資源簡(jiǎn)介

6.4.2　用樣本估計(jì)總體的離散程度
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合實(shí)例,能理解用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).(數(shù)據(jù)分析)
2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,能用方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是極差,它的統(tǒng)計(jì)意義是什么
【答案】最大值與最小值之差稱(chēng)為極差.它粗略地刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的離散程度.
2.樣本方差能估計(jì)總體方差嗎 它們的公式形式相同嗎
【答案】能,相同.
3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是什么
【答案】給定數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn和均值.樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的計(jì)算公式如下:
s=.
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)計(jì)算分層抽樣的均值與方差時(shí),必須已知各層的權(quán)重. (　　)
(2)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒(méi)有波動(dòng)變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0. (　　)
(3)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚? (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.已知一組數(shù)據(jù)為a,1,2,3,4,其平均數(shù)是2,則其方差是　　　　.
【答案】2
【解析】∵=2,∴a=0,
∴方差s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2.
3.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)分別為7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
求:(1)平均命中環(huán)數(shù);
(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
【解析】(1)平均命中環(huán)數(shù)
==7.
(2)由題意知,方差s2=×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴標(biāo)準(zhǔn)差s=2.
4.某中學(xué)在高一年級(jí)400名學(xué)生(其中男生220人,女生180人)中隨機(jī)抽取22名男生與18名女生,統(tǒng)計(jì)他們的生活費(fèi)支出,得到下面的結(jié)果:
男生:=520元,=250;女生:=500元,=280.
試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該校高一學(xué)生生活費(fèi)支出的總體均值、總體方差.
【解析】總體均值約為×520+×500=511(元),
總體方差約為×[250+(520-511)2]+×[280+(500-511)2]=362.5.
【合作探究】
探究1：極差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:在繪制頻率分布直方圖時(shí),第一步計(jì)算什么
【答案】計(jì)算極差.
問(wèn)題2:什么是極差
【答案】最大值與最小值的差.
問(wèn)題3:極差反映了數(shù)據(jù)的什么變化
【答案】極差反映了數(shù)據(jù)變化的幅度.
新知生成
1.極值
將一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.
2.極差
將最大值與最小值之差稱(chēng)為極差,也稱(chēng)全距,用R表示.
極差反映了數(shù)據(jù)變化的幅度,是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單的代表值,計(jì)算簡(jiǎn)單又易于理解,但它容易受極端值的影響.
新知運(yùn)用
例1　(多選題)空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí),指數(shù)越大說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體危害越大,指數(shù)范圍在[0,50],[51,100],[101,200],[201,300],[301,500]分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”五個(gè)等級(jí).下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)圖,下列說(shuō)法中正確的是(　　).
A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好
B.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為195
C.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103.5
D.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為
【答案】BC
【解析】從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來(lái)越高,故空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故A錯(cuò)誤;這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為220-25=195,故B正確;這14天空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列,中間的兩個(gè)數(shù)為86,121,故中位數(shù)為=103.5,故C正確;這14天中有1日,3日,12日,13日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”,共4天,所以空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為=,故D錯(cuò)誤.故選BC.
【方法總結(jié)】計(jì)算極差一般根據(jù)極差公式計(jì)算.
鞏固訓(xùn)練
(多選題)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù),第一組:3,11,5,13,7,2,6,8,9;第二組:12,20,14,22,16,11,15,17,18.則這兩組數(shù)據(jù)的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.平均數(shù)相等 B.中位數(shù)相等
C.極差相等 D.方差相等
【答案】CD
【解析】由題意可得,第二組的每個(gè)數(shù)據(jù)都是第一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)加上9得到的,因此可以判斷第二組的平均數(shù)和中位數(shù)都比第一組多9,而極差和方差不變.
探究2：方差
情境設(shè)置
　　甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)分別如下:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7.
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
問(wèn)題1:甲、乙兩名戰(zhàn)士命中環(huán)數(shù)的平均數(shù),各是多少
【答案】=7,=7.
問(wèn)題2:由,能否判斷兩人的射擊水平
【答案】因?yàn)?=7,所以不能判斷.
