資源簡介

4.2.2　指數函數的圖象與性質
【學習目標】
1.能用描點法或借助計算機工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性與特殊點.(邏輯推理、直觀想象)
2.掌握指數函數的圖象、性質并會運用.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么
2.如何畫指數函數的簡圖
3.指數函數值隨自變量有怎樣的變化規律
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=21-x是R上的增函數. (　　)
(2)若0.1a>0.1b,則a>b. (　　)
(3)已知a,b均大于0且不等于1,若ax=bx,則x=0. (　　)
(4)因為y=ax(a>0,且a≠1)既非奇函數,也非偶函數,所以指數函數與其他函數也組不成具有奇偶性的函數. (　　)
2.函數y=2x+1的大致圖象是(　　).
　
A　　　 　　B　　　　　C 　　　　　D　　
3.函數y=1-2x,x∈[0,1]的值域是　　　　.
【合作探究】
探究1：指數函數的圖象與性質
情境設置
已知函數y=2x(x∈R)和y=x(x∈R).
問題1:試作出函數y=2x(x∈R)和y=x(x∈R)的圖象.
問題2:兩個函數圖象有無交點
問題3:兩個函數的定義域是什么 值域是什么 單調性如何
新知生成
指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 R
值域 (0,+∞)
過定點 過點(0,1),即x=0時,y=1
單調性 是R上的增函數 是R上的減函數
　　特別提醒:(1)當底數a的大小不確定時,必須分a>1和0(2)當a>1時,x的值越小,函數的圖象越接近x軸;當0(3)指數函數的圖象都經過點(0,1),且圖象都在第一、二象限.
【名師點撥】(1)由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的性質知,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),-1,,只要確定了這三個點的坐標,即可快速地畫出指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象.
(2)底數的大小決定了圖象相對位置的高低,當a>1時,底數越大,函數圖象越靠近y軸.當0當a>b>1時,
①若x>0,則ax>bx>1;②若x<0,則1>bx>ax>0.
當1>a>b>0時,
①若x>0,則1>ax>bx>0;②若x<0,則bx>ax>1.
(3)指數函數的圖象都經過點(0,1),且圖象都在x軸上方.
(4)當a>1時,x→-∞,y→0;當0新知運用
一、指數函數的圖象應用
例1　(1)如圖,這是函數f(x)=ax-b的圖象,其中a,b為常數,則下列結論正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)函數y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點　　　　.
【方法總結】指數函數圖象問題的處理技巧:(1)抓住圖象上的特殊點,如指數函數的圖象過定點;(2)利用圖象變換,如函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數的奇偶性與單調性,奇偶性確定函數的對稱情況,單調性決定函數圖象的走勢.
二、指數函數的定義域、值域問題
例2　求下列函數的定義域與值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=.
方法指導　(1)分母不為0,即得定義域,由指數函數性質得值域.
(2)定義域為實數集,再由|x|≥0,結合指數函數性質得值域.
(3)由被開方數為非負數得定義域,由指數函數性質結合二次根式得值域.
【方法總結】函數y=af(x)的定義域與值域的求法:(1)形如y=af(x)的函數的定義域就是f(x)的定義域.(2)形如y=af(x)的值域,應先求出f(x)的值域,再由函數的單調性求出af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.
形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再結合y=f(u)確定出y=f(ax)的值域.
鞏固訓練
1.函數f(x)=的定義域是(　　).
A.R　　　　　　　　　　　B.[-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
2.指數函數①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象如圖所示,則a,b,c,d與1的大小關系為(　　).
A.aC.13.已知函數y=f(x)是偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=1;當x>1時,f(x)=2x-1,則f(x-1)<2的解集是　　　　.
探究2：指數函數單調性的應用
情境設置
問題1:若x10且a≠1)的大小關系如何
問題2:如何判斷0.43,30.4,π0的大小關系
新知生成
一般地,比較冪大小的方法如下:
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小,利用指數函數的單調性來判斷;
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小,利用指數函數的圖象的變化規律來判斷;
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小,則通過中間值來判斷.
新知運用
一、比較大小
例3　比較下列各組數的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1).
【方法總結】比較冪的大小的方法
(1)同底數冪比較大小時構造指數函數,根據其單調性比較.
(2)指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數圖象,當x取相同冪指數時可觀察出函數值的大小.
(3)底數、指數都不相同時,取與其中一底數相同和另一指數相同的冪與兩數比較,或借助“1”與兩數比較.
