資源簡介

5.3.2　正切函數的圖象與性質
【學習目標】
1.掌握正切函數的周期性和奇偶性.(數學抽象)
2.能借助單位圓畫出y=tan x的圖象.(直觀想象)
3.掌握正切函數的性質.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.正切函數與正弦函數、余弦函數的關系是什么
【答案】tan x=(cos x≠0).
2.正切函數的定義域是什么
【答案】xx≠kπ+,k∈Z.
3.正切函數在定義域上是單調函數嗎
【答案】不是.
4.正切曲線是中心對稱圖形嗎 若是,其對稱中心是什么 是軸對稱圖形嗎
【答案】正切曲線是中心對稱圖形,對稱中心為,0(k∈Z),不是軸對稱圖形.
5.正切函數y=tan x的圖象與直線x=kπ+,k∈Z有公共點嗎
【答案】沒有.正切曲線是由被互相平行的直線x=kπ+(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正切函數的定義域和值域都是R. (　　)
(2)正切函數在R上是遞增的. (　　)
(3)正切曲線是中心對稱圖形,有無數個對稱中心. (　　)
(4)正切函數的最小正周期為π. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.函數y=tanx+的定義域為　　　　　　　.
【答案】
【解析】令x+≠kπ+,解得x≠kπ+,故函數的定義域為.
3.函數y=tan x,x∈-,的最大值為　　　　.
【答案】1
【解析】正切函數在-,上單調遞增,故函數的最大值為tan=1.
4.函數y=tanx-的單調遞增區間是　　　　.
【答案】-+kπ,+kπ,k∈Z
【解析】令kπ-【合作探究】
探究1：正切函數的定義域、周期性與奇偶性
情境設置
　　問題1:角的正切是如何定義的 在單位圓中如何表示
【答案】設α是一個任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
把點P的縱坐標y與橫坐標x的比值叫作α的正切函數,記作tan α,即 tan α=(x≠0).
問題2:正切函數y=tan x的定義域是什么
【答案】定義域是.
問題3:根據研究正弦函數、余弦函數的經驗,你認為應如何研究正切函數的圖象與性質
【答案】先研究正切函數的周期性、奇偶性,然后結合性質研究函數的圖象和單調性.
問題4:我們知道tan(x+π)=tan x,那么tan(x+kπ)(k∈Z)與tan x相等嗎
【答案】相等.當k為奇數時,tan(x+kπ)=tan x;當k為偶數時,tan(x+kπ)=tan x.所以tan(x+kπ)=tan x.
新知生成
1.周期性
正切函數是周期函數,最小正周期是π.
2.奇偶性
正切函數是奇函數.
新知運用
例1　(1)求函數y=3tan-的定義域;
(2)求函數f(x)=tanx+的最小正周期;
(3)判斷函數f(x)=sin x+tan x的奇偶性.
【解析】(1)由題意知-≠+kπ,k∈Z,解得x≠--4kπ,k∈Z.
故函數的定義域為.
(2)∵tanx+π+=tanx+,
∴f(x)=tanx+的最小正周期是π.
(3)由題意可知,函數的定義域為,定義域關于原點對稱,
∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)
=-sin x-tan x=-f(x),
∴f(x)是奇函數.
【方法總結】　1.若函數y=Atan(ωx+φ)為奇函數,則φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),否則為非奇非偶函數.
2.因為正切函數是奇函數,所以原點是函數y=tan x圖象的一個對稱中心,同樣,結合函數y=tan x的圖象,可以得到,0(k∈Z)都是正切函數圖象的對稱中心.
3.求與正切函數有關的函數的定義域時,除了求函數定義域的一般要求外,還要保證正切函數y=tan x有意義,即x≠+kπ(k∈Z).而對于構建的三角不等式,常利用正切函數的圖象求解.
鞏固訓練
1.已知函數f(x)=2tan2x+,則下列說法正確的是(　　).
A.f(x)的定義域是
B.f(x)的值域是R
C.f(x)是奇函數
D.f(x)的最小正周期是π
【答案】B
【解析】對于A,令2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故A錯誤;
對于B,因為函數y=tan x的值域為R,所以f(x)的值域為R,故B正確;
對于C,f(-x)=2tan-2x+=-2tan2x-≠-f(x),則f(x)不是奇函數,故C錯誤;
對于D,f(x)的最小正周期為,故D錯誤.故選B.
2.已知函數f(x)=tan x+,若f(α)=5,則f(-α)= 　　　　　.
【答案】-5
【解析】由f(x)=tan x+,則f(x)=-f(-x),所以f(-α)=-f(α)=-5.