問(wèn)題3:觀(guān)察上述兩組數(shù)據(jù),你認(rèn)為哪個(gè)人的射擊水平更穩(wěn)定
【答案】從數(shù)字分布來(lái)看,甲命中的環(huán)數(shù)較分散,乙命中的環(huán)數(shù)較集中.故乙的射擊水平更穩(wěn)定.
新知生成
1.總體方差
常采用方差來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小,若設(shè)y1,y2,…,yN是總體的全部個(gè)體,μ是總體均值,則稱(chēng)σ2=為總體方差或方差.
2.樣本方差
若從總體中隨機(jī)抽樣,獲得n個(gè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用表示這n個(gè)數(shù)據(jù)的均值,則稱(chēng)s2=為這n個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差,也簡(jiǎn)稱(chēng)為方差.
新知運(yùn)用
例2　某化肥廠(chǎng)有甲、乙兩個(gè)車(chē)間包裝肥料,在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品,稱(chēng)其質(zhì)量,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位:kg):
甲:102,101,99,98,103,98,99.
乙:110,115,90,85,75,115,110.
試計(jì)算甲、乙兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差,并說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品比較穩(wěn)定.
方法指導(dǎo)　分別計(jì)算甲、乙車(chē)間的平均數(shù)和方差即可得到答案.
【解析】甲的平均數(shù)
==100,
甲的方差=×[(102-100)2+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+(103-100)2+(98-100)2+(99-100)2]=.
乙的平均數(shù)==100,
乙的方差=×[(110-100)2+(115-100)2+(90-100)2+(85-100)2+(75-100)2+(115-100)2+(110-100)2]=.
因?yàn)?,<,所以甲車(chē)間的產(chǎn)品比較穩(wěn)定.
【方法總結(jié)】計(jì)算方差的四個(gè)步驟:(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差:xi-(i=1,2,3,…,n);(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,…,n)的平方;(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差.
鞏固訓(xùn)練
　　甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)如下(單位:cm):
甲:99,100,98,100,100,103.
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;
(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
【解析】(1)=×(99+100+98+100+100+103)=100,
=×(99+100+102+99+100+100)=100.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)因?yàn)閮膳_(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同,>,所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
探究3：分層抽樣的均值與方差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:在分層抽樣中各層抽查的個(gè)數(shù)不一樣,如何求樣本的平均數(shù)呢
【答案】求分層抽樣的平均數(shù),可以先分層求平均數(shù),再求樣本的平均數(shù).
問(wèn)題2:在分層抽樣中各層抽查的個(gè)數(shù)不一樣,如何求樣本的方差呢
【答案】可以先分層求平均數(shù)、方差,再求樣本的方差.
新知生成
1.在分層抽樣時(shí),如果將總體分為2層,各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別表示為n1,n2,,,,,那么全部樣本的樣本容量n、樣本均值和樣本方差s2分別為n=n1+n2,=·+·,s2={n1[+(-)2]+n2[+(-)2]}.
2.在分層抽樣時(shí),如果將總體分為k層,第j層抽取的樣本量為nj,樣本平均數(shù)為,樣本方差為,j=1,2,…,k,記n=nj,那么全部樣本的均值=(nj),全部樣本的方差為s2={nj[+(-)2]}.
新知運(yùn)用
例3　某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了教師職稱(chēng)及年齡:中級(jí)職稱(chēng)教師的人數(shù)為50,平均年齡為38歲,方差是2;高級(jí)職稱(chēng)的教師中有3人58歲,5人40歲,2人38歲.求該校中級(jí)職稱(chēng)和高級(jí)職稱(chēng)教師年齡的平均數(shù)和方差.
【解析】由已知條件可知,高級(jí)職稱(chēng)教師的平均年齡為==45(歲),
年齡的方差為=×[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以該校中級(jí)職稱(chēng)和高級(jí)職稱(chēng)教師的平均年齡為=×38+×45≈39.2(歲),
該校中級(jí)職稱(chēng)和高級(jí)職稱(chēng)教師的年齡的方差是s2=×[2+(38-39.2)2]+×[73+(45-39.2)2]=20.64.
