資源簡介

5.2.3　課時2　誘導(dǎo)公式五、六
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo)過程.(邏輯推理)
2.能利用誘導(dǎo)公式解決簡單的求值、化簡與證明問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
　　如圖,在Rt△ABC中其中∠C=,角A,B,C的對邊分別記作a,b,c.
1.角A與角B有什么關(guān)系
2.角A與角B的三角函數(shù)值有什么關(guān)系
3.-α與α的終邊有什么關(guān)系
4.如何求+α的三角函數(shù)值
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)誘導(dǎo)公式五、六中的角α只能是銳角. (　　)
(2)cosα-=-sin α. (　　)
2.若sin α=,則cos-α=　　　　.
3.若sin+α=,則cos α=　　　　.
4.已知sin θ=,則cos(450°+θ)=　　　　.
【合作探究】
探究1：公式五
情境設(shè)置
對稱美在日常生活中很常見,在三角函數(shù)中角之間也存在著對稱關(guān)系,那么它們的三角函數(shù)值之間是否也存在對稱美呢
問題1:在平面直角坐標系內(nèi),設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1(x1,y1),作點P1關(guān)于直線y=x的對稱點P2(x2,y2),以O(shè)P2為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系
問題2:基于問題1的角γ,α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
問題3:如圖,在平面直角坐標系內(nèi),設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1,把OP1旋轉(zhuǎn)交單位圓于點P2,以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系
問題4:基于問題3的角β,α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
新知生成
公式五
sin-α=cos α,cos-α=sin α,
sin+α=cos α,cos+α=-sin α.
新知運用
一、化簡求值
例1　(1)已知cos+α=-,且角α是第二象限角,則sinα-的結(jié)果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.- C.± D.
(2)化簡:=　　　　.
方法指導(dǎo)　利用誘導(dǎo)公式,先化簡再求值.
【方法總結(jié)】利用公式五化簡求值時,需要注意:(1)角的變化,一般先用誘導(dǎo)公式化簡變形,達到角的統(tǒng)一;(2)保證三角函數(shù)名最少;(3)kπ±α和±α這兩類公式的不同處.
二、證明三角等式
例2　求證:=.
【方法總結(jié)】三角恒等式的證明策略
對于三角恒等式的證明,應(yīng)遵循化繁為簡的原則,從左邊推到右邊或從右邊推到左邊,也可以用左右歸一、變更論證的方法,常用定義法、化弦法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法等,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡捷的方法.
鞏固訓(xùn)練
1.已知tan(5π+α)=2,則的值為　　　　.
2.求證:+
=.
探究2：公式六
情境設(shè)置
問題1:正弦、余弦、正切之間的基本關(guān)系是什么
問題2:如何推導(dǎo)±α的正切公式
新知生成
公式六
tan-α===,
tan+α===-.
新知運用
例3　化簡:.
【方法總結(jié)】　根據(jù)誘導(dǎo)公式五和六逐個化簡,然后切化弦或弦化切,統(tǒng)一三角函數(shù)之后求解即可.
鞏固訓(xùn)練
已知tan+α=2,求的值.
【隨堂檢測】
1.cos 240°=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.- C. D.-
2.若cos+φ=,且|φ|<,則tan φ等于(　　).
A.- B.
C.- D.
3.若sin+θ<0,且cos-θ>0,則θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.已知角α的終邊經(jīng)過點P,-.
(1)求sin α的值;
(2)求+的值.
25.2.3　課時2　誘導(dǎo)公式五、六
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo)過程.(邏輯推理)
2.能利用誘導(dǎo)公式解決簡單的求值、化簡與證明問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
　　如圖,在Rt△ABC中其中∠C=,角A,B,C的對邊分別記作a,b,c.
1.角A與角B有什么關(guān)系
【答案】A+B=.
2.角A與角B的三角函數(shù)值有什么關(guān)系
【答案】sin B=sin-A=cos A=;
cos B=cos-A=sin A=.
3.-α與α的終邊有什么關(guān)系
【答案】-α與α的終邊關(guān)于y=x對稱.
4.如何求+α的三角函數(shù)值
【答案】因為+α=π--α,所以sin+α=sinπ--α=sin-α=cos α.
同理cos+α=-sin α.
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)誘導(dǎo)公式五、六中的角α只能是銳角. (　　)
(2)cosα-=-sin α. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.若sin α=,則cos-α=　　　　.
【答案】
【解析】cos-α=sin α=.
3.若sin+α=,則cos α=　　　　.
【答案】
【解析】sin+α=cos α=.
4.已知sin θ=,則cos(450°+θ)=　　　　.
【答案】-
【解析】cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=-.
