資源簡介

5.1.1　角的概念的推廣
【學習目標】
1.了解任意角的概念,能區分正角、負角和零角.(數學抽象)
2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(數學運算)
3.會表示終邊相同的角的集合.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.初中學過哪些特殊的角
2.角度還可以再擴大嗎
3.當角的始邊和終邊確定后,這個角就被確定了嗎
4.你能說出角的三要素嗎
5.正角、負角、零角是根據什么區分的
6.如果一個角的終邊與其始邊重合,這個角一定是零角嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)小于90°的角都是銳角. (　　)
(2)終邊與始邊重合的角為零角. (　　)
(3)第二象限角是鈍角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
2.下列說法正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是負的 D.角可以是任意大小
3.與 610°角終邊相同的角表示為(　　).
A.k·360°+230°,k∈Z B.k·360°+250°,k∈Z
C.k·360°+70°,k∈Z D.k·180°+270°,k∈Z
【合作探究】
探究1：角的分類
情境設置
問題1:假如你的手表慢了5分鐘,你如何將它校準
問題2:假如你的手表快了1小時15分鐘,你如何將它校準
問題3:你能否再舉出幾個生活中“大于360°的角以及按不同方向旋轉而成的角”的例子
新知生成
角的分類
一條射線繞著端點以逆時針方向旋轉所成的角稱為正角;以順時針方向旋轉所成的角稱為負角;不旋轉所成的角稱為零角,用0°表示.零角的始邊與終邊重合.
新知運用
例1　平行于x軸且方向與x軸正方向相同的射線OA繞端點O逆時針旋轉90°到射線OB的位置,接著再順時針旋轉30°到OC的位置,則∠AOC的度數為　　　　.
方法指導　畫出簡圖,根據角的和差運算性質求解.
【方法總結】弄清角的始邊與終邊及旋轉方向和大小.
鞏固訓練
1.若手表時針走過4小時,則時針轉過的角度為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
2.以x軸的非負半軸為始邊,在平面直角坐標系中畫出下列各角:(1)-180°;(2)1070°.
探究2：象限角
情境設置
在平面直角坐標系中,以x軸的非負半軸為始邊,回答下列問題.
問題1:210°的終邊落在第幾象限 -45°的終邊落在第幾象限 -150°的終邊落在第幾象限
問題2:0°,90°的終邊分別落在什么位置
新知生成
象限角
取角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.
新知運用
例2　已知角的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的非負半軸上,作出下列各角,并指出它們是第幾象限角.
(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.
方法指導　作出圖形,根據象限角的定義確定.
【方法總結】象限角的判斷方法:(1)根據圖形判斷,在平面直角坐標系中作出角,角的終邊落在第幾象限,此角就是第幾象限角;(2)根據終邊相同的角的概念把角轉化到0°~360°范圍內,轉化后的角在第幾象限,此角就是第幾象限角.
鞏固訓練
若α是第四象限角,則180°-α是(　　).
A.第一象限角　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
探究3：終邊相同的角
情境設置
　　我們日常使用的“星期”作為時間周期,最早起源于巴比倫.現在世界各國通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定,他在公元321年3月7日正式宣布7天為一周,這個制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
問題1:7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾
問題2:7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾
問題3:100天后的那一天是星期幾
新知生成
所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數個周角的和.
特別提醒:對終邊相同的角的理解
(1)α為任意角,“k∈Z”這一條件不能漏.
(2)k·360°與α中間用“+”連接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)當角的始邊相同時,相等的角的終邊一定相同,而終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數個,它們相差360°的整數倍.終邊不同,則表示的角一定不同.
新知運用
例3　已知α=-315°.
(1)把α寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-1080°<θ<-360°.
【方法總結】1.求終邊落在直線上的角的集合的步驟
(1)寫出在0°~360°范圍內相應的角.
(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合.
(3)根據條件能合并一定合并,使結果簡潔.
2.終邊相同的角常用的三個結論
(1)終邊相同的角之間相差360°的整數倍.
(2)終邊在同一條直線上的角之間相差180°的整數倍.
(3)終邊在相互垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數倍.
鞏固訓練
1.若角2α與240°角的終邊相同,則α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z
2.在平面直角坐標系中寫出下列角的集合:
(1)終邊在x軸的非負半軸上;
(2)終邊在y=x(x≥0)上.
探究4：區域角的表示
情境設置
問題1:在銳角范圍內,終邊落在30°和60°的終邊(不包括終邊)之間的夾角的集合怎樣表示
問題2:終邊落在30°和60°的終邊(不包括終邊)之間的夾角的集合怎樣表示
新知運用
例4　如圖所示,分別寫出符合下列條件的角的集合:
(1)終邊落在射線OM上;
(2)終邊落在直線OM上;
(3)終邊落在陰影區域內(含邊界).
方法指導　寫出簡區間→加360°的整數倍→合并區間→統一表示.
【方法總結】先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界,再由小到大分別標出起始和終止邊界對應的-360°~360°范圍內的角α和β,寫出最簡區間,然后將起始、終止邊界對應的角α,β加上360°的整數倍,即得區域角集合.借助平面圖形建立數與形的聯系,構建數學問題的直觀模型,滲透了直觀想象素養.
