資源簡介

3.1.2　表示函數(shù)的方法
【學習目標】
1.掌握函數(shù)的三種表示方法:解析法、列表法、圖象法.(數(shù)學抽象)
2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).(邏輯推理)
3.會作函數(shù)的圖象并從圖象上獲取有用的信息.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
　　在初中我們已經(jīng)學習過函數(shù)的三種表示方法:列表法、圖象法和解析法.下表列出的是正方形面積的變化情況:
邊長x/m 1 1.5 2 2.5 3
面積y/m2 1 2.25 4 6.25 9
1.這份表格表示的是函數(shù)關(guān)系嗎
2.表格中只給出了x與y的五對函數(shù)值,當x在(0,+∞)變化時,如何表示正方形的邊長與面積的關(guān)系式
3.列表法和解析法都不能直觀地看出y是如何隨著x的變化而變化的,如何形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況呢
自學檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示. (　　)
(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=2x+1不能用列表法表示. (　　)
(4)函數(shù)圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線. (　　)
2.已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)=(　　).
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.不存在
3.已知函數(shù)f(x)=x-,且此函數(shù)圖象過點(5,4),則實數(shù)m的值為　　　　.
4.已知函數(shù)f(2x+1)=6x+5,則f(x)的解析式是　　　　.
【合作探究】
探究1：解析法
情境設(shè)置
　　網(wǎng)購女鞋時,常常會看到一張女鞋尺碼對照表如下,第一行是我們習慣稱呼的“鞋號”(單位:號),第二行是腳長(單位:mm).
鞋號 35 36 37 38 39
腳長 225 230 235 240 245
　　問題1:根據(jù)表中數(shù)據(jù),試問“腳長”與“鞋號”之間是函數(shù)關(guān)系嗎 若是,則是什么函數(shù)關(guān)系
問題2:你能求出“腳長”與“鞋號”之間的函數(shù)關(guān)系嗎
問題3:根據(jù)表中數(shù)據(jù),如果他們家正好有一款“32號”的女鞋在搞打折,那么適合購買這款鞋的腳長的取值范圍是多少
新知生成
1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
當已知所要求的解析式f(x)的類型時,如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等,即可設(shè)出f(x)的解析式,然后根據(jù)已知條件確定其系數(shù).
2.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的三種方法:
(1)換元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一個含t的解析式,即函數(shù)f(x)的解析式,注意換元后新元的范圍.
(2)配湊法,即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”,即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程組法,當同一個對應(yīng)關(guān)系中含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)的關(guān)系時,可構(gòu)造方程組求解.
新知運用
例1　(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
方法指導　(1)利用待定系數(shù)法求解;(2)用換元法或配湊法求解;(3)構(gòu)造方程組求解.
【方法總結(jié)】1.如果已知函數(shù)類型,可以用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
2.如果已知f(g(x))的表達式,想求f(x)的解析式,可以設(shè)t=g(x),然后把f(g(x))表達式中的每一個x都換成t的表達式.
3.如果條件是一個關(guān)于f(x),f(-x)或f的方程,我們可以利用x的任意性進行賦值,如把每一個x換成-x或,其目的是再得到一個關(guān)于f(x),f(-x)或f的方程,然后利用消元法消去f(-x)或f.
鞏固訓練
1.已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)為一次函數(shù),且一次項系數(shù)大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表達式.
2.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
探究2：列表法
情境設(shè)置
　　某同學購買x(x∈{1,2,3,4,5})張單價為20元的科技館門票,需要y元.
問題1:你能用解析法將y表示成x的函數(shù)嗎
問題2:你能用列表的形式將y表示成x的函數(shù)嗎
　　問題3:一個函數(shù)是否可以同時用解析法和列表法表示呢
新知生成
1.列表法:列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.
2.列表法的優(yōu)點是具體易用,不懂數(shù)學運算的人也能查表做事,缺點是不夠全面.
新知運用
例2　某商場新購進了10臺彩電,每臺售價3000元,試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系,用列表法表示出來.
【方法總結(jié)】列表法,不用計算,看表就能知道函數(shù)值,但當自變量較多時,列表不易實現(xiàn).
鞏固訓練
已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
　　則f(g(1))的值為　　　　;當g(f(x))=2時,x=　　　　.
