資源簡介

6.2.2　分層抽樣
【學習目標】
1.了解分層抽樣的概念,通過典型實例掌握分層抽樣的方法.(數學抽象)
2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.(數據分析)
3.理解簡單隨機抽樣、分層抽樣的范圍和特點.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.什么叫分層抽樣
【答案】將總體按其屬性特征分成互不交叉的若干類型(有時稱作層),然后在每個類型中按照所占比例抽取一定的個體,這種抽樣方法通常叫作分層抽樣.
2.分層抽樣適用于什么情況
【答案】分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況.
3.分層抽樣時,每個個體被抽到的機會是相等的嗎
【答案】相等.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在統計實踐中選擇哪種抽樣方法關鍵是看總體容量的大小. (　　)
(2)分層抽樣中,個體數量較少的層抽取的樣本數量較少,這是不公平的. (　　)
(3)從全班50名同學中抽取5人調查作業完成情況,適合用分層抽樣. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　
2.下列實驗中,最適合用分層抽樣法抽樣的是(　　).
A.從一箱3000個零件中抽取5個入樣
B.從一箱3000個零件中抽取600個入樣
C.從一箱30個零件中抽取5個入樣
D.從甲廠生產的100個零件和乙廠生產的200個零件中抽取6個入樣
【答案】D
【解析】D中總體有明顯差異,故用分層抽樣.
3.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為100,200,150,50.為檢驗產品的質量,現用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取　　　　件.
【答案】18
【解析】×60=18.
【合作探究】
探究1：分層抽樣的概念
情境設置
　　某市為調查中小學生的近視情況,在全市范圍內分別對小學生、初中生、高中生三個群體抽樣,進而了解中小學生的總體情況和三個群體近視情況的差異大小.
問題1:上述問題中總體有什么特征
【答案】小學生、初中生、高中生三個群體在年齡、體質等方面存在著明顯的差異.
問題2:若采用抽簽法或隨機數法抽樣會出現什么結果
【答案】抽取的樣本可能集中于某一個群體,不具有代表性.
問題3:為使抽取的樣本更合理,更具有代表性,有更好的抽樣方法解決該問題嗎
【答案】有,可分不同群體抽取.
問題4:分層抽樣的總體具有什么特性
【答案】分層抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體,并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體.
新知生成
當總體由差異明顯的幾個部分組成時,為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況,把總體的各個個體按照某種特征或某種規則劃分為互不交叉的層,然后對各層按其在總體中所占比例獨立進行簡單隨機抽樣,這種抽樣方法通常叫作分層抽樣.
特別提醒:對分層抽樣的公平性的理解
在分層抽樣的過程中,每個個體被抽到的可能性是相同的,與分層的情況無關.
若總體的個體數是N,共分k層,n為樣本容量,Ni(i=1,2,3,…,k)是第i層中的個體數,則第i層中所要抽取的個體數ni=n×,而每一個個體被抽取的可能性是=,與層數無關,所以對所有個體而言,其被抽到的可能性是相同的,也就是說分層抽樣是公平的.
新知運用
例1　某學校有在職人員160人,其中行政人員有16人,教師有112人,后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,請利用分層抽樣的方法抽取,并寫出抽樣過程.
【解析】抽樣過程如下:
第一步,確定抽樣比,樣本容量與總體容量的比為=;
第二步,確定分別從三類人員中抽取的人數,從行政人員中抽取16×=2(人),從教師中抽取112×=14(人),從后勤人員中抽取32×=4(人);
第三步,采用簡單隨機抽樣的方法,抽取行政人員2人,教師14人,后勤人員4人;
第四步,把抽取的個體組合在一起構成所需樣本.
【方法總結】
鞏固訓練
某網站針對“2022年法定節假日調休安排”提出的A,B,C三種放假方案進行了問卷調查,調查結果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下的人數 200 400 800
35歲以上(含35歲) 的人數 100 100 400
　　(1)從所有參與調查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知從支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)從支持B方案的人中,用分層抽樣的方法抽取5人,這5人中在35歲以上(含35歲)的人數是多少 35歲以下的人數是多少
方法指導　(1)先確定抽樣比,然后建立等式求解;(2)直接用抽樣比乘支持B方案年齡段的人數即可.
【解析】(1)由題意得
=,
解得n==40.
(2)35歲以上(含35歲)的人數為×100=1,35歲以下的人數為5-1=4.
探究2：抽樣方法的選取
新知生成
抽樣類別 特點 適用范圍 共同點
簡單隨 機抽樣 從總體中隨機抽取 總體中的個體差異不易分層 抽樣過程中,每個個體被抽到的可能性相同
分層抽樣 將總體分層,按各層個體數之比抽取,各層抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體由差異明顯的幾個互不交叉的部分組成
新知運用
例2　選擇合適的抽樣方法抽樣,并寫出抽樣過程.
