資源簡介

5.2.3　課時1　誘導公式一、二、三、四
【學習目標】
1.能借助單位圓的對稱性,利用定義推導出三角函數的誘導公式.(邏輯推理)
2.能夠運用誘導公式一、二、三、四,把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.寫出誘導公式一.
【答案】sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.
2.角π±α,-α的終邊與角α的終邊有怎樣的對稱關系
【答案】(1)角(π+α)與角α的終邊關于原點對稱;(2)角-α與角α的終邊關于x軸對稱;(3)角(π-α)與角α的終邊關于y軸對稱.
3.誘導公式中角α一定是銳角嗎
【答案】誘導公式中角α可以是任意角,要注意正切函數中要求α≠kπ+,k∈Z.
4.誘導公式一~四改變了函數的名稱嗎
【答案】誘導公式一~四都不改變函數名稱.
5.化簡sin(α-π).
【答案】sin(α-π)=-sin(π-α)=-sin α.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)誘導公式中角α是任意角. (　　)
(2)點P(x,y)關于x軸的對稱點是P'(-x,y). (　　)
(3)誘導公式中的符號是由角α所在的象限決定的. (　　)
(4)誘導公式一、二、三、四函數的名稱都不變. (　　)
(5)在公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.若cos(π-α)=,則cos α=　　　　.
【答案】-
【解析】∵cos(π-α)=-cos α=,∴cos α=-.
3.已知tan α=6,則tan(-α)=　　　　.
【答案】-6
【解析】tan(-α)=-tan α=-6.
4.sin 585°=　　　　.
【答案】-
【解析】sin 585°=sin(360°+180°+45°)=-sin 45°=-.
【合作探究】
探究1：公式一
情境設置
　　如圖,分別為表示30°,-330°, 390°的角.
問題1:30°,390°,-330°三個角的終邊有什么關系
【答案】終邊相同.
問題2:三個角的終邊與單位圓的交點坐標相同嗎
【答案】三個角的終邊與單位圓的交點坐標相同
問題3:這三個角的正弦值、余弦值、正切值相等嗎
【答案】三個角的正弦值、余弦值、正切值相等.
問題4:終邊相同的角的同名三角函數值相等嗎
【答案】相等.由三角函數的定義可知,終邊相同的角的三角函數值相等.
新知生成
誘導公式一
即終邊相同的角的同名三角函數值相等.
新知運用
例1　計算:sin 1140°cos(-690°)+tan 1845°.
方法指導　利用誘導公式將角化到0°~360°范圍內,再求解.
【解析】原式=sin(3×360°+60°)cos(-2×360°+30°)+tan(5×360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=×+1=.
【方法總結】1.公式一的實質是終邊相同的角的同名三角函數值相等.利用它可將大角轉化為[0,2π)范圍內的角,再借助特殊角的三角函數值達到化簡求值的目的.
2.熟記一些特殊角的三角函數值.
鞏固訓練
計算下列各式的值:
(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sin-+costan 4π.
【解析】(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2)原式=sin-2π++cos2π+tan(4π+0)=sin+cos×0=.
探究2：公式二、三
情境設置
問題1:如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于x軸的對稱點P2,以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
【答案】因為P2是點P1關于x軸的對稱點,所以以OP2為終邊的角β都是與角-α終邊相同的角,即β=2kπ+(-α)(k∈Z).
問題2:基于問題1的角β,α的三角函數值之間有什么關系
【答案】設P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2),因為P2是點P1關于x軸的對稱點,所以x2=x1,y2=-y1.
根據三角函數的定義,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;sin β=sin(-α)=y2=-y1=-sin α,cos β=cos(-α)=x2=x1=cos α,tan β=tan(-α)==-=-tan α.
問題3:如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于原點的對稱點P2,以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
【答案】因為P2是點P1關于原點的對稱點,所以以OP2為終邊的角β都是與角(π+α)終邊相同的角,即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).
問題4:基于問題3的角β,α的三角函數值之間有什么關系
【答案】設P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2),因為P2是點P1關于原點的對稱點,所以x2=-x1,y2=-y1.
根據三角函數的定義,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;
sin β=sin(π+α)=y2=-y1=-sin α,cos β=cos(π+α)=x2=-x1=-cos α,tan β=tan(π+α)===tan α.
新知生成
1.公式二
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.公式三
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
新知運用
例2　(1)計算:tan(-945°);
(2)化簡:.
【解析】(1)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1.
(2)原式===-1.
【方法總結】三角函數式化簡的常用方法:(1)利用誘導公式,將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.(2)切化弦:一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數.
鞏固訓練
化簡下列各式.
(1);
(2).
　　【解析】(1)原式=
==1.
(2)原式=
===.
探究3：公式四
情境設置
　　如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于y軸的對稱點P2.
問題1:以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
【答案】因為P2是點P1關于y軸的對稱點,所以以OP2為終邊的角β都是與角(π-α)終邊相同的角,即β=2kπ+(π-α)(k∈Z).
問題2:角β,α的三角函數值之間有什么關系
【答案】設P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2).因為P2是點P1關于y軸的對稱點,所以x2=-x1,y2=y1.
根據三角函數的定義,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;sin β=sin(π-α)=y2=y1=sin α,cos β=cos(π-α)=x2=-x1=-cos α,tan β=tan(π-α)==-=-tan α.
新知生成
公式四
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
新知運用
例3　(1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,則sin(180°+α)cos(180°-α)=　　　　.
