資源簡介

5.3.1 課時3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值與最小值,并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值.(數(shù)學(xué)運算)
2.掌握y=sin x,y=cos x的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.(邏輯推理)
3.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間.(數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.函數(shù)f(x)=sin2x+的最小正周期是什么
【答案】π.
2.函數(shù)f(x)=sinx+是奇函數(shù)還是偶函數(shù) 若f(x)=sin(x+φ)為偶函數(shù),則φ有什么要求
【答案】f(x)=sinx+=cos x為偶函數(shù),φ=kπ+(k∈Z).
3.從圖象的變化趨勢來看,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值、最小值點分別處在什么位置
【答案】正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值點均處于圖象拐彎的地方.
4.正弦函數(shù)在-,上函數(shù)值的變化有什么特點
【答案】觀察圖象可知,
當x∈-,時,曲線逐漸上升,該函數(shù)是增函數(shù),sin x的值由-1增大到1;
當x∈,時,曲線逐漸下降,該函數(shù)是減函數(shù),sin x的值由1減小到-1.
5.余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點 推廣到整個定義域呢
　　【答案】觀察圖象可知,
當x∈[-π,0]時,曲線逐漸上升,該函數(shù)是增函數(shù),cos x的值由-1增大到1;
當x∈[0,π]時,曲線逐漸下降,該函數(shù)是減函數(shù),cos x的值由1減小到-1.
所以,在整個定義域中,函數(shù)值的取值范圍是[-1,1].
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦函數(shù)y=sin x在R上是增函數(shù). (　　)
(2)余弦函數(shù)y=cos x的一個減區(qū)間是[0,π]. (　　)
(3) x∈[0,2π],滿足sin x=2. (　　)
(4)當余弦函數(shù)y=cos x取最大值時,x=π+2kπ,k∈Z. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.函數(shù)y=3+2cos x的最小值為　　　　.
【答案】1
【解析】因為-1≤cos x≤1,所以1≤y≤5.
3.當函數(shù)y=2-sin x取最大值時,x的值為　　　　.
【答案】-+2kπ(k∈Z)
【解析】當sin x=-1時,函數(shù)取最大值,此時x=-+2kπ(k∈Z).
4.函數(shù)y=-cos x,x∈[0,2π]的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　;單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
【答案】[π,2π]　[0,π]
【解析】畫出函數(shù)的圖象(圖略),可得單調(diào)遞減區(qū)間為[π,2π],單調(diào)遞增區(qū)間為[0,π].
【合作探究】
探究1：正弦、余弦函數(shù)的最值
情境設(shè)置
　　問題1:觀察正弦曲線和余弦曲線,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分別為多少
【答案】正弦、余弦函數(shù)存在最大值和最小值,最大值和最小值分別是1和-1.
問題2:當自變量x分別取何值時,正弦函數(shù)y=sin x取得最大值1和最小值-1
【答案】對于正弦函數(shù)y=sin x,x∈R,
當且僅當x=+2kπ,k∈Z時,函數(shù)取得最大值1;
當且僅當 x=-+2kπ,k∈Z時,函數(shù)取得最小值-1.
新知生成
正弦函數(shù) 余弦函數(shù)
圖象
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 當x=+2kπ,k∈Z時, ymax=1; 當x=-+2kπ,k∈Z時, ymin=-1 當x=2kπ,k∈Z時, ymax=1; 當x=2kπ+π,k∈Z時, ymin=-1
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值
新知運用
例1　求下列函數(shù)的最值.
(1)y=3+2cos2x+;
(2)y=-sin2x+sin x+.
方法指導(dǎo)　(1)利用余弦函數(shù)的值域確定函數(shù)的最值;(2)利用變量代換轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,注意變量的范圍.
【解析】(1)因為-1≤cos2x+≤1,
所以當cos2x+=1時,ymax=5;
當cos2x+=-1時,ymin=1.
(2)y=-sin2x+sin x+=-sin x-2+2.
因為-1≤sin x≤1,
所以當sin x =時,函數(shù)取得最大值,ymax=2;
當sin x=-1時,函數(shù)取得最小值,ymin=-.
