資源簡介

4.3.3　課時1　對數函數的圖象與性質(一)
【學習目標】
1.通過具體實例,了解對數函數的概念.(數學抽象)
2.能用描點法或借助計算機工具畫出具體對數函數的圖象.(直觀想象)
3.了解反函數的概念.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.對數函數的概念是什么
【答案】函數y=logax(a>0,且a≠1,x>0)叫作對數函數.
2.對數函數的圖象是什么形狀
【答案】對數函數的圖象是一條恒過點(1,0)的曲線,在y軸的右側.
3.通過對數函數的圖象,你能觀察到對數函數的哪些性質
【答案】對數函數的定義域、值域、單調性.
4.指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0,且a≠1)有什么關系
【答案】它們互為反函數.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0. (　　)
(2)y=log2x2是對數函數. (　　)
(3)若函數y=logax是對數函數,則a>0且a≠1. (　　)
(4)函數y=loga(x-1)的定義域為(0,+∞). (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.下列函數為對數函數的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=logax+1(a>0,且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=log(a-1)x(a>1,且a≠2)
D.y=2logax(a>0,且a≠1)
【答案】C
【解析】根據對數函數的定義可知C正確.
3.函數y=log2(x-2)的定義域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
【答案】C
【解析】由x-2>0,得x>2.
4.已知對數函數f(x)的圖象過點(16,4),則f=　　　　.
【答案】-1
【解析】設對數函數f(x)=logax(a>0,且a≠1),由f(16)=4可知,loga16=4,∴a=2,
∴f(x)=log2x,∴f=log2=-1.
【合作探究】
探究1：對數函數的概念
情境設置
問題1:已知函數y=2x,那么反過來,x是否為關于y的函數
【答案】因為y=2x是單調函數,所以對于任意y∈(0,+∞)都有唯一確定的x與之對應,故x也是關于y的函數,其函數關系式是x=log2y,此處y∈(0,+∞).習慣上用x,y分別表示自變量、因變量.上式可改為y=log2x,x∈(0,+∞).
問題2:函數y=2log3x,y=log3(2x)是對數函數嗎
【答案】不是,其不符合對數函數的形式.
新知生成
對數函數的概念
把函數y=logax(x>0,a>0,a≠1)叫作(以a為底的)對數函數,其中x是自變量,函數的定義域是(0,+∞).
新知運用
例1　求下列函數的定義域.
(1)y=;
(2)y=log(2x-1)(-4x+8).
【解析】(1)由得解得x>,且x≠1.
∴y=的定義域為xx>,且x≠1.
(2)由題意,得解得
　　∴y=log(2x-1)(-4x+8)的定義域為x【方法總結】求函數的定義域就是求使函數的解析式有意義的自變量的取值范圍.經?？紤]的幾種情況如下:①中f(x)≠0;②(n∈N+)中f(x)≥0;③logaf(x)(a>0,且a≠1)中f(x)>0;④logf(x)a(a>0)中f(x)>0,且f(x)≠1;⑤[f(x)]0中f(x)≠0;⑥求抽象函數或復合函數的定義域,需正確理解函數的符號及其定義域的含義.
鞏固訓練
　　求下列函數的定義域.
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x);
(3)y=log(x-1)(3-x).
【解析】(1)要使函數式有意義,需解得x>1,且x≠2.
∴函數y=的定義域是{x|x>1,且x≠2}.
(2)要使函數式有意義,需16-4x>0,解得x<2.
∴所求函數的定義域是{x|x<2}.
(3)要使函數式有意義,需解得1探究2：指數函數與對數函數的關系
情境設置
問題1:在同一坐標系中畫出函數y=2x,y=x,y=log2x,y=lox,y=x的圖象.
【答案】
問題2:函數y=log2x與y=2x的圖象有什么關系 y=lox與y=x的圖象呢
【答案】它們的圖象都關于直線y=x對稱.
問題3:函數y=log2x與y=2x的定義域和值域有什么關系
【答案】函數y=log2x與y=2x的定義域與值域互換.
新知生成
1.對數函數y=logax(a>0,且a≠1)與指數函數y=ax(a>0,且a≠1)互為反函數.