【方法總結(jié)】計(jì)算分層抽樣的方差s2的步驟
(1)確定,,,;
(2)確定;
(3)應(yīng)用公式s2=[+(-)2]+[+(-)2]計(jì)算s2.
鞏固訓(xùn)練
已知某省二、三、四線(xiàn)城市房屋數(shù)量之比為1∶3∶6,2022年8月份調(diào)查得知該省二、三、四線(xiàn)城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米,方差為20,二、三、四線(xiàn)城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米,1.8萬(wàn)元/平方米,0.8萬(wàn)元/平方米,三、四線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差為　　　　.
【答案】118.52
【解析】設(shè)二線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差為s2,由題意可知,20=[s2+(1.2-2.4)2]+[10+(1.2-1.8)2]+[8+(1.2-0.8)2],解得s2=118.52,即二線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差為118.52.
探究4：標(biāo)準(zhǔn)差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:方差充分利用所有數(shù)據(jù),并且僅用一個(gè)數(shù)值來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度,試問(wèn)方差有局限性嗎 局限性是什么
【答案】方差有局限性,如方差的單位是觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的單位的平方,而刻畫(huà)離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有與觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)相同的單位.
問(wèn)題2:解決問(wèn)題1的局限性的方法是什么
【答案】引入標(biāo)準(zhǔn)差.
新知生成
標(biāo)準(zhǔn)差
解決方差局限性的方法就是引入標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.
若σ2是總體方差,則稱(chēng)σ=是總體標(biāo)準(zhǔn)差;
若s2是樣本方差,則稱(chēng)s=是樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
給定數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn和均值.由方差計(jì)算公式知道,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s可以用下面的公式計(jì)算s=.
新知運(yùn)用
例4　機(jī)床生產(chǎn)一批參考尺寸為6.0 mm±0.3 mm的零件,從中隨機(jī)抽取10個(gè),量得其尺寸如下表(單位:mm):
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
尺寸 6.3 5.8 6.2 5.9 6.2 6.0 5.8 5.8 5.9 6.1
　　(1)求樣本零件尺寸的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差s;
(2)估計(jì)這批零件尺寸位于(-s,+s)的百分比.
參考數(shù)據(jù):取=1.79.
方法指導(dǎo)　(1)由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式可直接計(jì)算求得結(jié)果;(2)由(1)可求得區(qū)間為(5.821,6.179),利用樣本估計(jì)總體的思想可直接計(jì)算得到結(jié)果.
【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)得=(6.3+3×5.8+2×5.9+2×6.2+6.1+6.0)÷10=6,s2=[(6.3-6)2+(5.8-6)2+(6.2-6)2+(5.9-6)2+(6.2-6)2+(6-6)2+(5.8-6)2+(5.8-6)2+(5.9-6)2+(6.1-6)2]÷10=0.032,所以s===0.179.
(2)由(1)可知-s=5.821,+s=6.179.
這10件樣本中,尺寸在(5.821,6.179)內(nèi)的共有4件,
以樣本估計(jì)總體,則這批零件尺寸位于(5.821,6.179)內(nèi)的百分比約為×100%=40%.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5,該樣本平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)4,得到新樣本的平均數(shù)為,方差為s2,則下列說(shuō)法正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.>4,s2>2 B.=4,s2>2
C.<4,s2<2 D.=4,s2<2
【答案】D
【解析】因?yàn)閤1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為4,方差為2,所以加入一個(gè)數(shù)4,得到新樣本的平均數(shù)=×(4×5+4)=4,方差s2=×[5×2+(4-4)2]=<2.
2.為了調(diào)查公司員工的健康狀況,用分層抽樣的方法抽取樣本.已知所抽取的所有員工的平均體重為60 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60;男員工的平均體重為70 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為50;女員工的平均體重為50 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60.若樣本中有20名男員工,則女員工的人數(shù)為(　　).
A.160 B.180 C.200 D.210
【答案】C
【解析】設(shè)男,女員工的權(quán)重分別為w男,w女,
由題意可知s2=w男[+(-)2]+w女[+(-)2],即w男[502+(70-60)2]+(1-w男)[602+(50-60)2]=602,解得w男=,w女=.
因?yàn)闃颖局杏?0名男員工,所以樣本中女員工的人數(shù)為200.
