資源簡介

4.5.2　形形色色的函數模型
【學習目標】
1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.(數學建模)
2.在實際情境中,會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.一次函數模型、二次函數模型的表達式分別是什么
2.指數函數模型、對數函數模型的表達式分別是什么
自學檢測
1.已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y=a·0.5x+b,現已知該廠今年1月份、2月份分別生產該產品1萬件、1.5萬件,則此廠3月份該產品的產量為　　　　.
2.已知測得(x,y)的兩組對應值分別為(1,2),(2,5),現有兩個待選模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則應選用　　　　作為函數模型.(填“甲”或“乙”)
【合作探究】
探究1：幾種常見的函數模型
情境設置
隨著經濟和社會的發展,汽車已經逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售公司近三年的汽車銷售量的統計表:
年份 2019 2020 2021
銷量/萬輛 8 18 30
　　結合以上三年的銷量及人們生活的需要,2022年初,該汽車銷售公司的經理提出全年預售43萬輛汽車的目標.
問題1:在實際生產生活中,對已收集到的樣本數據常采用什么方式來獲取直觀信息
問題2:你認為該目標能夠實現嗎
新知生成
幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0)
反比例函數模型 f(x)=+b(k,b為常數,k≠0)
二次函數模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
指數型函數模型 f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)=axn+b(a,b為常數,a≠0)
分段函數模型 y=
新知運用
例1　某企業為打入國際市場,決定從A,B兩種產品中只選擇一種進行投資生產.已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表:
　　項目 類別　　 年固定 成本 /萬美元 每件產 品成本 /萬美元 每件產品 銷售價 /萬美元 每年最多可 生產的件數
A產品 20 m 10 200
B產品 40 8 18 120
　　其中年固定成本與年生產的件數無關,m為待定常數,其值由生產A產品的原材料價格決定,預計m∈[6,8].另外,年銷售x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅.假設生產出來的產品都能在當年銷售出去.
(1)寫出該廠分別投資生產A,B兩種產品的年利潤y1,y2與年銷售相應產品的件數x之間的函數關系并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤 請你作出規劃.
方法指導　(1)根據題意寫出利潤與生產件數的函數關系式;(2)根據一次函數與二次函數的單調性分別求出函數的最值,作差后分類討論比較大小即可.
例2　科學研究表明:人類對聲音有不同的感覺,這與聲音的強度I(單位:瓦/平方米)有關,在實際測量時,常用L(單位:分貝)來表示聲音強弱的等級,它與聲音的強度I滿足關系式:L=a·lg (a是常數),其中I0=1×10-12瓦/平方米,如風吹落葉沙沙聲的強度I=1×10-11瓦/平方米,它的強弱等級L=10分貝.
(1)已知生活中幾種聲音的強度如表:
聲音來源 風吹落葉沙沙聲 輕聲耳語 很嘈雜的馬路
強度I/ (瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
強弱等級L/ 分貝 10 m 90
　　求a和m的值;
(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強弱等級一般不能超過50分貝,求此時聲音強度I的最大值.
【方法總結】1.當實際應用題中沒有給出函數模型而函數模型又唯一時,其解題步驟可分為四步:第一步,認真讀題,縝密審題,準確理解題意,明確問題的實際背景;第二步,恰當地設未知數,列出函數解析式,將實際問題轉化成函數問題,即實際問題函數化;第三步,運用所學的數學知識和數學方法解答函數問題,得出函數問題的解;第四步,將所得函數問題的解還原成實際問題的結論.
2.解決函數應用題關鍵在于理解題意,這就要求:一要加強對常見函數模型的理解,弄清其產生的實際背景,把數學問題生活化;二要不斷拓寬知識面,提高自己的間接生活閱歷;三要抓住題目中的關鍵詞或關鍵量,特別是關于變量的相等關系,這是函數解析式的原型.
鞏固訓練
1.(2020年新高考Ⅰ卷)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數,世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數模型:I(t)=eRt描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律,指數增長率R與R0,T近似滿足R0=1+RT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28,T=6.據此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(　　).(ln 2≈0.69)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
2.某車間生產A,B兩種產品,根據市場調查與預測,A產品的利潤y與投資額x成正比,其關系如圖甲,B產品的利潤y與投資額x的算術平方根成正比,其關系如圖乙.(注:利潤與投資額單位為萬元)
(1)分別將A,B兩種產品的利潤y表示為投資額x的函數關系式.