探究3：圖象法
情境設(shè)置
　　 下表是盧老師所在的高中某班3名同學在高一學年度6次數(shù)學測試的成績及班級平均分表.
姓名 測試序號
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王偉 98 87 91 92 88 95
張城 90 76 88 75 86 80
趙磊 88 78 85 80 75 82
班級 平均分 68 65 73 72 75 82
　　問題1:請你對這三位同學在高一學年的數(shù)學學習情況做一個分析.
問題2:你能將每位同學的成績和測試序號之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象表示出來嗎 并給出分析.
新知生成
　　畫函數(shù)圖象的一般步驟為列表、描點、連線.在運用描點法作函數(shù)圖象時應(yīng)注意以下幾點:
(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域,即在定義域內(nèi)作圖;
(2)圖象是實線或?qū)嶞c,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象;
(3)要標出某些關(guān)鍵點,例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等,要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.
新知運用
例3　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.
(1)y=,x∈[2,+∞);
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2).
方法指導　通過“列表→描點→連線”作出函數(shù)圖象,借助圖象求出函數(shù)值域.
【方法總結(jié)】一般地,作函數(shù)圖象主要有三步:列表、描點、連線.作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式,再列表畫出圖象,畫圖時要注意一些關(guān)鍵點,如函數(shù)圖象與坐標軸的交點、端點、頂點等.常借助函數(shù)圖象研究定義域、值域、函數(shù)變化趨勢及兩個函數(shù)圖象的交點問題.
提醒:函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等.
鞏固訓練
　　作出下列各函數(shù)的圖象,并寫出其值域.
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3.
【隨堂檢測】
1.某校高中部舉行秋季田徑運動會,甲、乙、丙、丁4位同學代表高一(1)班參加男子組4×100米接力跑比賽,甲同學負責跑第二棒.在比賽中,從甲接到接力棒到甲送出接力棒,甲同學的跑步速率v(單位:m/s)關(guān)于跑步時間t(單位:s)的函數(shù)圖象最可能是(　　).
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
2.已知函數(shù)f(x+1)=3x+2,則f(x)的解析式是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
3.若f(x)是一次函數(shù),2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,則f(x)=　　　　　.
4.已知函數(shù)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)畫出f(x)圖象的簡圖.
(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.
23.1.2　表示函數(shù)的方法
【學習目標】
1.掌握函數(shù)的三種表示方法:解析法、列表法、圖象法.(數(shù)學抽象)
2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).(邏輯推理)
3.會作函數(shù)的圖象并從圖象上獲取有用的信息.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
　　在初中我們已經(jīng)學習過函數(shù)的三種表示方法:列表法、圖象法和解析法.下表列出的是正方形面積的變化情況:
邊長x/m 1 1.5 2 2.5 3
面積y/m2 1 2.25 4 6.25 9
1.這份表格表示的是函數(shù)關(guān)系嗎
【答案】根據(jù)函數(shù)的定義,這份表格表示的是函數(shù)關(guān)系.
2.表格中只給出了x與y的五對函數(shù)值,當x在(0,+∞)變化時,如何表示正方形的邊長與面積的關(guān)系式
【答案】可用解析法表示,即y=x2,x∈(0,+∞).
3.列表法和解析法都不能直觀地看出y是如何隨著x的變化而變化的,如何形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況呢
【答案】可用圖象法表示函數(shù),如圖所示.
自學檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示. (　　)
(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=2x+1不能用列表法表示. (　　)
(4)函數(shù)圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線. (　　)
【答案】(1)×　 (2)×　 (3)√　(4)×
2.已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)=(　　).
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.不存在
【答案】C
【解析】∵當23.已知函數(shù)f(x)=x-,且此函數(shù)圖象過點(5,4),則實數(shù)m的值為　　　　.
【答案】5
【解析】將點(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.
4.已知函數(shù)f(2x+1)=6x+5,則f(x)的解析式是　　　　.
【答案】f(x)=3x+2
【解析】(法一)令2x+1=t,則x=,所以f(t)=6×+5=3t+2,所以f(x)=3x+2.
(法二)因為f(2x+1)=3(2x+1)+2,所以f(x)=3x+2.
【合作探究】
探究1：解析法
情境設(shè)置
　　網(wǎng)購女鞋時,常常會看到一張女鞋尺碼對照表如下,第一行是我們習慣稱呼的“鞋號”(單位:號),第二行是腳長(單位:mm).
