資源簡介

4.5.1　幾種函數增長快慢的比較
【學習目標】
1.了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型.(數學建模)
2.了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.我們學過哪些基本類型的函數
【答案】一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數.
2.觀察函數y=與y=在[0,+∞)上的圖象,說明在不同區間內,函數增長的快慢情況.
【答案】在區間[0,16)內,函數y=增長得快,函數y=增長得慢;在區間[16,+∞)內,函數y=增長得慢,函數y=增長得快.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)當x每增加一個單位時,y增加或減少的量為定值,則y是x的一次函數. (　　)
(2)對任意的x>0,都有kx>logax. (　　)
(3)對任意的x>0,都有ax>logax. (　　)
(4)函數y=log2x增長的速度越來越慢. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.某公司為了適應市場需求,對產品結構進行了重大調整,調整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系,則可選用(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.一次函數模型 B.二次函數模型
C.指數函數模型 D.對數函數模型
【答案】D
【解析】根據函數的圖象特征可知,選用對數函數模型比較恰當.
3.下列函數中隨x的增大而增長速度最快的是(　　).
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
【答案】A
【解析】指數函數y=ax,在a>1時呈爆炸式增長,并且隨a值的增大,增長速度增快,應選A.
4.四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表所示:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關于x呈指數型函數變化的變量是　　　　.
【答案】y2
【解析】以爆炸式增長的變量是呈指數型函數變化的.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,從它們的變化情況可知變量y2關于x呈指數型函數變化.
　　【合作探究】
探究1：函數模型的比較
情境設置
在一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數的學習中,我們研究了它們圖象的畫法及函數的性質.
問題1:函數y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=kx(k>0)是增函數嗎
【答案】它們都是增函數,但增減的快慢不同.
問題2:給出函數y=50x,y=50x,y=log50x(x>0),隨著x的增大,它們的增長速度由慢到快的順序是什么
【答案】三個函數中,增長速度由慢到快的順序依次是y=log50x(x>0),y=50x,y=50x.
新知生成
三種函數模型的性質
　　　函數 性質　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增減性 增函數 增函數 增函數
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡” 隨x的增大逐漸趨于穩定 隨α值的不同而不同
增長速度 ax的增長快于xα的增長,xα的增長快于logax的增長
增長后果 當x足夠大時,有ax>xα>logax(a>1)
新知運用
一、幾類函數模型增長差異的比較
例1　(1)下列函數中,增長速度最快的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2021x B.y=2021
C.y=log2021x D.y=2021x
(2)下面對函數f(x)=lox,g(x)=x與h(x)=-2x在區間(0,+∞)上的遞減情況說法正確的是(　　).
A.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越慢
B.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度越來越快
C.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度不變
D.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越快
方法指導　借助指數函數、對數函數、一次函數的增長差異作出判斷.
【答案】(1)A　(2)C
【解析】(1)指數函數y=ax在a>1時呈爆炸性增長,并且隨a值的增大,增長速度越快,故選A.
(2)觀察函數f(x)=lox,g(x)=x與h(x)=-2x在區間(0,+∞)上的圖象(如圖)可知,函數f(x)的圖象在區間(0,1)上遞減較快,但遞減速度逐漸變慢,在區間(1,+∞)上遞減較慢,且越來越慢;同樣,函數g(x)的圖象在區間(0,+∞)上遞減較慢,且遞減速度越來越慢;函數h(x)的圖象遞減速度不變.故選C.
【方法總結】常見的函數模型及增長特點:(1)線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(2)指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數爆炸”.(3)對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.
二、不同增長函數模型的圖象特征
例2　
函數f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的圖象如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數;
(2)求點A,B的坐標;
(3)結合函數圖象,判斷f(3),g(3),f(2023),g(2023)的大小.
【解析】(1)曲線C1對應的函數為g(x)=x2,曲線C2對應的函數為f(x)=2x.
(2)因為f(2)=4,g(2)=4,f(4)=16,g(4)=16,所以A(2,4),B(4,16).
(3)由圖象和(2)可知,當0≤x<2時,f(x)>g(x);當24時,f(x)>g(x).因此,f(2023)>g(2023),f(3)又因為g(x)在[0,+∞)上為增函數,所以g(2023)>g(3).
故f(2023)>g(2023)>g(3)>f(3).
【方法總結】指數函數、對數函數和二次函數增長差異的判斷方法
(1)根據函數的變化量的情況對函數增長模型進行判斷.
(2)根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和二次函數時,通常是觀察函數圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象最“陡”的函數是指數函數;圖象趨于平緩的函數是對數函數.
鞏固訓練
1.四個物體同時從某一點出發向前運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x>1)的函數關系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.如果它們一直運動下去,最終在最前面的物體具有的函數關系是(　　).
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
【答案】D
【解析】由增長速度可知,當自變量充分大時,指數函數的值最大.故選D.
2.函數f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.
(1)試根據函數的增長差異指出曲線C1,C2分別對應的函數;
(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較).
