資源簡介

5.3.1課時1 正弦函數、余弦函數的圖象
【學習目標】
1.了解正弦函數、余弦函數的圖象.(數學抽象)
2.會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數的圖象.(直觀想象)
3.能利用正弦函數、余弦函數的圖象解決簡單問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.請同學們回憶,作函數圖象的方法和步驟是什么
【答案】描點法.列表、描點、連線.
2.由角的終邊與單位圓交點的知識,思考在平面直角坐標系中如何能較精確地作出點C,sin
【答案】作出角的終邊與單位圓交點,以為橫坐標,以角的終邊與單位圓交點的縱坐標描出點,sin.
3.終邊相同的角的正弦函數值有什么關系 可用什么公式來表示
【答案】終邊相同的角的正弦函數值相等,可用公式sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z)來表示.
4.把y=sin x,x∈[0,2π]的圖象向左或向右平移2π的整數倍個單位長度后的圖象形狀會改變嗎
【答案】不會變,因為sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z.
5.將余弦函數y=cos x的圖象左右移動能和正弦函數y=sin x的圖象重合嗎
【答案】可以重合.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦函數的圖象向左、向右是無限伸展的. (　　)
(2)正弦函數y=sin x的圖象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的圖象形狀相同,只是位置不同. (　　)
(3)函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度得到函數y=cos x的圖象. (　　)
(4)函數y=cos x的圖象關于x軸對稱. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.作函數y=sin x,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點分別為　　 　　,　　 　　,　 　　　,　　　 　,　 　　　.
【答案】(0,0)　,1　(π,0)　,-1　(2π,0)
【解析】根據“五點法”即可得到答案.
3.用“五點法”作函數y=1-sin x,x∈[0,2π]的圖象時,應取的五個關鍵點是(0,1),,0,(π,1),　　　　,(2π,1).
【答案】,2
【解析】將x=代入y=1-sin x,可得y=2,故第四個點為,2.
【合作探究】
探究1：正弦函數的圖象
情境設置
　　我們已經學習了三角函數的定義,如何從定義出發研究正弦函數呢 類比已有的研究方法,可以先畫出函數的圖象,再通過觀察圖象的特征,獲得函數性質的一些結論.
問題1:在[0,2π]上任取一個值x0,如何利用正弦函數的定義來確定正弦函數值sin x0 并畫出點T(x0,sin x0).
【答案】如圖,在平面直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓,圓O與x軸正半軸的交點為A(1,0),在單位圓上,將點A繞著點O旋轉x0弧度至點B,根據正弦函數的定義,點B的縱坐標y0=sin x0.由此,以x0為橫坐標,y0為縱坐標畫點,即得到函數圖象上的點T(x0,sin x0).
問題2:根據函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象,你能畫出y=sin x,x∈R的圖象嗎
【答案】由誘導公式一可知,函數y=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的圖象與y=sin x,x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致,因此將函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移 (每次移動2π個單位長度),就可以得到正弦函數y=sin x,x∈R的圖象,如圖所示.
問題3:在確定正弦函數圖象的形狀時,應抓住哪些關鍵點
【答案】五個關鍵點:(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0).
新知生成
1.正弦曲線
正弦函數y=sin x,x∈R的圖象叫作正弦曲線.
2.正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法
①利用單位圓畫出y=sin x,x∈[0,2π]的圖象;
②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度).
(2)五點法
①先畫出正弦函數在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0),再用光滑的曲線連接;
②將所得圖象向左、向右平移(每次移動2π個單位長度).
新知運用
例1　用“五點法”作出函數y=+sin x,x∈[0,2π]的簡圖.
方法指導　利用“五點法”作函數簡圖時,應先列表,再描點,最后連線.
【解析】按五個關鍵點列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
　　描點,并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖).
【方法總結】1.描點法畫正弦函數圖象的關鍵:①列表時,自變量x的數值要適當選取;②在函數定義域內取值;③按由小到大的順序取值;④取的個數應分布均勻;⑤應注意圖形中的特殊點(如:端點,交點,頂點);⑥盡量取特殊角.
2.描點連線時應注意:①兩坐標軸上的單位長度盡可能一致,以免改變圖象的真實形狀;②當變量x,y的數值相差懸殊時,也允許采用不同的長度單位;③連線時一定要用光滑的曲線連接,防止畫成折線.
鞏固訓練
作出函數y=2sin x,x∈[0,2π]的簡圖.
【解析】列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x 0 2 0 -2 0
　　描點,并用光滑的曲線連接起來,可得y=2sin x,x∈[0,2π]的圖象,如圖所示.
探究2：余弦函數的圖象
情境設置
　　由三角函數的定義可知,正弦函數、余弦函數是一對密切關聯的函數.我們利用這種關系,借助正弦函數的圖象畫出余弦函數的圖象.