鞏固訓練
已知角α的終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)所表示的范圍內,求角α的集合.
【隨堂檢測】
1.-215°是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　).
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
3.30°角的始邊與x軸的非負半軸重合,把終邊按順時針方向旋轉2周,所得角的度數是　　　　.
4.已知α=-1845°,在與α終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的負角;
(3)-360°~720°之間的角.
25.1.1　角的概念的推廣
【學習目標】
1.了解任意角的概念,能區分正角、負角和零角.(數學抽象)
2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(數學運算)
3.會表示終邊相同的角的集合.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.初中學過哪些特殊的角
【答案】30°,45°,60°,直角,平角等.
2.角度還可以再擴大嗎
【答案】可以無限大,也可以無限小.
3.當角的始邊和終邊確定后,這個角就被確定了嗎
【答案】不是的.雖然始邊和終邊確定了,但旋轉的方向和旋轉量的大小(旋轉圈數)并沒有確定,所以角也就不能確定.
4.你能說出角的三要素嗎
【答案】角的三要素是頂點、始邊、終邊.
5.正角、負角、零角是根據什么區分的
【答案】根據組成角的射線的旋轉方向.
6.如果一個角的終邊與其始邊重合,這個角一定是零角嗎
【答案】不一定.零角的終邊與始邊重合,但終邊與始邊重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角是由射線旋轉的方向和旋轉量的大小(旋轉圈數)確定的.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)小于90°的角都是銳角. (　　)
(2)終邊與始邊重合的角為零角. (　　)
(3)第二象限角是鈍角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.下列說法正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是負的 D.角可以是任意大小
【答案】D
【解析】角可以是任意大小.故選D.
3.與 610°角終邊相同的角表示為(　　).
A.k·360°+230°,k∈Z B.k·360°+250°,k∈Z
C.k·360°+70°,k∈Z D.k·180°+270°,k∈Z
【答案】B
【解析】610°與250°相差一個360°.故選B.
【合作探究】
探究1：角的分類
情境設置
問題1:假如你的手表慢了5分鐘,你如何將它校準
【答案】手表慢5分鐘,可將分針順時針方向旋轉30°.
問題2:假如你的手表快了1小時15分鐘,你如何將它校準
【答案】手表快1小時15分鐘,可將分針逆時針方向旋轉450°.
問題3:你能否再舉出幾個生活中“大于360°的角以及按不同方向旋轉而成的角”的例子
【答案】(1)花樣游泳中,運動員旋轉的周數.
(2)汽車在前進和倒車中,車輪轉動的角度.
(3)工人在擰緊或擰松螺絲時,轉動的角度.
新知生成
角的分類
一條射線繞著端點以逆時針方向旋轉所成的角稱為正角;以順時針方向旋轉所成的角稱為負角;不旋轉所成的角稱為零角,用0°表示.零角的始邊與終邊重合.
新知運用
例1　平行于x軸且方向與x軸正方向相同的射線OA繞端點O逆時針旋轉90°到射線OB的位置,接著再順時針旋轉30°到OC的位置,則∠AOC的度數為　　　　.
方法指導　畫出簡圖,根據角的和差運算性質求解.
【答案】60°
【解析】不妨畫出簡圖如圖所示,由圖和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°,
所以∠AOC的度數為60°.
【方法總結】弄清角的始邊與終邊及旋轉方向和大小.
鞏固訓練
1.若手表時針走過4小時,則時針轉過的角度為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
【答案】B
【解析】時針是順時針旋轉,故時針轉過的角度為負數,即-×360°=-120°.故選B.
2.以x軸的非負半軸為始邊,在平面直角坐標系中畫出下列各角:(1)-180°;(2)1070°.
【解析】在平面直角坐標系中畫出各角如圖所示.
探究2：象限角
情境設置
在平面直角坐標系中,以x軸的非負半軸為始邊,回答下列問題.
問題1:210°的終邊落在第幾象限 -45°的終邊落在第幾象限 -150°的終邊落在第幾象限
【答案】210°的終邊落在第三象限,-45°的終邊落在第四象限,-150°的終邊落在第三象限.
問題2:0°,90°的終邊分別落在什么位置
【答案】0°的終邊落在x軸非負半軸,90°的終邊落在y軸非負半軸.
新知生成
象限角
取角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.
新知運用
例2　已知角的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的非負半軸上,作出下列各角,并指出它們是第幾象限角.
(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.
方法指導　作出圖形,根據象限角的定義確定.
【解析】作出各角,其對應的終邊如圖所示.
(1)由圖①可知-75°是第四象限角.
(2)由圖②可知855°是第二象限角.
(3)由圖③可知-510°是第三象限角.
【方法總結】象限角的判斷方法:(1)根據圖形判斷,在平面直角坐標系中作出角,角的終邊落在第幾象限,此角就是第幾象限角;(2)根據終邊相同的角的概念把角轉化到0°~360°范圍內,轉化后的角在第幾象限,此角就是第幾象限角.