探究2：正切函數的圖象及其應用
情境設置
　　下圖為函數y=tan x,x∈-,-∪-,∪,的圖象,根據圖象回答下面的問題:
問題1:作正切函數y=tan x,x∈-,的圖象的關鍵是什么
【答案】三個關鍵點-,-1,(0,0),,1及兩條漸近線x=-和x=在圖象中起著關鍵的作用.
問題2:直線y=a與函數y=tan x的圖象的兩交點A1,A2之間的距離是多少
【答案】由圖象結合正切函數的周期性可知,兩交點A1,A2之間的距離為π.
問題3:y=tan x,x∈-,的值域是什么
【答案】R.
新知生成
1.正切函數的圖象叫作正切曲線.
2.正切函數的圖象特征
正切曲線是由被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.
新知運用
例2　設函數f(x)=tan-.
(1)求函數f(x)圖象的對稱中心;
(2)作出函數f(x)在一個周期內的簡圖.
方法指導　(1)根據正切曲線的對稱中心即可得到函數f(x)圖象的對稱中心;(2)根據函數的解析式,可知函數f(x)的圖象與x軸的交點坐標為(π,0),以及點,1,,-1在該函數圖象上,再找到兩側相鄰的漸近線方程,畫出函數的圖象即可.
【解析】(1)令-=,k∈Z,解得x=π+,k∈Z,
故f(x)圖象的對稱中心的坐標為π+,0,k∈Z.
(2)令-=0,解得x=π,
令-=,解得x=,
令-=-,解得x=,
令-=,解得x=,
令-=-,解得x=-,
所以函數f(x)=tan-的圖象與x軸的一個交點坐標為(π,0),圖象上有,1,,-1兩點,
在-,內,左右兩側相鄰的漸近線方程分別為x=-和x=,
從而得到函數f(x)在一個周期-,內的簡圖(如圖).
【方法總結】1.作函數y=|f(x)|的圖象一般利用圖象變換法,具體步驟為:①保留函數y=f(x)圖象在x軸上方的部分;②將函數y=f(x)圖象在x軸下方的部分沿x軸向上翻折.
2.若函數為周期函數,則可先研究其一個周期內的圖象,再利用周期性,延展到定義域上即可.
鞏固訓練
　　已知函數f(x)=.
(1)求函數f(x)的定義域;
(2)用定義判斷函數f(x)的奇偶性;
(3)作出函數f(x)在[-π,π]上的圖象.
【解析】(1)由cos x≠0,得x≠kπ+,k∈Z,
所以函數f(x)的定義域是.
(2)由(1)知函數f(x)的定義域關于原點對稱,
因為f(-x)===-f(x),
所以f(x)是奇函數.
(3)因為f(x)
=
所以f(x)在[-π,π]上的圖象如圖所示.
探究3：正切函數的性質
情境設置
　　對于正切函數的圖象,數學教師請同學們類比正弦函數和余弦函數的性質,寫出正切函數的單調性、奇偶性.其結果如下.
王浩宇說:函數y=tan x在定義域R內單調遞增.
李琦說:函數y=tan x的圖象的對稱中心為(kπ,0),k∈Z.
問題:上面同學的說法哪些是錯誤的 請說明理由.
【答案】王浩宇的說法錯誤,因為當<時,tan>tan,就是因為它們不在同一連續區間內.正切函數y=tan x在它的任一個連續區間kπ-,kπ+,k∈Z內單調遞增.
李琦的說法錯誤,,0也是正切函數y=tan x的圖象的一個對稱中心.
新知生成
正切函數的圖象與性質
解析式 y=tan x
圖象
定義域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函數
對稱中心 ,0,k∈Z
單調性 在區間-+kπ,+kπ,k∈Z上單調遞增
新知運用
一、正切函數的單調性及其應用
例3　(1)比較下列兩個數的大小(用“>”或“<”填空):
①tan　　　　tan;
②tan　　　　tan-.
(2)求函數y=tanx+的單調遞增區間.
【答案】(1)①<　②<
【解析】(1)①tan=tan,且0<<<,y=tan x在0,上單調遞增,
所以tan②tan=tan,tan-=tan,因為0<<<,y=tan x在0,上單調遞增,
所以tan(2)令z=x+,則y=tan z.
因為函數y=tan z在-+kπ,+kπ(k∈Z)上是增函數,且z=x+是增函數,
令-+kπ所以函數y=tanx+的單調遞增區間為-+2kπ,+2kπ(k∈Z).
　　【變式探究】求函數y=3tan-x+的單調遞減區間.
【解析】y=3tan-x+可化為y=-3tanx-,
由kπ-故函數的單調遞減區間為-+2kπ,+2kπ(k∈Z).
【方法總結】1.運用正切函數的單調性比較大小的方法
①運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內.
②運用單調性比較大小關系.
2.求函數y=tan(ωx+φ)的單調區間的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的單調區間的求法是把ωx+φ看成一個整體,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.當ω<0時,先用誘導公式把ω化為正值再求單調區間.