(1)有甲廠生產的30個籃球,其中一箱21個,另一箱9個,抽取3個;
(2)有30個籃球,其中甲廠生產的有21個,乙廠生產的有9個,抽取10個;
(3)有甲廠生產的300個籃球,抽取10個.
方法指導　由題目可獲取以下主要信息:①本題是要求選擇適當的抽樣方法.②要寫出抽樣過程.解答本題應綜合三種抽樣方法的適用范圍和實際情況,靈活選取適當的方法進行抽取.
【解析】(1)總體容量較小,用抽簽法.
①將30個籃球進行編號,編號為00,01,…,29;
②將以上30個編號分別寫在完全一樣的一張小紙條上,揉成小球,制成號簽;
③把號簽放入一個不透明的袋子中,充分攪拌;
④從袋子中逐個抽取3個號簽,并記錄上面的號碼;
⑤找出和所得號碼對應的籃球即可得到樣本.
(2)總體由差異明顯的兩個層次組成,需選用分層抽樣法.
①確定抽取個數.抽樣比為=,所以甲廠生產的籃球應抽取=7(個),乙廠生產的籃球應抽取=3(個);
②用抽簽法分別抽取甲廠生產的籃球7個,乙廠生產的籃球3個,這些籃球便組成了我們要抽取的樣本.
(3)總體容量較大,樣本容量較小,宜用隨機數法.
①將300個籃球用隨機方式編號,編號為001,002,…,300;
②在隨機數表(見課本)中隨機地確定一個數作為開始,如第8行第29列的數“1”開始,任選一個方向作為讀數方向,比如向右讀;
③從數“1”開始向右讀,每次讀三位,凡不在001~300中的數跳過去不讀,遇到已經讀過的數也跳過去不讀,便可依次得到10個號碼,這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼.
【方法總結】分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法
(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定,總的原則如下:層內樣本的差異要小,各層之間的樣本差異要大,且互不重疊.
(2)為了保證每個個體等可能入樣,所有層應采用同一抽樣比,等可能抽樣.
(3)在每層抽樣時,應采用簡單隨機抽樣的方法進行抽樣.
鞏固訓練
一個單位有職工160人,其中業務人員96人,管理人員40人,后勤服務人員24人.為了了解職工的某種情況,要從中抽取一個容量為20的樣本,按下述兩種方法抽樣:
方法1:將160人從1至160編號,然后將160個編號分別寫在完全一樣的小紙條上,揉成小球放入箱內拌勻,然后從中抽20個號簽,與所得號碼對應的20個人被選出.
方法2:按20∶160=1∶8的比例,從業務人員中抽取12人,從管理人員中抽取5人,從后勤服務人員中抽取3人,都用隨機數法從各類人員中抽取所需的人數,他們合在一起恰好抽到20人.
則方案1是　　　　,方案2是　　　　.(填“簡單隨機抽樣”或“分層抽樣”)
【答案】簡單隨機抽樣　分層抽樣
【解析】方法1是簡單隨機抽樣;方法2是分層抽樣.
探究3：分層抽樣的應用
例3　為了對某課題進行研究,分別從A,B,C三所高校中用分層抽樣法抽取若干名教授組成研究小組,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若從A,B兩所高校中共抽取3名教授,B,C兩所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若從高校B中抽取的教授數是從高校A和C中抽取的教授總數的,求三所高校的教授的總人數.
方法指導　(1)由題意得從高校B中抽取2名教授,高校A中抽取1名教授,高校C中抽取3名教授,再利用分層抽樣的特征建立方程求解;(2)由題意,結合分層抽樣的特征建立方程求m+n即可得解.
【解析】(1)∵0∴==,解得m=36,n=108.
(2)∵從高校B中抽取的教授數是從高校A和C中抽取的教授總數的,∴(m+n)=72,解得m+n=108,
∴三所高校的教授的總人數為m+n+72=180.
【方法總結】進行分層抽樣的相關計算時,常利用以下關系式,轉化為按比例列方程或算式求解:(1)=;(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.
鞏固訓練
我國古代數學專著《九章算術》中有一衰分(按比例遞減分配)問題:今有北鄉八千一百人,西鄉七千四百八十八人,南鄉六千九百一十二人,凡三鄉,發役三百人,則北鄉遣(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.104人 B.108人 C.112人 D.120人
【答案】B
【解析】由題意可知,這是一個分層抽樣的問題,其中北鄉抽取的人數為300×=300×=108.
【隨堂檢測】
1.①某班元旦聚會,要抽取兩名“幸運者”.②某班期中考試有15人在85分以上,40人在60~84分,1人不及格,現欲從中抽出8人研討進一步改進教和學.合適的抽樣方法分別為(　　).
