資源簡介

5.4 課時2 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(二)
【學習目標】
1.結合具體實例,了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義.(數學抽象)
2.會用“五點法”作函數 y=Asin(ωx+φ)的圖象.(數學抽象、數學運算)
3.會利用三角函數的部分圖象求函數的解析式.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
　　函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,振幅、頻率、初相各是什么
【答案】振幅是A,頻率是,初相是φ.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=-2sin(3x+2)的振幅為-2. (　　)
(2)函數y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域為[-,].(　　)
(3)函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為A. (　　)
(4)函數y=3sin(2x-5)的初相為5. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示,若A>0,ω>0,|φ|<,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4
【答案】B
【解析】由函數圖象可知f(x)min=0,f(x)max=4,
所以A==2,B==2.
由最小正周期T==4-知,ω=2.
由f=4,得2sin2×+φ+2=4,即sin+φ=1,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.
3.已知函數f(x)=3sin++3(x∈R),用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象.
【解析】(1)列表:
x -
+ 0 π 2π
f(x) 3 6 3 0 3
　　(2)描點畫圖:
【合作探究】
探究1：“五點法”作函數圖象
情境設置
　　下圖為用“五點法”所作的函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個周期內的圖象.
問題1:用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象中的第一個點有什么特征
【答案】用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象中的第一個點是函數圖象與x軸的交點,且是圖象上升時與x軸的交點.
問題2:用“五點法”作圖,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
y 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
　　【答案】
ωx +φ 0 π 2π
x 　-　
y 　0　 　A　 　0　 　-A　 　0　
新知生成
1.用“五點法”作圖的實質
利用“五點法”作函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象,實質是利用函數的三個零點、兩個最值點畫出函數在一個周期內的圖象.
2.用“五點法”作函數f(x)=Asin(ωx+φ)圖象的步驟
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一坐標系中描出各點.
第三步:用光滑曲線連接這些點,形成圖象.
特別提醒:(1)將ωx+φ看作一個整體是求x的關鍵;
(2)所取的五個點分別為函數的兩個最值點以及曲線與x軸的交點;
(3)作圖時要注意題目所給的范圍.
新知運用
例1　(1)用“五點法”作出函數y=3sinx-的圖象.
(2)作出函數y=3sinx-在[0,4π]上的圖象.
方法指導　(1)先列表,再描點,最后連線得出函數的圖象;(2)先確定范圍內的最高點和最低點,再求端點值.
　　【解析】(1)①列表:
x- 0 π 2π
x
3sinx- 0 3 0 -3 0
　　②描點.
③連線,如圖所示.
再把,內的圖象向左、右兩邊擴展,可得函數y=3sinx-的圖象.
(2)因為0≤x≤4π,所以-≤x-≤.
因為要作出函數在[0,4π]上的圖象,所以列表如下:
x- - 0 π
x 0 4π
3sinx- - 0 3 0 -3 -
　　描點,作出函數圖象,如圖.
【方法總結】　“五點法”作圖的實質與關鍵
(1)用“五點法”作函數的圖象,實質是利用函數的三個零點、兩個最值點畫出該函數在一個周期內的圖象.
(2)用“五點法”作函數的圖象,關鍵是列表,特別是對于給定區間作圖問題,首先要確定該區間端點處的函數值,再確定兩個端點之間的最值點、零點.
鞏固訓練
已知函數y=sinx+.
(1)利用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區間上的簡圖;
(2)說明該函數的圖象是由y=sin x(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到的.
【解析】(1)先列表,后描點并畫圖.
x+ 0 π 2π
x -
y 0 1 0 -1 0
(2)把y=sin x圖象上所有的點向左平移個單位長度,得到y=sinx+的圖象,再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y=sinx+的圖象.
探究2：函數y=Asin(ωx+φ)的物理量
情境設置
問題:如何求函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期
【答案】T=.
新知生成
函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中.
(1)A表示這個振動物體偏離平衡位置的最大距離,稱為振幅;
(2)f==,表示單位時間內往復振動的次數,稱為頻率;
(3)ωx+φ稱為相位,φ是初相.
新知運用
例2　如圖,彈簧上掛的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的距離s(cm)隨時間t(s)的變化曲線是一個三角函數的圖象.
