資源簡介

5.2.1　任意角三角函數的定義
【學習目標】
1.理解任意角的三角函數的定義、定義域.(數學抽象)
2.理解用有向線段表示三角函數.(數學抽象)
3.掌握三角函數在各象限的符號.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.任意角的三角函數的定義是什么
【答案】將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱三角函數.
2.如何判斷三角函數值在各象限內的符號
【答案】一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.教材中是在什么背景下定義三角函數線的
【答案】單位圓.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在sin α,cos α,tan α中,角α可以取任意實數. (　　)
(2)三角函數值的大小與點P(x,y)在終邊上的位置無關. (　　)
(3)已知α是三角形的內角,則必有sin α>0,cos α≥0. (　　)
(4)若sin αcos α>0,則角α為第一象限角. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知sin α=,cos α=-,則角α所在的象限是(　　).
A.第一象限　　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由sin α>0,cos α<0可知角α所在的象限是第二象限.
3.角α終邊與單位圓相交于點M,,則cos α+sin α的值為　　　　.
【答案】
【解析】cos α=x=,sin α=y=,故cos α+sin α=.
【合作探究】
探究1：三角函數的概念
情境設置
將Rt△OMP放在如圖所示的平面直角坐標系中,探究銳角α與三角形邊的關系,使銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,在終邊上任取一點P,作PM⊥x軸于點M,設P(x,y),|OP|=r.
問題1:你能說出角α的正弦、余弦、正切分別等于什么嗎
【答案】sin α=,cos α=,tan α=.
問題2:對確定的銳角α,sin α,cos α,tan α的值是否會隨著點P在終邊上的位置改變而改變
【答案】不會.因為三角函數值是比值,其大小與點P(x,y)在終邊上的位置無關,只與角α的終邊位置有關,即三角函數值的大小只與角有關.
問題3:當=1時,sin α,cos α,tan α的值怎樣表示
【答案】sin α=y,cos α=x,tan α=.
新知生成
三角函數的定義
(1)正弦、余弦、正切
如圖,設α是一個任意角,在角α的終邊上任取不同于原點O的一點P(x,y).
定義:sin α=,cos α=,tan α=,其中r=,這三個比值分別稱為角α的正弦、余弦、正切.
(2)三角函數的定義
依照上述定義,對于每一個確定的角α,都分別有唯一確定的比值和與之對應,當α≠kπ+(k∈Z)時,它有唯一的正切值與之對應,因此這三個對應法則都是以α為自變量的函數,y=sin α,y=cos α,y=tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數和正切函數.以上三種函數都稱為三角函數.
(3)三角函數的定義域
三角函數 定義域
sin α R
cos α R
tan α αα≠kπ+,k∈Z
　　特別提醒:(1)在任意角的三角函數的定義中,應該明確α是一個任意角.
(2)三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點P(x,y)所在終邊上的位置無關,而由角α的終邊位置決定.
(3)要明確sin x是一個整體,不是sin 與x的乘積,它是“正弦函數”的一個記號,就如f(x)表示自變量為x的函數一樣,離開自變量的“sin”“cos”“tan”等是沒有意義的.
新知運用
一、利用角α的終邊上任意一點的坐標求三角函數值
例1　已知角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
方法指導　利用三角函數的定義求解.
【解析】r==5|a|.
若a>0,則r=5a,角α在第二象限,
sin α===,cos α===-,
所以2sin α+cos α=-=1;
若a<0,則r=-5a,角α在第四象限,
sin α==-,cos α==;
所以2sin α+cos α=-+=-1.
【方法總結】　1.已知角α終邊上異于原點的任意一點P的坐標(x,y),求三角函數值的方法:先求P到原點的距離r=(r>0),則sin α=,cos α=.當已知α的終邊上一點求α的三角函數值時,用該方法更方便.
2.當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.
鞏固訓練
　　設θ是第三象限角,P(-4,y)為其終邊上的一點,且sin θ=y,則tan θ=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】D
【解析】因為sin θ==y,
所以 =6,解得y=±2,
又θ是第三象限角,所以y=-2,
所以tan θ==,故選D.
二、求特殊角的三角函數值
例2　利用定義分別求的正弦值、余弦值和正切值.
方法指導　利用單位圓求解.
