資源簡介

5.3.1 課時2 正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性
【學習目標】
1.了解周期函數、周期、最小正周期的意義.(數學抽象)
2.通過圖象直觀理解奇偶性,并能正確確定相應的對稱軸和對稱中心.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.正弦函數、余弦函數的定義域分別是什么
【答案】R;R.
2.從函數圖象來看,正弦函數、余弦函數是否具有周期性和奇偶性
【答案】都具有周期性,最小正周期均為2π,正弦函數為奇函數,余弦函數為偶函數.
3.是不是所有的函數都是周期函數 若一個函數是周期函數,它的周期是否唯一
【答案】并不是每一個函數都是周期函數,若函數具有周期性,則其周期也不一定唯一.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)由于sin+=sin,則是正弦函數y=sin x的一個周期. (　　)
(2)函數y=3sin 2x是奇函數. (　　)
(3)函數y=-cosx是偶函數. (　　)
(4)函數y=sin2x+沒有周期性. (　　)
(5)函數y=cosx-為偶函數. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.函數f(x)=sin xcos x是　　　　(填“奇”或“偶”)函數.
【答案】奇
【解析】由于f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin x·cos x=-f(x),故f(x)為奇函數.
3.若函數f(x)的周期為3,且f(1)=-2,則f(7)=　　　　.
【答案】-2
【解析】f(7)=f(1+2×3)=f(1)=-2.
【合作探究】
探究1：周期函數的概念
情境設置
　　自然界中存在許多周而復始的現象,如地球自轉和公轉,物理學中的單擺運動、彈簧振動和圓周運動等.數學中從正弦函數和余弦函數的定義知,角α的終邊每轉一周又會與原來的終邊重合,也具有周而復始的變化規律,為定量描述這種變化規律,需引入一個新的數學概念——函數周期性.
問題1:觀察正弦函數圖象可知,在圖象上,橫坐標每相隔2π個單位長度,圖象就會重復出現,其理論依據是什么
【答案】由誘導公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可知,當自變量x的值增加2π的整數倍時,函數值重復出現.數學上,用周期性這個概念來定量地刻畫這種“周而復始”的變化規律.
問題2:設f(x)=sin x,則sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎樣表示 如果把函數f(x)=sin x稱為周期函數,那么,一般地,如何定義周期函數呢
【答案】f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z).這就是說,當自變量x的值增加(減少)到x+2kπ(k∈Z,k≠0)時,函數值重復出現.
問題3:正弦函數y=sin x的周期是否唯一 正弦函數y=sin x的周期有哪些
【答案】正弦函數y=sin x的周期不止一個.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函數的周期.事實上,任何一個常數2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
新知生成
1.周期函數
一般地,對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,x±T都有定義,并且f(x±T)=f(x),那么函數y=f(x)就叫作周期函數,非零常數T叫作這個函數的一個周期.
2.最小正周期
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫作函數f(x)的最小正周期.
3.正弦函數、余弦函數的周期性
記f(x)=sin x,則由sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)對于每一個非零常數2kπ(k∈Z且k≠0)都成立,余弦函數同理也是這樣,所以正弦函數、余弦函數都是周期函數,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期,最小正周期都為2π.
特別提醒:對周期函數的三點說明
(1)并不是每一個函數都是周期函數,若函數具有周期性,則其周期也不一定唯一.
(2)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(n∈Z且n≠0)也是函數f(x)的周期.
(3)并非所有的周期函數都有最小正周期,如f(x)=C(C為常數,x∈R),所有的非零實數T都是它的周期,不存在最小正周期.
新知運用
例1　求下列函數的最小正周期.
(1)f(x)=cos2x+;
(2)f(x)=|sin x|.
【解析】(1)∵f(x)=cos2x+=cos2x++2π=cos2(x+π)+=f(x+π),
∴函數f(x)=cos2x+的最小正周期T=π.
(2)函數y=|sin x|的圖象如圖所示.
由圖象可知,函數的最小正周期T=π.
【方法總結】求三角函數的周期的方法
(1)定義法:緊扣周期函數的定義,尋求對任意實數x都滿足f(x+T)=f(x)的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數.
(2)圖象法:可畫出函數的圖象,借助圖象判斷函數的周期,特別是對于含絕對值的函數一般采用此法.
鞏固訓練
利用周期函數的定義求下列函數的最小正周期.
(1)y=cos ,x∈R;
(2)y=sinx-,x∈R.