【解析】(1)曲線C1對應的函數為g(x)=0.3x-1,曲線C2對應的函數為f(x)=lg x.
(2)當0f(x);當x1g(x);當x>x2時,g(x)>f(x);當x=x1或x=x2時,f(x)=g(x).
探究2：函數模型的選擇
情境設置
　　已知函數模型:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b.(x是自變量,a>1,k>0)
問題1:上述函數模型中,隨著x的增大,增長最快的是哪一個
【答案】④.
問題2:①與②,哪一個增長較快
【答案】①.
新知生成
　　不同的函數模型能刻畫現實世界中不同的變化規律:
(1)一次函數增長模型適合于描述增長速度不變的變化規律;
(2)指數函數增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規律;
(3)對數函數增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規律;
(4)冪函數增長模型適合于描述增長速度一般的變化規律.
因此,需抓住題中蘊含的數學信息,恰當、準確地建立相應變化規律的函數模型來解決實際問題.
新知運用
例3　某人對東北一種松樹的生長進行了研究,收集了其高度h(單位:米)與生長時間t(單位:年)的相關數據,選擇函數h=mt+b與h=loga(t+1)來刻畫h與t的關系,你認為哪個符合 并預測生長8年的松樹的高度.
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
　　【解析】根據表中數據作出散點圖,如圖所示.
由圖可以看出與一次函數模型不吻合,故選用對數型函數模型比較合理.
不妨將點(2,1)代入h=loga(t+1),得1=loga3,解得a=3.
故可用函數h=log3(t+1)來刻畫h與t的關系.
當t=8時,h=log3(8+1)=2,
故可預測生長8年的松樹的高度為2米.
【方法總結】函數模型的選擇與數據的擬合是數學建模中最核心的內容,解題的關鍵在于通過對已知數據的分析,得出重要信息,根據解題積累的經驗,從已有的各類型函數中選擇模擬,進行數據的擬合.
鞏固訓練
1.某地區植被被破壞,土地沙漠化越來越嚴重,測得最近三年沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則沙漠增加值y(單位:萬公頃)關于年數x的函數關系式大致可以是(　　).
A.y=0.2x　　　　　　B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
【答案】C
【解析】對于A,當x=1或x=2時,符合題意,當x=3時,y=0.6,與0.76相差0.16;
對于B,當x=1時,y=0.3,當x=2時,y=0.8,當x=3時,y=1.5,相差較大,不符合題意;
對于C,當x=1或x=2時,符合題意,當x=3時,y=0.8,與0.76相差0.04,與A比較,更符合題意;
對于D,當x=1時,y=0.2,當x=2時,y=0.45,當x=3時,y≈0.6<0.76,相差較大,不符合題意.
2.某跨國飲料公司在對全世界所有人均生產總值在0.5~8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現:該飲料在人均生產總值處于中等的地區銷售量最多,然后向兩邊遞減.
現有下列幾個模擬函數:
①y=ax2+bx;
②y=kx+b;
③y=logax+b;
④y=ax+b.
(x表示人均生產總值,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L)
用哪個模擬函數來描述年人均A飲料銷售量與地區的人均生產總值的關系更合適 請說明理由.
【解析】用①來模擬比較合適.因為該飲料在人均生產總值處于中等的地區銷售量更多,然后向兩邊遞減,而②③④表示的函數在區間上是單調函數,所以②③④都不合適,故用①來模擬比較合適.
【隨堂檢測】
1.下列函數中,隨x的增大,增長速度最快的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=100x B.y=x100
C.y=100x D.y=log100x(x∈N+)
【答案】C
【解析】四個函數中,增長速度由慢到快依次是y=log100x,y=100x,y=x100,y=100x.
2.下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據,由此判斷它最可能的函數模型是(　　).
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函數模型 B.二次函數模型
C.指數函數模型 D.對數函數模型
【答案】A
【解析】由自變量每增加1,函數值增加2,可知函數值的增量是均勻的,故為一次函數模型.
3.某人投資x元,獲利y元,有以下三種方案,甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,則投資500元,1000元,1500元時,應分別選擇　　　　方案.
【答案】乙、甲、丙
【解析】將投資數分別代入甲、乙、丙的函數關系式中比較y值的大小即可選擇方案.
4.畫出函數f(x)=與函數g(x)=x2-2的圖象,并比較兩者在[0,+∞)上的大小關系.
【解析】函數f(x)與g(x)的圖象如圖所示.
根據圖象易得,當0≤x<4時,f(x)>g(x);
當x=4時,f(x)=g(x);
當x>4時,f(x)24.5.1　幾種函數增長快慢的比較
【學習目標】
1.了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型.(數學建模)
2.了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.我們學過哪些基本類型的函數
2.觀察函數y=與y=在[0,+∞)上的圖象,說明在不同區間內,函數增長的快慢情況.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)當x每增加一個單位時,y增加或減少的量為定值,則y是x的一次函數. (　　)
(2)對任意的x>0,都有kx>logax. (　　)
(3)對任意的x>0,都有ax>logax. (　　)
(4)函數y=log2x增長的速度越來越慢. (　　)
2.某公司為了適應市場需求,對產品結構進行了重大調整,調整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系,則可選用(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.一次函數模型 B.二次函數模型
C.指數函數模型 D.對數函數模型
3.下列函數中隨x的增大而增長速度最快的是(　　).
