資源簡介

5.1.2　弧度制
【學習目標】
1.體會引入弧度制的必要性.(數學抽象)
2.理解1弧度的角的定義,了解弧度制的概念,能進行角度與弧度之間的互化.(數學抽象、數學運算)
3.理解弧度制下弧長與面積的公式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.1弧度的角是如何定義的
【答案】長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.
2.如何進行弧度與角度的換算
【答案】一般根據180°=π換算.
3.以弧度為單位的扇形弧長、面積公式是什么
【答案】設扇形所在圓的半徑為R,扇形弧長為l,α(0<α<2π)為其圓心角,則
(1)弧長公式:l=αR.
(2)扇形面積公式:S=lR=αR2.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關. (　　)
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　
2.對應的角度為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.75° B.125° C.135° D.155°
【答案】C
【解析】因為1 rad=°,所以rad=×°=135°.故選C.
3.與角-終邊相同的角是(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】與角-終邊相同的角為2kπ-,k∈Z,當k=1時,此角等于.故選C.
4.已知扇形的半徑r=30,圓心角α=,則該扇形的弧長等于　　　　,面積等于　　　　,周長等于　　　　.
【答案】5π　75π　60+5π
【解析】弧長l=rα=30×=5π,面積S=lr=×5π×30=75π,周長為2r+l=60+5π.
【合作探究】
探究1：弧度制
情境設置
單位制這個概念我們并不陌生,比如說測量長度的單位制,古代常以人體的一部分作為長度單位.如記載說:“十尺為丈,人長八尺,故曰丈夫.”可見,古時量物,寸與指、尺與手、尋與身有一一對應的關系.而現在國際上通用的是國際單位制中的“米制”,應用起來要方便得多.在初中幾何里,角度制就是度量角的一種單位制.
問題1:在初中幾何里,我們學習過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢
【答案】1°的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份圓心角就是1°.它是一個定值,與所取圓的半徑大小無關.
問題2:
射線OA繞端點O旋轉到OB形成角α,在旋轉過程中,射線OA上的一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧,這條圓弧對應于圓心角α.設α=n°,|OP|=r,點P所形成的圓弧的長為l,求弧長l與半徑r的比值.
【答案】因為l=,所以=.
問題3:
上述問題2中,射線OA上的一點Q(不同于點O),|OQ|=r1,在旋轉過程中,點Q所形成的圓弧的長為l1,求弧長l1與半徑r1的比值,其與問題2中的比值有何關系
【答案】因為l1=,所以=,
故==.
新知生成
1.角度制
用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制.
2.弧度制
(1)弧度
規定:把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角,“弧度”用符號rad表示.
(2)弧度制
如圖,在單位圓O中,的長等于1,則∠AOB就是1弧度的角.這種以“弧度”為單位來度量角的單位制叫作弧度制.
(3)任意角的弧度數與實數的對應關系
一般的,正角的弧度數是一個正數,負角的弧度數是一個負數,零角的弧度數是0.
(4)弧度數公式
如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l,那么角α的弧度數的絕對值是|α|=.
其中,α的正負由角α的終邊的旋轉方向決定.
新知運用
例1　若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長,則其圓心角的弧度數為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.3 D.
方法指導　如圖,先求∠AOM=,再求AB=r,最后求圓心角的弧度數α.
【答案】D
【解析】
如圖,等邊△ABC是半徑為r的圓O的內接三角形,則線段AB所對的圓心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足為M.
在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=,
∴AM=r,AB=r,∴l=r,
則所求圓心角的弧度數α===.
【方法總結】利用弧度數公式求圓心角的弧度數,關鍵是求出圓的半徑和圓心角所對的弧長.
鞏固訓練
一個半徑是R的扇形,其周長為3R,則該扇形圓心角的弧度數為(　　).
A.1 B.3 C.π D.
【答案】A
【解析】設扇形的弧長為l,則2R+l=3R,得l=R,則扇形圓心角的弧度數為=1.
探究2：角度與弧度的互化與應用
情境設置
問題1:用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,它們之間的數量相同嗎
【答案】相同,都是0.
問題2:圓的周角是360°,弧度是2π,兩者是否相等
【答案】相等,因為圓的周長為2πr,所以360°所對的弧度數為=2π,所以360°=2π rad.
問題3:1°的角所對應的弧度數是多少
【答案】由問題2可知360°=2π,所以1°==rad.
新知生成
1.角度與弧度的互化
一般地,只需根據
就可以進行弧度和角度的換算了.
