資源簡介

4.1.3　冪函數
【學習目標】
1.了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.(數學抽象、數學運算)
2.結合五個冪函數的圖象,掌握它們的性質.(直觀想象)
3.能利用冪函數的單調性比較指數冪的大小.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.寫出函數y=x的定義域、值域、單調性和奇偶性.
2.寫出函數y=x2的定義域、值域、單調性和奇偶性.
3.寫出函數y=x-1的定義域、值域、單調性和奇偶性.
4.冪函數的形式如何
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)冪函數的圖象必過點(0,0)和點(1,1). (　　)
(2)冪函數的圖象都不過第二、四象限. (　　)
(3)當冪指數α取1,3,時,冪函數y=xα是增函數. (　　)
(4)若冪函數y=xα的圖象關于原點對稱,則y=xα在定義域內y隨x的增大而增大. (　　)
2.在下列四個圖形中,y=的圖象大致是(　　).
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
3.設α∈,則使函數y=xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為(　　).　　 　　　　　 　　　　　
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
4.已知冪函數f(x)=xα的圖象過點2,,則f(4)=　　　　.
【合作探究】
探究1：冪函數的概念
情境設置
問題1:y=2x2和y=x2+x是不是冪函數
問題2:冪函數的解析式有什么特征
新知生成
1.冪函數的概念
一般來說,當x為自變量而α為非零實數時,函數y=xα叫作(α次)冪函數.
2.正整數次冪函數的倒數y=是負整數次冪函數,一般寫成y=x-n,這里n是正整數,x≠0.
3.整數次冪函數
負整數次冪函數和正整數次冪函數,統稱為整數次冪函數.
4.分數次冪函數
自變量x的平方根或立方根,是最常見的分數次冪函數.
新知運用
例1　(1)在函數y=x-2,y=(x+1)2,y=3x中,冪函數的個數為(　　).
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是冪函數,則m=　　　　.
【方法總結】判斷一個函數是否為冪函數的方法
判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即函數的解析式為一個冪的形式,且需滿足:(1)指數為常數;(2)底數為自變量;(3)系數為1.
鞏固訓練
　　(多選題)下列函數中是冪函數的是(　　 ).
A.y= B.y=2x2
C.y=2x+1 D.y=
探究2：冪函數的圖象與性質
情境設置
　　觀察下面函數的圖象,思考如下問題:
問題1:在第一象限,圖象有何特點
問題2:在這幾個函數中,哪些是奇函數 哪些是偶函數 哪些是非奇非偶函數
問題3:為什么冪函數在第四象限內不存在圖象
新知生成
1.冪函數的圖象
在同一平面直角坐標系中,畫出冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如圖所示:
2.冪函數的性質
一般地,對于實數次冪函數y=xα(α≠0):
(1)當α>0時,它在區間[0,+∞)上有定義且遞增,值域為[0,+∞),函數圖象過(0,0)和(1,1)兩點;
(2)當α<0時,它在區間(0,+∞)上有定義且遞減,值域為(0,+∞),函數圖象過點(1,1),向上與y軸正向無限接近,向右與x軸正向無限接近.
新知運用
一、冪函數的圖象及應用
例2　點(,2)與點-2,-分別在冪函數f(x),g(x)的圖象上,問當x為何值時,有(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)方法指導　將已知點的坐標代入冪函數解析式,求出解析式,再解不等式或方程.
【方法總結】解決有關冪函數圖象的問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小,相關結論:在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).
(2)依據圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=或y=x3)來判斷.
二、冪函數性質的應用
例3　比較下列各組數中兩個數的大小.
(1)0.5與0.5;
(2)--1與--1.
　　方法指導　構造冪函數,借助其單調性求解.
【方法總結】比較冪的大小時,若指數相同,則利用冪函數的單調性比較大小;若底數、指數均不同,則考慮用中間值法比較大小,這里的中間值可以是“0”或“1”.
鞏固訓練
1.下面給出4個冪函數的圖象,則圖象與函數大致對應的是(　　).
A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x2,②y=,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
2.若(3-2m>(m+1,求實數m的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.已知冪函數f(x)=xα(α∈R)的圖象過點4,,則α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C. D.