(1)經過多長時間,小球往復振動一次
(2)求這條曲線對應的函數解析式.
(3)小球在開始振動時,離開平衡位置的位移是多少
方法指導　(1)由曲線形態可設s=Asin(ωt+φ);
(2)利用函數周期、最值及過定點情況,確定A,ω,φ的值;
(3)結合實際意義,利用函數解析式得出結論.
【解析】(1)由圖可知,周期T=2-=π,所以小球往復振動一次所需要的時間為π≈3.14 s.
(2)由圖可設該曲線對應的函數解析式為s=Asin(ωt+φ),t∈[0,+∞).
從圖中可以看出A=4,又=π,所以ω=2,
所以s=4sin(2t+φ).
將t=,s=4代入上式,得sin+φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z.
故這條曲線對應的函數解析式為s=4sin2t+,t∈[0,+∞).
(3)當t=0時,s=4sin=2(cm).
故小球在開始振動時,離開平衡位置的位移是2 cm.
【方法總結】根據圖象判斷函數的類型,用適當的形式設出其解析式是解決這類問題的基點,利用待定系數法及數形結合思想、方程思想就可求出函數解析式,并結合實際問題的意義解決問題.
鞏固訓練
一簡諧振動的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(　　).
A.該質點的振動周期為0.7 s
B.該質點的振幅為5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時振動速度最大
D.該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度不為零
【答案】B
【解析】根據圖象可知,振動周期為2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A錯誤;該質點的振幅是5 cm,故B正確;該質點在0.1 s和0.5 s時的速度為零,故C錯誤;該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零,故D錯誤.故選B.
探究3：根據部分圖象求函數解析式
情境設置
　　下圖為函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的一部分,根據圖象探究下面的問題.
問題1:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何求A
【答案】根據圖象的最高點(或最低點)確定A.因為最大值與最小值互為相反數,所以A=2.
問題2:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何確定ω
【答案】因為T=,所以常通過周期來確定ω,·=-,所以ω=2.
問題3:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何確定φ
【答案】最大值對應的x值為,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z.
新知生成
已知函數y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)設函數的最大值為m,最小值為n,則A+k=m,-A+k=n,從而A=,k=.
(2)通過圖象與x軸的交點確定T,與x軸的交點中相鄰的兩點之間的距離為半個周期,或根據相鄰的最高點與最低點之間的距離為半個周期確定T.
(3)確定φ值時,把圖象上的一個已知點代入(此時A,ω已知)或代入圖象與x軸的交點求解(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上).
新知運用
例3　已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變),再將圖象上所有點的縱坐標擴大到原來的2倍(橫坐標不變),最后向下平移2個單位長度,得到y=g(x)圖象,求函數y=g(x)的解析式及在R上的對稱中心的坐標.
方法指導　(1)結合圖象求出A,ω,代入點的坐標,求出φ,從而求出函數f(x)的解析式;(2)通過圖象變換,求出函數g(x)的解析式.
【解析】(1)由圖象知A=2,T=--=,
解得T=π,所以ω==2,
故f(x)=2sin(2x+φ),
將點-,0代入解析式,得sin-+φ=0,
故φ=kπ+(k∈Z),
而<,所以φ=-,
故f(x)=2sin2x-.
(2)將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的,所得圖象的解析式為y=2sin4x-,
再將圖象上所有點的縱坐標擴大到原來的2倍(橫坐標不變),所得圖象的解析式為y=4sin4x-,
最后向下平移2個單位長度,得到y=g(x)的圖象,
則y=g(x)=4sin4x--2.
由4x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.
故g(x)在R上的對稱中心的坐標為+,-2,k∈Z.
鞏固訓練
已知函數f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象如圖所示,f=-,則f(0)=　　　　.
【答案】
【解析】(法一)由圖可知=-=,
∴T=,
∴ω=3,∴f(x)=Acos(3x+φ).
又,0是圖象上的點,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z.
∵f=-,∴Acos+kπ-=-,
即Acoskπ+=-,
∴f(0)=Acoskπ-=-Acoskπ-
=-Acos2kπ-kπ+
=-Acoskπ+=.