2.一些特殊角與弧度數的對應關系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
新知運用
例2　設α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)將α1,α2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在的象限;
(2)將β1,β2用角度制表示出來,并在-720°~0°之間找出與它們終邊相同的所有角.
方法指導　(1)角度與弧度的互化關鍵是1°=rad和1 rad=°;(2)利用終邊相同的角的集合表示.
【解析】(1)要確定角α所在的象限,只要把α表示成α=2kπ+α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式,由α0所在的象限即可判斷α所在的象限.
∵α1=-570°=-=-4π+,
α2=750°==4π+,
∴α1在第二象限,α2在第一象限.
(2)β1==108°,設θ=β1+k·360°(k∈Z),
　　由-720°≤θ≤0°,得-720°≤108°+k·360°≤0°,
∴k=-2或k=-1,
∴在-720°~0°之間與β1有相同終邊的角是-612° 和-252°.
同理β2=-420°,且在-720°~0°之間與β2有相同終邊的角是-60°.
【方法總結】角度制與弧度制轉換中的注意點
(1)在進行角度與弧度的換算時,關系式π rad=180°是關鍵.注意特殊角的弧度數與度數的對應值,今后常用,應該熟記.
(2)在同一個式子中,角度與弧度不能混用,必須保持單位統一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正確的寫法.
(3)判斷角α終邊所在的象限時,若α [-2π,2π],應首先把角α表示成α=2kπ+β,β∈[-2π,2π]的形式,然后利用角β終邊所在的象限來確定角α終邊所在的象限.
鞏固訓練
1.-300°化為弧度制是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C.- D.-
【答案】B
【解析】-300°=-300×=-.
2.化為角度制是(　　).
A.278° B.280° C.288° D.318°
【答案】C
【解析】=×180°=288°.
3.用
弧度表示終邊落在圖中陰影部分內(不包括邊界)的角θ的集合.
【解析】因為30°=rad,所以210°=rad,所以這兩個角的終邊所在的直線相同,因為終邊在直線AB上的角為α=kπ+,k∈Z,而終邊在y軸上的角為β=kπ+,k∈Z,
所以終邊落在陰影部分內的角的集合為θkπ+<θ探究3：扇形的弧長及面積公式
情境設置
如圖所示,設公路彎道處弧AB的長為l.(圖中長度單位:m)
問題1:圖中的60°是多少弧度
【答案】60°=60×=.
問題2:弧AB的長l是多少
【答案】l=|α|·R=×45=15π.
問題3:求扇形AOB的面積S.
【答案】S==×452=××452=.
新知生成
設扇形的半徑為r,弧長為l,α(0<α<2π)為其圓心角的弧度數,n為圓心角的角度數,則扇形的弧長l==αr,扇形的面積S==lr=αr2.
新知運用
一、求扇形的弧長和面積
例3　(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積.
(2)已知一扇形的周長為4,當它的半徑與圓心角取何值時,扇形的面積最大 最大值是多少
【解析】(1)設扇形的弧長為l,因為圓心角72°=72×=rad,
所以扇形的弧長l=|α|·r=×20=8π,
故扇形的面積S=l·r=×8π×20=80π.
(2)設扇形圓心角的弧度數為θ(0<θ<2π),弧長為l,半徑為r,面積為S,
則l+2r=4,所以l=4-2r所以S=l·r=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1,
所以當r=1時,S最大,且Smax=1,
此時θ===2(rad).
【方法總結】扇形的弧長和面積的求解策略
(1)記公式:弧度制下扇形的面積公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧長,R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數,0<α<2π).
(2)找關鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
鞏固訓練
已知扇形的半徑為10 cm,圓心角為60°,求扇形的弧長和面積.
【解析】已知扇形的圓心角α=60°=,半徑r=10 cm,
則弧長l=α·r=×10=(cm),
于是面積S=lr=××10=(cm2).
二、扇形的弧長、面積公式的運用
例4　(多選題)孫尚任在《桃花扇》中寫道:“何處瑤天笙弄,聽云鶴縹緲,玉佩丁冬”.玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品.現有一玉佩如圖1所示,其平面圖形可以看成扇形的一部分(如圖2),已知AD∥BC,AD=2AB=2CD=2BC=4,則(　　).
A.∠ABC=
B. 的長為
C.該平面圖形的周長為6+
D.該平面圖形的面積為-
方法指導　如圖分別延長AB 與DC 交于點O,根據相似三角形的性質可得∠BOC=∠BAD=,進而求得的長為,結合扇形的弧長與面積公式計算即可求解.