【解析】(1)因為cos(x+4π)=cos+2π=cos ,
所以由周期函數的定義知,y=cos 的最小正周期為4π.
(2)因為sin(x+6π)-=sinx+2π-=sinx-,
所以由周期函數的定義知,y=sinx-的最小正周期為6π.
探究2：正弦、余弦函數的奇偶性
情境設置
　　問題1:觀察正弦曲線和余弦曲線的對稱性,你有什么發現
【答案】正弦函數y=sin x的圖象關于原點對稱,余弦函數y=cos x的圖象關于y軸對稱.
問題2:問題1中的對稱性反映出正弦函數、余弦函數分別具有什么性質 如何從理論上加以驗證
【答案】正弦函數是R上的奇函數,余弦函數是R上的偶函數.根據誘導公式,得sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x均對一切x∈R恒成立.
新知生成
　　正弦函數、余弦函數的奇偶性
(1)正弦函數y=sin x(x∈R)是奇函數,圖象關于原點對稱;
(2)余弦函數y=cos x(x∈R)是偶函數,圖象關于y軸對稱.
特別提醒:研究函數的性質應遵循“定義域優先”的原則.
新知運用
一、正弦函數、余弦函數奇偶性的判斷
例2　判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+.
【解析】(1)∵該函數應滿足1-sin x≠0,∴該函數的定義域為,顯然定義域不關于原點對稱,
∴f(x)=為非奇非偶函數.
(2)由得cos x=1,∴該函數的定義域為{x|x=2kπ,k∈Z},定義域關于原點對稱.∵當cos x=1時,f(x)=f(-x)=0,∴f(x)=±f(-x),
∴f(x)=+既是奇函數又是偶函數.
【方法總結】判斷函數奇偶性的方法
二、利用三角函數的奇偶性求值
例3　已知函數f(x)=ax+bsin3x+1(a,b為常數).
(1)若g(x)=f(x)-1,試證明g(x)為奇函數;
(2)若f(5)=7,求f(-5).
【解析】(1)因為g(x)=f(x)-1=ax+bsin3x,
g(-x)=-ax-bsin3x=-g(x),所以g(x)為奇函數.
(2)因為f(5)=7,g(5)=f(5)-1=6,
所以g(-5)=-g(5)=-6,
所以f(-5)=g(-5)+1=-6+1=-5.
【方法總結】利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值,求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數值或得到參數的恒等式,利用方程思想求參數的值.
鞏固訓練
1.判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=x2cos+x;(2)f(x)=sin(cos x).
【解析】(1)易知函數f(x)的定義域為R,∵f(x)=x2·cos+x=-x2sin x,
∴f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
∴f(x)為奇函數.
(2)易知函數f(x)的定義域為R,
∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),
∴f(x)為偶函數.
2.設函數f(x)為定義在R上的奇函數,當x≥0 時,f(x)=sin 2x+cos x+m (m為常數),則f(-π)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】因為函數f(x)為定義在R上的奇函數,
所以f(0)=sin 0+cos 0+m=m+1=0,解得m=-1,
又f(π)=sin 2π+cos π-1=0-1-1=-2,所以f(-π)=-f(π)=2.故選D.
3.已知函數f(x)=sin x-3ax3+3bx-3,x∈R,且f-=-4,則f的值為　　　.
【答案】-2
【解析】令g(x)=sin x-3ax3+3bx,則f(x)=g(x)-3,
因為g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數,
由f-=-4,得g--3=-4,
則g-=-1,又g=-g-=1,所以f=g-3=-2.
探究3：抽象函數的周期性與奇偶性
情境設置
　　抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖象,但給出了函數滿足的某些性質.
問題1:若f(x+a)=f(x-a),則y=f(x)的周期是什么
【答案】因為f[(x+a)+a]=f(x+a-a)=f(x),即f(x+2a)=f(x),所以周期T=2|a|.
問題2:若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期是什么
【答案】周期T=|b-a|.
新知生成
1.函數周期性的常用結論
對f(x)的定義域內任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,則T=2|a|;
(3)若f(x+a)=-,則T=2|a|;
(4)若f(x+a)=f(x-a),則y=f(x)的周期為T=2|a|;
(5)若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期為T=|b-a|.
2.對稱性與周期性的關系
(1)若函數y=f(x)的圖象關于直線x=a 和直線x=b 對稱(a(2)若函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)(a新知運用
例4　(1)定義在R上的函數f(x)是偶函數,且fx+=,當x∈0,時,f(x)=sin x,則f=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B. C.- D.
