資源簡介

4.3.3 課時2 對數函數的圖象與性質(二)
【學習目標】
1.能根據對數函數的圖象說明對數函數的性質.(直觀想象)
2.掌握對數函數的單調性,會進行同底對數和不同底對數大小的比較.(邏輯推理)
3.會解簡單的對數不等式,掌握對數型復合函數奇偶性的判定方法.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在函數y=ax與y=logax中,它們的定義域、值域、單調性有何關系
2.對數函數圖象的“上升”或“下降”與什么有關
3.你能根據對數函數的圖象總結對數函數值的符號規律嗎
自學檢測
1.已知a=log23,b=log2e,c=ln 2,則a,b,c的大小關系是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
2.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集為(　　).
A.(-∞,3) B.-,3
C.-, D.,3
3.關于函數y=lo(x-1)的單調性敘述正確的是　　　　.(填序號)
①在R上單調遞減;
②在(1,+∞)上單調遞增;
③在(1,+∞)上單調遞減;
④在(0,+∞)上單調遞減.
【合作探究】
探究1：對數函數的圖象及其變換
情境設置
問題1:試作出y=log2x和y=lox的圖象.
問題2:兩圖象與x軸的交點坐標是什么
問題3:如圖,這是對數函數y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的圖象,你能指出a,b,c,d與1的大小關系嗎
新知生成
1.對數函數的圖象與性質
y=loga x,a>1 y=loga x,0圖象
性質 定義域:(0,+∞)
值域:R
過點(1,0),即當x=1時,y=0
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
2.利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y=f(x)的圖象y=-f(x)的圖象;
②y=f(x)的圖象y=f(-x)的圖象;
③y=f(x)的圖象y=-f(-x)的圖象;
④y=ax(a>0且a≠1)的圖象y=logax(a>0且a≠1)的圖象.
(3)翻轉變換
①y=f(x)的圖象y=|f(x)|的圖象;
②y=f(x)的圖象y=f(|x|)的圖象.
新知運用
例1　根據y=log2x的圖象,作出下列函數的圖象.
(1)y=|log2x|;(2)y=|log2(x-1)|;
(3)y=|log2(1-x)|.
【方法總結】有關函數圖象間的變換規律
(1)一般地,函數y=f(x+a)+b(a,b為實數)的圖象是由函數y=f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度,再沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的.
(2)含有絕對值的函數的圖象是一種對稱變換,一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關于直線x=a對稱的軸對稱圖形;函數y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關于x軸對稱.
探究2：對數函數的性質及應用
情境設置
問題1:對數函數圖象的“上升”或“下降”與什么有關
問題2:類比y=af(x)(a>0,a≠1)單調性的判斷法,你能分析一下y=lo(2x-1)的單調性嗎
問題3:如何求形如y=logaf(x)的值域
新知生成
1.當a>1時,對數函數y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上單調遞增;
當00,且a≠1)在(0,+∞)上單調遞減.
2.y=logaf(x)型函數性質的研究
(1)定義域:由f(x)>0解得x的取值范圍,即為函數的定義域.
(2)值域:在函數y=logaf(x)的定義域中確定t=f(x)的值域,再由y=logat的單調性確定函數的值域.
(3)單調性:在定義域內考慮t=f(x)與y=logat的單調性,根據同增異減法則判定.(或運用單調性定義判定)
(4)奇偶性:根據奇偶函數的定義判定.
(5)最值:在f(x)>0的條件下,確定t=f(x)的值域,再根據a確定函數y=logat的單調性,最后確定最值.
新知運用
一、比較大小
例2　下列不等號連接不正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.log0.5 2.2>log0.5 2.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ
方法指導　利用對數函數的單調性可判斷選項A,分別計算每個選項中兩個對數的范圍,可判斷選項B,D,利用對數的運算log34=1+log3,log56=1+log5,再結合中間量log3比較log3與log5的大小可判斷選項C,進而可得正確選項.
【方法總結】比較函數值的大小的常見方法:(1)利用函數單調性比較,此法用于可化為同底的式子;(2)中間值法,即當兩個數不易比較時,可找介于兩值中間且與題中兩數都能比較大小的一個中間值,進而利用中間值解決問題.