【解析】
如圖所示,的終邊與單位圓的交點為P,過點P作PB⊥x軸于點B,在Rt△OPB中,|OP|=1,∠POB=,則|PB|=,|OB|=,
則P-,,所以sin=,cos=-,tan==-.
【方法總結】先在單位圓中找到角的終邊與單位圓的交點的坐標,然后利用定義,即可得到特殊角的三角函數值.
鞏固訓練
　　對于表中的角α,計算sin α,cos α,tan α的值,并填寫下表.
α 0 π 2π
sin α 0 1 - - - 0
cos α
tan α 不存 在 0 不存 在
　【答案】　　0　-1　-　1　　　0　-　-　-1　-　-　0　　　1　0　　　-　-　　　-　-　0
探究2：用有向線段表示三角函數
情境設置
問題1:什么叫作單位圓
【答案】以坐標原點為圓心,以單位長度1為半徑畫一個圓,這個圓就叫作單位圓.(注意:這個單位長度不一定就是1厘米或1米)
問題2:當α∈0,時,你能比較α,sin α,tan α這三者之間的大小嗎
【答案】
能.如圖,設角α的始邊與單位圓的交點為A,角α的終邊與單位圓的交點為P,過點P作x軸的垂線交x軸于點M,過點A作單位圓的切線,交OP的延長線于點T,α的正弦線、正切線為有向線段MP,AT,則|MP|=sin α,|AT|=tan α.
因為S△AOP=|OA|·|MP|=sin α,S扇形AOP=α|OA|2=α,S△AOT=|OA|·|AT|=tan α,且S△AOP所以sin α<α新知生成
如圖,設單位圓與x軸的正半軸交于點A,與角α的終邊交于點P.過點P作x軸的垂線PM,垂足為M,過點A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于點T.單位圓中的有向線段MP,OM,AT分別叫作角α的正弦線、余弦線、正切線,記作:sin α=|MP|,cos α=|OM|,tan α=|AT|.
新知運用
例3　分別作出與的正弦線、余弦線和正切線,并比較sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
【解析】如圖,sin=|MP|,cos=|OM|,tan=|AT|,sin=|M'P'|,cos=|OM'|,tan=|AT'|.
顯然|MP|>|M'P'|,符號皆為正,
∴sin>sin;
|OM|<|OM'|,符號皆為負,
∴cos>cos;
|AT|>|AT'|,符號皆為負,
∴tan【方法總結】利用三角函數線比較三角函數值的大小時,一般分三步:①角的位置要“對號入座”;②比較三角函數線的長度;③確定有向線段的正負.
鞏固訓練
sin,cos,tan從小到大的順序是　　　　.
【答案】cos【解析】分別在單位圓中作出它們的三角函數線,如圖所示,可知cos<0,tan>0,sin>0.
∵|MP|<|AT|,
∴sin探究3：三角函數值的符號
情境設置
　　因為角α的正弦值、余弦值、正切值與點P(x,y)在角α終邊上的位置無關,只與比值,,有關,r始終為正值,且r=,所以比值的正負只與點P(x,y)的橫、縱坐標x,y的正負有關.正弦函數值的符號與y的符號相同,而在第一象限內,y>0,所以sin α>0;同理,余弦函數值的符號與x的符號相同,而在第一象限內,x>0,所以cos α>0;對于正切函數,在第一象限內,x>0,y>0,則由定義得tan α>0.
問題1:根據上述推理,sin α,cos α,tan α在其他三個象限的符號是什么
【答案】
問題2:哪些角α存在正弦值、余弦值和正切值
【答案】由三角函數的定義知,當α∈R時,sin α,cos α都有意義.當α≠kπ+,k∈Z時,tan α有意義.
問題3:若sin θ>0,tan θ<0,則θ是第幾象限角
【答案】由問題1的結論可知θ是第二象限角.
新知生成
三角函數值的符號(如圖所示)
新知運用
例4　(1)判斷符號,填“>”或“<”:sin 3cos 4tan 5　　　　0.
(2)設角α是第三象限角,且cos=-cos,則角的終邊所在的象限是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
方法指導　(1)先判斷角的終邊所在的象限,再判斷函數值符號;(2)先判斷角的取值范圍,再判斷cos的正負,進而確定角的終邊所在的象限.
【答案】(1)>　(2)B
【解析】(1)∵<3<π,π<4<<5<2π,
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,∴sin 3cos 4tan 5>0.
(2)∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
∴kπ+<又∵cos=-cos,∴cos<0.
