資源簡介

4.3.1　對數(shù)的概念
【學習目標】
1.了解對數(shù)的概念.(數(shù)學抽象)
2.會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化.(邏輯推理)
3.會求簡單的對數(shù)值.(數(shù)學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.指數(shù)函數(shù)的形式是什么
2.式子y=ax中的x怎么用y來表示
3.式子logax中的底數(shù)a的取值范圍是什么
4.對數(shù)式logaN(a>0,且a≠1)是不是loga與N的乘積
5.負數(shù)和0有對數(shù)嗎
6.loga1和logaa(a>0,且a≠1)的值分別是多少
自學檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)logaN是loga與N的乘積. (　　)
(2)若3x=2,則x=log32. (　　)
(3)因為a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1. (　　)
2.若a2=M(a>0,且a≠1),則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.log2M=a B.logaM=2
C.loga2=M D.log2a=M
3.若log2x=2,則x=　　　　.
4.已知log3=0,則x=　　　　.
【合作探究】
探究1：對數(shù)的概念
情境設(shè)置
問題1:對于函數(shù)y=13×1.01x,給定任意一個x,我們可通過冪的運算計算出任意一個y的值.反之,如果知道y的值,能否計算出x的值呢
問題2:若2x=16,x=9,則x的值分別是多少
問題3:若2x=3,x=2,則x的值分別是多少
問題4:怎樣理解對數(shù)式的意義
問題5:為什么零和負數(shù)沒有對數(shù)
新知生成
1.對數(shù)的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù),記作x=logaN.其中,a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作對數(shù)的真數(shù).
特別提醒:對數(shù)的概念中規(guī)定“a>0,且a≠1”的原因
(1)若a<0,則當N為某些值時,x的值不存在.如x=log-28不存在.
(2)若a=0,
①當N≠0時,x的值不存在.如log03(可理解為0的多少次冪是3)不存在.
②當N=0時,x可以是任意實數(shù),是不唯一的,即log00有無數(shù)個值.
(3)若a=1,
①當N≠1時,x的值不存在.如log13不存在.
②當N=1時,x可以為任意實數(shù),是不唯一的,即log11有無數(shù)個值.
因此規(guī)定a>0,且a≠1.
2.指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系
當a>0,且a≠1時,ax=N x=logaN.前者叫指數(shù)式,后者叫對數(shù)式.
(1)對數(shù)的概念中出現(xiàn)了兩個等式:指數(shù)式ax=N和對數(shù)式x=logaN.這兩個等式是等價的,它們之間的關(guān)系如下:
根據(jù)這個關(guān)系可以將指數(shù)式化成對數(shù)式,也可以將對數(shù)式化成指數(shù)式.
(2)指數(shù)式、對數(shù)式中各個字母的名稱變化如下表:
式子 名稱
a x N
指數(shù)式 ax=N 底數(shù) 指數(shù) 冪
對數(shù)式 x=logaN 底數(shù) 對數(shù) 真數(shù)
新知運用
一、指數(shù)式與對數(shù)式互化
例1　將下列對數(shù)式化成指數(shù)式或指數(shù)式化成對數(shù)式.
(1)53=125;(2)-2=16;(3)lo8=-3;(4)log3=-3.
方法指導　根據(jù)ab=N logaN=b(a>0,且a≠1,N>0)求解.
【方法總結(jié)】指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法:
(1)將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需要將冪作為真數(shù),指數(shù)當成對數(shù)值,底數(shù)不變,寫出對數(shù)式;
(2)將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變,寫出指數(shù)式.
鞏固訓練
1.(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(　　).
A.70=1與log71=0
B.log2=與()2=2
C.=與log8=-
D.log77=1與71=7
2.已知loga3=m,則a2m的值為　　　　.
二、利用對數(shù)式與指數(shù)式關(guān)系求值
例2　求下列各式中的x的值.
(1)x=log525;(2)x=log0.41;(3)x=log100.001.
【方法總結(jié)】求對數(shù)值的方法
(1)將對數(shù)式化為指數(shù)式,構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.
(2)利用冪的運算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計算.
鞏固訓練
　　求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6.
探究2：對數(shù)的基本性質(zhì)
情境設(shè)置
問題1:對數(shù)的概念中,如果N=1,x的值是多少 N=a時呢
問題2:如果將對數(shù)式x=logaN代入到指數(shù)式ax=N中會得到哪個式子
問題3:你能推出對數(shù)恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)嗎
新知生成
1.對數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1 負數(shù)和零沒有對數(shù)
性質(zhì)2 1的對數(shù)是0,即loga1=0(a>0,且a≠1)
性質(zhì)3 底數(shù)的對數(shù)是1,即logaa=1(a>0,且a≠1)
2.性質(zhì)的拓展
對數(shù)恒等式:=N,logaax=x(a>0,且a≠1,N>0).