A.分層抽樣,簡單隨機抽樣
B.分層抽樣,分層抽樣
C.簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣
D.簡單隨機抽樣,分層抽樣
【答案】D
【解析】①總體和樣本容量都不大,所以采用簡單隨機抽樣.
②總體由具有明顯差異的幾個部分組成,所以采用分層抽樣.
2.甲校有3600名學生,乙校有5400名學生,丙校有1800名學生,為統計甲、乙、丙三校學生某方面的情況,計劃采用分層抽樣法抽取一個樣本量為90的樣本,應在甲、乙、丙三校分別抽取學生(　　).
A.30人,30人,30人　　　B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
【答案】B
【解析】抽樣比==,各層按抽樣比分別抽取,
則甲校抽取3600×=30(人);
乙校抽取5400×=45(人);
丙校抽取1800×=15(人).
故選B.
3.我國古代數學名著《數書九章》中有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內夾谷,抽樣取米一把,數得254粒內夾谷28粒,則這批米內夾谷約有　　　　石.(精確到整數)
【答案】169
【解析】設這批米內夾谷約有x石,依題意有=,解得x≈169,所以這批米內夾谷約有169石.
4.在120個零件中有一級品24個、二級品36個、三級品60個,從中抽取一個容量為20的樣本,若用簡單隨機抽樣法抽取樣本,則總體中每個個體被抽到的可能性為　　　　;若用分層抽樣法抽取樣本,則總體中每個個體被抽到的可能性為　　　　.
【答案】　
【解析】因為總體的個體數N=120,樣本容量n=20,若用簡單隨機抽樣法抽取樣本,
則每個個體被抽到的可能性均為=;
因為一、二、三級品的數量之比為24∶36∶60=2∶3∶5,
所以從一、二、三級品中抽取的數量分別為20×=4,20×=6,20×=10,若用分層抽樣法抽取樣本,
則每個個體被抽到的可能性分別為,,,都為.
26.2.2　分層抽樣
【學習目標】
1.了解分層抽樣的概念,通過典型實例掌握分層抽樣的方法.(數學抽象)
2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.(數據分析)
3.理解簡單隨機抽樣、分層抽樣的范圍和特點.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.什么叫分層抽樣
2.分層抽樣適用于什么情況
3.分層抽樣時,每個個體被抽到的機會是相等的嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在統計實踐中選擇哪種抽樣方法關鍵是看總體容量的大小. (　　)
(2)分層抽樣中,個體數量較少的層抽取的樣本數量較少,這是不公平的. (　　)
(3)從全班50名同學中抽取5人調查作業完成情況,適合用分層抽樣. (　　)
2.下列實驗中,最適合用分層抽樣法抽樣的是(　　).
A.從一箱3000個零件中抽取5個入樣
B.從一箱3000個零件中抽取600個入樣
C.從一箱30個零件中抽取5個入樣
D.從甲廠生產的100個零件和乙廠生產的200個零件中抽取6個入樣
3.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為100,200,150,50.為檢驗產品的質量,現用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取　　　　件.
【合作探究】
探究1：分層抽樣的概念
情境設置
　　某市為調查中小學生的近視情況,在全市范圍內分別對小學生、初中生、高中生三個群體抽樣,進而了解中小學生的總體情況和三個群體近視情況的差異大小.
問題1:上述問題中總體有什么特征
問題2:若采用抽簽法或隨機數法抽樣會出現什么結果
問題3:為使抽取的樣本更合理,更具有代表性,有更好的抽樣方法解決該問題嗎
問題4:分層抽樣的總體具有什么特性
新知生成
當總體由差異明顯的幾個部分組成時,為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況,把總體的各個個體按照某種特征或某種規則劃分為互不交叉的層,然后對各層按其在總體中所占比例獨立進行簡單隨機抽樣,這種抽樣方法通常叫作分層抽樣.
特別提醒:對分層抽樣的公平性的理解
在分層抽樣的過程中,每個個體被抽到的可能性是相同的,與分層的情況無關.
若總體的個體數是N,共分k層,n為樣本容量,Ni(i=1,2,3,…,k)是第i層中的個體數,則第i層中所要抽取的個體數ni=n×,而每一個個體被抽取的可能性是=,與層數無關,所以對所有個體而言,其被抽到的可能性是相同的,也就是說分層抽樣是公平的.
新知運用
例1　某學校有在職人員160人,其中行政人員有16人,教師有112人,后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,請利用分層抽樣的方法抽取,并寫出抽樣過程.
