資源簡介

4.2.1　指數爆炸和指數衰減
【學習目標】
1.通過具體的實例,了解指數函數的實際意義.(數學抽象)
2.理解指數函數的概念,會求指數函數的定義域.(數學運算)
3.能從實際問題中抽象出指數函數,由此解決實際問題.(數學建模)
【自主預習】
預學憶思
1.你能計算出23,,2-2的值嗎
【答案】能,它們的值分別為8,,.
2.若將上述根式的指數用x替換,則x的取值范圍是什么
【答案】在y=2x中,x的取值范圍為實數R.
3.什么是指數函數
【答案】一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數.
4.指數函數的解析式有什么特征
【答案】①a>0,且a≠1;②ax的系數為1;③自變量x的系數為1.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=xx(x>0)是指數函數. (　　)
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指數函數. (　　)
(3)y=是指數衰減型函數模型. (　　)
(4)若f(x)=ax為指數函數,則a>1. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.給出下列函數:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3.其中,指數函數的個數是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】①中,y=2·3x,3x的系數是2,故①不是指數函數;
②中,y=3x+1的指數是x+1,不是自變量x,故②不是指數函數;
③中,y=3x,3x的系數是1,指數是自變量x,且自變量x的系數為1,故③是指數函數;
④中,y=x3的底數為自變量,指數為常數,故④不是指數函數.
所以只有③是指數函數.故選B.
3.某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…,現有2個這樣的細胞,分裂x次后得到細胞的個數y與x的函數關系式是(　　).
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x+1
【答案】D
【解析】分裂一次后由2個變成2×2=22(個),分裂兩次后變成4×2=23(個),…,分裂x次后變成y=2x+1(個).
4.已知函數f(x)為指數函數,若f(x)的圖象過點(-2,4),則f(f(-1))=　　　　.
【答案】
【解析】設f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由f(-2)=4,得a-2=4,解得a=,
所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=2,
所以f(f(-1))=f(2)=2=.
【合作探究】
探究1：指數函數的概念
情境設置
隨著旅游人數的不斷增加,A,B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施,A地提高了景區門票價格,而B地則取消了景區門票.為了有利于觀察規律,根據圖表,分別畫出A,B兩地景區采取不同措施后的15年游客人次的圖象:
B地每年游客人數部分數據如下表:
年份 2001 2002 2003 2004 2005
人數 290 320 350 388 426
　　問題1:比較15年間兩地景區游客人次及逐年增加量的數據,你能有什么發現
【答案】觀察圖象和表格可以發現,A地景區的游客人次近似于直線上升(線性增長),年增加量大致相等;B地景區的游客人次則是非線性增長,年增加量越來越大,但從圖象和年增加量都難以看出變化規律.
問題2:我們知道,年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過對B地景區每年的游客人次做其他運算發現游客人次的變化規律呢 請你試一試.
【答案】從2002年起,將B地景區每年的游客人次除以上一年的游客人次,可以得到一個近似的常數1.11.
顯然,從2001年開始,B地景區游客人次的變化規律可以近似描述為:
1年后,游客人次是2001年的1.111倍;
2年后,游客人次是2001年的1.112倍;
3年后,游客人次是2001年的1.113倍;
…
x年后,游客人次是2001年的1.11x倍.
如果設經過x年后的游客人次為2001年的y倍,那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).
新知生成
指數函數的定義
函數y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.
新知運用
一、指數函數的概念
例1　下列函數:
①y=(-8)x;②y=;③y=ax;
④y=(2a-1)x(a>且a≠1);⑤y=2·3x.
其中,指數函數的個數是(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0
方法指導　根據指數函數的定義判斷.
【答案】A
【解析】①中底數-8<0,所以不是指數函數;②中指數不是自變量x,所以不是指數函數;③中底數a,只有規定a>0且a≠1時,才是指數函數;⑤中3x前的系數是2,而不是1,所以不是指數函數.綜上可知,只有④是指數函數,故選A.
【方法總結】記清指數函數概念的3個要點
(1)底數a>0,且a≠1.
(2)ax的系數為1.
(3)y=ax中“a是常數”,指數僅為x.
二、求指數函數解析式
例2　設f(x)=ax(a>0且a≠1),其圖象經過點,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值.
方法指導　(1)由圖象經過點,可得解析式;(2)先求f(2m),f(n),再作指數運算可得答案.
【解析】(1)因為f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象經過點,,所以=,解得a=10,所以f(x)=10x.
(2)因為f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.
【方法總結】求指數函數的解析式常用待定系數法.
鞏固訓練
1.指出下列哪些是指數函數.
(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(3b-1)xb>,且b≠1.
【解析】(2)是冪函數;(3)是-1與4x的乘積;(4)中底數-4<0;(6)是二次函數;(7)中底數x不是常數.它們都不符合指數函數的定義,故不是指數函數.綜上可知,(1)(5)(8)是指數函數.