(4)當底數含參數時,要按底數a>1和0二、解不等式
例4　解不等式2x-8>a2x.
方法指導　將不等式兩邊變成同底的指數形式,然后利用指數函數的單調性求解即可.
【方法總結】(1)指數不等式的類型為af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1).①當a>1時,f(x)>g(x);②當0三、指數型函數的單調性
例5　判斷f(x)=的單調性,并求其值域.
方法指導　令u=x2-2x→函數u(x)
的單調性→函數y=u
的單調性函數f(x)
的單調性.
【方法總結】函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性的處理技巧
(1)指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定:一是底數a;二是f(x)的單調性.它由兩個函數y=au,u=f(x)復合而成.
(2)求復合函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考查f(u)和φ(x)的單調性,求出y=f(φ(x))的單調性.
本題考查了邏輯推理和數學運算等素養.
鞏固訓練
1.設a=,b=,c=,則a,b,c中最大的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a B.b
C.c D.無法確定
2.(多選題)函數f(x)=在區間(　　)內單調遞減.
A.(-∞,3) B.(-4,0)
C.(1,3) D.(2,4)
3.不等式5×2x-4x>4的解集為　　　　.
4.求函數y=的定義域和值域.
【隨堂檢測】
1.若a=20.7,b=40.37,c=-1.8,則a,b,c的大小關系為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.c2.已知f(x)=是R上的增函數,那么實數a的取值范圍是(　　).
A.(0,3) B.(1,3) C.[2,4) D.(1,+∞)
3.若正實數a,b,c滿足cA.0C.14.已知函數f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求函數f(x)的最大值與最小值.
24.2.2　指數函數的圖象與性質
【學習目標】
1.能用描點法或借助計算機工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性與特殊點.(邏輯推理、直觀想象)
2.掌握指數函數的圖象、性質并會運用.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么
【答案】指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于底數a.
當a>1時,圖象具有上升的趨勢;當02.如何畫指數函數的簡圖
【答案】指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),-1,,只要確定了這三個點的坐標,即可快速畫出指數函數y=ax(a>0且a≠1)的大致圖象.
3.指數函數值隨自變量有怎樣的變化規律
【答案】
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=21-x是R上的增函數. (　　)
(2)若0.1a>0.1b,則a>b. (　　)
(3)已知a,b均大于0且不等于1,若ax=bx,則x=0. (　　)
(4)因為y=ax(a>0,且a≠1)既非奇函數,也非偶函數,所以指數函數與其他函數也組不成具有奇偶性的函數. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.函數y=2x+1的大致圖象是(　　).
　
A　　　 　　B　　　　　C 　　　　　D　　
【答案】A
【解析】因為函數y=2x的圖象經過定點(0,1),在x軸上方,且y=2x在定義域內單調遞增,所以y=2x+1在定義域內也單調遞增,且過定點(0,2),故選A.
3.函數y=1-2x,x∈[0,1]的值域是　　　　.
【答案】[-1,0]
【解析】由指數函數y=2x在x∈[0,1]上單調遞增,可知1≤2x≤2,所以函數y=1-2x的值域是[-1,0].
【合作探究】
探究1：指數函數的圖象與性質
情境設置
已知函數y=2x(x∈R)和y=x(x∈R).
問題1:試作出函數y=2x(x∈R)和y=x(x∈R)的圖象.
【答案】
問題2:兩個函數圖象有無交點
【答案】有交點,其坐標為(0,1).
問題3:兩個函數的定義域是什么 值域是什么 單調性如何
【答案】定義域都是R;值域都是(0,+∞);函數y=2x是R上的增函數,函數y=x是R上的減函數.
新知生成
指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 R
值域 (0,+∞)
過定點 過點(0,1),即x=0時,y=1
單調性 是R上的增函數 是R上的減函數
　　特別提醒:(1)當底數a的大小不確定時,必須分a>1和0(2)當a>1時,x的值越小,函數的圖象越接近x軸;當0(3)指數函數的圖象都經過點(0,1),且圖象都在第一、二象限.
【名師點撥】(1)由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的性質知,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),-1,,只要確定了這三個點的坐標,即可快速地畫出指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象.
(2)底數的大小決定了圖象相對位置的高低,當a>1時,底數越大,函數圖象越靠近y軸.當0當a>b>1時,
①若x>0,則ax>bx>1;②若x<0,則1>bx>ax>0.
