資源簡介

3.2.1 課時2 函數的最大(小)值
【學習目標】
1.借助函數圖象,理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(數學抽象、直觀想象)
2.能借助函數的圖象和單調性,求一些簡單函數的最值.(數學運算)
3.掌握函數圖象的畫法及解析式的求法.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是函數的最大值、最小值
【答案】如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最大值M=f(a),稱M為f(x)的最大值;如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=b處取到最小值m=f(b),稱m為f(x)的最小值.
2.從函數圖象可以看出,函數f(x)最大(小)值的幾何意義是什么
【答案】函數最大(小)值的幾何意義是f(x)圖象上最高(低)點的縱坐標.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若對任意x∈I,都有f(x)≤M,則M是函數f(x)的最大值. (　　)
(2)若函數有最值,則最值一定是其值域中的一個元素. (　　)
(3)若函數的值域是確定的,則它一定有最值. (　　)
(4)函數的最大值一定比最小值大. (　　)
(5)若函數f(x)在區間[-1,2]上單調遞減,則函數f(x)在區間[-1,2]上的最大值為f(-1). (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.函數y=f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則此函數的最小值、最大值分別是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1,0 B.0,2
C.-1,2 D.,2
【答案】C
【解析】由題圖可得,函數f(x)在x=-2處取得最小值,最小值為-1,在x=1處取得最大值,最大值為2,故選C.
3.函數y=x2-2x+2在區間[-2,3]上的最大值、最小值分別是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不對
【答案】B
【解析】因為y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以當x=1時,ymin=1;當x=-2時,ymax=(-2-1)2+1=10.故選B.
4.已知函數f(x)=,x∈[1,2],則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
【答案】1　
【解析】∵f(x)=在區間[1,2]上單調遞減,∴f(2)≤f(x)≤f(1),即≤f(x)≤1.
【合作探究】
探究1：函數的最大(小)值
情境設置
　　觀察函數圖象:
問題1:函數f(x)的定義域是什么
【答案】[-4,7].
問題2:函數f(x)圖象的最高點及最低點的縱坐標分別是什么
【答案】3,-1.5.
問題3:函數y=f(x)的值域是什么
【答案】[-2,3].
新知生成
1.最大值、最大值點
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最大值M=f(a),稱M為函數f(x)的最大值,a為f(x)的最大值點.同樣方法可以寫出f(x)的最小值和最小值點.
2.最值
最大值和最小值統稱為最值.
新知運用
一、利用函數的圖象求函數的最值(值域)
例1　已知函數f(x)=
(1)在直角坐標系內畫出f(x)的圖象;
(2)根據函數的圖象寫出函數的單調區間和值域.
方法指導　先作出函數的圖象,再利用圖象求函數的最值(值域).
【解析】(1)f(x)的圖象如圖所示.
(2)由圖可知f(x)的單調遞增區間為(-1,0),(2,5),單調遞減區間為(0,2),值域為[-1,3].
【方法總結】利用圖象求函數最值的方法
(1)畫出函數y=f(x)的圖象;
(2)觀察圖象,找出圖象的最高點和最低點;
(3)寫出最值,最高點的縱坐標是函數的最大值,最低點的縱坐標是函數的最小值.
二、利用單調性求最值
例2　已知函數f(x)=.
(1)討論函數f(x)在[2,3]上的單調性;
(2)求函數f(x)在[2,3]上的最大值和最小值.
方法指導　(1)用單調性的定義證明函數的單調性;(2)由單調性即可證明函數在閉區間上的最值.
【解析】(1)設 x1,x2∈[2,3],且x1則f(x1)-f(x2)=-==,
因為2≤x11,即1-x1x2<0,
又(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函數f(x)=在[2,3]上單調遞減.
(2)由(1)知,f(x)=在[2,3]上單調遞減,
所以當x=2時,f(x)取得最大值,最大值為;當x=3時,f(x)取得最小值,最小值為.
【方法總結】利用單調性求函數的最大(小)值的一般步驟:(1)判斷函數的單調性;(2)利用單調性求出最大(小)值.
鞏固訓練
1.已知函數f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
【解析】作出函數f(x)的圖象,如圖所示.
由圖象可知,當x=±1時,f(x)取最大值,最大值為f(±1)=1;當x=0時,f(x)取最小值,最小值為f(0)=0.
故f(x)的最大值為1,最小值為0.
2.已知函數f(x)=ax+的圖象經過點A(1,0),B2,-.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷函數f(x)在(0,+∞)上的單調性并用定義證明;
(3)求f(x)在區間,1上的值域.
【解析】(1)∵函數f(x)=ax+的圖象過點A(1,0),B2,-,
∴解得
∴f(x)=-x+.
(2)函數f(x)=-x+在(0,+∞)上為減函數.
證明如下:設任意x1,x2∈(0,+∞),且x1∴f(x1)-f(x2)=-x1+--x2+=(x2-x1)+=.
∵x2>x1>0,∴x2-x1>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函數f(x)=-x+在(0,+∞)上為減函數.