新知運用
例3　求下列各式中x的值.
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(log10x)=1;(3)x=.
【方法總結(jié)】利用對數(shù)的性質(zhì)求值的方法
(1)求解此類問題時,應根據(jù)對數(shù)的兩個結(jié)論loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),進行變形求解,若已知對數(shù)值求真數(shù),則可將其化為指數(shù)式運算.
(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.
鞏固訓練
1.計算:3log22+2log31-3log77=　　　　.
2.計算:+=　　　　.
【隨堂檢測】
1.若lob=c,則(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
2.設(shè)a=log310,b=log37,則3a-b的值為(　　).
A. B.
C. D.
3.若log2(logx9)=1,則x=　　　　.
4.計算:(1)lo81;
(2)lo625;
(3).
24.3.1　對數(shù)的概念
【學習目標】
1.了解對數(shù)的概念.(數(shù)學抽象)
2.會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化.(邏輯推理)
3.會求簡單的對數(shù)值.(數(shù)學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.指數(shù)函數(shù)的形式是什么
【答案】y=ax(a>0,且a≠1).
2.式子y=ax中的x怎么用y來表示
【答案】x=logay.
3.式子logax中的底數(shù)a的取值范圍是什么
【答案】a>0,且a≠1.
4.對數(shù)式logaN(a>0,且a≠1)是不是loga與N的乘積
【答案】不是,logaN是一個整體,是求冪指數(shù)的一種運算,其運算結(jié)果是一個實數(shù).
5.負數(shù)和0有對數(shù)嗎
【答案】負數(shù)和0沒有對數(shù).
6.loga1和logaa(a>0,且a≠1)的值分別是多少
【答案】loga1=0,logaa=1.
自學檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)logaN是loga與N的乘積. (　　)
(2)若3x=2,則x=log32. (　　)
(3)因為a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.若a2=M(a>0,且a≠1),則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.log2M=a B.logaM=2
C.loga2=M D.log2a=M
【答案】B
【解析】根據(jù)對數(shù)的概念,若a2=M(a>0,且a≠1),則logaM=2.
3.若log2x=2,則x=　　　　.
【答案】4
【解析】因為log2x=2,所以x=22=4.
4.已知log3=0,則x=　　　　.
【答案】3
【解析】因為log3=0,所以=30=1,所以x=3.
【合作探究】
探究1：對數(shù)的概念
情境設(shè)置
問題1:對于函數(shù)y=13×1.01x,給定任意一個x,我們可通過冪的運算計算出任意一個y的值.反之,如果知道y的值,能否計算出x的值呢
【答案】能.
問題2:若2x=16,x=9,則x的值分別是多少
【答案】滿足2x=16的x的值為4,滿足x=9的x的值為-2.
問題3:若2x=3,x=2,則x的值分別是多少
【答案】用log23表示滿足2x=3的x,用lo2表示滿足x=2的x,因此2x=3的解為x=log23,x=2的解為x=lo2.
問題4:怎樣理解對數(shù)式的意義
【答案】“三角度”理解對數(shù)式的意義.
角度一:對數(shù)式logaN可看作一種記號,只有在a>0,且a≠1,N>0時才有意義.
角度二:對數(shù)式logaN也可以看作一種運算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.
角度三:logaN是一個數(shù),是一種取對數(shù)的運算,結(jié)果仍是一個數(shù),不可分開書寫,也不可認為是loga與N的乘積.
問題5:為什么零和負數(shù)沒有對數(shù)
【答案】由對數(shù)的定義:ax=N(a>0且a≠1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在N≤0的情況.
新知生成
1.對數(shù)的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù),記作x=logaN.其中,a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作對數(shù)的真數(shù).
特別提醒:對數(shù)的概念中規(guī)定“a>0,且a≠1”的原因
(1)若a<0,則當N為某些值時,x的值不存在.如x=log-28不存在.
(2)若a=0,
①當N≠0時,x的值不存在.如log03(可理解為0的多少次冪是3)不存在.
②當N=0時,x可以是任意實數(shù),是不唯一的,即log00有無數(shù)個值.
(3)若a=1,
①當N≠1時,x的值不存在.如log13不存在.
②當N=1時,x可以為任意實數(shù),是不唯一的,即log11有無數(shù)個值.
因此規(guī)定a>0,且a≠1.
2.指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系
當a>0,且a≠1時,ax=N x=logaN.前者叫指數(shù)式,后者叫對數(shù)式.
(1)對數(shù)的概念中出現(xiàn)了兩個等式:指數(shù)式ax=N和對數(shù)式x=logaN.這兩個等式是等價的,它們之間的關(guān)系如下:
根據(jù)這個關(guān)系可以將指數(shù)式化成對數(shù)式,也可以將對數(shù)式化成指數(shù)式.