(2)該車間已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產品的生產.問:怎樣分配這10萬元資金,才能使車間獲得最大利潤,最大利潤是多少萬元
探究2：建立擬合函數模型解決實際問題
情境設置
問題1:畫函數圖象的一般步驟有哪些
問題2:學校食堂要了解全校師生的午間就餐情況,以備飯菜,你能用數學知識給予指導性說明嗎
新知運用
例3　某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案,要求獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,獎金不超過90萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.即假定獎勵方案模擬函數為y=f(x)時,該公司對函數模型的基本要求如下:當x∈[25,1600]時,①f(x)是增函數;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立.
(1)現有兩個獎勵函數模型:f(x)=x+10;f(x)=2-6.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求.
(2)已知函數f(x)=a-10(a≥2)符合公司獎勵方案函數模型要求,求實數a的取值范圍.
方法指導　(1)根據三個性質驗證函數模型;(2)由a≥2說明f(x)=a-10(a≥2)符合條件①,再求解基本不等式取最值時滿足的條件,求出a滿足②③的范圍,取交集即可.
鞏固訓練
　　近年來,我國積極參與國際組織,承擔國際責任,為國家進步、社會發展、個人成才帶來了更多機遇,因此,面臨職業選擇時,越來越多的青年人選擇通過創業、創新的方式實現人生價值.其中,某位大學生帶領其團隊自主創業,通過直播帶貨的方式售賣特色農產品,下面為三年來農產品銷售量的統計表:
年份 2018 2019 2020
銷售量/萬斤 41 55 83
　　結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況,該大學生提出了2021年銷售115萬斤特色農產品的目標,經過創業團隊所有隊員的共同努力,2021年實際銷售123萬斤,超額完成預定目標.
(1)將2018,2019,2020,2021年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年,現有兩個函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);g(x)=kx3+mx+n(k≠0).請你通過計算分析確定選用哪個函數模型能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系.
(2)依照目前的形勢分析,你能否預測出該創業團隊在2022年度的農產品銷售量
【隨堂檢測】
1.小五用2000元買了一部手機,由于電子技術的飛速發展,手機制造成本不斷降低,每過一年手機的價格就降低.若不計折舊費,則兩年后這部手機的價值為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1125元 B.1200元
C.1400元 D.1500元
2.在一次數學實驗中,小軍同學運用圖形計算器采集到如下一組數據:
x -4 -2 0 2 4 6
y 1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36
在以下四個函數模型中,a,b為常數,最能反映x,y間函數關系的可能是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=ax+b B.y=ax+b
C.y=ax2+b D.y=a+
3.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數是　　　　.(lg 2≈0.3010)
4.某商品的進貨價格為每千克6元,利用數學知識進行市場分析模擬可得該商品的預定售價x(整數)(單位:元/千克)與銷售量y(單位:件)之間的關系式為y=-x+15.
(1)預定售價x為多少元/千克時,銷售總利潤最大 此時總利潤是多少元
(2)現定義銷售總利潤與預定售價x的比為“利潤售價比”,則預定售價x為多少時,“利潤售價比”最大
24.5.2　形形色色的函數模型
【學習目標】
1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.(數學建模)
2.在實際情境中,會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.一次函數模型、二次函數模型的表達式分別是什么
【答案】f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0),f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).
2.指數函數模型、對數函數模型的表達式分別是什么
【答案】f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1),f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1).
自學檢測
1.已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y=a·0.5x+b,現已知該廠今年1月份、2月份分別生產該產品1萬件、1.5萬件,則此廠3月份該產品的產量為　　　　.
【答案】1.75萬件
【解析】由得所以y=-2×(0.5)x+2,
所以3月份該產品的產量y=-2×0.53+2=1.75(萬件).
2.已知測得(x,y)的兩組對應值分別為(1,2),(2,5),現有兩個待選模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則應選用　　　　作為函數模型.(填“甲”或“乙”)
【答案】甲
【解析】將x=3分別代入y=x2+1,y=3x-1,得y=32+1=10,y=3×3-1=8.因為10更接近10.2,所以選用甲模型.
