資源簡介

6.4.4　百分位數
【學習目標】
1.結合實例,能用樣本估計百分位數.(數學運算、數據分析)
2.理解百分位數的統計含義,并會計算.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是百分位數
【答案】百分位數是位于按一定順序排列的一組數據中某一個百分位置的數值.
2.如何計算一組觀測數據的百分位數
【答案】設觀測數據已經按從小到大的順序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,計算c=n×r%;
第二步,如果c不是整數,用m表示比c大的最小整數,那么所求的Pr=xm;如果c是整數,那么所求的Pr=.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)四分位數指的是 25%分位數. (　　)
(2)百分位數只能是正數. (　　)
(3)50%分位數與中位數相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.高二(1)班某個7人宿舍中每位同學的身高(單位:cm)分別為170,168,172,172,175,176,180,則這7人的第40百分位數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.168 B.170 C.172 D.171
【答案】C
【解析】將所給數據從小到大排序得168,170,172,172,175,176,180,7×0.4=2.8,故這7人的第40百分位數為第3個數172.
3.某市2023年5月份前十天的最高氣溫(單位:℃)分別為21,19,31,28,34,30,15,22,25,26,則這十天最高氣溫的第60百分位數為　　　.
【答案】27
【解析】把所給數據按照從小到大的順序排列為15,19,21,22,25,26,28,30,31,34.
因為10×60%=6,所以第60百分位數為=27.
【合作探究】
探究1：百分位數
情境設置
　　在涉及人體尺寸的產品設計時,需應用人體尺寸百分位數.人體尺寸百分位數表示某一人體尺寸范圍內,有百分之幾的人大于或小于給定值.例如,5%分位數代表“小”身材,即只有5%的數值低于此下限值;95%分位數代表“大”身材,即只有5%的數值高于此上限值.
問題1:根據上述分析,50%分位數代表“適中”身材,它的含義是什么
【答案】有50%的數值高于和低于此值.
問題2:“這次數學測試成績的70%分位數是85分”這句話是什么意思
【答案】有70%的同學數學測試成績小于或等于85分.
問題3:p(p∈(0,1))分位數有什么特點
【答案】總體數據中的任意一個數小于或等于它的可能性是p.
新知生成
1.百分位數
百分位數是位于按一定順序排列的一組數據中某一個百分位置的數值,以Pr表示,其中r是區間[1,99]內的整數.
一個百分位數Pr將總體或樣本的全部觀測值分為兩部分,至少有r%的觀測值小于或等于它,且至少有(100-r)%的觀測值大于或等于它.當r%=50%時,Pr即對應中位數.
2.求一組觀測數據百分位數的步驟
設觀測數據已經按從小到大的順序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,計算c=n×r%.
第二步,若c不是整數,用m表示比c大的最小整數,則所求的Pr是xm;若c是整數,則所求的Pr是.
3.四分位數
在統計學中,P25,P50,P75分別稱為第一四分位數、第二四分位數、第三四分位數.
新知運用
例1　某良種培育基地正在培育一種小麥新品種,隨機抽出部分試種小麥的產量的樣本數據(單位:千克)如下:
415　359　454　367　434　445　374　375
451　385　421　410　391　430　392　394
423　400　406　430　401　443　405　400
407　388　412　427　414　357　415　386
422　423　399　412　401　430　392　368
403　371　445　383　363
估計試種小麥新品種的產量的P25,P50,P75.
方法指導　先把數據由小到大排列,然后根據一組n個數據的百分位數的計算步驟求解.
【解析】把45個樣本數據按從小到大排序:
357　359　363　367　368　371　374　375
383　385　386　388　391　392　392　394
399　400　400　401　401　403　405　406
407　410　412　412　414　415　415　421
422　423　423　427　430　430　430　434
443　445　445　451　454
由25%×45=11.25,50%×45=22.5,75%×45=33.75,
可知樣本數據的P25,P50,P75分別為第12,23,34項數據,即分別為388,405,423.
由此可以估計試種小麥新品種產量的P25,P50,P75分別為388,405,423.
【方法總結】計算一組觀測數據的Pr,一般按照根據百分位數的定義和計算步驟求解,注意所給數據是否按由小到大排序,若沒排序,要先排序,再計算.
鞏固訓練
某公司共有員工120人,用簡單隨機抽樣任意抽取12人,得到這12人的月工資(單位:千元)如下:7.5,6.8,8.6,6.2,7.8,8.9,7.8,8.0,8.5,8.2,7.2,8.0.試估計該公司員工工資的P25,P50,P90.
【解析】將所有數據從小到大排列,得6.2,6.8,7.2,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.5,8.6,8.9.