(3)由(2)知,函數f(x)=-x+在,1上為減函數,
∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f=,
∴函數f(x)在區間,1上的值域為0,.
探究2：二次函數的最值問題
情境設置
　　如圖,用一段長為50 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長25 m.
問題1:如何表示矩形的面積
【答案】設AB為x米,矩形的面積為S平方米,
則AD為(50-2x)米,由0<50-2x≤25,得12.5≤x<25,
所以矩形的面積S=x(50-2x)(12.5≤x<25).
問題2:如何求圍成的矩形菜園ABCD的面積的最大值
【答案】矩形的面積S=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5,
所以當x=12.5時,矩形面積S取得最大值,最大值為312.5平方米.
問題3:你能歸納求二次函數最值的方法嗎
【答案】求解二次函數最值問題的方法:
(1)確定對稱軸與拋物線的開口方向并作圖.
(2)在圖象上標出定義域的位置.
(3)觀察函數圖象,通過函數的單調性寫出最值.
新知生成
　　二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)具有對稱性、增減性、最值等性質,即對于y=ax2+bx+c=ax+2+,
①其圖象是拋物線,關于直線x=-成軸對稱圖形;
②若a>0,則函數在區間-∞,-上是減函數,在區間-,+∞上是增函數;
③若a<0,則函數在區間-∞,-上是增函數,在區間-,+∞上是減函數;
④若a>0,則當x=-時,y有最小值,為,若a<0,則當x=-時,y有最大值,為.
新知運用
例3　求f(x)=x2-2ax-1在區間[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).
方法指導　二次函數在指定區間上的最值與二次函數的開口方向、對稱軸有關,求解時利用二次函數圖象,進行分類討論.
【解析】f(x)=(x-a)2-1-a2,對稱軸為直線x=a.
當a<0時,由圖①可知,f(x)在區間[0,2]上單調遞增,
所以f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
當0≤a≤1時,由圖②可知,對稱軸在區間[0,2]內,
所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
當1所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
當a>2時,由圖④可知,f(x)在[0,2]上單調遞減,
所以f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
　　綜上,M(a)=m(a)=
【方法總結】含參數的二次函數最值問題的解法
解決含參數的二次函數最值問題,首先將二次函數化為y=a(x+h)2+k的形式,然后通過a的符號確定拋物線的開口方向,接著由對稱軸為直線x=-h得出頂點的位置,最后根據x的定義域區間結合大致圖象確定最大值或最小值.
鞏固訓練
已知函數f(x)=x2-ax+1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)當a=1時,求f(x)在閉區間[t,t+1](t∈R)上的最小值.
【解析】(1)因為函數f(x)=x2-ax+1的圖象開口向上,其對稱軸為直線x=,所以區間[0,1]的哪一個端點離對稱軸遠,則在哪個端點取到最大值,
當≤,即a≤1時,f(x)的最大值為f(1)=2-a;
當>,即a>1時,f(x)的最大值為f(0)=1.
綜上,f(x)max=
(2)當a=1時,f(x)=x2-x+1,其圖象的對稱軸為直線x=.
①當t≥時,f(x)在[t,t+1]上單調遞增,
所以f(x)min=f(t)=t2-t+1;
②當t+1≤,即t≤-時,f(x)在[t,t+1]上單調遞減,
所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1;
　　③當t<所以f(x)min=f=.
綜上,f(x)min=
【隨堂檢測】
1.函數f(x)在[-2,+∞)上的圖象如圖所示,則此函數在[-2,+∞)上的最大值、最小值分別為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,0 B.3,1
C.3,無最小值 D.3,-2
【答案】C
【解析】觀察圖象可知,圖象的最高點坐標是(0,3),故其最大值是3;無最低點,即該函數不存在最小值.故選C.
2.函數y=ax+2在[1,2]上的最大值與最小值的差為3,則實數a為(　　).
A.3 B.-3
C.0 D.3或-3
【答案】D
【解析】①當a=0時,y=ax+2=2,不符合題意;
②當a>0時,y=ax+2在[1,2]上單調遞增,則(2a+2)-(a+2)=3,解得a=3;
③當a<0時,y=ax+2在[1,2]上單調遞減,則(a+2)-(2a+2)=3,解得a=-3.
綜上,a=±3.
3.對任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.則實數m的取值范圍是(　　).
A.,+∞ B.-∞,
C. D.(-∞,2]
【答案】B
【解析】由題意知,對任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.
設f(x)=x2-x+,x∈[-1,1],因為f(x)=x2-x+=x-2+,所以當x=時,函數f(x)=x2-x+,x∈[-1,1]取得最小值,最小值為,所以m≤.故選B.
4.畫出函數f(x)=的圖象,并寫出函數f(x)的單調區間及最小值.
【解析】作出函數f(x)的圖象,如圖所示.
由圖象可知,f(x)的單調遞增區間為(-∞,0)和[0,+∞),無單調遞減區間,函數f(x)的最小值為f(0)=-1.