3.若某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=　　　　.
【答案】
【解析】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=7,
方差s2=×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=.
4.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差是,則xy=　　　　.
【答案】96
【解析】由平均數(shù)為10,得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,即(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,解得xy=96.
26.4.2　用樣本估計(jì)總體的離散程度
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合實(shí)例,能理解用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).(數(shù)據(jù)分析)
2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,能用方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是極差,它的統(tǒng)計(jì)意義是什么
2.樣本方差能估計(jì)總體方差嗎 它們的公式形式相同嗎
3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是什么
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)計(jì)算分層抽樣的均值與方差時(shí),必須已知各層的權(quán)重. (　　)
(2)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒(méi)有波動(dòng)變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0. (　　)
(3)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚? (　　)
2.已知一組數(shù)據(jù)為a,1,2,3,4,其平均數(shù)是2,則其方差是　　　　.
3.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)分別為7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
求:(1)平均命中環(huán)數(shù);
(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
4.某中學(xué)在高一年級(jí)400名學(xué)生(其中男生220人,女生180人)中隨機(jī)抽取22名男生與18名女生,統(tǒng)計(jì)他們的生活費(fèi)支出,得到下面的結(jié)果:
男生:=520元,=250;女生:=500元,=280.
試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該校高一學(xué)生生活費(fèi)支出的總體均值、總體方差.
【合作探究】
探究1：極差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:在繪制頻率分布直方圖時(shí),第一步計(jì)算什么
問(wèn)題2:什么是極差
問(wèn)題3:極差反映了數(shù)據(jù)的什么變化
新知生成
1.極值
將一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.
2.極差
將最大值與最小值之差稱(chēng)為極差,也稱(chēng)全距,用R表示.
極差反映了數(shù)據(jù)變化的幅度,是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單的代表值,計(jì)算簡(jiǎn)單又易于理解,但它容易受極端值的影響.
新知運(yùn)用
例1　(多選題)空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí),指數(shù)越大說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體危害越大,指數(shù)范圍在[0,50],[51,100],[101,200],[201,300],[301,500]分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”五個(gè)等級(jí).下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)圖,下列說(shuō)法中正確的是(　　).
A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好
B.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為195
C.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103.5
D.這14天中,空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為
【方法總結(jié)】計(jì)算極差一般根據(jù)極差公式計(jì)算.
鞏固訓(xùn)練
(多選題)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù),第一組:3,11,5,13,7,2,6,8,9;第二組:12,20,14,22,16,11,15,17,18.則這兩組數(shù)據(jù)的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.平均數(shù)相等 B.中位數(shù)相等
C.極差相等 D.方差相等
探究2：方差
情境設(shè)置
　　甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)分別如下:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7.
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
問(wèn)題1:甲、乙兩名戰(zhàn)士命中環(huán)數(shù)的平均數(shù),各是多少
問(wèn)題2:由,能否判斷兩人的射擊水平
問(wèn)題3:觀(guān)察上述兩組數(shù)據(jù),你認(rèn)為哪個(gè)人的射擊水平更穩(wěn)定
新知生成
1.總體方差
常采用方差來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小,若設(shè)y1,y2,…,yN是總體的全部個(gè)體,μ是總體均值,則稱(chēng)σ2=為總體方差或方差.
2.樣本方差
若從總體中隨機(jī)抽樣,獲得n個(gè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用表示這n個(gè)數(shù)據(jù)的均值,則稱(chēng)s2=為這n個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差,也簡(jiǎn)稱(chēng)為方差.
新知運(yùn)用
例2　某化肥廠(chǎng)有甲、乙兩個(gè)車(chē)間包裝肥料,在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品,稱(chēng)其質(zhì)量,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位:kg):
甲:102,101,99,98,103,98,99.
乙:110,115,90,85,75,115,110.
試計(jì)算甲、乙兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差,并說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品比較穩(wěn)定.
方法指導(dǎo)　分別計(jì)算甲、乙車(chē)間的平均數(shù)和方差即可得到答案.
【方法總結(jié)】計(jì)算方差的四個(gè)步驟:(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差:xi-(i=1,2,3,…,n);(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,…,n)的平方;(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差.