問題1:怎樣由y=sin x的圖象變換得到函數y=sin+x的圖象
【答案】將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度可得到y=sin+x的圖象.
問題2:你能化簡y=sin-x和y=sin+x嗎
【答案】能.y=sin-x=cos x,y=sin+x=cos x.
問題3:y=cos x(x∈R)的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象平移得到的原因是什么
【答案】因為cos x=sinx+,所以y=sin x(x∈R)的圖象向左平移個單位長度可得到y=cos x(x∈R)的圖象.
新知生成
1.余弦函數y=cos x,x∈R的圖象叫作余弦曲線.
2.余弦函數圖象的畫法
(1)要得到函數y=cos x,x∈R的圖象,只需把函數y=sin x,x∈R的圖象向左平移個單位長度即可.
(2)用“五點法”畫余弦曲線y=cos x在[0,2π]上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1),再用光滑的曲線連接.
新知運用
一、余弦函數的圖象
例2　用“五點法”作出函數y=2+cos x,x∈[0,2π]的簡圖.
【解析】按五個關鍵點列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
2+cos x 3 2 1 2 3
　　描點,并將它們用光滑的曲線連接起來,如圖所示.
【方法總結】作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的圖象的三個步驟
二、余弦 (正弦)函數圖象的應用
例3　利用正弦函數和余弦函數的圖象,求滿足下列條件的x的集合.
(1)sin x≥;(2)cos x≤.
【解析】(1)作出正弦函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象,如圖所示,由圖象可以得到滿足條件的x的集合為x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
(2)作出余弦函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象,如圖所示,由圖象可以得到滿足條件的x的集合為x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
【方法總結】用三角函數圖象解三角不等式的步驟
(1)作出相應的正弦函數或余弦函數在[0,2π]上的圖象;
(2)寫出不等式在區間[0,2π]上的解集;
(3)根據誘導公式寫出定義域內的解集.
三、根據函數圖象求范圍
例4　已知函數f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點,則k的取值范圍是　　　　.
【答案】(1,3)
【解析】由題意得,f(x)=其圖象如圖所示,結合圖象可知1鞏固訓練
1.用“五點法”作出函數y=3-cos x 的圖象,下列點中不屬于五點作圖中的五個關鍵點的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(π,-1) B.(0,2)
C.,3 D.,3
【答案】A
【解析】易得當x=π 時,y=3-cos π=4,故(π,-1)不屬于五個關鍵點之一.故選A.
2.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,則實數m的取值范圍是　　　　.
【答案】-,0
【解析】由正弦函數的圖象知,當x∈[0,2π]時,sin x∈[-1,1],要使得方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,則-1≤4m+1≤1,故-≤m≤0.
3.函數f(x)=3sin x-x的零點個數為　　　　.
【答案】3
【解析】由f(x)=0得sin x=,畫出函數y=sin x和y=的圖象如圖所示,
由圖可知有3個交點,則函數f(x)=3sin x-x有3個零點.
【隨堂檢測】
1.函數y=sin(-x),x∈[0,2π]的簡圖是(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
【答案】B
【解析】函數y=sin(-x)=-sin x的圖象與函數y=sin x的圖象關于x軸對稱,故選B.
2.函數y=-cos x,x∈[0,2π]的圖象與y=cos x,x∈[0,2π]的圖象(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.關于x軸對稱 B.關于原點對稱
C.關于原點和x軸對稱 D.關于y軸對稱
【答案】A
【解析】函數y=-cos x,x∈[0,2π]的圖象與y=cos x,x∈[0,2π]的圖象關于x軸對稱,故選A.
3.函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象與直線y=-的交點有　　　　個.
【答案】2
【解析】在同一平面直角坐標系中,作出y=cos x,x∈[0,2π]的圖象及直線y=-(圖略),知兩個函數圖象有2個交點.
4.用“五點法”作出函數f(x)=1+2sin x,x∈[0,2π]的圖象,并根據圖象求f(x)≥2在[0,2π]上的解集.
【解析】列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+2sin x 1 3 1 -1 1
　　作出函數圖象,如圖所示.
由圖象可知,f(x)≥2在[0,2π]上的解集為,.
25.3.1課時1 正弦函數、余弦函數的圖象
【學習目標】
1.了解正弦函數、余弦函數的圖象.(數學抽象)
2.會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數的圖象.(直觀想象)
3.能利用正弦函數、余弦函數的圖象解決簡單問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.請同學們回憶,作函數圖象的方法和步驟是什么
2.由角的終邊與單位圓交點的知識,思考在平面直角坐標系中如何能較精確地作出點C,sin
3.終邊相同的角的正弦函數值有什么關系 可用什么公式來表示
4.把y=sin x,x∈[0,2π]的圖象向左或向右平移2π的整數倍個單位長度后的圖象形狀會改變嗎
5.將余弦函數y=cos x的圖象左右移動能和正弦函數y=sin x的圖象重合嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦函數的圖象向左、向右是無限伸展的. (　　)
(2)正弦函數y=sin x的圖象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的圖象形狀相同,只是位置不同. (　　)
(3)函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度得到函數y=cos x的圖象. (　　)
(4)函數y=cos x的圖象關于x軸對稱. (　　)
2.作函數y=sin x,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點分別為　　 　　,　　 　　,　 　　　,　　　 　,　 　　　.