鞋號 35 36 37 38 39
腳長 225 230 235 240 245
　　問題1:根據(jù)表中數(shù)據(jù),試問“腳長”與“鞋號”之間是函數(shù)關(guān)系嗎 若是,則是什么函數(shù)關(guān)系
【答案】根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫圖(圖略)可知,“腳長”與“鞋號”之間是函數(shù)關(guān)系,且是一次函數(shù)關(guān)系.
問題2:你能求出“腳長”與“鞋號”之間的函數(shù)關(guān)系嗎
【答案】設(shè)“腳長”為y,“鞋號”為x,根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)x與y滿足y=5x+50的函數(shù)關(guān)系.
問題3:根據(jù)表中數(shù)據(jù),如果他們家正好有一款“32號”的女鞋在搞打折,那么適合購買這款鞋的腳長的取值范圍是多少
【答案】由問題2可知,當x=32時,y=5×32+50=210,所以適合購買這款鞋的腳長的取值范圍是(205,210].
新知生成
1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
當已知所要求的解析式f(x)的類型時,如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等,即可設(shè)出f(x)的解析式,然后根據(jù)已知條件確定其系數(shù).
2.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的三種方法:
(1)換元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一個含t的解析式,即函數(shù)f(x)的解析式,注意換元后新元的范圍.
(2)配湊法,即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”,即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程組法,當同一個對應(yīng)關(guān)系中含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)的關(guān)系時,可構(gòu)造方程組求解.
新知運用
例1　(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
方法指導　(1)利用待定系數(shù)法求解;(2)用換元法或配湊法求解;(3)構(gòu)造方程組求解.
【解析】(1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),
則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4,
所以解得k=3,b=1或k=-3,b=-2,所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)(法一:配湊法)因為f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
(法二:換元法)令+1=t(t≥1),則x=(t-1)2(t≥1),
所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(3)f(x)+2f=x,
以代換x,得f+2f(x)=.
解方程組解得f(x)=-(x≠0).
【方法總結(jié)】1.如果已知函數(shù)類型,可以用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
2.如果已知f(g(x))的表達式,想求f(x)的解析式,可以設(shè)t=g(x),然后把f(g(x))表達式中的每一個x都換成t的表達式.
3.如果條件是一個關(guān)于f(x),f(-x)或f的方程,我們可以利用x的任意性進行賦值,如把每一個x換成-x或,其目的是再得到一個關(guān)于f(x),f(-x)或f的方程,然后利用消元法消去f(-x)或f.
鞏固訓練
1.已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)為一次函數(shù),且一次項系數(shù)大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表達式.
【解析】由g(x)為一次函數(shù),設(shè)g(x)=ax+b(a>0),
∵f(g(x))=4x2-20x+25,
∴(ax+b)2=4x2-20x+25,
即a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25,
從而a2=4,2ab=-20,b2=25,
解得a=2,b=-5,故g(x)=2x-5(x∈R).
2.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
【解析】將f(x)+2f(-x)=x2+2x中的x用-x替換,得f(-x)+2f(x)=x2-2x.于是得到關(guān)于f(x),f(-x)的方程組解得f(x)=x2-2x.
探究2：列表法
情境設(shè)置
　　某同學購買x(x∈{1,2,3,4,5})張單價為20元的科技館門票,需要y元.
問題1:你能用解析法將y表示成x的函數(shù)嗎
【答案】y=20x,x∈{1,2,3,4,5}.
問題2:你能用列表的形式將y表示成x的函數(shù)嗎
　　【答案】
x/張 1 2 3 4 5
y/元 20 40 60 80 100
　　問題3:一個函數(shù)是否可以同時用解析法和列表法表示呢
【答案】不一定,如函數(shù)y=x+1,x∈R,不可能用列表法來表示.
新知生成
1.列表法:列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.
2.列表法的優(yōu)點是具體易用,不懂數(shù)學運算的人也能查表做事,缺點是不夠全面.
新知運用
例2　某商場新購進了10臺彩電,每臺售價3000元,試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系,用列表法表示出來.
【解析】列表法:
x/臺 1 2 3 4 5
y/元 3000 6000 9000 12000 15000
x/臺 6 7 8 9 10
y/元 18000 21000 24000 27000 30000
【方法總結(jié)】列表法,不用計算,看表就能知道函數(shù)值,但當自變量較多時,列表不易實現(xiàn).