鞏固訓(xùn)練
　　甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)如下(單位:cm):
甲:99,100,98,100,100,103.
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;
(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
探究3：分層抽樣的均值與方差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:在分層抽樣中各層抽查的個(gè)數(shù)不一樣,如何求樣本的平均數(shù)呢
問(wèn)題2:在分層抽樣中各層抽查的個(gè)數(shù)不一樣,如何求樣本的方差呢
新知生成
1.在分層抽樣時(shí),如果將總體分為2層,各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別表示為n1,n2,,,,,那么全部樣本的樣本容量n、樣本均值和樣本方差s2分別為n=n1+n2,=·+·,s2={n1[+(-)2]+n2[+(-)2]}.
2.在分層抽樣時(shí),如果將總體分為k層,第j層抽取的樣本量為nj,樣本平均數(shù)為,樣本方差為,j=1,2,…,k,記n=nj,那么全部樣本的均值=(nj),全部樣本的方差為s2={nj[+(-)2]}.
新知運(yùn)用
例3　某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了教師職稱(chēng)及年齡:中級(jí)職稱(chēng)教師的人數(shù)為50,平均年齡為38歲,方差是2;高級(jí)職稱(chēng)的教師中有3人58歲,5人40歲,2人38歲.求該校中級(jí)職稱(chēng)和高級(jí)職稱(chēng)教師年齡的平均數(shù)和方差.
【方法總結(jié)】計(jì)算分層抽樣的方差s2的步驟
(1)確定,,,;
(2)確定;
(3)應(yīng)用公式s2=[+(-)2]+[+(-)2]計(jì)算s2.
鞏固訓(xùn)練
已知某省二、三、四線(xiàn)城市房屋數(shù)量之比為1∶3∶6,2022年8月份調(diào)查得知該省二、三、四線(xiàn)城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米,方差為20,二、三、四線(xiàn)城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米,1.8萬(wàn)元/平方米,0.8萬(wàn)元/平方米,三、四線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線(xiàn)城市房?jī)r(jià)的方差為　　　　.
探究4：標(biāo)準(zhǔn)差
情境設(shè)置
問(wèn)題1:方差充分利用所有數(shù)據(jù),并且僅用一個(gè)數(shù)值來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度,試問(wèn)方差有局限性嗎 局限性是什么
問(wèn)題2:解決問(wèn)題1的局限性的方法是什么
新知生成
標(biāo)準(zhǔn)差
解決方差局限性的方法就是引入標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.
若σ2是總體方差,則稱(chēng)σ=是總體標(biāo)準(zhǔn)差;
若s2是樣本方差,則稱(chēng)s=是樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
給定數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn和均值.由方差計(jì)算公式知道,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s可以用下面的公式計(jì)算s=.
新知運(yùn)用
例4　機(jī)床生產(chǎn)一批參考尺寸為6.0 mm±0.3 mm的零件,從中隨機(jī)抽取10個(gè),量得其尺寸如下表(單位:mm):
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
尺寸 6.3 5.8 6.2 5.9 6.2 6.0 5.8 5.8 5.9 6.1
　　(1)求樣本零件尺寸的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差s;
(2)估計(jì)這批零件尺寸位于(-s,+s)的百分比.
參考數(shù)據(jù):取=1.79.
方法指導(dǎo)　(1)由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式可直接計(jì)算求得結(jié)果;(2)由(1)可求得區(qū)間為(5.821,6.179),利用樣本估計(jì)總體的思想可直接計(jì)算得到結(jié)果.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5,該樣本平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)4,得到新樣本的平均數(shù)為,方差為s2,則下列說(shuō)法正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.>4,s2>2 B.=4,s2>2
C.<4,s2<2 D.=4,s2<2
2.為了調(diào)查公司員工的健康狀況,用分層抽樣的方法抽取樣本.已知所抽取的所有員工的平均體重為60 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60;男員工的平均體重為70 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為50;女員工的平均體重為50 kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60.若樣本中有20名男員工,則女員工的人數(shù)為(　　).
A.160 B.180 C.200 D.210
3.若某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=　　　　.
4.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差是,則xy=　　　　.
2

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