【答案】ACD
【解析】
如圖,分別延長AB 與DC 交于點O,
易得△AOD∽△BOC,得|AO|=|DO|=4,
所以△AOD 為等邊三角形,∠BOC=∠BAD=,所以r=4,α=,
所以∠ABC=,得lAD=|α|·r=,
該平面圖形的周長為6+,
面積為lAD·r-×2×=-.故選ACD.
【方法總結】扇形的弧長、面積公式的應用解題策略
(1)弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到簡化,所以在解決這些問題時通常采用弧度制.
(2)一般來說,在幾何圖形中研究的角,其范圍是(0,2π).在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形.
鞏固訓練
《九章算術》是我國古代數學的經典著作,其中“方田”章給出計算弧田面積所用的經驗公式:弧田面積=(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.弧田(如圖),由圓弧和其所對的弦圍成,按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現有圓心角為,弦長為9 m的弧田.
(1)計算弧田的實際面積;
(2)按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少 (結果保留兩位小數)
【解析】(1)由題意得,扇形半徑r=3 m,扇形面積為|α|r2=××(3)2=9π(m2),
弦長為9 m,所以弧田面積為|α|r2-×9×=9π-m2.
(2)因為圓心到弦的距離為r,所以矢長為r=.
按照弧田面積經驗公式得(弦×矢+矢2)=9×+=+m2.
所以經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差9π--+≈1.52(m2).
所以按照弧田面積經驗公式計算的結果比實際少1.52 m2.
【隨堂檢測】
1.下列各式正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.π=180 B.π=3.14
C.90°=rad D.1 rad=π
【答案】C
【解析】因為π rad=180°,所以A錯誤;因為π≈3.14,所以B錯誤;因為90°=rad,所以C正確;因為1 rad=°,所以D錯誤.
2.終邊在y軸上的角的集合是　　　　　　　　　　.
【答案】αα=+kπ,k∈Z
3.扇形AOB的半徑為2 cm,AB=2 cm,則所對的圓心角的弧度數為　　　　.
【答案】
【解析】∵OA=OB=2,AB=2,
∴∠AOB=90°=.
4.將-1485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
【解析】因為-1485°=-5×360°+315°,所以-1485°可以表示為-10π+.
25.1.2　弧度制
【學習目標】
1.體會引入弧度制的必要性.(數學抽象)
2.理解1弧度的角的定義,了解弧度制的概念,能進行角度與弧度之間的互化.(數學抽象、數學運算)
3.理解弧度制下弧長與面積的公式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.1弧度的角是如何定義的
2.如何進行弧度與角度的換算
3.以弧度為單位的扇形弧長、面積公式是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關. (　　)
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
2.對應的角度為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.75° B.125° C.135° D.155°
3.與角-終邊相同的角是(　　).
A. B. C. D.
4.已知扇形的半徑r=30,圓心角α=,則該扇形的弧長等于　　　　,面積等于　　　　,周長等于　　　　.
【合作探究】
探究1：弧度制
情境設置
單位制這個概念我們并不陌生,比如說測量長度的單位制,古代常以人體的一部分作為長度單位.如記載說:“十尺為丈,人長八尺,故曰丈夫.”可見,古時量物,寸與指、尺與手、尋與身有一一對應的關系.而現在國際上通用的是國際單位制中的“米制”,應用起來要方便得多.在初中幾何里,角度制就是度量角的一種單位制.
問題1:在初中幾何里,我們學習過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢
問題2:
射線OA繞端點O旋轉到OB形成角α,在旋轉過程中,射線OA上的一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧,這條圓弧對應于圓心角α.設α=n°,|OP|=r,點P所形成的圓弧的長為l,求弧長l與半徑r的比值.
問題3:
上述問題2中,射線OA上的一點Q(不同于點O),|OQ|=r1,在旋轉過程中,點Q所形成的圓弧的長為l1,求弧長l1與半徑r1的比值,其與問題2中的比值有何關系
新知生成
1.角度制
用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制.
2.弧度制
(1)弧度
規定:把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角,“弧度”用符號rad表示.
(2)弧度制
如圖,在單位圓O中,的長等于1,則∠AOB就是1弧度的角.這種以“弧度”為單位來度量角的單位制叫作弧度制.
(3)任意角的弧度數與實數的對應關系
一般的,正角的弧度數是一個正數,負角的弧度數是一個負數,零角的弧度數是0.
(4)弧度數公式
如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l,那么角α的弧度數的絕對值是|α|=.