(2)已知函數f(x)為定義在R上的奇函數,且滿足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,則f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　.
【答案】(1)D　(2)3
【解析】(1)由fx+=,可知f(x)的一個周期T=π,
∴f=f2π-=f-=f=sin=.
(2)∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的圖象關于直線x=1 對稱,
又f(x)為奇函數,∴f(2+x)=f(-x)=-f(x),
∴f(x)是周期為4 的周期函數,
∴f(1)=f(5)=f(9)=…=f(49)=3,
又f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(0)=0,
∴f(0)=f(2)=f(4)=…=f(50)=0,f(-1)=-f(1)=-3,
∴f(-1)=f(3)=f(7)=…=f(47)=-3,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=0×12+f(1)+f(2)=3.
【方法總結】已知f(x)是周期函數且為偶(奇)函數,求函數值,常利用奇偶性及周期性進行轉換,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內,把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求解.
鞏固訓練
1.定義在R上的函數f(x)是偶函數,且fx+=-f(x),f=1,則f=　　　　.
【答案】1
【解析】∵fx+=-f(x),∴f(x+π)=-fx+=-(-f(x))=f(x),∴T=π,
∴f=f-2π=f-=f=1.
2.已知函數y=f(x)是R上的偶函數,且f(x-1)=f(x+2),若f(-1)=3,則f(2024)=　　　　.
【答案】3
【解析】因為f(x+3)=f((x+1)+2)=f((x+1)-1)=f(x),所以T=3,且f(x)為偶函數.
又2024=674×3+2,
所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=f(-1)=3.
【隨堂檢測】
1.下列函數中,周期為的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=sin x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
【答案】D
【解析】由周期函數的定義可得,函數y=sin x的周期為2π,函數y=sin 2x的周期為π,函數y=cos的周期為4π,函數y=cos 4x的周期為.
2.函數f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　).
A.奇函數
B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數
D.非奇非偶函數
【答案】A
【解析】因為x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),
所以f(x)為奇函數.
3.若函數y=f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數,且f(1)=3,則f(5)=　　　　.
【答案】-3
【解析】由已知得f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.
4.若函數y=sin(x+φ)為偶函數,則φ 的一個值是　　　　　.
【答案】(答案不唯一)
【解析】因為函數y=sin(x+φ)為偶函數,則φ=kπ+,k∈Z,所以φ 的一個值可以是.
25.3.1 課時2 正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性
【學習目標】
1.了解周期函數、周期、最小正周期的意義.(數學抽象)
2.通過圖象直觀理解奇偶性,并能正確確定相應的對稱軸和對稱中心.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.正弦函數、余弦函數的定義域分別是什么
2.從函數圖象來看,正弦函數、余弦函數是否具有周期性和奇偶性
3.是不是所有的函數都是周期函數 若一個函數是周期函數,它的周期是否唯一
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)由于sin+=sin,則是正弦函數y=sin x的一個周期. (　　)
(2)函數y=3sin 2x是奇函數. (　　)
(3)函數y=-cosx是偶函數. (　　)
(4)函數y=sin2x+沒有周期性. (　　)
(5)函數y=cosx-為偶函數. (　　)
2.函數f(x)=sin xcos x是　　　　(填“奇”或“偶”)函數.
3.若函數f(x)的周期為3,且f(1)=-2,則f(7)=　　　　.
【合作探究】
探究1：周期函數的概念
情境設置
　　自然界中存在許多周而復始的現象,如地球自轉和公轉,物理學中的單擺運動、彈簧振動和圓周運動等.數學中從正弦函數和余弦函數的定義知,角α的終邊每轉一周又會與原來的終邊重合,也具有周而復始的變化規律,為定量描述這種變化規律,需引入一個新的數學概念——函數周期性.
問題1:觀察正弦函數圖象可知,在圖象上,橫坐標每相隔2π個單位長度,圖象就會重復出現,其理論依據是什么
問題2:設f(x)=sin x,則sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎樣表示 如果把函數f(x)=sin x稱為周期函數,那么,一般地,如何定義周期函數呢
問題3:正弦函數y=sin x的周期是否唯一 正弦函數y=sin x的周期有哪些
新知生成
1.周期函數
一般地,對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,x±T都有定義,并且f(x±T)=f(x),那么函數y=f(x)就叫作周期函數,非零常數T叫作這個函數的一個周期.