【方法總結(jié)】三角函數(shù)最值問題的求解方法:(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性求最值,注意對a正負的討論.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定義域求得ωx+φ的范圍,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范圍,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用換元思想,設(shè)t=sin x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求最值,t的范圍需要根據(jù)定義域來確定.
鞏固訓(xùn)練
1.函數(shù)y=2sin2x++1 的最大值是　　　　,此時x 值的集合是　　　　　　　　　　.
【答案】3　
【解析】由-1≤sin2x+≤1,可得函數(shù)y=2sin2x++1 的最大值是3,
此時2x+=+2kπ,k∈Z,所以x=+kπ,k∈Z,所以x 值的集合是.
2.函數(shù)y=cos2x-4cos x+5,x∈R的值域是　　　　.
【答案】[2,10]
【解析】令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
當t=-1,即cos x=-1時,函數(shù)有最大值,最大值為10;
當t=1,即cos x=1時,函數(shù)有最小值,最小值為2.
所以該函數(shù)的值域是[2,10].
探究2：正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性
情境設(shè)置
　　分析如圖所示的正弦曲線和余弦曲線及其對稱軸,回答下列問題:
　　問題1:觀察正弦曲線,研究正弦函數(shù)的單調(diào)性,我們是否需要其在全體實數(shù)集上的圖象
【答案】不需要,選擇一個周期的圖象就能將單調(diào)性完整地呈現(xiàn)出來.
問題2:如圖,觀察正弦函數(shù)圖象(一個周期內(nèi)),描述你看到的圖象.
【答案】當x由-增大到時,曲線逐漸上升,sin x的值由-1增大到1;
當x由增大到時,曲線逐漸下降,sin x的值由1減小到-1.
問題3:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,描述正弦函數(shù)在區(qū)間-,內(nèi)的單調(diào)性.
【答案】正弦函數(shù)y=sin x在區(qū)間-,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上單調(diào)遞減.
問題4:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,如何描述整個實數(shù)集上的正弦函數(shù)的單調(diào)性呢
【答案】正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都單調(diào)遞增,其值從-1增大到1;在每一個閉區(qū)間+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都單調(diào)遞減,其值從1減小到-1.
新知生成
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
正弦函數(shù) 余弦函數(shù)
在2kπ-,2kπ+, k∈Z上單調(diào)遞增, 在2kπ+,2kπ+, k∈Z上單調(diào)遞減 在[2kπ-π,2kπ],k∈Z 上單調(diào)遞增, 在[2kπ,2kπ+π],k∈Z 上單調(diào)遞減
新知運用
一、求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2　求函數(shù)y=2sinx-的單調(diào)區(qū)間.
【解析】令z=x-,則y=2sin z.
∵z=x-是增函數(shù),
∴當y=2sin z單調(diào)遞增(減)時,函數(shù)y=2sinx-也單調(diào)遞增(減).
由z∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),得x-∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),
即x∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),
故函數(shù)y=2sinx-的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-,2kπ+(k∈Z).
同理可求函數(shù)y=2sinx-的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+,2kπ+(k∈Z).
　　【變式探究】求函數(shù)y=2sin-x的單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】y=2sin-x=-2sinx-,
令z=x-,則函數(shù)y=-2sin z,其單調(diào)遞減區(qū)間是2kπ-,2kπ+(k∈Z).
∴當原函數(shù)遞減時,-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是2kπ-,2kπ+(k∈Z).
【方法總結(jié)】求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的策略
(1)結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看作一個整體“z”,即通過求y=Asin z的單調(diào)區(qū)間從而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.
二、比較三角函數(shù)值的大小
例3　比較下列各組中函數(shù)值的大小.
(1)cos-與cos-;
(2)sin 194°與cos 160°.
【解析】(1)cos-=cos-6π+=cos,cos-=cos-6π+=cos,
∵π<<<2π,∴cos(2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°,
∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°cos 160°.
【方法總結(jié)】比較三角函數(shù)值大小的步驟
(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù);
(2)利用誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上;
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
三、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用
例4　求函數(shù)y=sin x,x∈,的值域.
【解析】由正弦函數(shù)圖象知,對于x∈,,
當x=時,ymax=1;當x=時,ymin=.