∴角的終邊在第二象限.
【方法總結】三角函數值符號的確定以及應用
(1)三角函數值符號的確定流程:確定角→確定角的終邊
所在的象限→由符號法則確定三
角函數值的符號.
(2)已知三角函數值的符號,要想確定角的終邊所在的象限,可以根據三角函數的定義確定角的終邊上一點的坐標的符號,從而確定角的終邊所在的象限或范圍.
鞏固訓練
判斷下列各式的符號:
(1)sin 105°·cos 230°;
(2)cos 3·tan-.
【解析】(1)因為105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin 105°>0,cos 230°<0,所以sin 105°·cos 230°<0.
(2)因為<3<π,所以3是第二象限角,所以cos 3<0.又因為-是第三象限角,所以tan->0,所以cos 3·tan-<0.
【隨堂檢測】
1.若α=,則角α的終邊與單位圓的交點P的坐標是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A., B.-,
C.-, D.,-
【答案】B
【解析】設P(x,y),由三角函數的定義知x=cos=-,y=sin=,∴P-,.
2.若sin α·cos α<0,則α在第　　　　象限.
【答案】二或四
【解析】由sin α·cos α<0,知sin α>0且cos α<0或sin α<0且cos α>0.
若sin α>0且cos α<0,則α在第二象限,若sin α<0且cos α>0,則α在第四象限.
3.已知角α的終邊經過點P(m,-6),且cos α=-,則m=　　　　.
【答案】-8
【解析】∵cos α=-<0,∴角α應為第二或第三象限角,
　　又∵y=-6<0,∴α為第三象限角,∴m<0.
又∵-=,∴m=-8.
4.已知點P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,若α∈[0,2π),求α的取值范圍.
【解析】∵點P在第一象限內,
∴
∴
結合單位圓(如圖所示)中三角函數線及0≤α<2π,可知<α<或π<α<.
故α的取值范圍是,∪π,.
25.2.1　任意角三角函數的定義
【學習目標】
1.理解任意角的三角函數的定義、定義域.(數學抽象)
2.理解用有向線段表示三角函數.(數學抽象)
3.掌握三角函數在各象限的符號.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.任意角的三角函數的定義是什么
2.如何判斷三角函數值在各象限內的符號
3.教材中是在什么背景下定義三角函數線的
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在sin α,cos α,tan α中,角α可以取任意實數. (　　)
(2)三角函數值的大小與點P(x,y)在終邊上的位置無關. (　　)
(3)已知α是三角形的內角,則必有sin α>0,cos α≥0. (　　)
(4)若sin αcos α>0,則角α為第一象限角. (　　)
2.已知sin α=,cos α=-,則角α所在的象限是(　　).
A.第一象限　　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.角α終邊與單位圓相交于點M,,則cos α+sin α的值為　　　　.
【合作探究】
探究1：三角函數的概念
情境設置
將Rt△OMP放在如圖所示的平面直角坐標系中,探究銳角α與三角形邊的關系,使銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,在終邊上任取一點P,作PM⊥x軸于點M,設P(x,y),|OP|=r.
問題1:你能說出角α的正弦、余弦、正切分別等于什么嗎
問題2:對確定的銳角α,sin α,cos α,tan α的值是否會隨著點P在終邊上的位置改變而改變
問題3:當=1時,sin α,cos α,tan α的值怎樣表示
新知生成
三角函數的定義
(1)正弦、余弦、正切
如圖,設α是一個任意角,在角α的終邊上任取不同于原點O的一點P(x,y).
定義:sin α=,cos α=,tan α=,其中r=,這三個比值分別稱為角α的正弦、余弦、正切.
(2)三角函數的定義
依照上述定義,對于每一個確定的角α,都分別有唯一確定的比值和與之對應,當α≠kπ+(k∈Z)時,它有唯一的正切值與之對應,因此這三個對應法則都是以α為自變量的函數,y=sin α,y=cos α,y=tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數和正切函數.以上三種函數都稱為三角函數.
(3)三角函數的定義域
三角函數 定義域
sin α R
cos α R
tan α αα≠kπ+,k∈Z
　　特別提醒:(1)在任意角的三角函數的定義中,應該明確α是一個任意角.
(2)三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點P(x,y)所在終邊上的位置無關,而由角α的終邊位置決定.
