資源簡介

5.5　三角函數模型的簡單應用
【學習目標】
1.體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.(數學建模)
2.會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題.(數學建模、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.函數y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函數
【答案】是周期函數.
2.現實世界中的周期現象可以用哪種數學模型描述
【答案】三角函數模型.
3.在建模過程中,怎樣判斷是用正弦函數模型還是用余弦函數模型
【答案】根據變量和對應值的變化特征來判斷.
4.生活中有哪些事物的變化規律符合三角函數的特征
【答案】彈簧的伸縮運動,摩天輪的旋轉,鐘擺運動等.
自學檢測
1.電流I(A)隨時間t(s)變化的關系式是I=5sin100πt+,則當t=時,電流為　　　A.
【答案】
【解析】將t=代入關系式,得I=5sin+=5cos=(A).
2.某簡諧運動的圖象如圖所示,則這個簡諧運動需要　　　s往返一次.
【答案】0.8
【解析】觀察題圖可知,此簡諧運動的周期T=0.8,所以這個簡諧運動需要0.8 s往返一次.
【合作探究】
探究1：　三角函數模型在實際問題中的應用
情境設置
　　如圖,某地夏天8~14時的用電量變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,0<φ<.
問題1:8~14時的最大用電量為多少萬千瓦時 最小用電量為多少萬千瓦時
【答案】由圖象得最大用電量為50萬千瓦時,最小用電量為30萬千瓦時.
問題2:這段曲線的函數解析式是什么
【答案】觀察圖象可知,8~14時的圖象是y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象,
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40,T=2×(14-8)=12,
∴ω==,
∴y=10sinx+φ+40.
將x=8,y=30代入上式,又0<φ<,解得φ=,
∴所求解析式為y=10sinx++40,x∈[8,14].
新知生成
解三角函數應用問題的基本步驟
新知運用
例1　已知電流I與時間t的關系為I=Asin(ωt+φ).
(1)如圖所示,這是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一個周期內的圖象,根據圖中數據求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段的時間內,電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數值是多少
方法指導　已知三角函數圖象解決應用問題,首先由圖象確定三角函數的解析式,其關鍵是確定參數A,ω,φ,同時在解題中注意各個參數的取值范圍.
【解析】(1)由題圖可知A=300,設t1=-,t2=,
則周期T=2(t2-t1)=2+=,
∴ω==150π.
又當t=時,I=0,即sin150π×+φ=0,
而|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式為I=300sin150πt+.
(2)依題意知,周期T≤,即≤(ω>0),
∴ω≥300π>942,
又ω∈N*,故所求最小正整數ω=943.
【方法總結】利用三角函數處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義,此類問題往往涉及頻率、振幅等概念,因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
例2　隨著人們物質和文化生活水平的提高,旅游業也逐漸興旺起來.經過調查研究,在某個風景區,每年到訪的游客人數會發生周期性的變化.現假設該風景區每年各個月份游客的人數(單位:萬人)φ(n)可近似地用函數φ(n)=10[Acos(ωn+2)+k]來刻畫.其中,正整數n表示月份且n∈[1,12],例如n=2表示二月份,A和k是正整數,ω>0.統計發現,風景區每年各個月份游客人數有以下規律:
①每一年相同的月份,該風景區游客人數大致相同;
②該景區游客人數最多的八月份和最少的二月份相差約400000人;
③二月份該風景區游客大約為100000人,隨后逐漸增加,八月份達到最多.
(1)試根據已知信息,確定一個符合條件的φ(n)的表達式;
(2)一般地,當該地區游客超過400000人時,該風景區也進入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪幾個月是該風景區的旅游“旺季”
方法指導　(1)由實際問題的周期性且周期為12、淡旺季數據,結合數學模型即可求ω,A,k,進而可得表達式;(2)由(1)結合已知條件φ(n)>40即可求出n的范圍,結合實際條件即可知旺季所含月份.
【解析】(1)根據三條規律可知,該函數為周期函數且周期為12,可得T==12,即ω=,由規律②③可知,解得
綜上,可得φ(n)=102cos+2+3.
(2)由題意,φ(n)=102cos+2+3>40,可得cos+2>,
∴2kπ-又n∈[1,12],∴k=1,∴6.18【方法總結】在解決實際問題時,要學會具體問題具體分析,充分運用數形結合的思想,靈活地運用三角函數的圖象和性質進行解答.