二、正切函數的圖象與性質的綜合應用
例4　設函數f(x)=tan-.
(1)求函數f(x)的定義域、單調區間及圖象的對稱中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【解析】(1)由-≠+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ(k∈Z),
所以f(x)的定義域是.
由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),得-+2kπ所以函數f(x)的單調遞增區間是-+2kπ,+2kπ(k∈Z),無單調遞減區間.
由-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),故函數f(x)圖象的對稱中心是kπ+,0(k∈Z).
(2)由-1≤tan-≤,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z),
解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),
所以不等式-1≤f(x)≤的解集是.
【方法總結】解答正切函數的圖象與性質問題應注意的兩點
(1)對稱性:正切函數圖象的對稱中心是,0(k∈Z),不存在對稱軸.
(2)單調性:正切函數在每個-+kπ,+kπ(k∈Z)區間內都是單調遞增的,但不能說其在定義域內是遞增的.
鞏固訓練
1.求函數y=tan2x-的單調區間.
【解析】∵y=tan x在-+kπ,+kπ(k∈Z)上是增函數,
∴-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,得-+∴函數y=tan2x-的單調遞增區間是-+,+(k∈Z),無單調遞減區間.
2.已知函數f(x)=tan(3x+φ)圖象的一個對稱中心是,0,其中-<φ<0,試求函數f(x)的定義域、值域和單調性.
【解析】由于函數y=tan x圖象的一個對稱中心為,0,k∈Z,
故3x+φ=,其中x=,所以φ=-,
由于-<φ<0,故當k=1時,得φ=-,
故函數解析式為f(x)=tan3x-.
由3x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以函數的定義域為,值域為R.
由于正切函數y=tan x在區間kπ-,kπ+,k∈Z上單調遞增,
故令kπ-<3x-即函數f(x)=tan3x-的單調遞增區間為-,+,k∈Z.
【隨堂檢測】
1.下列關于函數y=tanx+的說法正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.在區間-,上單調遞增
B.最小正周期是π
C.圖象關于點,0成中心對稱
D.圖象關于直線x=成軸對稱
【答案】B
【解析】令kπ-易知該函數的最小正周期為π,故B正確;
令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
任取k∈Z不能得到x=,故C錯誤;
正切函數曲線沒有對稱軸,因此函數的圖象也沒有對稱軸,故D錯誤.故選B.
2.-tan與tan-的大小關系是　　　　.
【答案】-tan【解析】-tan=-tan,tan-=-tan=-tan.
因為0<<<<π,所以tan>0,tan<0,
所以-tan<-tan,即-tan3.函數y=tan x≤x≤且x≠的值域是　　　　.
【答案】(-∞,-1]∪[1,+∞)
【解析】因為函數y=tan x在,,,上都是增函數,
所以y≥tan =1或y≤tan =-1.
25.3.2　正切函數的圖象與性質
【學習目標】
1.掌握正切函數的周期性和奇偶性.(數學抽象)
2.能借助單位圓畫出y=tan x的圖象.(直觀想象)
3.掌握正切函數的性質.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.正切函數與正弦函數、余弦函數的關系是什么
2.正切函數的定義域是什么
3.正切函數在定義域上是單調函數嗎
4.正切曲線是中心對稱圖形嗎 若是,其對稱中心是什么 是軸對稱圖形嗎
5.正切函數y=tan x的圖象與直線x=kπ+,k∈Z有公共點嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正切函數的定義域和值域都是R. (　　)
(2)正切函數在R上是遞增的. (　　)
(3)正切曲線是中心對稱圖形,有無數個對稱中心. (　　)
(4)正切函數的最小正周期為π. (　　)
2.函數y=tanx+的定義域為　　　　　　　.
3.函數y=tan x,x∈-,的最大值為　　　　.
4.函數y=tanx-的單調遞增區間是　　　　.
【合作探究】
探究1：正切函數的定義域、周期性與奇偶性
情境設置
　　問題1:角的正切是如何定義的 在單位圓中如何表示
把點P的縱坐標y與橫坐標x的比值叫作α的正切函數,記作tan α,即 tan α=(x≠0).
問題2:正切函數y=tan x的定義域是什么
問題3:根據研究正弦函數、余弦函數的經驗,你認為應如何研究正切函數的圖象與性質
問題4:我們知道tan(x+π)=tan x,那么tan(x+kπ)(k∈Z)與tan x相等嗎
新知生成
1.周期性
正切函數是周期函數,最小正周期是π.
2.奇偶性
正切函數是奇函數.
新知運用
例1　(1)求函數y=3tan-的定義域;
(2)求函數f(x)=tanx+的最小正周期;
(3)判斷函數f(x)=sin x+tan x的奇偶性.