2.已知冪函數y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限的圖象如圖所示,則(　　).
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
3.若冪函數y=(m2-2m-2)x-4m-2在(0,+∞)上為減函數,則實數m的值是　　　　.
4.比較下列各組數的大小:
(1)1.,1.,1;
(2)3.,3.,(-1.8;
(3)31.4,0.51.5.
24.1.3　冪函數
【學習目標】
1.了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.(數學抽象、數學運算)
2.結合五個冪函數的圖象,掌握它們的性質.(直觀想象)
3.能利用冪函數的單調性比較指數冪的大小.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.寫出函數y=x的定義域、值域、單調性和奇偶性.
【答案】定義域:(-∞,+∞);值域:(-∞,+∞);單調性:增函數;奇偶性:奇函數.
2.寫出函數y=x2的定義域、值域、單調性和奇偶性.
【答案】定義域:(-∞,+∞);值域:[0,+∞);單調性:在(-∞,0)上是減函數,在[0,+∞)上是增函數;奇偶性:偶函數.
3.寫出函數y=x-1的定義域、值域、單調性和奇偶性.
【答案】定義域:(-∞,0)∪(0,+∞);值域:(-∞,0)∪(0,+∞);單調性:在(-∞,0)上是減函數,在(0,+∞)上也是減函數;奇偶性:奇函數.
4.冪函數的形式如何
【答案】形如y=xα(a≠0)的函數.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)冪函數的圖象必過點(0,0)和點(1,1). (　　)
(2)冪函數的圖象都不過第二、四象限. (　　)
(3)當冪指數α取1,3,時,冪函數y=xα是增函數. (　　)
(4)若冪函數y=xα的圖象關于原點對稱,則y=xα在定義域內y隨x的增大而增大. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.在下列四個圖形中,y=的圖象大致是(　　).
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
【答案】D
【解析】函數y=的定義域為(0,+∞),是減函數.
3.設α∈,則使函數y=xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為(　　).　　 　　　　　 　　　　　
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
【答案】A
【解析】當α=-1時,y=x-1=,定義域不是R;
當α=1或α=3時,滿足題意.
故選A.
4.已知冪函數f(x)=xα的圖象過點2,,則f(4)=　　　　.
【答案】
【解析】將點2,代入函數f(x)=xα,得=2α,解得α=-,所以f(x)=,所以f(4)==.
【合作探究】
探究1：冪函數的概念
情境設置
問題1:y=2x2和y=x2+x是不是冪函數
【答案】不是,它們的形式均不符合冪函數的定義要求.
問題2:冪函數的解析式有什么特征
【答案】(1)指數為常數.(2)底數是自變量,且自變量的系數為1.(3)冪xα的系數為1.(4)只有1項.
新知生成
1.冪函數的概念
一般來說,當x為自變量而α為非零實數時,函數y=xα叫作(α次)冪函數.
2.正整數次冪函數的倒數y=是負整數次冪函數,一般寫成y=x-n,這里n是正整數,x≠0.
3.整數次冪函數
負整數次冪函數和正整數次冪函數,統稱為整數次冪函數.
4.分數次冪函數
自變量x的平方根或立方根,是最常見的分數次冪函數.
新知運用
例1　(1)在函數y=x-2,y=(x+1)2,y=3x中,冪函數的個數為(　　).
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是冪函數,則m=　　　　.
【答案】(1)B　(2)5或-1
【解析】(1)根據冪函數的定義可知,只有y=x-2是冪函數.故選B.
(2)因為f(x)是冪函數,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.
【方法總結】判斷一個函數是否為冪函數的方法
判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即函數的解析式為一個冪的形式,且需滿足:(1)指數為常數;(2)底數為自變量;(3)系數為1.
鞏固訓練
　　(多選題)下列函數中是冪函數的是(　　 ).
A.y= B.y=2x2
C.y=2x+1 D.y=
【答案】AD
【解析】冪函數是形如y=xα(α為常數)的函數,A是α=-1的情形,D是α=-的情形,所以A和D都是冪函數;B中x2的系數是2,不是冪函數;易知C不是冪函數.