2.要尋找函數y=f(x)的反函數,可以先把x和y換位,寫成x=f(y),再把y解出來,表示成y=g(x)的形式,如果這種形式是唯一確定的,那么就可以得到f(x)的反函數g(x).
新知運用
一、對數函數圖象的應用
例2　(1)當a>1時,在同一坐標系中,函數y=a-x與y=logax的圖象為(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
(2)若函數f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點P,則點P的坐標是　　　　.
(3)已知函數f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直線y=a(a<0)與這三個函數圖象的交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,則x1,x2,x3從小到大的關系是　　　　.
【答案】(1)C　(2)(1,3)　(3)x2【解析】(1)∵a>1,∴0<<1,∴y=a-x是減函數,y=logax是增函數,故選C.
(2)令2-x=1,得x=1,f(1)=3,即圖象過定點(1,3).
(3)分別作出三個函數的大致圖象,如圖所示.由圖可知,x2【方法總結】1.對數函數y=logax的判定,可根據單調性來判定.
2.對數型函數圖象恒過點問題是根據對任意的a>0且a≠1,都有loga1=0.例如,解答函數y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的圖象恒過點問題時,只需令f(x)=1求出x,即得定點(x,m).
3.對數函數圖象與直線y=1的交點的橫坐標越大,則對應的對數函數的底數越大.
二、反函數的應用
例3　若函數y=f(x)是函數y=ax(a>0,且a≠1)的反函數,且f(4)=-2,則f(x)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.lox C.log2x D.2x
方法指導　化指數式為對數式,求出函數y=ax(a>0,且a≠1)的反函數,然后由f(4)=-2求出a的值,即得f(x)的解析式.
【答案】B
【解析】由y=ax(a>0,且a≠1),得x=logay(a>0,且a≠1),
∴函數y=ax(a>0,且a≠1)的反函數是y=logax(a>0,且a≠1),由f(4)=-2,得loga4=-2,即a=.∴f(x)=lox.故選B.
【方法總結】　要尋找函數y=f(x)的反函數,可以先把x和y換位,寫成x=f(y),再把y解出來,表示成y=g(x)的形式.如果這種形式是唯一確定的,那么就得到了f(x)的反函數g(x).既然y=g(x)是從x=f(y)解出來的,就一定有f(g(x))=x,這個等式也可以作為反函數的定義.
鞏固訓練
1.函數y=與y=loga(-x)的圖象可能是(　　).
　
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
【答案】C
【解析】∵在y=loga(-x)中,-x>0,∴x<0,∴y=loga(-x)的圖象只能在y軸的左側,故排除A,D;當a>1時,y=loga(-x)是減函數,y=a-x=x是減函數,故排除B;當02.已知函數y=f(x)是函數y=10x的反函數,則f(10)=(　　).
A.1 B.2
C.10 D.1010
【答案】A
【解析】函數y=10x的反函數為f(x)=lg x,f(10)=lg 10=1.
【隨堂檢測】
1.若對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log3x
【答案】D
【解析】設對數函數的解析式為y=logax(a>0,且a≠1),因為對數函數的圖象過點M(9,2),所以2=loga9,解得a=3.
2.函數y=ln的定義域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
【答案】C
【解析】要使函數有意義,真數需大于0,所以x-2>0,即x>2.故選C.
3.已知函數f(x)與y=ln(x-1)互為反函數,則f(x)=　　　　.
【答案】ex+1,x∈R
【解析】由y=ln(x-1)可得x-1=ey,即x=ey+1,故f(x)=ex+1,x∈R.
4.已知函數y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的圖象恒過點P,則點P的坐標是　　　　.
【答案】(4,-1)
【解析】因為y=logax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(1,0),所以令x-3=1,得x=4,此時y=-1,所以點P的坐標是(4,-1).
24.3.3　課時1　對數函數的圖象與性質(一)
【學習目標】
1.通過具體實例,了解對數函數的概念.(數學抽象)
2.能用描點法或借助計算機工具畫出具體對數函數的圖象.(直觀想象)
3.了解反函數的概念.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.對數函數的概念是什么
2.對數函數的圖象是什么形狀
3.通過對數函數的圖象,你能觀察到對數函數的哪些性質
4.指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0,且a≠1)有什么關系
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0. (　　)
(2)y=log2x2是對數函數. (　　)
(3)若函數y=logax是對數函數,則a>0且a≠1. (　　)
(4)函數y=loga(x-1)的定義域為(0,+∞). (　　)
2.下列函數為對數函數的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=logax+1(a>0,且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=log(a-1)x(a>1,且a≠2)
D.y=2logax(a>0,且a≠1)
3.函數y=log2(x-2)的定義域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
4.已知對數函數f(x)的圖象過點(16,4),則f=　　　　.
