資源簡介

4.1.2　無理數指數冪
【學習目標】
1.了解無理數指數冪的意義.(數學抽象)
2.能利用實數指數冪的運算性質進行指數運算.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.為什么分數指數冪的底數規定a>0
2.無理數指數冪的含義是什么
3.舉一個無理數指數冪的例子.
4.如何利用實數指數冪的運算性質進行化簡
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)=(x>0). (　　)
(2)式子[(-)2的化簡結果是. (　　)
2.計算4 ×2 的結果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.16 B.32 C.64 D.128
3.若100x=25,則10-x=　　　　.
【合作探究】
探究1：有理數指數冪的基本不等式
情境設置
問題1:我們知道, n∈Z+,a>1,則an>1,當0問題2:若 n∈Z+,a>1,如何證明>1
問題3:對任意的正有理數,a>1,與1之間是什么關系
新知生成
有理數指數冪的基本不等式
對任意的正有理數r和正數a,若a>1,則ar>1;若a<1,則ar<1.
對任意的負有理數r和正數a,若a>1,則ar<1;若a<1,則ar>1.
對任意的正數a>1和兩有理數r>s,有=ar-s>1,即ar>as.
對任意的正數a<1和兩有理數r>s,有=ar-s<1,即ar新知運用
例1　已知h>0,求證:>1.
【方法總結】證明不等式,可以利用不等式的性質、有理數指數冪的基本不等式.
鞏固訓練
　　設0探究2：無理數指數冪的概念
情境設置
問題1:如何理解的意義
問題2:你能再給出一個無理數指數冪嗎
新知生成
無理數指數冪
(1)對于無理數指數冪,我們只需要了解兩點:①它是一個確定的實數;②它是有理數指數冪無限逼近的結果.
(2)定義了無理數指數冪之后,冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.
新知運用
例2　關于圓周率π,祖沖之的貢獻有二:①3.1415926<π<3.1415927;②用作為約率,作為密率,其中約率與密率提出了用有理數最佳逼近實數的問題.約率可通過用連分數近似表示的方法得到,如3.14159265=3+≈3+≈3+=,舍去0.0625135,得到逼近的一個有理數為3+=,類似地,把化為連分數形式:1+(m,n,k為正整數,r為0到1之間的無理數),舍去r得到逼近的一個有理數為　　　　　.
方法指導　利用題中的定義以及類比推理直接進行求解即可.
【方法總結】　解本題的關鍵是理解題中的定義以及它是有理數指數冪無限逼近的結果.
鞏固訓練
　　按從小到大的順序,可將,,,2π重新排列為　　　 　.(可用計算工具)
探究3：冪運算基本不等式
情境設置
問題1:無理數指數冪的運算性質,對實數指數冪是否成立
問題2:有理數指數冪的基本不等式可以推廣到一般嗎
新知生成
冪運算基本不等式
對任意的正數u和正數a,若a>1,則au>1;若a<1,則au<1.
對任意的負數u和正數a,若a>1,則au<1;若a<1,則au>1.
新知運用
例3　已知00,對任意的實數u,求證:au+h-au+2h【方法總結】運用冪運算基本不等式證明不等式,要注意冪運算基本不等式的條件.
鞏固訓練
已知a>1,h>0,對任意的實數u,求證:au+2h-au+h>au+h-au.
【隨堂檢測】
1.化簡[的結果為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.
C.- D.-5
2.計算a-π=　　　　.
3.求值:(+·.
24.1.2　無理數指數冪
【學習目標】
1.了解無理數指數冪的意義.(數學抽象)
2.能利用實數指數冪的運算性質進行指數運算.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.為什么分數指數冪的底數規定a>0
【答案】①當a<0時,若n為偶數,m為奇數,則,無意義;
②當a=0時,a0無意義.
2.無理數指數冪的含義是什么
【答案】一般地,無理數指數冪aα(a>0,α是無理數)是一個確定的實數.
3.舉一個無理數指數冪的例子.
【答案】2 (答案不唯一).
4.如何利用實數指數冪的運算性質進行化簡
【答案】有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪.利用實數指數冪的運算性質進行化簡的方法可類比有理數指數冪的運算性質的應用.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)=(x>0). (　　)
(2)式子[(-)2的化簡結果是. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.計算4 ×2 的結果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.16 B.32 C.64 D.128
【答案】B
【解析】×==25=32.
3.若100x=25,則10-x=　　　　.
【答案】
【解析】∵100x=25,∴(10x)2=52,∴10x=5,
∴10-x=(10x)-1=5-1=.
