資源簡介

3.2.2 課時2 函數單調性和奇偶性的綜合應用
【學習目標】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(邏輯推理)
2.理解奇偶性對單調性的影響并能用以比較大小、求最值和解不等式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
　　圖(1)和圖(2)分別是偶函數和奇函數的一部分圖象.
1.你能結合奇偶函數圖象的特征畫出相應圖象的另一部分嗎
2.就圖(1)而言,函數在區間(-∞,-2]與[2,+∞)上的單調性是否相同 就圖(2)而言,函數在區間-,0與0,上的單調性是否相同
自學檢測
1.若函數f(x)是R上的偶函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增,則下列關系成立的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
2.若f(x)為R上的奇函數,且在區間[0,+∞)上單調遞減,則f(-1)　　　　f(1).(填“>”“=”或“<”)
3.如果奇函數f(x)在區間[-7,-3]上單調遞減,那么函數f(x)在區間[3,7]上單調遞　　　　.
4.函數f(x)為偶函數,若當x>0時,f(x)=x,則當x<0時,f(x)=　　　　.
【合作探究】
探究1：利用奇偶性求函數解析式
情境設置
　　小米給出條件“當x>0時,f(x)=-x+1”,再添加適當條件,求函數f(x)的解析式.
問題1:若添加“函數f(x)是定義域為R的奇函數”,如何求解
　　問題2:若添加“函數f(x)是定義域為R的偶函數,f(0)=1”,如何求解
問題3:根據上述探究,歸納求函數解析式的方法.
新知生成
　　利用函數奇偶性求解析式的方法
(1)“求誰設誰”,即在哪個區間上求解析式,x就應在哪個區間上設.
(2)把x變形為滿足已知條件的區間.
(3)要利用已知區間的解析式進行代入.
(4)利用f(x)的奇偶性寫出-f(-x)或f(-x),從而解出f(x).
特別提醒:若函數f(x)的定義域內含0且為奇函數,則必有f(0)=0,但若為偶函數,未必有f(0)=0.
新知運用
一、定義法求函數解析式
例1　已知f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
　　【變式探究】若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.
二、方程組法求函數解析式
例2　設f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=(x≠±1),求函數f(x),g(x)的解析式.
【方法總結】已知函數f(x),g(x)的組合運算與奇偶性,則把x換為-x,構造方程組求解.
鞏固訓練
1.已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2+2x,則當x<0時,f(x)的表達式是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=-x2-2x
C.f(x)=x2-2x D.f(x)=x2+2x
2.已知函數f(x)為偶函數,且當x<0時,f(x)=x+1,則當x>0時,f(x)=　　　　.
探究2：奇偶性與單調性的綜合應用
情境設置
　　問題1:如果奇函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增,那么f(x)在(-b,-a)上的單調性如何
問題2:如果偶函數f(x)在區間(a,b)上單調遞減,那么f(x)在(-b,-a)上的單調性如何
問題3:你能否把上述問題所得出的結論用一句話概括出來
問題4:如果偶函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增,那么f(3)和f(-2)的大小關系如何 若f(a)>f(b),你能得到什么結論
新知生成
　　奇函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的單調性;
偶函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的單調性.
新知運用
一、比較大小
例3　設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是(　　).
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【方法總結】利用函數的奇偶性與單調性比較大小
(1)自變量在同一單調區間上,直接利用函數的單調性比較大小.
(2)自變量不在同一單調區間上,需先利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上,然后利用單調性比較大小.
二、解不等式
例4　設定義在[-3,3]上的奇函數f(x)在區間[0,3]上是減函數,若f(1-m)【方法總結】解決不等式問題時一定要充分利用已知條件,先把已知的不等式轉化為f(x1)>f(x2)或f(x1)鞏固訓練
1.已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,則f(1)和f(-10)的大小關系為(　　).
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)和f(-10)的大小關系不定
2.已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,且f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是　　　　.
3.已知g(x)是定義在[-2,2]上的偶函數,當x≥0時,g(x)為減函數,若g(1-m)【隨堂檢測】
1.已知偶函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增,則(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
2.已知偶函數f(x)在區間(-∞,-1]上單調遞增,則(　　).