其中,α的正負由角α的終邊的旋轉方向決定.
新知運用
例1　若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長,則其圓心角的弧度數為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.3 D.
方法指導　如圖,先求∠AOM=,再求AB=r,最后求圓心角的弧度數α.
【方法總結】利用弧度數公式求圓心角的弧度數,關鍵是求出圓的半徑和圓心角所對的弧長.
鞏固訓練
一個半徑是R的扇形,其周長為3R,則該扇形圓心角的弧度數為(　　).
A.1 B.3 C.π D.
探究2：角度與弧度的互化與應用
情境設置
問題1:用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,它們之間的數量相同嗎
問題2:圓的周角是360°,弧度是2π,兩者是否相等
問題3:1°的角所對應的弧度數是多少
新知生成
1.角度與弧度的互化
一般地,只需根據
就可以進行弧度和角度的換算了.
2.一些特殊角與弧度數的對應關系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
新知運用
例2　設α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)將α1,α2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在的象限;
(2)將β1,β2用角度制表示出來,并在-720°~0°之間找出與它們終邊相同的所有角.
方法指導　(1)角度與弧度的互化關鍵是1°=rad和1 rad=°;(2)利用終邊相同的角的集合表示.
【方法總結】角度制與弧度制轉換中的注意點
(1)在進行角度與弧度的換算時,關系式π rad=180°是關鍵.注意特殊角的弧度數與度數的對應值,今后常用,應該熟記.
(2)在同一個式子中,角度與弧度不能混用,必須保持單位統一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正確的寫法.
(3)判斷角α終邊所在的象限時,若α [-2π,2π],應首先把角α表示成α=2kπ+β,β∈[-2π,2π]的形式,然后利用角β終邊所在的象限來確定角α終邊所在的象限.
鞏固訓練
1.-300°化為弧度制是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C.- D.-
2.化為角度制是(　　).
A.278° B.280° C.288° D.318°
3.用
弧度表示終邊落在圖中陰影部分內(不包括邊界)的角θ的集合.
探究3：扇形的弧長及面積公式
情境設置
如圖所示,設公路彎道處弧AB的長為l.(圖中長度單位:m)
問題1:圖中的60°是多少弧度
問題2:弧AB的長l是多少
問題3:求扇形AOB的面積S.
新知生成
設扇形的半徑為r,弧長為l,α(0<α<2π)為其圓心角的弧度數,n為圓心角的角度數,則扇形的弧長l==αr,扇形的面積S==lr=αr2.
新知運用
一、求扇形的弧長和面積
例3　(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積.
(2)已知一扇形的周長為4,當它的半徑與圓心角取何值時,扇形的面積最大 最大值是多少
【方法總結】扇形的弧長和面積的求解策略
(1)記公式:弧度制下扇形的面積公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧長,R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數,0<α<2π).
(2)找關鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
鞏固訓練
已知扇形的半徑為10 cm,圓心角為60°,求扇形的弧長和面積.
二、扇形的弧長、面積公式的運用
例4　(多選題)孫尚任在《桃花扇》中寫道:“何處瑤天笙弄,聽云鶴縹緲,玉佩丁冬”.玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品.現有一玉佩如圖1所示,其平面圖形可以看成扇形的一部分(如圖2),已知AD∥BC,AD=2AB=2CD=2BC=4,則(　　).
A.∠ABC=
B. 的長為
C.該平面圖形的周長為6+
D.該平面圖形的面積為-
方法指導　如圖分別延長AB 與DC 交于點O,根據相似三角形的性質可得∠BOC=∠BAD=,進而求得的長為,結合扇形的弧長與面積公式計算即可求解.
【方法總結】扇形的弧長、面積公式的應用解題策略
(1)弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到簡化,所以在解決這些問題時通常采用弧度制.
(2)一般來說,在幾何圖形中研究的角,其范圍是(0,2π).在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形.
鞏固訓練
《九章算術》是我國古代數學的經典著作,其中“方田”章給出計算弧田面積所用的經驗公式:弧田面積=(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.弧田(如圖),由圓弧和其所對的弦圍成,按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現有圓心角為,弦長為9 m的弧田.
(1)計算弧田的實際面積;
(2)按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少 (結果保留兩位小數)
【隨堂檢測】
1.下列各式正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.π=180 B.π=3.14
C.90°=rad D.1 rad=π
2.終邊在y軸上的角的集合是　　　　　　　　　　.
3.扇形AOB的半徑為2 cm,AB=2 cm,則所對的圓心角的弧度數為　　　　.
4.將-1485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
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