下列函數中與函數y=x2是相等函數的是(　　).
A.u=v2　　　　　B.y=x·|x|
C.y= D.y=()4
【答案】A
【解析】函數y=x2的定義域為R,對于A,u=v2的定義域為R,對應法則與y=x2一致,則A正確;對于B,y=x·|x|的對應法則與y=x2不一致,則B錯誤;對于C,y=的定義域為{x|x≠0},則C錯誤;對于D,y=()4的定義域為{x|x≥0},則D錯誤.故選A.
探究3：求抽象函數的定義域
情境設置
問題1:若函數y=f(x)的定義域是[0,+∞),則函數y=f(x+1)的定義域是什么
【答案】因為函數y=f(x)的定義域是[0,+∞),所以令x+1≥0,解得x≥-1,所以函數y=f(x+1)的定義域是[-1,+∞).
問題2:已知函數y=f(x+1)的定義域是[1,2],這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍 函數y=f(x)的定義域是什么
【答案】[1,2]是自變量x的取值范圍.函數y=f(x)的定義域是x+1的取值范圍,即[2,3].
新知運用
例5　(1)已知函數y=f(x)的定義域為[-2,3],求函數y=f(2x-3)的定義域;
(2)已知函數y=f(2x-3)的定義域是[-2,3],求函數y=f(x+2)的定義域.
方法指導　(1)由函數y=f(x)的定義域為[-2,3],解不等式-2≤2x-3≤3即可.
(2)由函數y=f(2x-3)的定義域,先求函數y=f(x)的定義域,再求函數y=f(x+2)的定義域.
【解析】(1)因為函數y=f(x)的定義域為[-2,3],即x∈[-2,3],函數y=f(2x-3)中2x-3的范圍與函數y=f(x)
中x的范圍相同,所以-2≤2x-3≤3,解得≤x≤3,所以函數y=f(2x-3)的定義域為,3.
(2)因為x∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],即函數y=f(x)的定義域為[-7,3],
令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函數y=f(x+2)的定義域為[-9,1].
【方法總結】若已知函數y=f(x)的定義域為[a,b],則函數y=f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b解得.本題考查了數學抽象和數學運算素養.
鞏固訓練
已知函數f(x+1)的定義域為[-2,3],求f(2x-1)的定義域.
【解析】∵f(x+1)的定義域為[-2,3],
∴-1≤x+1≤4,∴f(x)的定義域為[-1,4].
要使f(2x-1)有意義,需使-1≤2x-1≤4,
∴0≤x≤,
∴函數f(2x-1)的定義域為0,.
【隨堂檢測】
1.下列各圖中,可表示函數的圖象的是(　　).
　A 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
【答案】D
【解析】根據函數的定義作與x軸垂直的直線,直線與函數圖象至多有一個交點,只有D符合.
2.已知函數f(x)=,則f=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.a D.3a
【答案】D
【解析】f=3a,故選D.
3.將函數y=的定義域用區間表示為　　　　.
【答案】(-∞,0)∪(0,1]
【解析】由解得x≤1且x≠0,
用區間表示為(-∞,0)∪(0,1].
4.已知一個函數的對應關系為y=x2,它的值域為{1,4},這樣的函數有　　　　個.
【答案】9
【解析】因為函數的對應關系為y=x2,它的值域為{1,4},所以函數的定義域可以為{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-1,2},{-1,1,-2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,-2,2},共9種可能,故這樣的函數共9個.
2

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