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
4.四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表所示:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關于x呈指數型函數變化的變量是　　　　.
　　【合作探究】
探究1：函數模型的比較
情境設置
在一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數的學習中,我們研究了它們圖象的畫法及函數的性質.
問題1:函數y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=kx(k>0)是增函數嗎
問題2:給出函數y=50x,y=50x,y=log50x(x>0),隨著x的增大,它們的增長速度由慢到快的順序是什么
新知生成
三種函數模型的性質
　　　函數 性質　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增減性 增函數 增函數 增函數
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡” 隨x的增大逐漸趨于穩定 隨α值的不同而不同
增長速度 ax的增長快于xα的增長,xα的增長快于logax的增長
增長后果 當x足夠大時,有ax>xα>logax(a>1)
新知運用
一、幾類函數模型增長差異的比較
例1　(1)下列函數中,增長速度最快的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2021x B.y=2021
C.y=log2021x D.y=2021x
(2)下面對函數f(x)=lox,g(x)=x與h(x)=-2x在區間(0,+∞)上的遞減情況說法正確的是(　　).
A.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越慢
B.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度越來越快
C.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度不變
D.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越快
方法指導　借助指數函數、對數函數、一次函數的增長差異作出判斷.
【方法總結】常見的函數模型及增長特點:(1)線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(2)指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數爆炸”.(3)對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.
二、不同增長函數模型的圖象特征
例2　
函數f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的圖象如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數;
(2)求點A,B的坐標;
(3)結合函數圖象,判斷f(3),g(3),f(2023),g(2023)的大小.
【方法總結】指數函數、對數函數和二次函數增長差異的判斷方法
(1)根據函數的變化量的情況對函數增長模型進行判斷.
(2)根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和二次函數時,通常是觀察函數圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象最“陡”的函數是指數函數;圖象趨于平緩的函數是對數函數.
鞏固訓練
1.四個物體同時從某一點出發向前運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x>1)的函數關系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.如果它們一直運動下去,最終在最前面的物體具有的函數關系是(　　).
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
2.函數f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.
(1)試根據函數的增長差異指出曲線C1,C2分別對應的函數;
(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較).
探究2：函數模型的選擇
情境設置
　　已知函數模型:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b.(x是自變量,a>1,k>0)
問題1:上述函數模型中,隨著x的增大,增長最快的是哪一個
問題2:①與②,哪一個增長較快
新知生成
　　不同的函數模型能刻畫現實世界中不同的變化規律:
(1)一次函數增長模型適合于描述增長速度不變的變化規律;
(2)指數函數增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規律;
(3)對數函數增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規律;
(4)冪函數增長模型適合于描述增長速度一般的變化規律.
因此,需抓住題中蘊含的數學信息,恰當、準確地建立相應變化規律的函數模型來解決實際問題.
新知運用
例3　某人對東北一種松樹的生長進行了研究,收集了其高度h(單位:米)與生長時間t(單位:年)的相關數據,選擇函數h=mt+b與h=loga(t+1)來刻畫h與t的關系,你認為哪個符合 并預測生長8年的松樹的高度.
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
　
【方法總結】函數模型的選擇與數據的擬合是數學建模中最核心的內容,解題的關鍵在于通過對已知數據的分析,得出重要信息,根據解題積累的經驗,從已有的各類型函數中選擇模擬,進行數據的擬合.
鞏固訓練
1.某地區植被被破壞,土地沙漠化越來越嚴重,測得最近三年沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則沙漠增加值y(單位:萬公頃)關于年數x的函數關系式大致可以是(　　).
A.y=0.2x　　　　　　B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
2.某跨國飲料公司在對全世界所有人均生產總值在0.5~8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現:該飲料在人均生產總值處于中等的地區銷售量最多,然后向兩邊遞減.
現有下列幾個模擬函數:
①y=ax2+bx;
②y=kx+b;
③y=logax+b;
④y=ax+b.
(x表示人均生產總值,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L)
用哪個模擬函數來描述年人均A飲料銷售量與地區的人均生產總值的關系更合適 請說明理由.
【隨堂檢測】
1.下列函數中,隨x的增大,增長速度最快的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=100x B.y=x100
C.y=100x D.y=log100x(x∈N+)
2.下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據,由此判斷它最可能的函數模型是(　　).
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函數模型 B.二次函數模型
C.指數函數模型 D.對數函數模型
3.某人投資x元,獲利y元,有以下三種方案,甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,則投資500元,1000元,1500元時,應分別選擇　　　　方案.
4.畫出函數f(x)=與函數g(x)=x2-2的圖象,并比較兩者在[0,+∞)上的大小關系.
2

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