(法二)由圖可知=-=,∴T=,∴f(0)=f,注意到=,即和關于對稱,于是f(0)=f=-f=.
探究4：三角函數的綜合應用
情境設置
　　問題:如何求函數f(x)=Asin(ωx+φ)的單調區間、對稱軸和對稱中心呢
【答案】一般將ωx+φ看作一個整體,然后借助正弦函數的性質求解.求單調區間時,若ω<0,則需利用誘導公式將其化為正值.研究對稱軸時,令ωx+φ=+kπ(k∈Z);研究對稱中心時,令ωx+φ=kπ(k∈Z),分別求解即可.
新知生成
　　函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質
(1)奇偶性:當φ=kπ(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為奇函數;當φ=kπ+(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為偶函數.
(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期為T=.
(3)單調性:根據y=sin t和t=ωx+φ 的單調性來研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得單調遞增區間;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得單調遞減區間.
(4)對稱性:利用y=sin x的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得x;利用y=sin x的對稱軸為x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),得其對稱軸.
新知運用
例4　(多選題)對于函數f(x)=3sin2x-的圖象C,下列說法正確的是(　　).
A.圖象C關于直線x= 對稱
B.函數f(x)在區間-,內是增函數
C.將y=3sin 2x 的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C
D.圖象C關于點,0對稱
方法指導　將x= 代入函數中,若函數取到了最值,則圖象C關于直線x= 對稱,否則不對稱;先求出f(x)的單調遞增區間,然后判斷;利用正弦函數圖象平移變化規律判斷;f(x)圖象的對稱中心是其圖象與x 軸的交點,所以將點的坐標代入驗證即可.
【答案】AB
【解析】對于A,將x= 代入函數f(x)中,得f=3sin2×-=3sin=-3,所以直線 x= 是圖象C的一條對稱軸,故A正確;
對于B,由-+2kπ ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ ≤x ≤+kπ(k∈Z),所以函數f(x)在區間-,內是增函數,故B正確;
對于C,因為f(x)=3sin2x-=3sin2x-,所以f(x)的圖象是由y=3sin 2x 的圖象向右平移個單位長度得到的,故C錯誤;
對于D,當x=時,f=3sin2×-=3sin=≠0,所以圖象C不關于點,0對稱,故D錯誤.故選AB.
【方法總結】研究y=Asin(ωx+φ)的性質的兩種方法
(1)客觀題可用驗證法:若x=θ為對稱軸,則f(θ)=±A;若(θ,0)為對稱中心,則f(θ)=0;若[m,n]為函數的單調區間,則[ωm+φ,ωn+φ]為y=sin x的單調區間的子區間.
(2)主觀題主要利用整體代換法:令ωx+φ=t,則原問題轉化為研究y=Asin t的性質的問題.
鞏固訓練
　　在函數f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<的圖象與x 軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈-,,函數h(x)=2f(x)+1-m 有一個零點,求實數m的取值范圍.
【解析】(1)∵f(x)的圖象與x 軸相鄰兩個交點之間的距離為,
∴最小正周期T==×2,解得ω=2.
∵f(x)圖象上一個最低點為M,-2,∴A=2,
∴f=2sin+φ=-2,解得+φ=-+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z).
又0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin2x+.
(2)由(1)知,h(x)=4sin2x++1-m.
∵ 函數h(x)=2f(x)+1-m 在-,上有一個零點,
∴2f(x)=m-1 在-,上有且僅有一個解,
即2f(x)與y=m-1的圖象在-,上有且僅有一個交點.
當x∈-,時,2x+∈-,,
令t=2x+,則t∈-,,
則g(t)=4sin t 與y=m-1的圖象在-,上有且僅有一個交點,
作出函數g(t)與y=m-1的圖象,如圖所示,
由圖象可知,當-4≤m-1<2 或m-1=4時,函數g(t)與y=m-1的圖象有且僅有一個交點,即h(x)在x∈-,時有一個零點,
解得-3≤m<3 或m=5,
故實數m 的取值范圍為[-3,3)∪{5}.
【隨堂檢測】
1.已知函數y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在區間[0,2π]上的圖象如圖所示,那么ω=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】∵2T=2π,∴T=π,又T=,∴=π,∴ω=2.