3.用“五點法”作函數y=1-sin x,x∈[0,2π]的圖象時,應取的五個關鍵點是(0,1),,0,(π,1),　　　　,(2π,1).
【合作探究】
探究1：正弦函數的圖象
情境設置
　　我們已經學習了三角函數的定義,如何從定義出發研究正弦函數呢 類比已有的研究方法,可以先畫出函數的圖象,再通過觀察圖象的特征,獲得函數性質的一些結論.
問題1:在[0,2π]上任取一個值x0,如何利用正弦函數的定義來確定正弦函數值sin x0 并畫出點T(x0,sin x0).
問題2:根據函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象,你能畫出y=sin x,x∈R的圖象嗎
問題3:在確定正弦函數圖象的形狀時,應抓住哪些關鍵點
新知生成
1.正弦曲線
正弦函數y=sin x,x∈R的圖象叫作正弦曲線.
2.正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法
①利用單位圓畫出y=sin x,x∈[0,2π]的圖象;
②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度).
(2)五點法
①先畫出正弦函數在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0),再用光滑的曲線連接;
②將所得圖象向左、向右平移(每次移動2π個單位長度).
新知運用
例1　用“五點法”作出函數y=+sin x,x∈[0,2π]的簡圖.
方法指導　利用“五點法”作函數簡圖時,應先列表,再描點,最后連線.
【方法總結】1.描點法畫正弦函數圖象的關鍵:①列表時,自變量x的數值要適當選取;②在函數定義域內取值;③按由小到大的順序取值;④取的個數應分布均勻;⑤應注意圖形中的特殊點(如:端點,交點,頂點);⑥盡量取特殊角.
2.描點連線時應注意:①兩坐標軸上的單位長度盡可能一致,以免改變圖象的真實形狀;②當變量x,y的數值相差懸殊時,也允許采用不同的長度單位;③連線時一定要用光滑的曲線連接,防止畫成折線.
鞏固訓練
作出函數y=2sin x,x∈[0,2π]的簡圖.
探究2：余弦函數的圖象
情境設置
　　由三角函數的定義可知,正弦函數、余弦函數是一對密切關聯的函數.我們利用這種關系,借助正弦函數的圖象畫出余弦函數的圖象.
問題1:怎樣由y=sin x的圖象變換得到函數y=sin+x的圖象
問題2:你能化簡y=sin-x和y=sin+x嗎
問題3:y=cos x(x∈R)的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象平移得到的原因是什么
新知生成
1.余弦函數y=cos x,x∈R的圖象叫作余弦曲線.
2.余弦函數圖象的畫法
(1)要得到函數y=cos x,x∈R的圖象,只需把函數y=sin x,x∈R的圖象向左平移個單位長度即可.
(2)用“五點法”畫余弦曲線y=cos x在[0,2π]上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1),再用光滑的曲線連接.
新知運用
一、余弦函數的圖象
例2　用“五點法”作出函數y=2+cos x,x∈[0,2π]的簡圖.
【方法總結】作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的圖象的三個步驟
二、余弦 (正弦)函數圖象的應用
例3　利用正弦函數和余弦函數的圖象,求滿足下列條件的x的集合.
(1)sin x≥;(2)cos x≤.
【方法總結】用三角函數圖象解三角不等式的步驟
(1)作出相應的正弦函數或余弦函數在[0,2π]上的圖象;
(2)寫出不等式在區間[0,2π]上的解集;
(3)根據誘導公式寫出定義域內的解集.
三、根據函數圖象求范圍
例4　已知函數f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點,則k的取值范圍是　　　　.
鞏固訓練
1.用“五點法”作出函數y=3-cos x 的圖象,下列點中不屬于五點作圖中的五個關鍵點的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(π,-1) B.(0,2)
C.,3 D.,3
2.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,則實數m的取值范圍是　　　　.
3.函數f(x)=3sin x-x的零點個數為　　　　.
【隨堂檢測】
1.函數y=sin(-x),x∈[0,2π]的簡圖是(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
2.函數y=-cos x,x∈[0,2π]的圖象與y=cos x,x∈[0,2π]的圖象(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.關于x軸對稱 B.關于原點對稱
C.關于原點和x軸對稱 D.關于y軸對稱
3.函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象與直線y=-的交點有　　　　個.
4.用“五點法”作出函數f(x)=1+2sin x,x∈[0,2π]的圖象,并根據圖象求f(x)≥2在[0,2π]上的解集.
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