【方法總結】　1.若函數y=Atan(ωx+φ)為奇函數,則φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),否則為非奇非偶函數.
2.因為正切函數是奇函數,所以原點是函數y=tan x圖象的一個對稱中心,同樣,結合函數y=tan x的圖象,可以得到,0(k∈Z)都是正切函數圖象的對稱中心.
3.求與正切函數有關的函數的定義域時,除了求函數定義域的一般要求外,還要保證正切函數y=tan x有意義,即x≠+kπ(k∈Z).而對于構建的三角不等式,常利用正切函數的圖象求解.
鞏固訓練
1.已知函數f(x)=2tan2x+,則下列說法正確的是(　　).
A.f(x)的定義域是
B.f(x)的值域是R
C.f(x)是奇函數
D.f(x)的最小正周期是π
2.已知函數f(x)=tan x+,若f(α)=5,則f(-α)= 　　　　　.
探究2：正切函數的圖象及其應用
情境設置
　　下圖為函數y=tan x,x∈-,-∪-,∪,的圖象,根據圖象回答下面的問題:
問題1:作正切函數y=tan x,x∈-,的圖象的關鍵是什么
問題2:直線y=a與函數y=tan x的圖象的兩交點A1,A2之間的距離是多少
問題3:y=tan x,x∈-,的值域是什么
新知生成
1.正切函數的圖象叫作正切曲線.
2.正切函數的圖象特征
正切曲線是由被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.
新知運用
例2　設函數f(x)=tan-.
(1)求函數f(x)圖象的對稱中心;
(2)作出函數f(x)在一個周期內的簡圖.
方法指導　(1)根據正切曲線的對稱中心即可得到函數f(x)圖象的對稱中心;(2)根據函數的解析式,可知函數f(x)的圖象與x軸的交點坐標為(π,0),以及點,1,,-1在該函數圖象上,再找到兩側相鄰的漸近線方程,畫出函數的圖象即可.
【方法總結】1.作函數y=|f(x)|的圖象一般利用圖象變換法,具體步驟為:①保留函數y=f(x)圖象在x軸上方的部分;②將函數y=f(x)圖象在x軸下方的部分沿x軸向上翻折.
2.若函數為周期函數,則可先研究其一個周期內的圖象,再利用周期性,延展到定義域上即可.
鞏固訓練
　　已知函數f(x)=.
(1)求函數f(x)的定義域;
(2)用定義判斷函數f(x)的奇偶性;
(3)作出函數f(x)在[-π,π]上的圖象.
探究3：正切函數的性質
情境設置
　　對于正切函數的圖象,數學教師請同學們類比正弦函數和余弦函數的性質,寫出正切函數的單調性、奇偶性.其結果如下.
王浩宇說:函數y=tan x在定義域R內單調遞增.
李琦說:函數y=tan x的圖象的對稱中心為(kπ,0),k∈Z.
問題:上面同學的說法哪些是錯誤的 請說明理由.
新知生成
正切函數的圖象與性質
解析式 y=tan x
圖象
定義域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函數
對稱中心 ,0,k∈Z
單調性 在區間-+kπ,+kπ,k∈Z上單調遞增
新知運用
一、正切函數的單調性及其應用
例3　(1)比較下列兩個數的大小(用“>”或“<”填空):
①tan　　　　tan;
②tan　　　　tan-.
(2)求函數y=tanx+的單調遞增區間.
　　【變式探究】求函數y=3tan-x+的單調遞減區間.
【方法總結】1.運用正切函數的單調性比較大小的方法
①運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內.
②運用單調性比較大小關系.
2.求函數y=tan(ωx+φ)的單調區間的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的單調區間的求法是把ωx+φ看成一個整體,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.當ω<0時,先用誘導公式把ω化為正值再求單調區間.
二、正切函數的圖象與性質的綜合應用
例4　設函數f(x)=tan-.
(1)求函數f(x)的定義域、單調區間及圖象的對稱中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【方法總結】解答正切函數的圖象與性質問題應注意的兩點
(1)對稱性:正切函數圖象的對稱中心是,0(k∈Z),不存在對稱軸.
(2)單調性:正切函數在每個-+kπ,+kπ(k∈Z)區間內都是單調遞增的,但不能說其在定義域內是遞增的.
鞏固訓練
1.求函數y=tan2x-的單調區間.
2.已知函數f(x)=tan(3x+φ)圖象的一個對稱中心是,0,其中-<φ<0,試求函數f(x)的定義域、值域和單調性.
【隨堂檢測】
1.下列關于函數y=tanx+的說法正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.在區間-,上單調遞增
B.最小正周期是π
C.圖象關于點,0成中心對稱
D.圖象關于直線x=成軸對稱
2.-tan與tan-的大小關系是　　　　.
3.函數y=tan x≤x≤且x≠的值域是　　　　.
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