2.已知函數f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期為π,則該函數的圖象(　　).
A.關于直線x=對稱 B.關于點,0對稱
C.關于直線x=對稱 D.關于點,0對稱
【答案】A
【解析】∵ω>0,T==π,∴ω=2,∴f(x)=sin2x+,∴其對稱中心為-,0,k∈Z,故B,D錯誤.由2x+=+kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,當k=0時,直線x=就是函數f(x)圖象的一條對稱軸,故A正確,C錯誤.故選A.
3.同時具有性質(1)最小正周期是π;(2)圖象關于直線x=對稱;(3)在-,上單調遞增的一個函數是(　　).
A.y=sin+ B.y=cos2x+
C.y=sin2x- D.y=cos2x-
【答案】C
【解析】由(1)知T=π=,得ω=2,排除A.
由(2)(3)知,當x=時,f(x)取得最大值,驗證知只有C符合要求.
4.已知函數f(x)=3sinx+φφ∈的圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ的值;
(2)求函數f(x)的單調遞增區間和對稱中心.
【解析】(1)∵直線x=是函數f(x)圖象的一條對稱軸,
∴sin×+φ=±1,
∴+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=.
(2)由(1)可知φ=,則y=3sinx+.
由題意得2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
即4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
則函數f(x)的單調遞增區間為4kπ-,4kπ+,k∈Z.
由x+=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,
則函數f(x)的對稱中心為2kπ-,0,k∈Z.
25.4 課時2 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(二)
【學習目標】
1.結合具體實例,了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義.(數學抽象)
2.會用“五點法”作函數 y=Asin(ωx+φ)的圖象.(數學抽象、數學運算)
3.會利用三角函數的部分圖象求函數的解析式.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
　　函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,振幅、頻率、初相各是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=-2sin(3x+2)的振幅為-2. (　　)
(2)函數y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域為[-,].(　　)
(3)函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為A. (　　)
(4)函數y=3sin(2x-5)的初相為5. (　　)
2.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示,若A>0,ω>0,|φ|<,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4
3.已知函數f(x)=3sin++3(x∈R),用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象.
【合作探究】
探究1：“五點法”作函數圖象
情境設置
　　下圖為用“五點法”所作的函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個周期內的圖象.
問題1:用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象中的第一個點有什么特征
問題2:用“五點法”作圖,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
y 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
新知生成
1.用“五點法”作圖的實質
利用“五點法”作函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象,實質是利用函數的三個零點、兩個最值點畫出函數在一個周期內的圖象.
2.用“五點法”作函數f(x)=Asin(ωx+φ)圖象的步驟
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一坐標系中描出各點.
第三步:用光滑曲線連接這些點,形成圖象.
特別提醒:(1)將ωx+φ看作一個整體是求x的關鍵;
(2)所取的五個點分別為函數的兩個最值點以及曲線與x軸的交點;
(3)作圖時要注意題目所給的范圍.
新知運用
例1　(1)用“五點法”作出函數y=3sinx-的圖象.
(2)作出函數y=3sinx-在[0,4π]上的圖象.
方法指導　(1)先列表,再描點,最后連線得出函數的圖象;(2)先確定范圍內的最高點和最低點,再求端點值.
　
【方法總結】　“五點法”作圖的實質與關鍵
(1)用“五點法”作函數的圖象,實質是利用函數的三個零點、兩個最值點畫出該函數在一個周期內的圖象.
(2)用“五點法”作函數的圖象,關鍵是列表,特別是對于給定區間作圖問題,首先要確定該區間端點處的函數值,再確定兩個端點之間的最值點、零點.
鞏固訓練
已知函數y=sinx+.
(1)利用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區間上的簡圖;
(2)說明該函數的圖象是由y=sin x(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到的.
探究2：函數y=Asin(ωx+φ)的物理量
情境設置
問題:如何求函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期
新知生成
函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中.
(1)A表示這個振動物體偏離平衡位置的最大距離,稱為振幅;
(2)f==,表示單位時間內往復振動的次數,稱為頻率;
(3)ωx+φ稱為相位,φ是初相.
