資源簡介

5.4　課時1　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(一)
【學習目標】
1.理解在y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A對圖象的影響.(數學抽象)
2.掌握y=sin x與y=Asin(ωx+φ)圖象間的變換關系,并能正確地指出其變換步驟.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.用“五點法”作y=2sin x的圖象時,五個關鍵點的坐標分別是什么
2.如何由y=sin x的圖象得到y=2sin x的圖象
3.如何由y=2sin x的圖象得到y=2sinx的圖象
4.如何由y=2sinx的圖象得到y=2sinx+1的圖象
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度,得到函數y=sinx+的圖象. (　　)
(2)將函數y=sin x圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍,橫坐標不變,即可得到函數y=2sin x的圖象. (　　)
(3)把函數y=cos3x+圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,縱坐標不變,即可得到函數y=cosx+的圖象. (　　)
2.將函數y=sin x的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變,則所得圖象對應的函數解析式為　　　　.
3.為了得到函數y=sin(x+1)的圖象,只需把函數y=sin x的圖象上所有的點向　　　平移　　　　個單位長度.
【合作探究】
探究1：A(A>0)對y=Asin x的圖象的影響
情境設置
問題1:對于同一個x,函數y=2sin x,y=sin x和y=sin x的函數值有何關系
問題2:在函數y=Asin x中,A越大,函數圖象的最大值越大,最大值與A是正比例關系,這句話是否正確
新知生成
一般地,對任意A>0且A≠1,函數y=Asin x的圖象可以由y=sin x圖象上每一點的橫坐標不變、縱坐標乘以A得到.y=Asin x的周期仍是2π,值域為[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
新知運用
例1　已知函數y=sin x,該函數的圖象可由y=sin x,x∈R的圖象經過怎樣的變換得到
【方法總結】把函數y=sin x的圖象上各點的縱坐標伸長為原來的A(A>1)倍,則得到函數y=Asin x的圖象.
鞏固訓練
把函數y=2sin 3x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍,縱坐標變為原來的3倍,得到函數　　　　的圖象.
探究2：ω(ω>0)對y=sin ωx的圖象的影響
情境設置
　　觀察下面的圖象:
問題1:將函數y=sin x圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,所得圖象對應的函數的最小正周期是多少
問題2:如何由y=sin x的圖象得到y=sin 2x和y=sin x的圖象
問題3:如何由 y=sin x的圖象變換得到y=sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的圖象
新知生成
一般地,對任意ω>0且ω≠1,函數y=sin ωx(ω>0)的圖象可由y=sin x的圖象上每一點的橫坐標伸長(0<ω<1)或縮短(ω>1)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.y=sin ωx的值域為[-1,1],周期為.
新知運用
例2　為了得到函數y=sin x的圖象,只需把函數y=sin 4x的圖象上所有點的(　　).
A.橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變
B.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
C.縱坐標伸長到原來的4倍,橫坐標不變
D.縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變
【方法總結】伸縮變換的解題關鍵及方法
關鍵:確定伸縮量.
解決方法:已知函數y=f(x)的圖象,作函數y=f(ωx)(ω>0)的圖象,可將函數y=f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長(0<ω<1)或縮短(ω>1)到原來的倍(縱坐標不變),為伸縮量.
鞏固訓練
將函數y=sin 2x的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍,然后縱坐標縮短為原來的,則所得圖象的函數解析式為　　　　　　　　.
探究3：φ(φ≠0)對函數y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響
情境設置
　　通過對筒車運動的研究,我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函數,只要清楚函數y=Asin(ωx+φ)的性質,就可以把握筒車的運動規律.這個函數由參數A,ω,φ所確定,因此,只要了解這些參數的意義,知道它們的變化對函數圖象的影響,就能把握這個函數的性質.