A.f-B.f(2)C.f(2)D.f(-1)3.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x,則f(x)在R上的解析式為　　　　.
4.已知f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表達式.
23.2.2 課時2 函數單調性和奇偶性的綜合應用
【學習目標】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(邏輯推理)
2.理解奇偶性對單調性的影響并能用以比較大小、求最值和解不等式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
　　圖(1)和圖(2)分別是偶函數和奇函數的一部分圖象.
1.你能結合奇偶函數圖象的特征畫出相應圖象的另一部分嗎
【答案】利用對稱性可以畫出(圖略).
2.就圖(1)而言,函數在區間(-∞,-2]與[2,+∞)上的單調性是否相同 就圖(2)而言,函數在區間-,0與0,上的單調性是否相同
【答案】不相同,相同.
自學檢測
1.若函數f(x)是R上的偶函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增,則下列關系成立的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
【答案】B
【解析】∵f(-3)=f(3),且f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,∴f(-3)>f(1)>f(0).
2.若f(x)為R上的奇函數,且在區間[0,+∞)上單調遞減,則f(-1)　　　　f(1).(填“>”“=”或“<”)
【答案】>
【解析】∵f(x)為R上的奇函數,且在[0,+∞)上單調遞減,
∴f(x)在R上單調遞減,∴f(-1)>f(1).
3.如果奇函數f(x)在區間[-7,-3]上單調遞減,那么函數f(x)在區間[3,7]上單調遞　　　　.
【答案】減
【解析】∵f(x)為奇函數,∴f(x)在[3,7]上的單調性與在[-7,-3]上的一致,∴f(x)在[3,7]上單調遞減.
4.函數f(x)為偶函數,若當x>0時,f(x)=x,則當x<0時,f(x)=　　　　.
【答案】-x
【解析】(法一)令x<0,則-x>0,
∴f(-x)=-x,
又∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=-x(x<0).
(法二)利用圖象(圖略)可得,當x<0時,f(x)=-x.
【合作探究】
探究1：利用奇偶性求函數解析式
情境設置
　　小米給出條件“當x>0時,f(x)=-x+1”,再添加適當條件,求函數f(x)的解析式.
問題1:若添加“函數f(x)是定義域為R的奇函數”,如何求解
【答案】設x<0,則-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函數f(x)是定義域為R的奇函數,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴當x<0時,f(x)=-x-1.
又∵當x=0時,f(0)=0,
∴f(x)=
　　問題2:若添加“函數f(x)是定義域為R的偶函數,f(0)=1”,如何求解
【答案】設x<0,則-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函數f(x)是定義域為R的偶函數,
∴f(-x)=f(x),
∴當x<0時,f(x)=x+1.
∴f(x)=
問題3:根據上述探究,歸納求函數解析式的方法.
【答案】“求誰設誰”,然后要利用已知區間的解析式進行代入,利用奇偶性求f(x).
新知生成
　　利用函數奇偶性求解析式的方法
(1)“求誰設誰”,即在哪個區間上求解析式,x就應在哪個區間上設.
(2)把x變形為滿足已知條件的區間.
(3)要利用已知區間的解析式進行代入.
(4)利用f(x)的奇偶性寫出-f(-x)或f(-x),從而解出f(x).
特別提醒:若函數f(x)的定義域內含0且為奇函數,則必有f(0)=0,但若為偶函數,未必有f(0)=0.
新知運用
一、定義法求函數解析式
例1　已知f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
【解析】(1)因為函數f(x)為奇函數,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)當x<0時,-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函數,則f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
當x=0時,f(0)=0.
所以f(x)的解析式為
f(x)=
　　【變式探究】若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.
【解析】當x<0時,-x>0,此時f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.因為f(x)是偶函數,所以f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為f(x)=
二、方程組法求函數解析式
例2　設f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=(x≠±1),求函數f(x),g(x)的解析式.
【解析】∵f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=,　①
用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=,
∴f(x)-g(x)=,　②
由(①+②)÷2,得f(x)=;
由(①-②)÷2,得g(x)=.