新知運用
例2　如圖,彈簧上掛的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的距離s(cm)隨時間t(s)的變化曲線是一個三角函數的圖象.
(1)經過多長時間,小球往復振動一次
(2)求這條曲線對應的函數解析式.
(3)小球在開始振動時,離開平衡位置的位移是多少
方法指導　(1)由曲線形態可設s=Asin(ωt+φ);
(2)利用函數周期、最值及過定點情況,確定A,ω,φ的值;
(3)結合實際意義,利用函數解析式得出結論.
【方法總結】根據圖象判斷函數的類型,用適當的形式設出其解析式是解決這類問題的基點,利用待定系數法及數形結合思想、方程思想就可求出函數解析式,并結合實際問題的意義解決問題.
鞏固訓練
一簡諧振動的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(　　).
A.該質點的振動周期為0.7 s
B.該質點的振幅為5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時振動速度最大
D.該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度不為零
探究3：根據部分圖象求函數解析式
情境設置
　　下圖為函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的一部分,根據圖象探究下面的問題.
問題1:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何求A
問題2:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何確定ω
問題3:根據函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如何確定φ
新知生成
已知函數y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)設函數的最大值為m,最小值為n,則A+k=m,-A+k=n,從而A=,k=.
(2)通過圖象與x軸的交點確定T,與x軸的交點中相鄰的兩點之間的距離為半個周期,或根據相鄰的最高點與最低點之間的距離為半個周期確定T.
(3)確定φ值時,把圖象上的一個已知點代入(此時A,ω已知)或代入圖象與x軸的交點求解(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上).
新知運用
例3　已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變),再將圖象上所有點的縱坐標擴大到原來的2倍(橫坐標不變),最后向下平移2個單位長度,得到y=g(x)圖象,求函數y=g(x)的解析式及在R上的對稱中心的坐標.
方法指導　(1)結合圖象求出A,ω,代入點的坐標,求出φ,從而求出函數f(x)的解析式;(2)通過圖象變換,求出函數g(x)的解析式.
鞏固訓練
已知函數f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象如圖所示,f=-,則f(0)=　　　　.
探究4：三角函數的綜合應用
情境設置
　　問題:如何求函數f(x)=Asin(ωx+φ)的單調區間、對稱軸和對稱中心呢
新知生成
　　函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質
(1)奇偶性:當φ=kπ(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為奇函數;當φ=kπ+(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為偶函數.
(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期為T=.
(3)單調性:根據y=sin t和t=ωx+φ 的單調性來研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得單調遞增區間;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得單調遞減區間.
(4)對稱性:利用y=sin x的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得x;利用y=sin x的對稱軸為x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),得其對稱軸.
新知運用
例4　(多選題)對于函數f(x)=3sin2x-的圖象C,下列說法正確的是(　　).
A.圖象C關于直線x= 對稱
B.函數f(x)在區間-,內是增函數
C.將y=3sin 2x 的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C
D.圖象C關于點,0對稱
【方法總結】研究y=Asin(ωx+φ)的性質的兩種方法
(1)客觀題可用驗證法:若x=θ為對稱軸,則f(θ)=±A;若(θ,0)為對稱中心,則f(θ)=0;若[m,n]為函數的單調區間,則[ωm+φ,ωn+φ]為y=sin x的單調區間的子區間.
(2)主觀題主要利用整體代換法:令ωx+φ=t,則原問題轉化為研究y=Asin t的性質的問題.
鞏固訓練
　　在函數f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<的圖象與x 軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈-,,函數h(x)=2f(x)+1-m 有一個零點,求實數m的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.已知函數y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在區間[0,2π]上的圖象如圖所示,那么ω=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.
2.已知函數f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期為π,則該函數的圖象(　　).
A.關于直線x=對稱 B.關于點,0對稱
C.關于直線x=對稱 D.關于點,0對稱
3.同時具有性質(1)最小正周期是π;(2)圖象關于直線x=對稱;(3)在-,上單調遞增的一個函數是(　　).
A.y=sin+ B.y=cos2x+
C.y=sin2x- D.y=cos2x-
4.已知函數f(x)=3sinx+φφ∈的圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ的值;
(2)求函數f(x)的單調遞增區間和對稱中心.
2

展開更多......

收起↑