當1>a>b>0時,
①若x>0,則1>ax>bx>0;②若x<0,則bx>ax>1.
(3)指數函數的圖象都經過點(0,1),且圖象都在x軸上方.
(4)當a>1時,x→-∞,y→0;當0新知運用
一、指數函數的圖象應用
例1　(1)如圖,這是函數f(x)=ax-b的圖象,其中a,b為常數,則下列結論正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)函數y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點　　　　.
【答案】(1)D　(2)(3,4)
【解析】(1)由圖象可知函數f(x)單調遞減,所以0又00,所以b<0.故選D.
(2)令x-3=0得x=3,此時y=4.故函數y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點(3,4).
【方法總結】指數函數圖象問題的處理技巧:(1)抓住圖象上的特殊點,如指數函數的圖象過定點;(2)利用圖象變換,如函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數的奇偶性與單調性,奇偶性確定函數的對稱情況,單調性決定函數圖象的走勢.
二、指數函數的定義域、值域問題
例2　求下列函數的定義域與值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=.
方法指導　(1)分母不為0,即得定義域,由指數函數性質得值域.
(2)定義域為實數集,再由|x|≥0,結合指數函數性質得值域.
(3)由被開方數為非負數得定義域,由指數函數性質結合二次根式得值域.
【解析】(1)因為y=,所以x≠3,故該函數的定義域為{x|x≠3}.
設t=,因為x≠3,所以t≠0.
因為y=2t,t≠0,所以y>0且y≠1,故值域為{y|y>0且y≠1}.
(2)函數y=,x∈R,故該函數的定義域為R.
設t=≥0,因為y=t,t≥0,所以0(3)因為y=,所以1-2x≥0,解得x≤0,故該函數的定義域為{x|x≤0}.
因為0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,即0≤<1,故該函數的值域為{y|0≤y<1}.
【方法總結】函數y=af(x)的定義域與值域的求法:(1)形如y=af(x)的函數的定義域就是f(x)的定義域.(2)形如y=af(x)的值域,應先求出f(x)的值域,再由函數的單調性求出af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.
形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再結合y=f(u)確定出y=f(ax)的值域.
鞏固訓練
1.函數f(x)=的定義域是(　　).
A.R　　　　　　　　　　　B.[-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
【答案】C
【解析】由題意可知,定義域需滿足2x+1-4>0,
解得x>1.
故選C.
2.指數函數①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象如圖所示,則a,b,c,d與1的大小關系為(　　).
A.aC.1【答案】B
【解析】由圖象可知③④的底數必大于1,①②的底數必小于1.
作直線x=1,在第一象限內直線x=1與各曲線的交點的縱坐標即各指數函數的底數,則13.已知函數y=f(x)是偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=1;當x>1時,f(x)=2x-1,則f(x-1)<2的解集是　　　　.
【答案】(-1,3)
【解析】函數f(x)的圖象如圖所示.
令2x-1=2,可得x=2,∴f(2)=2.
∵f(x)是偶函數,∴f(-2)=2.
∵f(x-1)<2,∴f(-2)∴|x-1|<2,解得-1探究2：指數函數單調性的應用
情境設置
問題1:若x10且a≠1)的大小關系如何
【答案】當a>1時,y=ax在R上為增函數,所以<;當0.
問題2:如何判斷0.43,30.4,π0的大小關系
【答案】0.43<0.40=π0=30<30.4,即0.43<π0<30.4.
新知生成
一般地,比較冪大小的方法如下:
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小,利用指數函數的單調性來判斷;
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小,利用指數函數的圖象的變化規律來判斷;
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小,則通過中間值來判斷.
新知運用
一、比較大小
例3　比較下列各組數的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1).
【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函數y=1.5x的兩個函數值,因為底數1.5>1,所以函數y=1.5x在R上是增函數.因為2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函數y=0.6x的兩個函數值,因為函數y=0.6x在R上是減函數,且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)由指數函數性質得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,所以1.70.2>0.92.1.
(4)當a>1時,y=ax在R上是增函數,故a1.1>a0.3;
當0【方法總結】比較冪的大小的方法
(1)同底數冪比較大小時構造指數函數,根據其單調性比較.
(2)指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數圖象,當x取相同冪指數時可觀察出函數值的大小.
(3)底數、指數都不相同時,取與其中一底數相同和另一指數相同的冪與兩數比較,或借助“1”與兩數比較.