【方法總結】已知函數f(x),g(x)的組合運算與奇偶性,則把x換為-x,構造方程組求解.
鞏固訓練
1.已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2+2x,則當x<0時,f(x)的表達式是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=-x2-2x
C.f(x)=x2-2x D.f(x)=x2+2x
【答案】A
【解析】因為當x≥0時,f(x)=x2+2x,設x<0,則-x>0,
所以f(-x)=x2-2x,又因為f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x.
2.已知函數f(x)為偶函數,且當x<0時,f(x)=x+1,則當x>0時,f(x)=　　　　.
【答案】-x+1
【解析】當x>0時,-x<0,∴f(-x)=-x+1,
又∵f(x)為偶函數,∴f(x)=-x+1.
探究2：奇偶性與單調性的綜合應用
情境設置
　　問題1:如果奇函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增,那么f(x)在(-b,-a)上的單調性如何
【答案】如果奇函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增,那么f(x)在(-b,-a)上單調遞增.
問題2:如果偶函數f(x)在區間(a,b)上單調遞減,那么f(x)在(-b,-a)上的單調性如何
【答案】如果偶函數f(x)在區間(a,b)上單調遞減,那么f(x)在(-b,-a)上單調遞增.
問題3:你能否把上述問題所得出的結論用一句話概括出來
【答案】奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同,偶函數在關于y軸對稱的區間上的單調性相反.
問題4:如果偶函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增,那么f(3)和f(-2)的大小關系如何 若f(a)>f(b),你能得到什么結論
【答案】f(-2)>f(3).若f(a)>f(b),則|a|<|b|.
新知生成
　　奇函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的單調性;
偶函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的單調性.
新知運用
一、比較大小
例3　設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是(　　).
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【答案】A
【解析】因為函數f(x)為R上的偶函數,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,且π>3>2,
所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).
【方法總結】利用函數的奇偶性與單調性比較大小
(1)自變量在同一單調區間上,直接利用函數的單調性比較大小.
(2)自變量不在同一單調區間上,需先利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上,然后利用單調性比較大小.
二、解不等式
例4　設定義在[-3,3]上的奇函數f(x)在區間[0,3]上是減函數,若f(1-m)【解析】因為f(x)是奇函數且f(x)在[0,3]上是減函數,所以f(x)在[-3,3]上是減函數.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,即實數m的取值范圍為-2,.
【方法總結】解決不等式問題時一定要充分利用已知條件,先把已知的不等式轉化為f(x1)>f(x2)或f(x1)鞏固訓練
1.已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,則f(1)和f(-10)的大小關系為(　　).
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)和f(-10)的大小關系不定
【答案】A
【解析】∵f(x)是偶函數,且在[0,+∞)上單調遞減,
∴f(-10)=f(10)2.已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,且f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是　　　　.
【答案】(-1,3)
【解析】因為f(2)=0,f(x-1)>0,
所以f(x-1)>f(2).
又因為f(x)是偶函數且在[0,+∞)上單調遞減,
所以f(|x-1|)>f(2),即|x-1|<2,解得-1故x的取值范圍為(-1,3).
3.已知g(x)是定義在[-2,2]上的偶函數,當x≥0時,g(x)為減函數,若g(1-m)【解析】∵g(x)在[-2,2]上為偶函數,且x≥0時為減函數,
∴g(1-m)
-1≤m<,即實數m的取值范圍為m-1≤m<.
【隨堂檢測】
1.已知偶函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增,則(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
【答案】A
【解析】∵f(x)是偶函數,且在(-∞,0)上單調遞增,
∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減,∴f(1)>f(2),故選A.
2.已知偶函數f(x)在區間(-∞,-1]上單調遞增,則(　　).
A.f-B.f(2)C.f(2)D.f(-1)【答案】B
【解析】∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).
又f(x)在區間(-∞,-1]上單調遞增,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)3.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x,則f(x)在R上的解析式為　　　　.
【答案】f(x)=
【解析】設x<0,則-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又∵y=f(x)是R上的奇函數,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
故f(x)=
4.已知f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表達式.
【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,得f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,兩式聯立,得f(x)=x2-2,g(x)=x.
2

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