因為有12個數據,
所以12×25%=3,12×50%=6,12×90%=10.8.
所以P25==7.35,
P50==7.9,
P90=8.6.
所以估計該公司員工工資的P25,P50,P90分別為7.35,7.9,8.6.
探究2：百分位數在統計表或統計圖中的應用
例2　某中學舉行電腦知識競賽,現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
估計參賽學生的成績的P25,P90.
方法指導　先計算百分位數落在哪個區間,然后類比中位數求解,
【解析】由直方圖得,從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05,
成績在60分以下的學生所占比例為30%>25%,
所以P25一定位于[50,60)內.
由50+10×≈58.3,可以估計參賽學生的成績的P25為58.3.
成績在80分以下的學生所占比例為30%+40%+15%=85%<90%,
成績在90分以下的學生所占比例為30%+40%+15%+10%=95%>90%,
所以P90一定位于[80,90)內.
由80+10×=85,可以估計參賽學生的成績的P90為85.
【方法總結】計算頻率分布直方圖(表)中的Pr,一般先求頻率,小于a的頻率為m,小于b的頻率為n,找到百分位數所在的區間[a,b],則所求百分位數是a+|b-a|×.
鞏固訓練
從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數據,整理得到數據分組及頻數分布表如下:
組號 分組 頻數
1 [0,2.5) 6
2 [2.5,4.5) 8
3 [4.5,6.5) 17
4 [6.5,8.5) 22
5 [8.5,10.5) 25
6 [10.5,12.5) 12
7 [12.5,14.5) 6
8 [14.5,16.5) 2
9 [16.5,18.5] 2
合計 100
　　試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的P80,P95.
【解析】由統計表可知,周課外閱讀時間在10.5小時以下的學生所占比例為0.78,周課外閱讀時間在12.5小時以下的學生所占比例為0.90.
所以P80一定位于[10.5,12.5)內,由10.5+2×≈10.8,可以估計樣本數據的P80為10.8.
同理,可知周課外閱讀時間在12.5小時以下的學生所占比例為0.9,周課外閱讀時間在14.5小時以下的學生所占比例為0.96,
所以P95一定位于[14.5,16.5)內,由12.5+2×≈14.2,可以估計樣本數據的P95為14.2.
【隨堂檢測】
1.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標,常用區間[0,10]內的一個數來表示,該數越接近10表示滿意度越高.現隨機抽取10位嘉祥縣居民,他們的幸福感指數為 3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,則這組數據的P80是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
【答案】C
【解析】數據3,4,5,5,6,7,7,8,9,10共10個,且10×80%=8,=8.5,
所以P80是8.5.
2.對某自行車賽手在相同條件下進行了12次測試,測得其最大速度(單位:m/s)的數據如下:27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36,則他的最大速度的P25是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
【答案】B
【解析】數據從小到大排列為27,28,29,30,31,33,34,35,36,36,38,38,共12個,且12×25%=3,
故最大速度的P25是=29.5.
3.從某小學隨機抽取100名學生,將他們的身高(單位:厘米)分布情況匯總如下表:
身高 (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150]
頻數 5 35 30 20 10
由此表估計這100名小學生身高的P50為(　　).(精確到0.1)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
【答案】C
【解析】P50即樣本數據的中位數.由題可知身高在(100,110],(110,120],(120,130]的頻率依次為0.05,0.35,0.3,前兩組頻率和為0.4,組距為10,設中位數為x,則(x-120)×=0.1,解得x≈123.3.
4.從某校高三年級抽出50名學生參加數學競賽,由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)利用頻率分布直方圖估計參賽學生成績的P25,P80;
(2)若該校高三年級學生小明的成績是88分,請分析小明在競賽中的情況.
【解析】(1)成績在60分以下的學生所占比例為0.04+0.06=0.1,
成績在70分以下的學生所占比例為0.04+0.06+0.2=0.3,
所以P25一定位于[60,70)內,
由60+10×=67.5,
可以估計參賽學生成績的P25為67.5.
同理,由80+10×≈88.3,可以估計參賽學生成績的P80為88.3.
(2)小明數學競賽成績是88分,約對應于P80,即大約80%的學生的考分比他低,而約20%的學生的考分比他高,也就是說他的成績在此次數學競賽中是中偏上的.