【合作探究】
探究1：幾種常見的函數模型
情境設置
隨著經濟和社會的發展,汽車已經逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售公司近三年的汽車銷售量的統計表:
年份 2019 2020 2021
銷量/萬輛 8 18 30
　　結合以上三年的銷量及人們生活的需要,2022年初,該汽車銷售公司的經理提出全年預售43萬輛汽車的目標.
問題1:在實際生產生活中,對已收集到的樣本數據常采用什么方式來獲取直觀信息
【答案】畫圖.
問題2:你認為該目標能夠實現嗎
【答案】不一定.
新知生成
幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0)
反比例函數模型 f(x)=+b(k,b為常數,k≠0)
二次函數模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
指數型函數模型 f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)=axn+b(a,b為常數,a≠0)
分段函數模型 y=
新知運用
例1　某企業為打入國際市場,決定從A,B兩種產品中只選擇一種進行投資生產.已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表:
　　項目 類別　　 年固定 成本 /萬美元 每件產 品成本 /萬美元 每件產品 銷售價 /萬美元 每年最多可 生產的件數
A產品 20 m 10 200
B產品 40 8 18 120
　　其中年固定成本與年生產的件數無關,m為待定常數,其值由生產A產品的原材料價格決定,預計m∈[6,8].另外,年銷售x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅.假設生產出來的產品都能在當年銷售出去.
(1)寫出該廠分別投資生產A,B兩種產品的年利潤y1,y2與年銷售相應產品的件數x之間的函數關系并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤 請你作出規劃.
方法指導　(1)根據題意寫出利潤與生產件數的函數關系式;(2)根據一次函數與二次函數的單調性分別求出函數的最值,作差后分類討論比較大小即可.
【解析】(1)由利潤的計算公式,
得y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200且x∈N,
y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N.
(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,
∴y1=(10-m)x-20為增函數,
又0≤x≤200,x∈N,∴當x=200時,生產A產品有最大利潤,最大利潤為(10-m)×200-20=1980-200m(萬美元),
∵y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N,
∴當x=100時,生產B產品有最大利潤,最大利潤為460(萬美元) .
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大,為此,我們作差比較:
令-=(1980-200m)-460=1520-200m=0,則m=7.6,
∴當6≤m<7.6時,投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
當m=7.6時,生產A產品200件與生產B產品100件均可獲得最大年利潤;
當7.6例2　科學研究表明:人類對聲音有不同的感覺,這與聲音的強度I(單位:瓦/平方米)有關,在實際測量時,常用L(單位:分貝)來表示聲音強弱的等級,它與聲音的強度I滿足關系式:L=a·lg (a是常數),其中I0=1×10-12瓦/平方米,如風吹落葉沙沙聲的強度I=1×10-11瓦/平方米,它的強弱等級L=10分貝.
(1)已知生活中幾種聲音的強度如表:
聲音來源 風吹落葉沙沙聲 輕聲耳語 很嘈雜的馬路
強度I/ (瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
強弱等級L/ 分貝 10 m 90
　　求a和m的值;
(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強弱等級一般不能超過50分貝,求此時聲音強度I的最大值.
【解析】(1)將I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg ,得10=a·lg =alg 10,解得a=10,
則m=10lg =10lg 100,解得m=20.
(2)由題意得L≤50,即10lg ≤50,
得lg ≤5,解得I≤1×10-7,此時聲音強度I的最大值為10-7瓦/平方米.
【方法總結】1.當實際應用題中沒有給出函數模型而函數模型又唯一時,其解題步驟可分為四步:第一步,認真讀題,縝密審題,準確理解題意,明確問題的實際背景;第二步,恰當地設未知數,列出函數解析式,將實際問題轉化成函數問題,即實際問題函數化;第三步,運用所學的數學知識和數學方法解答函數問題,得出函數問題的解;第四步,將所得函數問題的解還原成實際問題的結論.
2.解決函數應用題關鍵在于理解題意,這就要求:一要加強對常見函數模型的理解,弄清其產生的實際背景,把數學問題生活化;二要不斷拓寬知識面,提高自己的間接生活閱歷;三要抓住題目中的關鍵詞或關鍵量,特別是關于變量的相等關系,這是函數解析式的原型.