問題1:從解析式看,函數y=sin x就是函數y=Asin(ωx+φ)在A=1,ω=1,φ=0時的特殊情形.能否借助我們熟悉的函數y=sin x的圖象與性質研究參數A,ω,φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象與性質的影響 函數y=Asin(ωx+φ)中含有三個不同的參數,你認為應該按怎樣的思路進行研究
問題2:函數y=sin x的圖象與y=sin(x+φ)的圖象有什么關系
新知生成
一般地,當動點M的起點位置Q所對應的角為φ時,對應的函數是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲線上的所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度,就得到函數y=sin(x+φ)的圖象.
新知運用
例3　(1)將函數y=sin x的圖象向左平移　　　　個單位長度,得到函數y=cos x的圖象.
(2)要得到函數y=sin2x+的圖象,只要將函數y=sin 2x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
方法指導　(1)先統一函數名,再平移圖象;(2)根據自變量x的增加與減少,確定圖象平移的方向與單位長度.
【方法總結】圖象平移變換的策略
(1)先確定平移的方向和平移的量.
(2)當x的系數是1時,若φ>0,則向左平移φ個單位長度;若φ<0,則向右平移|φ|個單位長度.
當x的系數是ω(ω>0)時,若φ>0,則向左平移個單位長度;若φ<0,則向右平移個單位長度.
鞏固訓練
1.將函數y=sin 4x的圖象向左平移個單位長度,得到函數y=sin(4x+φ)的圖象,則φ的值為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
2.將函數y=sin x的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個單位長度后,得到函數y=sinx-的圖象,則φ等于(　　).
A. B. C. D.
【隨堂檢測】
1.要得到函數f(x)=cos2x-的圖象,只需將函數g(x)=cos 2x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
2.(多選題)將函數y=sin(2x+φ)的圖象沿x 軸向左平移個單位長度后,得到一個偶函數的圖象,則φ 的一個可能取值為(　　).
A.- B. C.0 D.-
3.由y=3sin x的圖象變換得到y=3sinx+的圖象主要有兩個方法:先平移后伸縮和先伸縮后平移,前者最少需向左平移　　　　個單位長度,后者最少需向左平移　　　　個單位長度.
4.函數y=5sin2x--3的圖象是由y=sin x的圖象經過怎樣的變換得到的
25.4　課時1　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(一)
【學習目標】
1.理解在y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A對圖象的影響.(數學抽象)
2.掌握y=sin x與y=Asin(ωx+φ)圖象間的變換關系,并能正確地指出其變換步驟.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.用“五點法”作y=2sin x的圖象時,五個關鍵點的坐標分別是什么
【答案】(0,0),,2,(π,0),,-2,(2π,0).
2.如何由y=sin x的圖象得到y=2sin x的圖象
【答案】y=sin x的圖象上各點的橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的2倍,即可得到y=2sin x的圖象.
3.如何由y=2sin x的圖象得到y=2sinx的圖象
【答案】y=2sin x的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的2倍,即可得到y=2sinx的圖象.
4.如何由y=2sinx的圖象得到y=2sinx+1的圖象
【答案】將y=2sinx的圖象向左平移2個單位長度,即可得到y=2sinx+1的圖象.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度,得到函數y=sinx+的圖象. (　　)
(2)將函數y=sin x圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍,橫坐標不變,即可得到函數y=2sin x的圖象. (　　)
(3)把函數y=cos3x+圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,縱坐標不變,即可得到函數y=cosx+的圖象. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.將函數y=sin x的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變,則所得圖象對應的函數解析式為　　　　.
【答案】y=sin x
【解析】根據變化規則可得,變化后的圖象對應的函數解析式為y=sin x.
3.為了得到函數y=sin(x+1)的圖象,只需把函數y=sin x的圖象上所有的點向　　　平移　　　　個單位長度.
【答案】左　1
【解析】根據“左加右減”的原則,只需把函數y=sin x的圖象上所有的點向左平移1個單位長度即可.