探究2：冪函數的圖象與性質
情境設置
　　觀察下面函數的圖象,思考如下問題:
問題1:在第一象限,圖象有何特點
【答案】都過點(1,1);只有y=x-1隨x的增大而減小,且不與x軸相交,其他的都隨x的增大而增大.
問題2:在這幾個函數中,哪些是奇函數 哪些是偶函數 哪些是非奇非偶函數
【答案】y=x,y=x3,y=x-1是奇函數;y=x2是偶函數;y=是非奇非偶函數.
問題3:為什么冪函數在第四象限內不存在圖象
【答案】當x>0時,y=xα>0,不可能出現y<0的情形,所以冪函數在第四象限不存在圖象.
新知生成
1.冪函數的圖象
在同一平面直角坐標系中,畫出冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如圖所示:
2.冪函數的性質
一般地,對于實數次冪函數y=xα(α≠0):
(1)當α>0時,它在區間[0,+∞)上有定義且遞增,值域為[0,+∞),函數圖象過(0,0)和(1,1)兩點;
(2)當α<0時,它在區間(0,+∞)上有定義且遞減,值域為(0,+∞),函數圖象過點(1,1),向上與y軸正向無限接近,向右與x軸正向無限接近.
新知運用
一、冪函數的圖象及應用
例2　點(,2)與點-2,-分別在冪函數f(x),g(x)的圖象上,問當x為何值時,有(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)方法指導　將已知點的坐標代入冪函數解析式,求出解析式,再解不等式或方程.
【解析】設f(x)=xα,g(x)=xβ.
∵()α=2,(-2)β=-,∴α=2,β=-1,
∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分別作出它們的圖象,如圖所示.
由圖象知,
(1)當x∈(-∞,0)∪(1,+∞)時,f(x)>g(x);
(2)當x=1時,f(x)=g(x);
(3)當x∈(0,1)時,f(x)【方法總結】解決有關冪函數圖象的問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小,相關結論:在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).
(2)依據圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=或y=x3)來判斷.
二、冪函數性質的應用
例3　比較下列各組數中兩個數的大小.
(1)0.5與0.5;
(2)--1與--1.
　　方法指導　構造冪函數,借助其單調性求解.
【解析】(1)∵冪函數y=x0.5在[0,+∞)上單調遞增,
又>,∴0.5>0.5.
(2)∵冪函數y=x-1在(-∞,0)上單調遞減,
又-<-,
∴--1>--1.
【方法總結】比較冪的大小時,若指數相同,則利用冪函數的單調性比較大小;若底數、指數均不同,則考慮用中間值法比較大小,這里的中間值可以是“0”或“1”.
鞏固訓練
1.下面給出4個冪函數的圖象,則圖象與函數大致對應的是(　　).
A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x2,②y=,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
【答案】A
【解析】y=x3為奇函數且定義域為R,則該函數圖象應與①對應;
y=x2≥0,且該函數是偶函數,其函數圖象關于y軸對稱,所以該函數圖象應與②對應;
y==的定義域、值域都是[0,+∞),所以該函數圖象應與③對應;
y=x-1=,其圖象應與④對應.故選A.
2.若(3-2m>(m+1,求實數m的取值范圍.
【解析】因為y=在[0,+∞)上單調遞增,
所以解得-1≤m<.
故實數m的取值范圍為-1,.
【隨堂檢測】
1.已知冪函數f(x)=xα(α∈R)的圖象過點4,,則α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得4α=,解得α=-.
2.已知冪函數y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限的圖象如圖所示,則(　　).
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
【答案】B
【解析】由題圖可知,當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸,故a3.若冪函數y=(m2-2m-2)x-4m-2在(0,+∞)上為減函數,則實數m的值是　　　　.
　【答案】3
【解析】由題意得
解得故m=3.
4.比較下列各組數的大小:
(1)1.,1.,1;
(2)3.,3.,(-1.8;
(3)31.4,0.51.5.
【解析】(1)比較1.,1.,1的大小就是比較1.,1.,的大小,而函數y=在(0,+∞)上單調遞增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.
(2)利用冪函數的單調性可以發現0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,從而(-1.8<<3..
(3)利用冪函數的單調性可以發現31.4>11.4=1,0.51.5<11.5=1,故31.4>0.51.5.
2

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