所以該函數(shù)的值域為,1.
例5　已知函數(shù)f(x)=2sin2x-+1,x∈0,,求f(x)的最大值和最小值.
【解析】∵x∈0,,∴-≤2x-≤,
當2x-=-,即x=0時,f(x)min=-+1;
當2x-=,即x=時,f(x)max=3.
綜上所述,當x=0時,f(x)min=-+1,
當x=時,f(x)max=3.
【方法總結(jié)】求三角函數(shù)值域(最值)的方法
(1)若y=asin x(或y=acos x),可利用正(余)弦函數(shù)的有界性求解;
(2)形如y=sin(ωx+φ)的三角函數(shù),令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出y=sin t的最值(值域).
鞏固訓(xùn)練
1.求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(1)y=cos 2x;
(2)y=sin-x,x∈,2π.
【解析】(1)由2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ(k∈Z),
所以函數(shù)y=cos 2x的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-,kπ(k∈Z).
(2)因為y=sin-x=-sinx-,
所以函數(shù)y=sin-x的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y=sinx-的單調(diào)遞減區(qū)間,
由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
因為x∈,2π,所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.
2.比較大小.
(1)cos-與cos;(2)sin與cos.
【解析】(1)cos-=cos=cosπ-=-cos,cos=-cos,
∵0<<<,∴cos>cos,
∴-cos<-cos,即cos-(2)∵cos=sin+,<<+<,y=sin x在,上是減函數(shù),
∴sin>sin+=cos,即sin>cos.
3.函數(shù)y=2sin2x+-≤x≤的值域是　　　　.
【答案】[0,2]
【解析】因為-≤x≤,所以0≤2x+≤,故0≤sin2x+≤1,從而0≤2sin2x+≤2,所以0≤y≤2,即函數(shù)y=2sin2x+-≤x≤的值域是[0,2].
【隨堂檢測】
1.函數(shù)y=cosx+,x∈0,的值域是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-, B.-,
C.,1 D.,1
【答案】B
【解析】由0≤x≤,得≤x+≤,所以-≤cosx+≤,故選B.
2.函數(shù)y=4sin x+3 在[-π,π] 上的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　).
A.-π,- B.-,
C.-π, D.,π
【答案】B
【解析】y=sin x 的單調(diào)遞增區(qū)間就是y=4sin x+3 的單調(diào)遞增區(qū)間,由三角函數(shù)的圖象可得y=sin x在-π,-上單調(diào)遞減,在-,上單調(diào)遞增,在,π上單調(diào)遞減,故選B.
3.下列關(guān)系式中正確的是(　　).
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【答案】C
【解析】∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,
∴由正弦函數(shù)的單調(diào)性得,sin 11°4.當x=　　　　時,函數(shù)y=3cosx-取得最大值.
【答案】4kπ+(k∈Z)
【解析】當函數(shù)取得最大值時,x-=2kπ(k∈Z),得x=4kπ+(k∈Z).
25.3.1 課時3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值與最小值,并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值.(數(shù)學(xué)運算)
2.掌握y=sin x,y=cos x的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.(邏輯推理)
3.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間.(數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.函數(shù)f(x)=sin2x+的最小正周期是什么
2.函數(shù)f(x)=sinx+是奇函數(shù)還是偶函數(shù) 若f(x)=sin(x+φ)為偶函數(shù),則φ有什么要求
3.從圖象的變化趨勢來看,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值、最小值點分別處在什么位置
4.正弦函數(shù)在-,上函數(shù)值的變化有什么特點
5.余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點 推廣到整個定義域呢
　　
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦函數(shù)y=sin x在R上是增函數(shù). (　　)
(2)余弦函數(shù)y=cos x的一個減區(qū)間是[0,π]. (　　)
(3) x∈[0,2π],滿足sin x=2. (　　)
(4)當余弦函數(shù)y=cos x取最大值時,x=π+2kπ,k∈Z. (　　)
2.函數(shù)y=3+2cos x的最小值為　　　　.
3.當函數(shù)y=2-sin x取最大值時,x的值為　　　　.