23.2.1 課時2 函數的最大(小)值
【學習目標】
1.借助函數圖象,理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(數學抽象、直觀想象)
2.能借助函數的圖象和單調性,求一些簡單函數的最值.(數學運算)
3.掌握函數圖象的畫法及解析式的求法.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是函數的最大值、最小值
2.從函數圖象可以看出,函數f(x)最大(小)值的幾何意義是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若對任意x∈I,都有f(x)≤M,則M是函數f(x)的最大值. (　　)
(2)若函數有最值,則最值一定是其值域中的一個元素. (　　)
(3)若函數的值域是確定的,則它一定有最值. (　　)
(4)函數的最大值一定比最小值大. (　　)
(5)若函數f(x)在區間[-1,2]上單調遞減,則函數f(x)在區間[-1,2]上的最大值為f(-1). (　　)
2.函數y=f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則此函數的最小值、最大值分別是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1,0 B.0,2
C.-1,2 D.,2
3.函數y=x2-2x+2在區間[-2,3]上的最大值、最小值分別是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不對
4.已知函數f(x)=,x∈[1,2],則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
【合作探究】
探究1：函數的最大(小)值
情境設置
　　觀察函數圖象:
問題1:函數f(x)的定義域是什么
問題2:函數f(x)圖象的最高點及最低點的縱坐標分別是什么
問題3:函數y=f(x)的值域是什么
新知生成
1.最大值、最大值點
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最大值M=f(a),稱M為函數f(x)的最大值,a為f(x)的最大值點.同樣方法可以寫出f(x)的最小值和最小值點.
2.最值
最大值和最小值統稱為最值.
新知運用
一、利用函數的圖象求函數的最值(值域)
例1　已知函數f(x)=
(1)在直角坐標系內畫出f(x)的圖象;
(2)根據函數的圖象寫出函數的單調區間和值域.
方法指導　先作出函數的圖象,再利用圖象求函數的最值(值域).
【方法總結】利用圖象求函數最值的方法
(1)畫出函數y=f(x)的圖象;
(2)觀察圖象,找出圖象的最高點和最低點;
(3)寫出最值,最高點的縱坐標是函數的最大值,最低點的縱坐標是函數的最小值.
二、利用單調性求最值
例2　已知函數f(x)=.
(1)討論函數f(x)在[2,3]上的單調性;
(2)求函數f(x)在[2,3]上的最大值和最小值.
方法指導　(1)用單調性的定義證明函數的單調性;(2)由單調性即可證明函數在閉區間上的最值.
【方法總結】利用單調性求函數的最大(小)值的一般步驟:(1)判斷函數的單調性;(2)利用單調性求出最大(小)值.
鞏固訓練
1.已知函數f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
2.已知函數f(x)=ax+的圖象經過點A(1,0),B2,-.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷函數f(x)在(0,+∞)上的單調性并用定義證明;
(3)求f(x)在區間,1上的值域.
探究2：二次函數的最值問題
情境設置
　　如圖,用一段長為50 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長25 m.
問題1:如何表示矩形的面積
問題2:如何求圍成的矩形菜園ABCD的面積的最大值
問題3:你能歸納求二次函數最值的方法嗎
新知生成
　　二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)具有對稱性、增減性、最值等性質,即對于y=ax2+bx+c=ax+2+,
①其圖象是拋物線,關于直線x=-成軸對稱圖形;
②若a>0,則函數在區間-∞,-上是減函數,在區間-,+∞上是增函數;
③若a<0,則函數在區間-∞,-上是增函數,在區間-,+∞上是減函數;
④若a>0,則當x=-時,y有最小值,為,若a<0,則當x=-時,y有最大值,為.
新知運用
例3　求f(x)=x2-2ax-1在區間[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).
方法指導　二次函數在指定區間上的最值與二次函數的開口方向、對稱軸有關,求解時利用二次函數圖象,進行分類討論.
【方法總結】含參數的二次函數最值問題的解法
解決含參數的二次函數最值問題,首先將二次函數化為y=a(x+h)2+k的形式,然后通過a的符號確定拋物線的開口方向,接著由對稱軸為直線x=-h得出頂點的位置,最后根據x的定義域區間結合大致圖象確定最大值或最小值.
鞏固訓練
已知函數f(x)=x2-ax+1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)當a=1時,求f(x)在閉區間[t,t+1](t∈R)上的最小值.
【隨堂檢測】
1.函數f(x)在[-2,+∞)上的圖象如圖所示,則此函數在[-2,+∞)上的最大值、最小值分別為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,0 B.3,1
C.3,無最小值 D.3,-2
2.函數y=ax+2在[1,2]上的最大值與最小值的差為3,則實數a為(　　).
A.3 B.-3
C.0 D.3或-3
3.對任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.則實數m的取值范圍是(　　).
A.,+∞ B.-∞,
C. D.(-∞,2]
4.畫出函數f(x)=的圖象,并寫出函數f(x)的單調區間及最小值.
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