(2)指數(shù)式、對數(shù)式中各個字母的名稱變化如下表:
式子 名稱
a x N
指數(shù)式 ax=N 底數(shù) 指數(shù) 冪
對數(shù)式 x=logaN 底數(shù) 對數(shù) 真數(shù)
新知運用
一、指數(shù)式與對數(shù)式互化
例1　將下列對數(shù)式化成指數(shù)式或指數(shù)式化成對數(shù)式.
(1)53=125;(2)-2=16;(3)lo8=-3;(4)log3=-3.
方法指導　根據(jù)ab=N logaN=b(a>0,且a≠1,N>0)求解.
【解析】(1)∵53=125,∴l(xiāng)og5125=3.
(2)∵-2=16,∴l(xiāng)o16=-2.
(3)∵lo8=-3,∴-3=8.
(4)∵log3=-3,∴3-3=.
【方法總結(jié)】指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法:
(1)將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需要將冪作為真數(shù),指數(shù)當成對數(shù)值,底數(shù)不變,寫出對數(shù)式;
(2)將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變,寫出指數(shù)式.
鞏固訓練
1.(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(　　).
A.70=1與log71=0
B.log2=與()2=2
C.=與log8=-
D.log77=1與71=7
【答案】ACD
【解析】log2=化為指數(shù)式為=,故B錯誤.A,C,D正確.
2.已知loga3=m,則a2m的值為　　　　.
【答案】9
【解析】因為loga3=m,
所以am=3,所以a2m=32=9.
二、利用對數(shù)式與指數(shù)式關(guān)系求值
例2　求下列各式中的x的值.
(1)x=log525;(2)x=log0.41;(3)x=log100.001.
【解析】(1)∵52=25,∴x=log525=2,即x=2;
(2)∵0.40=1,∴x=log0.41=0,即x=0;
(3)∵10-3=0.001,∴x=log100.001=-3,即x=-3.
【方法總結(jié)】求對數(shù)值的方法
(1)將對數(shù)式化為指數(shù)式,構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.
(2)利用冪的運算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計算.
鞏固訓練
　　求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6.
【解析】(1)x=6=(43=4-2=.
(2)因為x6=8,又x>0且x≠1,所以x==(23==.
探究2：對數(shù)的基本性質(zhì)
情境設(shè)置
問題1:對數(shù)的概念中,如果N=1,x的值是多少 N=a時呢
【答案】x=0,x=1.
問題2:如果將對數(shù)式x=logaN代入到指數(shù)式ax=N中會得到哪個式子
【答案】=N.
問題3:你能推出對數(shù)恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)嗎
【答案】因為ax=N,所以x=logaN,代入ax=N可得=N.
新知生成
1.對數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1 負數(shù)和零沒有對數(shù)
性質(zhì)2 1的對數(shù)是0,即loga1=0(a>0,且a≠1)
性質(zhì)3 底數(shù)的對數(shù)是1,即logaa=1(a>0,且a≠1)
2.性質(zhì)的拓展
對數(shù)恒等式:=N,logaax=x(a>0,且a≠1,N>0).
新知運用
例3　求下列各式中x的值.
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(log10x)=1;(3)x=.
【解析】(1)∵log2(log5x)=0,∴l(xiāng)og5x=20=1,
∴x=51=5.
(2)∵log3(log10x)=1,∴l(xiāng)og10x=31=3,
∴x=103=1000.
(3)x==7÷=7÷5=.
【方法總結(jié)】利用對數(shù)的性質(zhì)求值的方法
(1)求解此類問題時,應根據(jù)對數(shù)的兩個結(jié)論loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),進行變形求解,若已知對數(shù)值求真數(shù),則可將其化為指數(shù)式運算.
(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.
鞏固訓練
1.計算:3log22+2log31-3log77=　　　　.
【答案】0
【解析】原式=3×1+2×0-3×1=0.
2.計算:+=　　　　.
【答案】2
【解析】原式=22÷+3-2×
=4÷3+×6=+=2.
【隨堂檢測】
1.若lob=c,則(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
【答案】B
【解析】根據(jù)對數(shù)的定義知,lob=c (a2)c=b,即a2c=b.
2.設(shè)a=log310,b=log37,則3a-b的值為(　　).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】3a-b=3a÷3b=÷=10÷7=.
3.若log2(logx9)=1,則x=　　　　.
【答案】3
【解析】由log2(logx9)=1可知logx9=2,即x2=9,∴x=3或x=-3(舍去).
4.計算:(1)lo81;
(2)lo625;
(3).
【解析】(1)設(shè) x=lo81,則()x=81,=34,
解得x=16.
(2)令lo625=x,則()x=625,即=54,
∴x=3.
(3)=·=.
2

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