【合作探究】
探究1：公式五
情境設(shè)置
對稱美在日常生活中很常見,在三角函數(shù)中角之間也存在著對稱關(guān)系,那么它們的三角函數(shù)值之間是否也存在對稱美呢
問題1:在平面直角坐標系內(nèi),設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1(x1,y1),作點P1關(guān)于直線y=x的對稱點P2(x2,y2),以O(shè)P2為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系
【答案】以O(shè)P2為終邊的角γ都是與角-α終邊相同的角,即γ=2kπ+-α(k∈Z).
問題2:基于問題1的角γ,α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
【答案】因為P2是點P1關(guān)于直線y=x的對稱點,所以x2=y1,y2=x1.
根據(jù)三角函數(shù)的定義,得sin α=y1,cos α=x1;sin γ=sin-α=y2=x1=cos α,cos γ=cos-α=x2=y1=sin α.
問題3:如圖,在平面直角坐標系內(nèi),設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1,把OP1旋轉(zhuǎn)交單位圓于點P2,以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系
【答案】β=2kπ++α(k∈Z).
問題4:基于問題3的角β,α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
【答案】設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),因為把OP1旋轉(zhuǎn)交單位圓于點P2,所以∠xOP1=∠yOP2,由相似可知x2=-y1,y2=x1.根據(jù)三角函數(shù)的定義,得sin α=y1,cos α=x1;sin β=sin+α=y2=x1=cos α,cos β=cos+α=x2=-y1=-sin α.
新知生成
公式五
sin-α=cos α,cos-α=sin α,
sin+α=cos α,cos+α=-sin α.
新知運用
一、化簡求值
例1　(1)已知cos+α=-,且角α是第二象限角,則sinα-的結(jié)果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.- C.± D.
(2)化簡:=　　　　.
方法指導(dǎo)　利用誘導(dǎo)公式,先化簡再求值.
【答案】(1)B　(2)tan α
【解析】(1)∵cos+α=-sin α=-,
∴sin α=,且α是第二象限角,
∴cos α=-=-,
∴sinα-=-sin-α=-(-cos α)=cos α=-.
(2)原式=
==tan α.
【方法總結(jié)】利用公式五化簡求值時,需要注意:(1)角的變化,一般先用誘導(dǎo)公式化簡變形,達到角的統(tǒng)一;(2)保證三角函數(shù)名最少;(3)kπ±α和±α這兩類公式的不同處.
二、證明三角等式
例2　求證:=.
【解析】左邊=
==
=,
右邊=,所以左邊=右邊,所以原等式成立.
【方法總結(jié)】三角恒等式的證明策略
對于三角恒等式的證明,應(yīng)遵循化繁為簡的原則,從左邊推到右邊或從右邊推到左邊,也可以用左右歸一、變更論證的方法,常用定義法、化弦法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法等,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡捷的方法.
鞏固訓(xùn)練
1.已知tan(5π+α)=2,則的值為　　　　.
【答案】3
【解析】因為tan(5π+α)=tan α=2,
所以=
====3.
2.求證:+
=.
【解析】左邊=+=+====右邊,
所以原等式成立.
探究2：公式六
情境設(shè)置
問題1:正弦、余弦、正切之間的基本關(guān)系是什么
【答案】tan α=.
問題2:如何推導(dǎo)±α的正切公式
【答案】根據(jù)同角之間的三角函數(shù)關(guān)系,tan-α===,
同理可得tan+α=-.
新知生成
公式六
tan-α===,
tan+α===-.
新知運用
例3　化簡:.
【解析】原式=
===1.
【方法總結(jié)】　根據(jù)誘導(dǎo)公式五和六逐個化簡,然后切化弦或弦化切,統(tǒng)一三角函數(shù)之后求解即可.
鞏固訓(xùn)練
已知tan+α=2,求的值.
【解析】因為tan+α=2,即-=2,所以tan α=-,
所以==-tan2α=-.
【隨堂檢測】
1.cos 240°=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.- C. D.-
【答案】B
【解析】cos 240°=cos(90°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-.
2.若cos+φ=,且|φ|<,則tan φ等于(　　).
A.- B.
C.- D.
【答案】C
【解析】∵cos+φ=-sin φ=,
∴sin φ=-.
又∵|φ|<,∴φ=-,∴tan φ=-.
3.若sin+θ<0,且cos-θ>0,則θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】B
【解析】因為sin+θ=cos θ<0,cos-θ=sin θ>0,
所以角θ的終邊落在第二象限.故選B.
4.已知角α的終邊經(jīng)過點P,-.
(1)求sin α的值;
(2)求+的值.
【解析】(1)∵角α的終邊經(jīng)過點P,-,
∴x=,y=-,r=|OP|=1,
由正弦函數(shù)的定義得sin α==-.
(2)由(1)可得cos α==,tan α==-,
∴原式=+=+
=+=-=-.
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