鞏固訓練
1.(2020年新高考Ⅰ卷)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數,世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數模型:I(t)=eRt描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律,指數增長率R與R0,T近似滿足R0=1+RT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28,T=6.據此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(　　).(ln 2≈0.69)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
【答案】B
【解析】∵R0=1+RT,∴3.28=1+6R,∴R=0.38.
由題意知,累計感染病例數增加1倍,
則I(t2)=2I(t1),即=2,
∴=2,即0.38(t2-t1)=ln 2≈0.69,
解得t2-t1≈1.8.故選B.
2.某車間生產A,B兩種產品,根據市場調查與預測,A產品的利潤y與投資額x成正比,其關系如圖甲,B產品的利潤y與投資額x的算術平方根成正比,其關系如圖乙.(注:利潤與投資額單位為萬元)
(1)分別將A,B兩種產品的利潤y表示為投資額x的函數關系式.
(2)該車間已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產品的生產.問:怎樣分配這10萬元資金,才能使車間獲得最大利潤,最大利潤是多少萬元
【解析】(1)設A產品的利潤為f(x)萬元,B產品的利潤為g(x)萬元.
由題設知f(x)=k1·x,g(x)=k2·,由圖知f(1)=,∴k1=,
又∵g(4)=,∴k2=,
從而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)設A產品投入x萬元,則B產品投入(10-x)萬元,設車間的利潤為y萬元.
則y=f(x)+g(10-x)=+(0≤x≤10),
令=t,則x=10-t2,
∴y=+t=-t-2+(0≤t≤),
當t=時,ymax=,x=10-=3.75,
∴當A產品投入3.75萬元,B產品投入6.25萬元時,車間獲得最大利潤,最大利潤為萬元.
探究2：建立擬合函數模型解決實際問題
情境設置
問題1:畫函數圖象的一般步驟有哪些
【答案】列表、描點、連線.
問題2:學校食堂要了解全校師生的午間就餐情況,以備飯菜,你能用數學知識給予指導性說明嗎
【答案】第一步,收集樣本一周的數據,制成樣本點.如(1,x1),(2,x2),…,(7,x7).
第二步,描點,對上述數據用散點圖的形式,給予直觀展示.
第三步,數據擬合,選擇一個合適的數學模型擬合上述樣本點.
第四步,驗證上述模型是否合理、有效,并作出適當的調整.
新知生成
自建模型時主要抓住四個關鍵:“求什么,設什么,列什么,限制什么”.
求什么就是弄清楚要解決什么問題,完成什么任務.
設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素,誰是核心因素,通常設核心因素為自變量.
列什么就是把問題用所設變量表示出來,可以是方程、函數、不等式等.
限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件,在實際問題中,除了要使函數式有意義外,還要考慮變量的實際含義,如人不能是半個等.
新知運用
例3　某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案,要求獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,獎金不超過90萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.即假定獎勵方案模擬函數為y=f(x)時,該公司對函數模型的基本要求如下:當x∈[25,1600]時,①f(x)是增函數;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立.
(1)現有兩個獎勵函數模型:f(x)=x+10;f(x)=2-6.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求.
(2)已知函數f(x)=a-10(a≥2)符合公司獎勵方案函數模型要求,求實數a的取值范圍.
方法指導　(1)根據三個性質驗證函數模型;(2)由a≥2說明f(x)=a-10(a≥2)符合條件①,再求解基本不等式取最值時滿足的條件,求出a滿足②③的范圍,取交集即可.
【解析】(1)對于函數模型f(x)=x+10,滿足①.驗證條件③:當x=30時,f(x)=12,而=6,即f(x)≤不成立,故不符合公司要求.
對于函數模型f(x)=2-6,當x∈[25,1600]時,滿足條件①,∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,滿足條件②.
記g(x)=2-6-(25≤x≤1600),則g(x)=-(-5)2-1,
∵∈[5,40],∴當=5時,g(x)max=-×(5-5)2-1=-1≤0,
∴f(x)≤恒成立,即條件③也成立.
故模型f(x)=2-6符合公司要求.
(2)∵a≥2,∴函數f(x)=a-10符合條件①.