二、解對數不等式
例3　解不等式:(1)logx>1;
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1).
方法指導　(1)化成同底的對數式,結合對數函數的定義、單調性求解.(2)討論a的范圍,結合對數函數的單調性求解.
【方法總結】解對數型不等式問題,其依據是對數函數的單調性,若對數的底數是字母且范圍不明確,一般要分a>1和0三、求對數型復合函數的單調區間
例4　若函數f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
方法指導　根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可.
【方法總結】求形如y=logaf(x)的函數的單調區間的步驟:(1)求出函數的定義域.(2)研究函數t=f(x)和函數y=logat在定義域上的單調性.(3)判斷函數的增減性求出單調區間.
提醒:要注意對底數進行分類討論.
鞏固訓練
1.比較下列各組值的大小:
(1)lo0.5,lo0.6.
(2)log1.51.6,log1.51.4.
(3)log0.57,log0.67.
(4)log3π,log20.8.
2.已知a>0且滿足不等式22a+1>25a-2.
(1)求實數a的取值范圍;
(2)求不等式loga(3x+1)(3)若函數y=loga(2x-1)在區間[1,3]上的最小值為-2,求實數a的值.
3.求函數f(x)=log2(1-2x)的單調區間.
【隨堂檢測】
1.設a=log32,b=log52,c=log23,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
2.函數y=log0.5(-x2+4x)的單調遞增區間是(　　).
A.[2,4) B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(-∞,2]
3.如圖所示,函數f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　).
A.{x|-1C.{x|-14.求函數y=lox2-lox+5在區間[2,4]上的最大值和最小值.
24.3.3 課時2 對數函數的圖象與性質(二)
【學習目標】
1.能根據對數函數的圖象說明對數函數的性質.(直觀想象)
2.掌握對數函數的單調性,會進行同底對數和不同底對數大小的比較.(邏輯推理)
3.會解簡單的對數不等式,掌握對數型復合函數奇偶性的判定方法.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在函數y=ax與y=logax中,它們的定義域、值域、單調性有何關系
【答案】函數y=ax的定義域R是函數y=logax的值域,函數y=ax的值域是函數y=logax的定義域,且當a>1時,y=ax與y=logax均為增函數,當02.對數函數圖象的“上升”或“下降”與什么有關
【答案】底數a與1的關系決定了對數函數圖象的升降.
當a>1時,對數函數的圖象“上升”;當03.你能根據對數函數的圖象總結對數函數值的符號規律嗎
【答案】若a>1,當x>1時,y>0;當0若00;當x>1時,y<0.
自學檢測
1.已知a=log23,b=log2e,c=ln 2,則a,b,c的大小關系是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
【答案】A
【解析】∵a=log23>b=log2e>log22=1,c=ln 2b>c.
2.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集為(　　).
A.(-∞,3) B.-,3
C.-, D.,3
【答案】D
【解析】∵函數y=log2x是增函數,
∴解得3.關于函數y=lo(x-1)的單調性敘述正確的是　　　　.(填序號)
①在R上單調遞減;
②在(1,+∞)上單調遞增;
③在(1,+∞)上單調遞減;
④在(0,+∞)上單調遞減.
【答案】③
【解析】令x-1>0,得x>1,又0<<1,所以函數y=lo(x-1)在(1,+∞)上單調遞減.
【合作探究】
探究1：對數函數的圖象及其變換
情境設置
問題1:試作出y=log2x和y=lox的圖象.
【答案】
問題2:兩圖象與x軸的交點坐標是什么
【答案】交點坐標為(1,0).
問題3:如圖,這是對數函數y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的圖象,你能指出a,b,c,d與1的大小關系嗎
【答案】由圖可知,函數y=logax,y=logbx的底數a>1,b>1,函數y=logcx,y=logdx的底數0作直線y=1,它與各曲線交點的橫坐標就是各對數的底數c,d,a,b,顯然b>a>1>d>c.