【方法總結】
鞏固訓練
某網站針對“2022年法定節假日調休安排”提出的A,B,C三種放假方案進行了問卷調查,調查結果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下的人數 200 400 800
35歲以上(含35歲) 的人數 100 100 400
　　(1)從所有參與調查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知從支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)從支持B方案的人中,用分層抽樣的方法抽取5人,這5人中在35歲以上(含35歲)的人數是多少 35歲以下的人數是多少
方法指導　(1)先確定抽樣比,然后建立等式求解;(2)直接用抽樣比乘支持B方案年齡段的人數即可.
探究2：抽樣方法的選取
新知生成
抽樣類別 特點 適用范圍 共同點
簡單隨 機抽樣 從總體中隨機抽取 總體中的個體差異不易分層 抽樣過程中,每個個體被抽到的可能性相同
分層抽樣 將總體分層,按各層個體數之比抽取,各層抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體由差異明顯的幾個互不交叉的部分組成
新知運用
例2　選擇合適的抽樣方法抽樣,并寫出抽樣過程.
(1)有甲廠生產的30個籃球,其中一箱21個,另一箱9個,抽取3個;
(2)有30個籃球,其中甲廠生產的有21個,乙廠生產的有9個,抽取10個;
(3)有甲廠生產的300個籃球,抽取10個.
方法指導　由題目可獲取以下主要信息:①本題是要求選擇適當的抽樣方法.②要寫出抽樣過程.解答本題應綜合三種抽樣方法的適用范圍和實際情況,靈活選取適當的方法進行抽取.
【方法總結】分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法
(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定,總的原則如下:層內樣本的差異要小,各層之間的樣本差異要大,且互不重疊.
(2)為了保證每個個體等可能入樣,所有層應采用同一抽樣比,等可能抽樣.
(3)在每層抽樣時,應采用簡單隨機抽樣的方法進行抽樣.
鞏固訓練
一個單位有職工160人,其中業務人員96人,管理人員40人,后勤服務人員24人.為了了解職工的某種情況,要從中抽取一個容量為20的樣本,按下述兩種方法抽樣:
方法1:將160人從1至160編號,然后將160個編號分別寫在完全一樣的小紙條上,揉成小球放入箱內拌勻,然后從中抽20個號簽,與所得號碼對應的20個人被選出.
方法2:按20∶160=1∶8的比例,從業務人員中抽取12人,從管理人員中抽取5人,從后勤服務人員中抽取3人,都用隨機數法從各類人員中抽取所需的人數,他們合在一起恰好抽到20人.
則方案1是　　　　,方案2是　　　　.(填“簡單隨機抽樣”或“分層抽樣”)
探究3：分層抽樣的應用
例3　為了對某課題進行研究,分別從A,B,C三所高校中用分層抽樣法抽取若干名教授組成研究小組,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若從A,B兩所高校中共抽取3名教授,B,C兩所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若從高校B中抽取的教授數是從高校A和C中抽取的教授總數的,求三所高校的教授的總人數.
方法指導　(1)由題意得從高校B中抽取2名教授,高校A中抽取1名教授,高校C中抽取3名教授,再利用分層抽樣的特征建立方程求解;(2)由題意,結合分層抽樣的特征建立方程求m+n即可得解.
【方法總結】進行分層抽樣的相關計算時,常利用以下關系式,轉化為按比例列方程或算式求解:(1)=;(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.
鞏固訓練
我國古代數學專著《九章算術》中有一衰分(按比例遞減分配)問題:今有北鄉八千一百人,西鄉七千四百八十八人,南鄉六千九百一十二人,凡三鄉,發役三百人,則北鄉遣(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.104人 B.108人 C.112人 D.120人
【隨堂檢測】
1.①某班元旦聚會,要抽取兩名“幸運者”.②某班期中考試有15人在85分以上,40人在60~84分,1人不及格,現欲從中抽出8人研討進一步改進教和學.合適的抽樣方法分別為(　　).
A.分層抽樣,簡單隨機抽樣
B.分層抽樣,分層抽樣
C.簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣
D.簡單隨機抽樣,分層抽樣
2.甲校有3600名學生,乙校有5400名學生,丙校有1800名學生,為統計甲、乙、丙三校學生某方面的情況,計劃采用分層抽樣法抽取一個樣本量為90的樣本,應在甲、乙、丙三校分別抽取學生(　　).
A.30人,30人,30人　　　B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
3.我國古代數學名著《數書九章》中有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內夾谷,抽樣取米一把,數得254粒內夾谷28粒,則這批米內夾谷約有　　　　石.(精確到整數)
4.在120個零件中有一級品24個、二級品36個、三級品60個,從中抽取一個容量為20的樣本,若用簡單隨機抽樣法抽取樣本,則總體中每個個體被抽到的可能性為　　　　;若用分層抽樣法抽取樣本,則總體中每個個體被抽到的可能性為　　　　.
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