鞏固訓練
若α是第四象限角,則180°-α是(　　).
A.第一象限角　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】C
【解析】因為α與-α關于x軸對稱,而α是第四象限角,所以-α是第一象限角.
又因為-α與180°-α關于原點對稱,
所以180°-α是第三象限角.故選C.
探究3：終邊相同的角
情境設置
　　我們日常使用的“星期”作為時間周期,最早起源于巴比倫.現在世界各國通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定,他在公元321年3月7日正式宣布7天為一周,這個制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
問題1:7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾
【答案】星期三.
問題2:7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾
【答案】星期三.
問題3:100天后的那一天是星期幾
【答案】星期五.
新知生成
所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數個周角的和.
特別提醒:對終邊相同的角的理解
(1)α為任意角,“k∈Z”這一條件不能漏.
(2)k·360°與α中間用“+”連接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)當角的始邊相同時,相等的角的終邊一定相同,而終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數個,它們相差360°的整數倍.終邊不同,則表示的角一定不同.
新知運用
例3　已知α=-315°.
(1)把α寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-1080°<θ<-360°.
【解析】(1)因為-315°=-360°+45°,又0°<45°<360°,所以把α寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式為α=-360°+45°(β=45°).
　　(2)因為與-315°終邊相同的角為θ=k·360°+45°(k∈Z),所以當k=-3時,θ=-1035°,當k=-2時,θ=-675°,滿足-1080°<θ<-360°,即得所求角θ為-1035°和-675°.
【方法總結】1.求終邊落在直線上的角的集合的步驟
(1)寫出在0°~360°范圍內相應的角.
(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合.
(3)根據條件能合并一定合并,使結果簡潔.
2.終邊相同的角常用的三個結論
(1)終邊相同的角之間相差360°的整數倍.
(2)終邊在同一條直線上的角之間相差180°的整數倍.
(3)終邊在相互垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數倍.
鞏固訓練
1.若角2α與240°角的終邊相同,則α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z
【答案】B
【解析】因為角2α與240°角的終邊相同,所以2α=240°+k·360°,k∈Z,得α=120°+k·180°,k∈Z.故選B.
2.在平面直角坐標系中寫出下列角的集合:
(1)終邊在x軸的非負半軸上;
(2)終邊在y=x(x≥0)上.
【解析】(1)在0°~360°范圍內,終邊在x軸的非負半軸上的角有一個,為0°,故終邊在x軸的非負半軸上的角的集合為{α|α=k·360°,k∈Z}.
(2)在0°~360°范圍內,終邊在y=x(x≥0)上的角有一個,為45°,故終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
探究4：區域角的表示
情境設置
問題1:在銳角范圍內,終邊落在30°和60°的終邊(不包括終邊)之間的夾角的集合怎樣表示
【答案】{α|30°<α<60°}.
問題2:終邊落在30°和60°的終邊(不包括終邊)之間的夾角的集合怎樣表示
【答案】{α|k·360°+30°<α新知運用
例4　如圖所示,分別寫出符合下列條件的角的集合:
(1)終邊落在射線OM上;
(2)終邊落在直線OM上;
(3)終邊落在陰影區域內(含邊界).
方法指導　寫出簡區間→加360°的整數倍→合并區間→統一表示.
【解析】(1)終邊落在射線OM上的角的集合為
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
(2)由(1)得終邊落在射線OM上的角的集合為
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},
終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為
B={α|α=225°+k·360°,k∈Z},
所以終邊落在直線OM上的角的集合為
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)終邊落在直線ON上的角的集合為
C={β|β=60°+n·180°,n∈Z},
則終邊落在陰影區域內(含邊界)的角的集合為
S={α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
【方法總結】先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界,再由小到大分別標出起始和終止邊界對應的-360°~360°范圍內的角α和β,寫出最簡區間,然后將起始、終止邊界對應的角α,β加上360°的整數倍,即得區域角集合.借助平面圖形建立數與形的聯系,構建數學問題的直觀模型,滲透了直觀想象素養.
鞏固訓練
已知角α的終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)所表示的范圍內,求角α的集合.
【解析】在0°~360°范圍內,終邊落在陰影區域內的角為90°≤α≤135°或270°≤α≤315°,所以終邊落在陰影部分所表示的范圍內的角α的集合為{α|90°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.
【隨堂檢測】
1.-215°是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】B
【解析】-215°=-360°+145°,
∵145°是第二象限角,
∴-215°也是第二象限角.故選B.
2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　).
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
【答案】A
【解析】∵0°≤α<360°,∴排除C,D.
經計算可知A正確.
3.30°角的始邊與x軸的非負半軸重合,把終邊按順時針方向旋轉2周,所得角的度數是　　　　.
【答案】-690°
【解析】由題意知,所得角為30°-2×360°=-690°.
4.已知α=-1845°,在與α終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的負角;
(3)-360°~720°之間的角.
【解析】因為-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角與-45°角的終邊相同,
所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.
(1)最小的正角為315°.
(2)最大的負角為-45°.
(3)-360°~720°之間的角分別是-45°,315°,675°.
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