由函數f(x)=a-10符合條件②,得a-10=a×40-10≤90,解得a≤;由函數f(x)=a-10符合條件③,得a-10≤對x∈[25,1600]恒成立,即a≤+對x∈[25,1600]恒成立.
∵+≥2,當且僅當=,即x=50時等號成立,∴a≤2.
綜上所述,實數a的取值范圍為.
鞏固訓練
　　近年來,我國積極參與國際組織,承擔國際責任,為國家進步、社會發展、個人成才帶來了更多機遇,因此,面臨職業選擇時,越來越多的青年人選擇通過創業、創新的方式實現人生價值.其中,某位大學生帶領其團隊自主創業,通過直播帶貨的方式售賣特色農產品,下面為三年來農產品銷售量的統計表:
年份 2018 2019 2020
銷售量/萬斤 41 55 83
　　結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況,該大學生提出了2021年銷售115萬斤特色農產品的目標,經過創業團隊所有隊員的共同努力,2021年實際銷售123萬斤,超額完成預定目標.
(1)將2018,2019,2020,2021年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年,現有兩個函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);g(x)=kx3+mx+n(k≠0).請你通過計算分析確定選用哪個函數模型能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系.
(2)依照目前的形勢分析,你能否預測出該創業團隊在2022年度的農產品銷售量
【解析】(1)若選擇f(x)=ax2+bx+c(a≠0):
依題意,將前三年數據分別代入f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
得即解得
所以f(x)=7x2-7x+41.
將x=4代入f(x),得f(4)=7×42-7×4+41=125,
所以,與2021年實際銷售量的誤差為125-123=2(萬斤).
若選擇g(x)=kx3+mx+n(k≠0):
依題意,將前三年數據分別代入g(x)=kx3+mx+n(k≠0),
得即
解得所以g(x)=x3+x+34.
將x=4代入g(x),得g(4)=×43+×4+34=132,
所以,與2021年銷售量的實際誤差為132-123=9(萬斤).
顯然2<9,
因此,選用二次函數模型f(x)=7x2-7x+41能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系.
(2)依據(1),選用二次函數模型f(x)=7x2-7x+41進行預測,
得f(5)=7×52-7×5+41=181(萬斤).
即預測該創業團隊在2022年的農產品銷售量為181萬斤.
【隨堂檢測】
1.小五用2000元買了一部手機,由于電子技術的飛速發展,手機制造成本不斷降低,每過一年手機的價格就降低.若不計折舊費,則兩年后這部手機的價值為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1125元 B.1200元
C.1400元 D.1500元
【答案】A
【解析】經過兩年,手機價值為2000×1-2=2000×=1125(元).
2.在一次數學實驗中,小軍同學運用圖形計算器采集到如下一組數據:
x -4 -2 0 2 4 6
y 1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36
在以下四個函數模型中,a,b為常數,最能反映x,y間函數關系的可能是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=ax+b B.y=ax+b
C.y=ax2+b D.y=a+
【答案】B
【解析】根據表格提供的數據可知,函數增長非常快,所以指數增長符合題意,即B選項符合.
3.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數是　　　　.(lg 2≈0.3010)
【答案】4
【解析】設至少要洗x次,則1-x≤,
所以x≥≈3.322,所以需要清洗4次.
4.某商品的進貨價格為每千克6元,利用數學知識進行市場分析模擬可得該商品的預定售價x(整數)(單位:元/千克)與銷售量y(單位:件)之間的關系式為y=-x+15.
(1)預定售價x為多少元/千克時,銷售總利潤最大 此時總利潤是多少元
(2)現定義銷售總利潤與預定售價x的比為“利潤售價比”,則預定售價x為多少時,“利潤售價比”最大
【解析】(1)根據題意,總利潤z=(x-6)(-x+15)=-x2+21x-90,
該函數圖象的對稱軸為直線x==10.5,
所以當預定售價x=10或x=11時,銷售總利潤最大,此時總利潤是20元.
(2)根據題意,“利潤售價比”m(x)==-x-+21=-x++21,
由x= x=3及x為整數知,當x=9或x=10時,較大者為最大值,
因為m(9)=m(10)=2,
所以當預定售價為9元/千克或10元/千克時,“利潤售價比”最大.
2

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