(4)當底數含參數時,要按底數a>1和0二、解不等式
例4　解不等式2x-8>a2x.
方法指導　將不等式兩邊變成同底的指數形式,然后利用指數函數的單調性求解即可.
【解析】由2x-8>a2x得2x-8>a2x=-2x,
當01,由函數y=x在R上單調遞增可得2x-8>-2x,解得x>2;
當a>1時,0<<1,由函數y=x在R上單調遞減可得2x-8<-2x,解得x<2.
綜上,當02};當a>1時,不等式的解集為{x|x<2}.
【方法總結】(1)指數不等式的類型為af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1).①當a>1時,f(x)>g(x);②當0三、指數型函數的單調性
例5　判斷f(x)=的單調性,并求其值域.
方法指導　令u=x2-2x→函數u(x)
的單調性→函數y=u
的單調性函數f(x)
的單調性.
【解析】令u=x2-2x,則原函數變為y=u.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調遞減,在[1,+∞)上單調遞增,又y=u在(-∞,+∞)上單調遞減,∴y=在(-∞,1]上單調遞增,在[1,+∞)上單調遞減.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴0∴原函數的值域為(0,3].
【方法總結】函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性的處理技巧
(1)指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定:一是底數a;二是f(x)的單調性.它由兩個函數y=au,u=f(x)復合而成.
(2)求復合函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考查f(u)和φ(x)的單調性,求出y=f(φ(x))的單調性.
本題考查了邏輯推理和數學運算等素養.
鞏固訓練
1.設a=,b=,c=,則a,b,c中最大的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a B.b
C.c D.無法確定
【答案】A
【解析】∵函數y=x在定義域R上是減函數,
∴c=>b=>0.
∵冪函數y=在(0,+∞)上是增函數,且>,
∴a=>c=,
故a,b,c的大小關系是b故選A.
2.(多選題)函數f(x)=在區間(　　)內單調遞減.
A.(-∞,3) B.(-4,0)
C.(1,3) D.(2,4)
【答案】ABC
【解析】易知函數f(x)的定義域為R,
令y=u,u=-x2+6x-7,x∈R,
∵u=-x2+6x-7為二次函數,其圖象的對稱軸為直線x=3,當x∈(-∞,3)時,u=-x2+6x-7單調遞增;當x∈(3,+∞)時,u=-x2+6x-7單調遞減.又∵y=u為指數函數,當u∈R時單調遞減,∴由復合函數的單調性(同增異減)可知,f(x)在區間(-∞,3)上單調遞減,故選項A正確;對于B,(-4,0) (-∞,3),故選項B正確;對于C,(1,3) (-∞,3),故選項C正確;對于D,(2,4) (-∞,3),故選項D錯誤.故選ABC.
3.不等式5×2x-4x>4的解集為　　　　.
【答案】(0,2)
【解析】令t=2x(t>0),則5×2x-4x>4可化為5t-t2>4,
即t2-5t+4<0,解得1所以原不等式的解集為(0,2),
4.求函數y=的定義域和值域.
【解析】易知函數的定義域為R,令t=-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
則y=2t∈(0,8],所以函數y=的值域是(0,8].
【隨堂檢測】
1.若a=20.7,b=40.37,c=-1.8,則a,b,c的大小關系為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.c【答案】A
【解析】b=40.37=(22)0.37=20.74,c=-1.8=21.8,
因為函數y=2x在R上為增函數,所以20.7<20.74<21.8,即a故選A.
2.已知f(x)=是R上的增函數,那么實數a的取值范圍是(　　).
A.(0,3) B.(1,3) C.[2,4) D.(1,+∞)
【答案】C
【解析】要使函數f(x)=是R上的增函數,
只需解得2≤a<4,
所以實數a的取值范圍是[2,4).故選C.
3.若正實數a,b,c滿足cA.0C.1【答案】A
【解析】因為c是正實數,且c<1,所以0由c4.已知函數f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求函數f(x)的最大值與最小值.
【解析】令t=3x,因為x∈[-1,2],所以t∈,9,
所以函數f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2]可化為函數g(t)=t2-2t+4,t∈,9.
因為函數g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,由二次函數的圖象和性質可知,
當t=1,即x=0時,函數f(x)取得最小值f(x)min=3;
當t=9,即x=2時,函數f(x)取得最大值f(x)max=67,
所以函數f(x)的最大值為67,最小值為3.
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