(3)要明確sin x是一個整體,不是sin 與x的乘積,它是“正弦函數”的一個記號,就如f(x)表示自變量為x的函數一樣,離開自變量的“sin”“cos”“tan”等是沒有意義的.
新知運用
一、利用角α的終邊上任意一點的坐標求三角函數值
例1　已知角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
方法指導　利用三角函數的定義求解.
【方法總結】　1.已知角α終邊上異于原點的任意一點P的坐標(x,y),求三角函數值的方法:先求P到原點的距離r=(r>0),則sin α=,cos α=.當已知α的終邊上一點求α的三角函數值時,用該方法更方便.
2.當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.
鞏固訓練
　　設θ是第三象限角,P(-4,y)為其終邊上的一點,且sin θ=y,則tan θ=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
二、求特殊角的三角函數值
例2　利用定義分別求的正弦值、余弦值和正切值.
方法指導　利用單位圓求解.
【方法總結】先在單位圓中找到角的終邊與單位圓的交點的坐標,然后利用定義,即可得到特殊角的三角函數值.
鞏固訓練
　　對于表中的角α,計算sin α,cos α,tan α的值,并填寫下表.
α 0 π 2π
sin α 0 1 - - - 0
cos α
tan α 不存 在 0 不存 在
探究2：用有向線段表示三角函數
情境設置
問題1:什么叫作單位圓
問題2:當α∈0,時,你能比較α,sin α,tan α這三者之間的大小嗎
新知生成
如圖,設單位圓與x軸的正半軸交于點A,與角α的終邊交于點P.過點P作x軸的垂線PM,垂足為M,過點A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于點T.單位圓中的有向線段MP,OM,AT分別叫作角α的正弦線、余弦線、正切線,記作:sin α=|MP|,cos α=|OM|,tan α=|AT|.
新知運用
例3　分別作出與的正弦線、余弦線和正切線,并比較sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
【方法總結】利用三角函數線比較三角函數值的大小時,一般分三步:①角的位置要“對號入座”;②比較三角函數線的長度;③確定有向線段的正負.
鞏固訓練
sin,cos,tan從小到大的順序是　　　　.
【答案】cos【解析】分別在單位圓中作出它們的三角函數線,如圖所示,可知cos<0,tan>0,sin>0.
∵|MP|<|AT|,
∴sin探究3：三角函數值的符號
情境設置
　　因為角α的正弦值、余弦值、正切值與點P(x,y)在角α終邊上的位置無關,只與比值,,有關,r始終為正值,且r=,所以比值的正負只與點P(x,y)的橫、縱坐標x,y的正負有關.正弦函數值的符號與y的符號相同,而在第一象限內,y>0,所以sin α>0;同理,余弦函數值的符號與x的符號相同,而在第一象限內,x>0,所以cos α>0;對于正切函數,在第一象限內,x>0,y>0,則由定義得tan α>0.
問題1:根據上述推理,sin α,cos α,tan α在其他三個象限的符號是什么
問題2:哪些角α存在正弦值、余弦值和正切值
問題3:若sin θ>0,tan θ<0,則θ是第幾象限角
新知生成
三角函數值的符號(如圖所示)
新知運用
例4　(1)判斷符號,填“>”或“<”:sin 3cos 4tan 5　　　　0.
(2)設角α是第三象限角,且cos=-cos,則角的終邊所在的象限是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
方法指導　(1)先判斷角的終邊所在的象限,再判斷函數值符號;(2)先判斷角的取值范圍,再判斷cos的正負,進而確定角的終邊所在的象限.
【方法總結】三角函數值符號的確定以及應用
(1)三角函數值符號的確定流程:確定角→確定角的終邊
所在的象限→由符號法則確定三
角函數值的符號.
(2)已知三角函數值的符號,要想確定角的終邊所在的象限,可以根據三角函數的定義確定角的終邊上一點的坐標的符號,從而確定角的終邊所在的象限或范圍.
鞏固訓練
判斷下列各式的符號:
(1)sin 105°·cos 230°;
(2)cos 3·tan-.
【隨堂檢測】
1.若α=,則角α的終邊與單位圓的交點P的坐標是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A., B.-,
C.-, D.,-
2.若sin α·cos α<0,則α在第　　　　象限.
3.已知角α的終邊經過點P(m,-6),且cos α=-,則m=　　　　.
4.已知點P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,若α∈[0,2π),求α的取值范圍.
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