2.最小正周期
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫作函數f(x)的最小正周期.
3.正弦函數、余弦函數的周期性
記f(x)=sin x,則由sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)對于每一個非零常數2kπ(k∈Z且k≠0)都成立,余弦函數同理也是這樣,所以正弦函數、余弦函數都是周期函數,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期,最小正周期都為2π.
特別提醒:對周期函數的三點說明
(1)并不是每一個函數都是周期函數,若函數具有周期性,則其周期也不一定唯一.
(2)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(n∈Z且n≠0)也是函數f(x)的周期.
(3)并非所有的周期函數都有最小正周期,如f(x)=C(C為常數,x∈R),所有的非零實數T都是它的周期,不存在最小正周期.
新知運用
例1　求下列函數的最小正周期.
(1)f(x)=cos2x+;
(2)f(x)=|sin x|.
【方法總結】求三角函數的周期的方法
(1)定義法:緊扣周期函數的定義,尋求對任意實數x都滿足f(x+T)=f(x)的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數.
(2)圖象法:可畫出函數的圖象,借助圖象判斷函數的周期,特別是對于含絕對值的函數一般采用此法.
鞏固訓練
利用周期函數的定義求下列函數的最小正周期.
(1)y=cos ,x∈R;
(2)y=sinx-,x∈R.
探究2：正弦、余弦函數的奇偶性
情境設置
　　問題1:觀察正弦曲線和余弦曲線的對稱性,你有什么發現
問題2:問題1中的對稱性反映出正弦函數、余弦函數分別具有什么性質 如何從理論上加以驗證
新知生成
　　正弦函數、余弦函數的奇偶性
(1)正弦函數y=sin x(x∈R)是奇函數,圖象關于原點對稱;
(2)余弦函數y=cos x(x∈R)是偶函數,圖象關于y軸對稱.
特別提醒:研究函數的性質應遵循“定義域優先”的原則.
新知運用
一、正弦函數、余弦函數奇偶性的判斷
例2　判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+.
【方法總結】判斷函數奇偶性的方法
二、利用三角函數的奇偶性求值
例3　已知函數f(x)=ax+bsin3x+1(a,b為常數).
(1)若g(x)=f(x)-1,試證明g(x)為奇函數;
(2)若f(5)=7,求f(-5).
【方法總結】利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值,求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數值或得到參數的恒等式,利用方程思想求參數的值.
鞏固訓練
1.判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=x2cos+x;(2)f(x)=sin(cos x).
2.設函數f(x)為定義在R上的奇函數,當x≥0 時,f(x)=sin 2x+cos x+m (m為常數),則f(-π)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.已知函數f(x)=sin x-3ax3+3bx-3,x∈R,且f-=-4,則f的值為　　　.
探究3：抽象函數的周期性與奇偶性
情境設置
　　抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖象,但給出了函數滿足的某些性質.
問題1:若f(x+a)=f(x-a),則y=f(x)的周期是什么
問題2:若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期是什么
新知生成
1.函數周期性的常用結論
對f(x)的定義域內任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,則T=2|a|;
(3)若f(x+a)=-,則T=2|a|;
(4)若f(x+a)=f(x-a),則y=f(x)的周期為T=2|a|;
(5)若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期為T=|b-a|.
2.對稱性與周期性的關系
(1)若函數y=f(x)的圖象關于直線x=a 和直線x=b 對稱(a(2)若函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)(a新知運用
例4　(1)定義在R上的函數f(x)是偶函數,且fx+=,當x∈0,時,f(x)=sin x,則f=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B. C.- D.
(2)已知函數f(x)為定義在R上的奇函數,且滿足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,則f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　.
【方法總結】已知f(x)是周期函數且為偶(奇)函數,求函數值,常利用奇偶性及周期性進行轉換,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內,把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求解.
鞏固訓練
1.定義在R上的函數f(x)是偶函數,且fx+=-f(x),f=1,則f=　　　　.
2.已知函數y=f(x)是R上的偶函數,且f(x-1)=f(x+2),若f(-1)=3,則f(2024)=　　　　.
【隨堂檢測】
1.下列函數中,周期為的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=sin x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
2.函數f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　).
A.奇函數
B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數
D.非奇非偶函數
3.若函數y=f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數,且f(1)=3,則f(5)=　　　　.
4.若函數y=sin(x+φ)為偶函數,則φ 的一個值是　　　　　.
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