【合作探究】
探究1：對數函數的概念
情境設置
問題1:已知函數y=2x,那么反過來,x是否為關于y的函數
問題2:函數y=2log3x,y=log3(2x)是對數函數嗎
新知生成
對數函數的概念
把函數y=logax(x>0,a>0,a≠1)叫作(以a為底的)對數函數,其中x是自變量,函數的定義域是(0,+∞).
新知運用
例1　求下列函數的定義域.
(1)y=;
(2)y=log(2x-1)(-4x+8).
【方法總結】求函數的定義域就是求使函數的解析式有意義的自變量的取值范圍.經?？紤]的幾種情況如下:①中f(x)≠0;②(n∈N+)中f(x)≥0;③logaf(x)(a>0,且a≠1)中f(x)>0;④logf(x)a(a>0)中f(x)>0,且f(x)≠1;⑤[f(x)]0中f(x)≠0;⑥求抽象函數或復合函數的定義域,需正確理解函數的符號及其定義域的含義.
鞏固訓練
　　求下列函數的定義域.
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x);
(3)y=log(x-1)(3-x).
探究2：指數函數與對數函數的關系
情境設置
問題1:在同一坐標系中畫出函數y=2x,y=x,y=log2x,y=lox,y=x的圖象.
問題2:函數y=log2x與y=2x的圖象有什么關系 y=lox與y=x的圖象呢
問題3:函數y=log2x與y=2x的定義域和值域有什么關系
新知生成
1.對數函數y=logax(a>0,且a≠1)與指數函數y=ax(a>0,且a≠1)互為反函數.
2.要尋找函數y=f(x)的反函數,可以先把x和y換位,寫成x=f(y),再把y解出來,表示成y=g(x)的形式,如果這種形式是唯一確定的,那么就可以得到f(x)的反函數g(x).
新知運用
一、對數函數圖象的應用
例2　(1)當a>1時,在同一坐標系中,函數y=a-x與y=logax的圖象為(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
(2)若函數f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點P,則點P的坐標是　　　　.
(3)已知函數f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直線y=a(a<0)與這三個函數圖象的交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,則x1,x2,x3從小到大的關系是　　　　.
【方法總結】1.對數函數y=logax的判定,可根據單調性來判定.
2.對數型函數圖象恒過點問題是根據對任意的a>0且a≠1,都有loga1=0.例如,解答函數y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的圖象恒過點問題時,只需令f(x)=1求出x,即得定點(x,m).
3.對數函數圖象與直線y=1的交點的橫坐標越大,則對應的對數函數的底數越大.
二、反函數的應用
例3　若函數y=f(x)是函數y=ax(a>0,且a≠1)的反函數,且f(4)=-2,則f(x)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.lox C.log2x D.2x
方法指導　化指數式為對數式,求出函數y=ax(a>0,且a≠1)的反函數,然后由f(4)=-2求出a的值,即得f(x)的解析式.
【方法總結】　要尋找函數y=f(x)的反函數,可以先把x和y換位,寫成x=f(y),再把y解出來,表示成y=g(x)的形式.如果這種形式是唯一確定的,那么就得到了f(x)的反函數g(x).既然y=g(x)是從x=f(y)解出來的,就一定有f(g(x))=x,這個等式也可以作為反函數的定義.
鞏固訓練
1.函數y=與y=loga(-x)的圖象可能是(　　).
　
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
2.已知函數y=f(x)是函數y=10x的反函數,則f(10)=(　　).
A.1 B.2
C.10 D.1010
【隨堂檢測】
1.若對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log3x
2.函數y=ln的定義域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
3.已知函數f(x)與y=ln(x-1)互為反函數,則f(x)=　　　　.
4.已知函數y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的圖象恒過點P,則點P的坐標是　　　　.
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