【合作探究】
探究1：有理數指數冪的基本不等式
情境設置
問題1:我們知道, n∈Z+,a>1,則an>1,當0【答案】因為0問題2:若 n∈Z+,a>1,如何證明>1
【答案】利用反證法,假設≤1,則n≤1,即01矛盾,故>1成立.
問題3:對任意的正有理數,a>1,與1之間是什么關系
【答案】>1.
新知生成
有理數指數冪的基本不等式
對任意的正有理數r和正數a,若a>1,則ar>1;若a<1,則ar<1.
對任意的負有理數r和正數a,若a>1,則ar<1;若a<1,則ar>1.
對任意的正數a>1和兩有理數r>s,有=ar-s>1,即ar>as.
對任意的正數a<1和兩有理數r>s,有=ar-s<1,即ar新知運用
例1　已知h>0,求證:>1.
【解析】因為對正數A和B有(1+A)(1+B)>1+A+B,
所以(1+h)2>1+2h,
即(1+h)3>(1+2h)(1+h)=1+3h+2h2>1+3h,
從而(1+h)10=>[(1+2h)(1+3h)]2>(1+5h)2>1+10h,
兩端同時100次方得(1+h)1000>(1+10h)100>1+1000h.
因為h>0,所以1+1000h>0,所以>1.
【方法總結】證明不等式,可以利用不等式的性質、有理數指數冪的基本不等式.
鞏固訓練
　　設0【解析】假設≥1,則()n≥1,即a≥1,這與0探究2：無理數指數冪的概念
情境設置
問題1:如何理解的意義
【答案】是一個確定的實數.
問題2:你能再給出一個無理數指數冪嗎
【答案】能,如.當的不足近似值從小于的方向逼近時,的近似值從小于的方向逼近;當的過剩近似值從大于的方向逼近時,2 的近似值從大于的方向逼近,所以是一個確定的實數.
新知生成
無理數指數冪
(1)對于無理數指數冪,我們只需要了解兩點:①它是一個確定的實數;②它是有理數指數冪無限逼近的結果.
(2)定義了無理數指數冪之后,冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.
新知運用
例2　關于圓周率π,祖沖之的貢獻有二:①3.1415926<π<3.1415927;②用作為約率,作為密率,其中約率與密率提出了用有理數最佳逼近實數的問題.約率可通過用連分數近似表示的方法得到,如3.14159265=3+≈3+≈3+=,舍去0.0625135,得到逼近的一個有理數為3+=,類似地,把化為連分數形式:1+(m,n,k為正整數,r為0到1之間的無理數),舍去r得到逼近的一個有理數為　　　　　.
方法指導　利用題中的定義以及類比推理直接進行求解即可.
【答案】
【解析】=1+(-1)=1+=1+=1+=1+,
舍去-1得到逼近的一個有理數為1+=.
【方法總結】　解本題的關鍵是理解題中的定義以及它是有理數指數冪無限逼近的結果.
鞏固訓練
　　按從小到大的順序,可將,,,2π重新排列為　　　 　.(可用計算工具)
【答案】<<2π<
【解析】利用計算器得2 ≈3.32,3 ≈4.73,≈12.93,2π≈8.82,所以2 <3 <2π<.
探究3：冪運算基本不等式
情境設置
問題1:無理數指數冪的運算性質,對實數指數冪是否成立
【答案】無理數指數冪的運算性質,對實數指數冪仍然成立.
問題2:有理數指數冪的基本不等式可以推廣到一般嗎
【答案】因為無理數指數冪的運算對實數指數冪仍然成立,所以有理數指數冪的基本不等式可以推廣到一般.
新知生成
冪運算基本不等式
對任意的正數u和正數a,若a>1,則au>1;若a<1,則au<1.
對任意的負數u和正數a,若a>1,則au<1;若a<1,則au>1.
新知運用
例3　已知00,對任意的實數u,求證:au+h-au+2h【解析】由au,au+h,au+2h都是正數,且==ah<1,
得===ah<1,
所以au+h-au+2h【方法總結】運用冪運算基本不等式證明不等式,要注意冪運算基本不等式的條件.
鞏固訓練
已知a>1,h>0,對任意的實數u,求證:au+2h-au+h>au+h-au.
【解析】因為au+2h,au+h,au都是正數,且==ah>1,所以===ah>1,
即au+2h-au+h>au+h-au.
【隨堂檢測】
1.化簡[的結果為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.
C.- D.-5
【答案】B
【解析】[=(=(==.
2.計算a-π=　　　　.
【答案】1
【解析】原式==a0=1.
3.求值:(+·.
【解析】(+·=+
=25+2=27.
2

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