2.已知函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的圖象經過點(-1,5),(0,4),則f(-2)的值為　　　　.
【答案】7
【解析】由已知得解得所以f(x)=x+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
探究2：指數爆炸和指數衰減
情境設置
　　老師:一張百元紙幣的厚度是0.1毫米,如果把這張紙幣對折十次后高度會是多少呢
學生:對折一次是0.2毫米,對折兩次是0.4毫米,對折三次是0.8毫米,對折四次是1.6毫米,…,對折十次是102.4毫米.
老師:如果把這張紙幣對折二十次,高度是多少呢
學生:通過計算器算出,對折二十次是104857.6毫米.
老師:如果把這張紙幣對折三十次,高度又會是多少呢 折算成米,是幾個珠穆朗瑪峰的高度
學生:對折三十次是107374182.4毫米,約是107374米,而珠穆朗瑪峰的高度是8848.86米,也就是說把厚0.1毫米的紙幣對折三十次,大約是12個珠穆朗瑪峰的高度.
老師:看到這里,你一定會和我當時一樣感到非常吃驚,一個微不足道的數字,兩倍兩倍的增長,會變得這么巨大!——這種現象就是“指數爆炸”.這種增長的速度就像“大爆炸”一樣,十分驚人.
新知生成
1.指數爆炸
當底數a>1時,指數函數值隨自變量的增長而增大,當底數a較大時,指數函數值增長速度驚人,被稱為指數爆炸.
在經濟學或其他學科中,當某個量在一個既定的時間周期中,其增長百分比是一個常量時,這個量就被描述為指數式增長,也稱指數增長.
2.指數衰減
當底數0新知運用
例3　一片森林原來面積為2021萬畝,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比.
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年
(3)若森林面積要保留原面積的,今后還能砍伐多少年
方法指導　(1)設每年砍伐面積的百分比為x,由指數函數的性質列式求解;(2)由2021×(1-x)m=×2021求解可得;(3)由2021×(1-x)n+5=×2021求解可得.
【解析】(1)設每年砍伐面積的百分比為x,則2021×(1-x)10=×2021,解得x=1-,所以每年砍伐面積的百分比為1-.
(2)設到今年為止,該森林已砍伐了m年,則2021×(1-x)m=×2021,
又x=1-,則=,即=,解得m=5,
所以到今年為止,該森林已砍伐了5年.
(3)設今后還能砍伐n年,
則2021×(1-x)n+5=×2021,又x=1-,所以=,即=2,解得n=15.所以今后還能砍伐15年.
鞏固訓練
　　某企業為努力實現“碳中和”目標,計劃從明年開始,通過替換清潔能源減少碳排放量,每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為x(0(1)求x的值;
(2)若某一年的碳排放量為今年碳排放量的,按照計劃再過多少年,碳排放量是今年碳排放量的
【解析】設今年碳排放量為a.
(1)由題意得a(1-x)8=a,所以(1-x)8=,得x=1-.
(2)設再過n年碳排放量是今年碳排放量的,則a(1-x)n=a,
將x=1-代入得=,即+=4,解得n=28.
故再過28年,碳排放量是今年碳排放量的.
【隨堂檢測】
1.下列一定是指數函數的是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)
C.y=x D.y=(a-2)ax
【答案】C
【解析】根據指數函數的定義,結合選項從而可判斷選項C正確.
2.已知函數f(x+2)=2x+x-2,則f(x)=(　　).
A.2x-2+x-4 B.2x-2+x-2
C.2x+2+x D.2x+2+x-2
【答案】A
【解析】設t=x+2,則x=t-2,∴f(t)=2t-2+t-2-2=2t-2+t-4,
∴f(x)=2x-2+x-4.
3.已知函數f(x)是指數函數,且f-=,則f(3)=　　　　.
【答案】125
【解析】設f(x)=ax(a>0且a≠1),則f-===,解得a=5,則f(x)=5x,
因此f(3)=53=125.
4.一種放射性物質不斷變化為其他物質,每經過一年,剩留物質的質量約是原來的,則經過　　　　年,剩留的物質的質量是原來的.
【答案】3
【解析】經過一年,剩留物質的質量約是原來的;經過兩年,剩留物質的質量約是原來的2;經過三年,剩留物質的質量約是原來的3=.故n=3.
24.2.1　指數爆炸和指數衰減
【學習目標】
1.通過具體的實例,了解指數函數的實際意義.(數學抽象)
2.理解指數函數的概念,會求指數函數的定義域.(數學運算)
3.能從實際問題中抽象出指數函數,由此解決實際問題.(數學建模)
【自主預習】
預學憶思
1.你能計算出23,,2-2的值嗎
2.若將上述根式的指數用x替換,則x的取值范圍是什么
3.什么是指數函數
4.指數函數的解析式有什么特征
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=xx(x>0)是指數函數. (　　)
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指數函數. (　　)
(3)y=是指數衰減型函數模型. (　　)
(4)若f(x)=ax為指數函數,則a>1. (　　)
2.給出下列函數:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3.其中,指數函數的個數是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
3.某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…,現有2個這樣的細胞,分裂x次后得到細胞的個數y與x的函數關系式是(　　).