4.函數(shù)y=-cos x,x∈[0,2π]的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　;單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
【合作探究】
探究1：正弦、余弦函數(shù)的最值
情境設(shè)置
　　問題1:觀察正弦曲線和余弦曲線,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分別為多少
問題2:當自變量x分別取何值時,正弦函數(shù)y=sin x取得最大值1和最小值-1
新知生成
正弦函數(shù) 余弦函數(shù)
圖象
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 當x=+2kπ,k∈Z時, ymax=1; 當x=-+2kπ,k∈Z時, ymin=-1 當x=2kπ,k∈Z時, ymax=1; 當x=2kπ+π,k∈Z時, ymin=-1
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值
新知運用
例1　求下列函數(shù)的最值.
(1)y=3+2cos2x+;
(2)y=-sin2x+sin x+.
方法指導(dǎo)　(1)利用余弦函數(shù)的值域確定函數(shù)的最值;(2)利用變量代換轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,注意變量的范圍.
【方法總結(jié)】三角函數(shù)最值問題的求解方法:(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性求最值,注意對a正負的討論.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定義域求得ωx+φ的范圍,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范圍,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用換元思想,設(shè)t=sin x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求最值,t的范圍需要根據(jù)定義域來確定.
鞏固訓(xùn)練
1.函數(shù)y=2sin2x++1 的最大值是　　　　,此時x 值的集合是　　　　　　　　　　.
2.函數(shù)y=cos2x-4cos x+5,x∈R的值域是　　　　.
探究2：正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性
情境設(shè)置
　　分析如圖所示的正弦曲線和余弦曲線及其對稱軸,回答下列問題:
　　問題1:觀察正弦曲線,研究正弦函數(shù)的單調(diào)性,我們是否需要其在全體實數(shù)集上的圖象
問題2:如圖,觀察正弦函數(shù)圖象(一個周期內(nèi)),描述你看到的圖象.
問題3:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,描述正弦函數(shù)在區(qū)間-,內(nèi)的單調(diào)性.
問題4:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,如何描述整個實數(shù)集上的正弦函數(shù)的單調(diào)性呢
新知生成
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
正弦函數(shù) 余弦函數(shù)
在2kπ-,2kπ+, k∈Z上單調(diào)遞增, 在2kπ+,2kπ+, k∈Z上單調(diào)遞減 在[2kπ-π,2kπ],k∈Z 上單調(diào)遞增, 在[2kπ,2kπ+π],k∈Z 上單調(diào)遞減
新知運用
一、求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2　求函數(shù)y=2sinx-的單調(diào)區(qū)間.
　　【變式探究】求函數(shù)y=2sin-x的單調(diào)遞減區(qū)間.
【方法總結(jié)】求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的策略
(1)結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看作一個整體“z”,即通過求y=Asin z的單調(diào)區(qū)間從而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.
二、比較三角函數(shù)值的大小
例3　比較下列各組中函數(shù)值的大小.
(1)cos-與cos-;
(2)sin 194°與cos 160°.
【方法總結(jié)】比較三角函數(shù)值大小的步驟
(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù);
(2)利用誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上;
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
三、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用
例4　求函數(shù)y=sin x,x∈,的值域.
例5　已知函數(shù)f(x)=2sin2x-+1,x∈0,,求f(x)的最大值和最小值.
【方法總結(jié)】求三角函數(shù)值域(最值)的方法
(1)若y=asin x(或y=acos x),可利用正(余)弦函數(shù)的有界性求解;
(2)形如y=sin(ωx+φ)的三角函數(shù),令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出y=sin t的最值(值域).
鞏固訓(xùn)練
1.求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(1)y=cos 2x;
(2)y=sin-x,x∈,2π.
2.比較大小.
(1)cos-與cos;(2)sin與cos.
3.函數(shù)y=2sin2x+-≤x≤的值域是　　　　.
【隨堂檢測】
1.函數(shù)y=cosx+,x∈0,的值域是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-, B.-,
C.,1 D.,1
2.函數(shù)y=4sin x+3 在[-π,π] 上的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　).
A.-π,- B.-,
C.-π, D.,π
3.下列關(guān)系式中正確的是(　　).
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°4.當x=　　　　時,函數(shù)y=3cosx-取得最大值.
2

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