鞏固訓練
如圖,某動物種群數量1月1日(t=0時)低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間按照正弦型曲線變化.
(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式(其中t以年初以來的月為計量單位);
(2)估計當年3月1日的動物種群數量.
【解析】(1)設種群數量y關于t的解析式為y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
　　則解得
又最小正周期T=2×6=12,∴ω==,
∴y=100sint+φ+800.
又當t=6時,y=900,
∴900=100sin×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin φ=-1,可取φ=-,
∴y=100sint-+800.
(2)當t=2時,y=100sin×2-+800=750,即當年3月1日的動物種群數量約是750.
探究2：數據擬合建立三角函數模型
新知生成
擬合函數模型的主要類型
擬合模型的組建是通過對有關變量的觀測數據的觀察、分析和選擇恰當的數學表達式而得到的,它的實質是數據擬合的精度和數學表達式簡化程度間的折中,擬合模型的主要類型如下:
(1)經驗模型:主要探討變量間的內在規律,允許出現一定的誤差,模型將側重于選擇規律簡單的數學表達式,在簡單的數學表達式中選擇擬合效果好的.
(2)插值模型:此模型以擬合效果為主,要求精確地擬合觀測數據,即在觀測點之間插入適當的數值.
新知運用
例3　下表是某地某年月平均氣溫(華氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
　　以月份為x(x=月份-1)軸,以平均氣溫為y軸.
(1)描點作圖,用正弦曲線去擬合這些數據.
(2)估計這個正弦曲線的周期T和振幅A.
(3)下面三個函數模型中,哪一個最適合這些數據
①=cos;②=cos;③=cos.
　　【解析】(1)如圖.
(2)最低氣溫為1月份21.4,最高氣溫為7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.
因為2A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(3)因為x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,
代入①得=>1≠cos,故①不適合;
代入②得=<0≠cos,故②不適合.所以應選③.
【方法總結】根據收集的數據,先畫出相應的“散點圖”,觀察散點圖,再進行函數擬合獲得具體的函數模型,然后利用這個模型解決實際問題.
鞏固訓練
　　一物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應值如下表所示,則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式為　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　　【答案】y=-4cost
【解析】設y=Asin(ωt+φ),則從表中可以得到A=4,T=0.8,ω===.又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,可取φ=-,故y=4sint-,即y=-4cost.
【隨堂檢測】
1.一個半徑為3米的水輪如圖所示,水輪的圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉4圈,水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間t(秒)滿足關系式y=Asin(ωt+φ)+2,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
【答案】B
【解析】由題意知A=3,ω==.
2.一彈簧振子的位移y與時間t的函數關系式為y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若彈簧振子運動的振幅為3,周期為,初相為,則這個函數的解析式為　　　　.
【答案】y=3sin7t+
【解析】由題意得A=3,T=,φ=,則ω==7,
故所求函數的解析式為y=3sin7t+.
3.已知某地一天4~16時的溫度變化曲線近似滿足函數y=10sinx-+20,x∈[4,16].
(1)求該地這一段時間內的最大溫差;
(2)若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存,那么在這段時間內,該細菌最多能生存多長時間
【解析】(1)當x=14時函數取得最大值,此時最高溫度為30 ℃;當x=6時函數取得最小值,此時最低溫度為10 ℃.所以最大溫差為30 ℃-10 ℃=20 ℃.
(2)令10sinx-+20=15,得sinx-=-,又x∈[4,16],所以x=.
令10sinx-+20=25,得sinx-=,
又x∈[4,16],所以x=.
故該細菌能存活的最長時間為-=(小時).
25.5　三角函數模型的簡單應用
【學習目標】
1.體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.(數學建模)
2.會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題.(數學建模、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.函數y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函數
2.現實世界中的周期現象可以用哪種數學模型描述
3.在建模過程中,怎樣判斷是用正弦函數模型還是用余弦函數模型
4.生活中有哪些事物的變化規律符合三角函數的特征
自學檢測
1.電流I(A)隨時間t(s)變化的關系式是I=5sin100πt+,則當t=時,電流為　　　A.
2.某簡諧運動的圖象如圖所示,則這個簡諧運動需要　　　s往返一次.