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x+1
4.已知函數f(x)為指數函數,若f(x)的圖象過點(-2,4),則f(f(-1))=　　　　.
【合作探究】
探究1：指數函數的概念
情境設置
隨著旅游人數的不斷增加,A,B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施,A地提高了景區門票價格,而B地則取消了景區門票.為了有利于觀察規律,根據圖表,分別畫出A,B兩地景區采取不同措施后的15年游客人次的圖象:
B地每年游客人數部分數據如下表:
年份 2001 2002 2003 2004 2005
人數 290 320 350 388 426
　　問題1:比較15年間兩地景區游客人次及逐年增加量的數據,你能有什么發現
問題2:我們知道,年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過對B地景區每年的游客人次做其他運算發現游客人次的變化規律呢 請你試一試.
新知生成
指數函數的定義
函數y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.
新知運用
一、指數函數的概念
例1　下列函數:
①y=(-8)x;②y=;③y=ax;
④y=(2a-1)x(a>且a≠1);⑤y=2·3x.
其中,指數函數的個數是(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0
方法指導　根據指數函數的定義判斷.
【方法總結】記清指數函數概念的3個要點
(1)底數a>0,且a≠1.
(2)ax的系數為1.
(3)y=ax中“a是常數”,指數僅為x.
二、求指數函數解析式
例2　設f(x)=ax(a>0且a≠1),其圖象經過點,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值.
方法指導　(1)由圖象經過點,可得解析式;(2)先求f(2m),f(n),再作指數運算可得答案.
【方法總結】求指數函數的解析式常用待定系數法.
鞏固訓練
1.指出下列哪些是指數函數.
(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(3b-1)xb>,且b≠1.
2.已知函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的圖象經過點(-1,5),(0,4),則f(-2)的值為　　　　.
探究2：指數爆炸和指數衰減
情境設置
　　老師:一張百元紙幣的厚度是0.1毫米,如果把這張紙幣對折十次后高度會是多少呢
學生:對折一次是0.2毫米,對折兩次是0.4毫米,對折三次是0.8毫米,對折四次是1.6毫米,…,對折十次是102.4毫米.
老師:如果把這張紙幣對折二十次,高度是多少呢
學生:通過計算器算出,對折二十次是104857.6毫米.
老師:如果把這張紙幣對折三十次,高度又會是多少呢 折算成米,是幾個珠穆朗瑪峰的高度
學生:對折三十次是107374182.4毫米,約是107374米,而珠穆朗瑪峰的高度是8848.86米,也就是說把厚0.1毫米的紙幣對折三十次,大約是12個珠穆朗瑪峰的高度.
老師:看到這里,你一定會和我當時一樣感到非常吃驚,一個微不足道的數字,兩倍兩倍的增長,會變得這么巨大!——這種現象就是“指數爆炸”.這種增長的速度就像“大爆炸”一樣,十分驚人.
新知生成
1.指數爆炸
當底數a>1時,指數函數值隨自變量的增長而增大,當底數a較大時,指數函數值增長速度驚人,被稱為指數爆炸.
在經濟學或其他學科中,當某個量在一個既定的時間周期中,其增長百分比是一個常量時,這個量就被描述為指數式增長,也稱指數增長.
2.指數衰減
當底數0新知運用
例3　一片森林原來面積為2021萬畝,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比.
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年
(3)若森林面積要保留原面積的,今后還能砍伐多少年
方法指導　(1)設每年砍伐面積的百分比為x,由指數函數的性質列式求解;(2)由2021×(1-x)m=×2021求解可得;(3)由2021×(1-x)n+5=×2021求解可得.
鞏固訓練
　　某企業為努力實現“碳中和”目標,計劃從明年開始,通過替換清潔能源減少碳排放量,每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為x(0(1)求x的值;
(2)若某一年的碳排放量為今年碳排放量的,按照計劃再過多少年,碳排放量是今年碳排放量的
【隨堂檢測】
1.下列一定是指數函數的是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)
C.y=x D.y=(a-2)ax
2.已知函數f(x+2)=2x+x-2,則f(x)=(　　).
A.2x-2+x-4 B.2x-2+x-2
C.2x+2+x D.2x+2+x-2
3.已知函數f(x)是指數函數,且f-=,則f(3)=　　　　.
4.一種放射性物質不斷變化為其他物質,每經過一年,剩留物質的質量約是原來的,則經過　　　　年,剩留的物質的質量是原來的.
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