26.4.4　百分位數
【學習目標】
1.結合實例,能用樣本估計百分位數.(數學運算、數據分析)
2.理解百分位數的統計含義,并會計算.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是百分位數
2.如何計算一組觀測數據的百分位數
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)四分位數指的是 25%分位數. (　　)
(2)百分位數只能是正數. (　　)
(3)50%分位數與中位數相同. (　　)
2.高二(1)班某個7人宿舍中每位同學的身高(單位:cm)分別為170,168,172,172,175,176,180,則這7人的第40百分位數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.168 B.170 C.172 D.171
3.某市2023年5月份前十天的最高氣溫(單位:℃)分別為21,19,31,28,34,30,15,22,25,26,則這十天最高氣溫的第60百分位數為　　　.
【合作探究】
探究1：百分位數
情境設置
　　在涉及人體尺寸的產品設計時,需應用人體尺寸百分位數.人體尺寸百分位數表示某一人體尺寸范圍內,有百分之幾的人大于或小于給定值.例如,5%分位數代表“小”身材,即只有5%的數值低于此下限值;95%分位數代表“大”身材,即只有5%的數值高于此上限值.
問題1:根據上述分析,50%分位數代表“適中”身材,它的含義是什么
問題2:“這次數學測試成績的70%分位數是85分”這句話是什么意思
問題3:p(p∈(0,1))分位數有什么特點
新知生成
1.百分位數
百分位數是位于按一定順序排列的一組數據中某一個百分位置的數值,以Pr表示,其中r是區間[1,99]內的整數.
一個百分位數Pr將總體或樣本的全部觀測值分為兩部分,至少有r%的觀測值小于或等于它,且至少有(100-r)%的觀測值大于或等于它.當r%=50%時,Pr即對應中位數.
2.求一組觀測數據百分位數的步驟
設觀測數據已經按從小到大的順序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,計算c=n×r%.
第二步,若c不是整數,用m表示比c大的最小整數,則所求的Pr是xm;若c是整數,則所求的Pr是.
3.四分位數
在統計學中,P25,P50,P75分別稱為第一四分位數、第二四分位數、第三四分位數.
新知運用
例1　某良種培育基地正在培育一種小麥新品種,隨機抽出部分試種小麥的產量的樣本數據(單位:千克)如下:
415　359　454　367　434　445　374　375
451　385　421　410　391　430　392　394
423　400　406　430　401　443　405　400
407　388　412　427　414　357　415　386
422　423　399　412　401　430　392　368
403　371　445　383　363
估計試種小麥新品種的產量的P25,P50,P75.
方法指導　先把數據由小到大排列,然后根據一組n個數據的百分位數的計算步驟求解.
【方法總結】計算一組觀測數據的Pr,一般按照根據百分位數的定義和計算步驟求解,注意所給數據是否按由小到大排序,若沒排序,要先排序,再計算.
鞏固訓練
某公司共有員工120人,用簡單隨機抽樣任意抽取12人,得到這12人的月工資(單位:千元)如下:7.5,6.8,8.6,6.2,7.8,8.9,7.8,8.0,8.5,8.2,7.2,8.0.試估計該公司員工工資的P25,P50,P90.
探究2：百分位數在統計表或統計圖中的應用
例2　某中學舉行電腦知識競賽,現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
估計參賽學生的成績的P25,P90.
方法指導　先計算百分位數落在哪個區間,然后類比中位數求解,
【方法總結】計算頻率分布直方圖(表)中的Pr,一般先求頻率,小于a的頻率為m,小于b的頻率為n,找到百分位數所在的區間[a,b],則所求百分位數是a+|b-a|×.
鞏固訓練
從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數據,整理得到數據分組及頻數分布表如下:
組號 分組 頻數
1 [0,2.5) 6
2 [2.5,4.5) 8
3 [4.5,6.5) 17
4 [6.5,8.5) 22
5 [8.5,10.5) 25
6 [10.5,12.5) 12
7 [12.5,14.5) 6
8 [14.5,16.5) 2
9 [16.5,18.5] 2
合計 100
　　試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的P80,P95.
【隨堂檢測】
1.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標,常用區間[0,10]內的一個數來表示,該數越接近10表示滿意度越高.現隨機抽取10位嘉祥縣居民,他們的幸福感指數為 3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,則這組數據的P80是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
2.對某自行車賽手在相同條件下進行了12次測試,測得其最大速度(單位:m/s)的數據如下:27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36,則他的最大速度的P25是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
3.從某小學隨機抽取100名學生,將他們的身高(單位:厘米)分布情況匯總如下表:
身高 (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150]
頻數 5 35 30 20 10
由此表估計這100名小學生身高的P50為(　　).(精確到0.1)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
4.從某校高三年級抽出50名學生參加數學競賽,由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)利用頻率分布直方圖估計參賽學生成績的P25,P80;
(2)若該校高三年級學生小明的成績是88分,請分析小明在競賽中的情況.
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