(2)已知cos(α-75°)=-,則cos(255°-α)=　　　　.
方法指導　要尋找已知角與未知角之間的聯系,然后采用誘導公式使未知角的三角函數用已知角的三角函數表示,從而得出結論.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)∵sin(α-360°)-cos(180°-α)=sin α+cos α=m,∴sin(180°+α)cos(180°-α)=sin αcos α==.
(2)∵cos(α-75°)=-<0,
∴cos(255°-α)=cos [180°-(α-75°)]=-cos(α-75°)=.
【方法總結】解決條件求值問題的策略:(1)解決條件求值問題,首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系.(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化,或將所求式進行變形向已知式轉化.
鞏固訓練
(1)若cos(2π-α)=且α∈-,0,則sin(π-α)=(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C.- D.±
(2)已知cos -α=,則cosα+=　　　　.
【答案】(1)B　(2)-
【解析】(1)因為cos(2π-α)=cos α=,α∈-,0,
所以sin α=-=-,
則sin(π-α)=sin α=-.
(2)cosα+=cosπ--α=-cos-α=-.
【隨堂檢測】
1.cos=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.-
C. D.-
【答案】C
【解析】cos=cos4π-=cos-=cos=.
2.已知sin(5π-α)=,則sin α=(　　).
A.- B.-
C. D.
【答案】C
【解析】sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=.
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(　　).
A. B.- C.± D.
【答案】B
【解析】因為sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-.
又α是第四象限角,所以cos α==,所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.
4.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°=　　　　.
【答案】-1
【解析】∵cos 1°+cos 179°=cos 1°+(-cos 1°)=0,cos 2°+cos 178°=cos 2°+(-cos 2°)=0,…,
∴原式=(cos 1°+cos 179°)+(cos 2°+cos 178°)+…+(cos 89°+cos 91°)+cos 90°+cos 180°=-1.
25.2.3　課時1　誘導公式一、二、三、四
【學習目標】
1.能借助單位圓的對稱性,利用定義推導出三角函數的誘導公式.(邏輯推理)
2.能夠運用誘導公式一、二、三、四,把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.寫出誘導公式一.
2.角π±α,-α的終邊與角α的終邊有怎樣的對稱關系
3.誘導公式中角α一定是銳角嗎
4.誘導公式一~四改變了函數的名稱嗎
5.化簡sin(α-π).
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)誘導公式中角α是任意角. (　　)
(2)點P(x,y)關于x軸的對稱點是P'(-x,y). (　　)
(3)誘導公式中的符號是由角α所在的象限決定的. (　　)
(4)誘導公式一、二、三、四函數的名稱都不變. (　　)
(5)在公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立. (　　)
2.若cos(π-α)=,則cos α=　　　　.
3.已知tan α=6,則tan(-α)=　　　　.
4.sin 585°=　　　　.
【合作探究】
探究1：公式一
情境設置
　　如圖,分別為表示30°,-330°, 390°的角.
問題1:30°,390°,-330°三個角的終邊有什么關系
問題2:三個角的終邊與單位圓的交點坐標相同嗎
問題3:這三個角的正弦值、余弦值、正切值相等嗎
問題4:終邊相同的角的同名三角函數值相等嗎
新知生成
誘導公式一
即終邊相同的角的同名三角函數值相等.
新知運用
例1　計算:sin 1140°cos(-690°)+tan 1845°.
方法指導　利用誘導公式將角化到0°~360°范圍內,再求解.
【方法總結】1.公式一的實質是終邊相同的角的同名三角函數值相等.利用它可將大角轉化為[0,2π)范圍內的角,再借助特殊角的三角函數值達到化簡求值的目的.
2.熟記一些特殊角的三角函數值.
鞏固訓練
計算下列各式的值:
(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sin-+costan 4π.
探究2：公式二、三
情境設置
問題1:如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于x軸的對稱點P2,以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
問題2:基于問題1的角β,α的三角函數值之間有什么關系
問題3:如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于原點的對稱點P2,以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
問題4:基于問題3的角β,α的三角函數值之間有什么關系
新知生成
1.公式二
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.公式三
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
新知運用
例2　(1)計算:tan(-945°);
(2)化簡:.
【方法總結】三角函數式化簡的常用方法:(1)利用誘導公式,將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.(2)切化弦:一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數.
鞏固訓練
化簡下列各式.
(1);
(2).
　
探究3：公式四
情境設置
　　如圖,在平面直角坐標系內,設任意角α的終邊與單位圓交于點P1,作點P1關于y軸的對稱點P2.
問題1:以OP2為終邊的角β與角α有什么關系
問題2:角β,α的三角函數值之間有什么關系
新知生成
公式四
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
新知運用
例3　(1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,則sin(180°+α)cos(180°-α)=　　　　.
(2)已知cos(α-75°)=-,則cos(255°-α)=　　　　.
方法指導　要尋找已知角與未知角之間的聯系,然后采用誘導公式使未知角的三角函數用已知角的三角函數表示,從而得出結論.
【方法總結】解決條件求值問題的策略:(1)解決條件求值問題,首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系.(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化,或將所求式進行變形向已知式轉化.
鞏固訓練
(1)若cos(2π-α)=且α∈-,0,則sin(π-α)=(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C.- D.±
(2)已知cos -α=,則cosα+=　　　　.
【隨堂檢測】
1.cos=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.已知sin(5π-α)=,則sin α=(　　).
A.- B.-
C. D.
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(　　).
A. B.- C.± D.
4.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°=　　　　.
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