【合作探究】
探究1：A(A>0)對y=Asin x的圖象的影響
情境設置
問題1:對于同一個x,函數y=2sin x,y=sin x和y=sin x的函數值有何關系
【答案】對于同一個x,y=2sin x的函數值是y=sin x的函數值的2倍,而y=sin x的函數值是y=sin x的函數值的.
問題2:在函數y=Asin x中,A越大,函數圖象的最大值越大,最大值與A是正比例關系,這句話是否正確
【答案】不正確,當A>0時,上述說法正確,當A<0時,上述說法不正確.
新知生成
一般地,對任意A>0且A≠1,函數y=Asin x的圖象可以由y=sin x圖象上每一點的橫坐標不變、縱坐標乘以A得到.y=Asin x的周期仍是2π,值域為[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
新知運用
例1　已知函數y=sin x,該函數的圖象可由y=sin x,x∈R的圖象經過怎樣的變換得到
【解析】把函數y=sin x的圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變,可以得到函數y=sin x的圖象.
【方法總結】把函數y=sin x的圖象上各點的縱坐標伸長為原來的A(A>1)倍,則得到函數y=Asin x的圖象.
鞏固訓練
把函數y=2sin 3x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍,縱坐標變為原來的3倍,得到函數　　　　的圖象.
【答案】y=6sinx
探究2：ω(ω>0)對y=sin ωx的圖象的影響
情境設置
　　觀察下面的圖象:
問題1:將函數y=sin x圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,所得圖象對應的函數的最小正周期是多少
【答案】根據圖象可知,周期擴大了,其周期為4π.
問題2:如何由y=sin x的圖象得到y=sin 2x和y=sin x的圖象
【答案】將y=sin x的圖象的橫坐標變為原來的,即可得y=sin 2x的圖象;將y=sin x的圖象的橫坐標伸長為原來的2倍,即可得y=sin x的圖象.
問題3:如何由 y=sin x的圖象變換得到y=sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的圖象
【答案】當ω>1時,函數y=sin x圖象上各點的橫坐標縮短為原來的;
當0<ω<1時,函數y=sin x圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍.
新知生成
一般地,對任意ω>0且ω≠1,函數y=sin ωx(ω>0)的圖象可由y=sin x的圖象上每一點的橫坐標伸長(0<ω<1)或縮短(ω>1)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.y=sin ωx的值域為[-1,1],周期為.
新知運用
例2　為了得到函數y=sin x的圖象,只需把函數y=sin 4x的圖象上所有點的(　　).
A.橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變
B.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
C.縱坐標伸長到原來的4倍,橫坐標不變
D.縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變
【答案】A
【解析】根據ω對函數圖象的影響,只需把函數y=sin 4x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,就得到函數y=sin x的圖象.
【方法總結】伸縮變換的解題關鍵及方法
關鍵:確定伸縮量.
解決方法:已知函數y=f(x)的圖象,作函數y=f(ωx)(ω>0)的圖象,可將函數y=f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長(0<ω<1)或縮短(ω>1)到原來的倍(縱坐標不變),為伸縮量.
鞏固訓練
將函數y=sin 2x的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍,然后縱坐標縮短為原來的,則所得圖象的函數解析式為　　　　　　　　.
【答案】y=sin x
【解析】將y=sin 2x圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍得y=sin x的圖象,
再將所得函數圖象上所有點的縱坐標縮短為原來的得y=sin x的圖象.
探究3：φ(φ≠0)對函數y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響
情境設置
　　通過對筒車運動的研究,我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函數,只要清楚函數y=Asin(ωx+φ)的性質,就可以把握筒車的運動規律.這個函數由參數A,ω,φ所確定,因此,只要了解這些參數的意義,知道它們的變化對函數圖象的影響,就能把握這個函數的性質.
問題1:從解析式看,函數y=sin x就是函數y=Asin(ωx+φ)在A=1,ω=1,φ=0時的特殊情形.能否借助我們熟悉的函數y=sin x的圖象與性質研究參數A,ω,φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象與性質的影響 函數y=Asin(ωx+φ)中含有三個不同的參數,你認為應該按怎樣的思路進行研究
【答案】能.可以先研究φ對函數y=sin(x+φ)圖象的影響,再依次研究ω,A對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.