新知生成
1.對數函數的圖象與性質
y=loga x,a>1 y=loga x,0圖象
性質 定義域:(0,+∞)
值域:R
過點(1,0),即當x=1時,y=0
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
2.利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y=f(x)的圖象y=-f(x)的圖象;
②y=f(x)的圖象y=f(-x)的圖象;
③y=f(x)的圖象y=-f(-x)的圖象;
④y=ax(a>0且a≠1)的圖象y=logax(a>0且a≠1)的圖象.
(3)翻轉變換
①y=f(x)的圖象y=|f(x)|的圖象;
②y=f(x)的圖象y=f(|x|)的圖象.
新知運用
例1　根據y=log2x的圖象,作出下列函數的圖象.
(1)y=|log2x|;(2)y=|log2(x-1)|;
(3)y=|log2(1-x)|.
【解析】(1)第一步:作函數y=log2x的圖象;
第二步:把函數y=log2x的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折(位于x軸和x軸上方的圖象不變),即得y=|log2x|的圖象(如圖①).
(2)第一步和第二步同(1);
第三步:把y=|log2x|的圖象向右平移1個單位長度即得y=|log2(x-1)|的圖象(如圖②).
(3)第一步:作函數y=log2x的圖象;
第二步:把函數y=log2x的圖象沿y軸翻折,得y=log2(-x)的圖象;
第三步:把y=log2(-x)的圖象向右平移1個單位長度,得函數y=log2(1-x)的圖象;
第四步:把y=log2(1-x)的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折(x軸上及x軸上方的圖象不變),得y=|log2(1-x)|的圖象(如圖③).
【方法總結】有關函數圖象間的變換規律
(1)一般地,函數y=f(x+a)+b(a,b為實數)的圖象是由函數y=f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度,再沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的.
(2)含有絕對值的函數的圖象是一種對稱變換,一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關于直線x=a對稱的軸對稱圖形;函數y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關于x軸對稱.
探究2：對數函數的性質及應用
情境設置
問題1:對數函數圖象的“上升”或“下降”與什么有關
【答案】底數a與1的關系決定了對數函數圖象的升降.
當a>1時,對數函數的圖象“上升”;當0問題2:類比y=af(x)(a>0,a≠1)單調性的判斷法,你能分析一下y=lo(2x-1)的單調性嗎
【答案】形如y=af(x)的單調性滿足“同增異減”的原則,由于y=lo(2x-1)由函數y=lot及函數t=2x-1復合而成,且定義域為2x-1>0,即x>.結合“同增異減”可知,y=lo(2x-1)的單調遞減區間為,+∞.
問題3:如何求形如y=logaf(x)的值域
【答案】先求y=f(x)的值域,注意f(x)>0.在此基礎上,分a>1和0新知生成
1.當a>1時,對數函數y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上單調遞增;
當00,且a≠1)在(0,+∞)上單調遞減.
2.y=logaf(x)型函數性質的研究
(1)定義域:由f(x)>0解得x的取值范圍,即為函數的定義域.
(2)值域:在函數y=logaf(x)的定義域中確定t=f(x)的值域,再由y=logat的單調性確定函數的值域.
(3)單調性:在定義域內考慮t=f(x)與y=logat的單調性,根據同增異減法則判定.(或運用單調性定義判定)
(4)奇偶性:根據奇偶函數的定義判定.
(5)最值:在f(x)>0的條件下,確定t=f(x)的值域,再根據a確定函數y=logat的單調性,最后確定最值.
新知運用
一、比較大小
例2　下列不等號連接不正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.log0.5 2.2>log0.5 2.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ
方法指導　利用對數函數的單調性可判斷選項A,分別計算每個選項中兩個對數的范圍,可判斷選項B,D,利用對數的運算log34=1+log3,log56=1+log5,再結合中間量log3比較log3與log5的大小可判斷選項C,進而可得正確選項.
【答案】D
【解析】因為y=log0.5x在(0,+∞)上單調遞減,2.2<2.3,所以log0.52.2>log0.52.3,故A正確;
因為log34>log33=1,0=log611,log65<1,所以log34>log65,故B正確;
log34=log33×=log33+log3=1+log3,log56=log55×=log55+log5=1+log5,因為log3>log3>log5,所以1+log3>1+log5,故C正確;
logπelogee=1,所以logπe【方法總結】比較函數值的大小的常見方法:(1)利用函數單調性比較,此法用于可化為同底的式子;(2)中間值法,即當兩個數不易比較時,可找介于兩值中間且與題中兩數都能比較大小的一個中間值,進而利用中間值解決問題.