【合作探究】
探究1：　三角函數模型在實際問題中的應用
情境設置
　　如圖,某地夏天8~14時的用電量變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,0<φ<.
問題1:8~14時的最大用電量為多少萬千瓦時 最小用電量為多少萬千瓦時
問題2:這段曲線的函數解析式是什么
新知生成
解三角函數應用問題的基本步驟
新知運用
例1　已知電流I與時間t的關系為I=Asin(ωt+φ).
(1)如圖所示,這是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一個周期內的圖象,根據圖中數據求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段的時間內,電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數值是多少
方法指導　已知三角函數圖象解決應用問題,首先由圖象確定三角函數的解析式,其關鍵是確定參數A,ω,φ,同時在解題中注意各個參數的取值范圍.
【方法總結】利用三角函數處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義,此類問題往往涉及頻率、振幅等概念,因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
例2　隨著人們物質和文化生活水平的提高,旅游業也逐漸興旺起來.經過調查研究,在某個風景區,每年到訪的游客人數會發生周期性的變化.現假設該風景區每年各個月份游客的人數(單位:萬人)φ(n)可近似地用函數φ(n)=10[Acos(ωn+2)+k]來刻畫.其中,正整數n表示月份且n∈[1,12],例如n=2表示二月份,A和k是正整數,ω>0.統計發現,風景區每年各個月份游客人數有以下規律:
①每一年相同的月份,該風景區游客人數大致相同;
②該景區游客人數最多的八月份和最少的二月份相差約400000人;
③二月份該風景區游客大約為100000人,隨后逐漸增加,八月份達到最多.
(1)試根據已知信息,確定一個符合條件的φ(n)的表達式;
(2)一般地,當該地區游客超過400000人時,該風景區也進入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪幾個月是該風景區的旅游“旺季”
方法指導　(1)由實際問題的周期性且周期為12、淡旺季數據,結合數學模型即可求ω,A,k,進而可得表達式;(2)由(1)結合已知條件φ(n)>40即可求出n的范圍,結合實際條件即可知旺季所含月份.
【方法總結】在解決實際問題時,要學會具體問題具體分析,充分運用數形結合的思想,靈活地運用三角函數的圖象和性質進行解答.
鞏固訓練
如圖,某動物種群數量1月1日(t=0時)低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間按照正弦型曲線變化.
(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式(其中t以年初以來的月為計量單位);
(2)估計當年3月1日的動物種群數量.
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探究2：數據擬合建立三角函數模型
新知生成
擬合函數模型的主要類型
擬合模型的組建是通過對有關變量的觀測數據的觀察、分析和選擇恰當的數學表達式而得到的,它的實質是數據擬合的精度和數學表達式簡化程度間的折中,擬合模型的主要類型如下:
(1)經驗模型:主要探討變量間的內在規律,允許出現一定的誤差,模型將側重于選擇規律簡單的數學表達式,在簡單的數學表達式中選擇擬合效果好的.
(2)插值模型:此模型以擬合效果為主,要求精確地擬合觀測數據,即在觀測點之間插入適當的數值.
新知運用
例3　下表是某地某年月平均氣溫(華氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
　　以月份為x(x=月份-1)軸,以平均氣溫為y軸.
(1)描點作圖,用正弦曲線去擬合這些數據.
(2)估計這個正弦曲線的周期T和振幅A.
(3)下面三個函數模型中,哪一個最適合這些數據
①=cos;②=cos;③=cos.
　
【方法總結】根據收集的數據,先畫出相應的“散點圖”,觀察散點圖,再進行函數擬合獲得具體的函數模型,然后利用這個模型解決實際問題.
鞏固訓練
　　一物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應值如下表所示,則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式為　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　
【隨堂檢測】
1.一個半徑為3米的水輪如圖所示,水輪的圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉4圈,水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間t(秒)滿足關系式y=Asin(ωt+φ)+2,則(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
2.一彈簧振子的位移y與時間t的函數關系式為y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若彈簧振子運動的振幅為3,周期為,初相為,則這個函數的解析式為　　　　.
3.已知某地一天4~16時的溫度變化曲線近似滿足函數y=10sinx-+20,x∈[4,16].
(1)求該地這一段時間內的最大溫差;
(2)若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存,那么在這段時間內,該細菌最多能生存多長時間
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