鞏固訓練
已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
　　則f(g(1))的值為　　　　;當g(f(x))=2時,x=　　　　.
【答案】1　1
【解析】由題中表格可知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.∵g(2)=2,∴f(x)=2,∴x=1.
探究3：圖象法
情境設(shè)置
　　 下表是盧老師所在的高中某班3名同學在高一學年度6次數(shù)學測試的成績及班級平均分表.
姓名 測試序號
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王偉 98 87 91 92 88 95
張城 90 76 88 75 86 80
趙磊 88 78 85 80 75 82
班級 平均分 68 65 73 72 75 82
　　問題1:請你對這三位同學在高一學年的數(shù)學學習情況做一個分析.
【答案】從表中可以知道每位同學在每次測試中的成績,但不太容易分析每位同學的成績變化情況.
問題2:你能將每位同學的成績和測試序號之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象表示出來嗎 并給出分析.
【答案】
　　從圖象中我們可以直觀地看出:王偉同學的成績一直穩(wěn)定在班級的前茅,張城同學的成績波動較大,趙磊同學的成績整體有下降趨勢,但三位同學的成績基本上都大幅領(lǐng)先于班級平均水平.
新知生成
　　畫函數(shù)圖象的一般步驟為列表、描點、連線.在運用描點法作函數(shù)圖象時應(yīng)注意以下幾點:
(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域,即在定義域內(nèi)作圖;
(2)圖象是實線或?qū)嶞c,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象;
(3)要標出某些關(guān)鍵點,例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等,要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.
新知運用
例3　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.
(1)y=,x∈[2,+∞);
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2).
方法指導　通過“列表→描點→連線”作出函數(shù)圖象,借助圖象求出函數(shù)值域.
【解析】(1)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
　　當x∈[2,+∞)時,圖象是反比例函數(shù)y=圖象的一部分,觀察圖象可知其值域為(0,1].
(2)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
　　該函數(shù)圖象是拋物線y=x2+2x在-2≤x<2之間的部分.
由圖可得函數(shù)的值域為[-1,8).
【方法總結(jié)】一般地,作函數(shù)圖象主要有三步:列表、描點、連線.作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式,再列表畫出圖象,畫圖時要注意一些關(guān)鍵點,如函數(shù)圖象與坐標軸的交點、端點、頂點等.常借助函數(shù)圖象研究定義域、值域、函數(shù)變化趨勢及兩個函數(shù)圖象的交點問題.
提醒:函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等.
鞏固訓練
　　作出下列各函數(shù)的圖象,并寫出其值域.
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3.
【解析】(1)這個函數(shù)的圖象由一些點組成,這些點都在直線y=1-x上,又x∈Z,從而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的圖象是直線y=1-x上一些孤立的點,如圖所示:
其值域為{y|y=1-x,x∈Z}.
(2)因為0≤x<3,所以這個函數(shù)的圖象是拋物線y=2x2-4x-3介于0≤x<3之間的一段,如圖所示:
其值域為[-5,3).
【隨堂檢測】
1.某校高中部舉行秋季田徑運動會,甲、乙、丙、丁4位同學代表高一(1)班參加男子組4×100米接力跑比賽,甲同學負責跑第二棒.在比賽中,從甲接到接力棒到甲送出接力棒,甲同學的跑步速率v(單位:m/s)關(guān)于跑步時間t(單位:s)的函數(shù)圖象最可能是(　　).
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【答案】C
【解析】甲在接棒前要進行助跑,接棒后要進行快跑加速,達到最大速度后需要保持勻速到送出棒,之后減速直到送出棒給下一位同學.所以函數(shù)圖象先上升,再水平,最后下降.
2.已知函數(shù)f(x+1)=3x+2,則f(x)的解析式是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
【答案】A
【解析】令x+1=t,則x=t-1,
∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1.∴f(x)=3x-1.
3.若f(x)是一次函數(shù),2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,則f(x)=　　　　　.
【答案】3x-2
【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),
由題設(shè)有
解得
所以f(x)=3x-2.
4.已知函數(shù)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)畫出f(x)圖象的簡圖.
(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.
(2)觀察f(x)的圖象可知,f(x)圖象上所有點的縱坐標的取值范圍是[-1,3],
即f(x)的值域是[-1,3].
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