二、解對數不等式
例3　解不等式:(1)logx>1;
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1).
方法指導　(1)化成同底的對數式,結合對數函數的定義、單調性求解.(2)討論a的范圍,結合對數函數的單調性求解.
【解析】(1)當x>1時,logx>1=logxx,解得x<,此時不等式無解.
當01=logxx,解得x>,所以綜上所述,原不等式的解集為,1.
(2)當a>1時,原不等式等價于解得x>4.
當0綜上所述,當a>1時,原不等式的解集為{x|x>4};
當0【方法總結】解對數型不等式問題,其依據是對數函數的單調性,若對數的底數是字母且范圍不明確,一般要分a>1和0三、求對數型復合函數的單調區間
例4　若函數f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
方法指導　根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可.
【答案】-∞,
【解析】設g(x)=x2-ax+1,
要使f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上單調遞增,
則必須滿足解得a<,
故實數a的取值范圍是-∞,.
【方法總結】求形如y=logaf(x)的函數的單調區間的步驟:(1)求出函數的定義域.(2)研究函數t=f(x)和函數y=logat在定義域上的單調性.(3)判斷函數的增減性求出單調區間.
提醒:要注意對底數進行分類討論.
鞏固訓練
1.比較下列各組值的大小:
(1)lo0.5,lo0.6.
(2)log1.51.6,log1.51.4.
(3)log0.57,log0.67.
(4)log3π,log20.8.
【解析】(1)因為函數y=lox是減函數,且0.5<0.6,所以lo0.5>lo0.6.
(2)因為函數y=log1.5x是增函數,且1.6>1.4,所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因為0>log70.6>log70.5,所以<,即log0.67(4)因為log3π>log31=0,log20.8log20.8.
2.已知a>0且滿足不等式22a+1>25a-2.
(1)求實數a的取值范圍;
(2)求不等式loga(3x+1)(3)若函數y=loga(2x-1)在區間[1,3]上的最小值為-2,求實數a的值.
【解析】(1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,∴a<1,即0(2)由(1)得,0∴即
解得(3)∵03.求函數f(x)=log2(1-2x)的單調區間.
【解析】因為1-2x>0,所以x<.
設u=1-2x,則y=log2u是(0,+∞)上的增函數.
又u=1-2x在-∞,上是減函數,
所以函數f(x)=log2(1-2x)的單調遞減區間是-∞,,無單調遞增區間.
【隨堂檢測】
1.設a=log32,b=log52,c=log23,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
【答案】D
【解析】a=log32log22=1,由對數函數的性質可知log522.函數y=log0.5(-x2+4x)的單調遞增區間是(　　).
A.[2,4) B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(-∞,2]
【答案】A
【解析】函數y=log0.5(-x2+4x)的定義域為(0,4),
因為一元二次函數y=-x2+4x在(0,2)上單調遞增,在[2,4)上單調遞減,且log0.5t在定義域內單調遞減,根據同增異減法則,函數y=log0.5(-x2+4x)在(0,2)上單調遞減,在[2,4)上單調遞增.故選A.
3.如圖所示,函數f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　).
A.{x|-1C.{x|-1【答案】C
【解析】在平面直角坐標系中作出函數y=log2(x+1)的大致圖象,如圖所示.
所以f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|-14.求函數y=lox2-lox+5在區間[2,4]上的最大值和最小值.
【解析】由y=lox在區間[2,4]上為減函數知,
lo2≥lox≥lo4,即-2≤lox≤-1.
若設t=lox,
則-2≤t≤-1,且y=t2-t+5.
而y=t2-t+5的圖象的對稱軸為直線t=,且在區間-∞,上為減函數,
而[-2,-1] -∞,.
所以當t=-2,即x=4時,此函數取得最大值,最大值為10;
當t=-1,即x=2時,此函數取得最小值,最小值為.
2

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