問題2:函數y=sin x的圖象與y=sin(x+φ)的圖象有什么關系
【答案】當φ>0時,把y=sin x的圖象向左平移φ個單位長度,可得y=sin(x+φ)的圖象;當φ<0時,把y=sin x的圖象向右平移|φ|個單位長度,可得y=sin(x+φ)的圖象.
新知生成
一般地,當動點M的起點位置Q所對應的角為φ時,對應的函數是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲線上的所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度,就得到函數y=sin(x+φ)的圖象.
新知運用
例3　(1)將函數y=sin x的圖象向左平移　　　　個單位長度,得到函數y=cos x的圖象.
(2)要得到函數y=sin2x+的圖象,只要將函數y=sin 2x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
方法指導　(1)先統一函數名,再平移圖象;(2)根據自變量x的增加與減少,確定圖象平移的方向與單位長度.
【答案】(1)　(2)C
【解析】(1)將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度,得到函數y=sinx+的圖象,又y=sinx+=cos x,所以將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度,即可得到函數y=cos x的圖象.
(2)因為y=sin2x+=sin2x+,所以將函數y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度,就可得到函數y=sin2x+=sin2x+的圖象.
【方法總結】圖象平移變換的策略
(1)先確定平移的方向和平移的量.
(2)當x的系數是1時,若φ>0,則向左平移φ個單位長度;若φ<0,則向右平移|φ|個單位長度.
當x的系數是ω(ω>0)時,若φ>0,則向左平移個單位長度;若φ<0,則向右平移個單位長度.
鞏固訓練
1.將函數y=sin 4x的圖象向左平移個單位長度,得到函數y=sin(4x+φ)的圖象,則φ的值為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】D
【解析】將函數y=sin 4x的圖象向左平移個單位長度,得到y=sin4x+=sin4x+的圖象,∴φ的值為.
2.將函數y=sin x的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個單位長度后,得到函數y=sinx-的圖象,則φ等于(　　).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵φ∈[0,2π),∴把y=sin x的圖象向左平移φ個單位長度得到y=sin(x+φ)的圖象,而sinx+=sinx+-2π=sinx-,故φ等于.
【隨堂檢測】
1.要得到函數f(x)=cos2x-的圖象,只需將函數g(x)=cos 2x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】∵f(x)=cos2x-=cos2x-,
∴只需將函數g(x)=cos 2x的圖象向右平移個單位長度即可.
2.(多選題)將函數y=sin(2x+φ)的圖象沿x 軸向左平移個單位長度后,得到一個偶函數的圖象,則φ 的一個可能取值為(　　).
A.- B. C.0 D.-
【答案】AB
【解析】由題可知,函數圖象平移后解析式變為y=sin2x++φ=sin2x+φ+,
因為其為偶函數,所以φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
當k=-1 時,φ=-;當k=0 時,φ=,不存在k∈Z,使得φ=0或φ=-,
則A,B符合條件,C,D不符合條件.故選AB.
3.由y=3sin x的圖象變換得到y=3sinx+的圖象主要有兩個方法:先平移后伸縮和先伸縮后平移,前者最少需向左平移　　　　個單位長度,后者最少需向左平移　　　　個單位長度.
【答案】　
【解析】y=3sin x的圖象y=3sinx+的圖象y=3sinx+的圖象;y=3sin x的圖象y=3sinx的圖象y=3sinx+=3sinx+的圖象.
4.函數y=5sin2x--3的圖象是由y=sin x的圖象經過怎樣的變換得到的
【解析】先把函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度,得到y=sinx-的圖象,再把所得函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到y=sin2x-的圖象,然后把所得函數圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的5倍(橫坐標不變),得到函數y=5sin2x-的圖象,最后將所得函數圖象向下平移3個單位長度,得到函數y=5sin2x--3的圖象.
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