資源簡介

第4章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
指數與對數運算
例1　(1)(2021年天津卷)若2a=5b=10,則+=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2020年全國Ⅰ卷)設alog34=2,則4-a=(　　).
A. B.
C. D.
小結　1.指數、對數的運算主要考查對數與指數的互化,對數、指數的運算性質以及換底公式,會利用運算性質進行化簡、計算、證明等.
2.掌握基本運算性質,重點提升數學運算素養.
指數函數、對數函數的圖象及其應用
例2　(1)(2021年天津卷)函數y=的圖象大致為(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
(2)(2020年北京卷)已知函數f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(　　).
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
小結　1.指數函數、對數函數的圖象及應用有兩個方面:一是已知函數解析式求作函數圖象,即“知式求圖”;二是判斷方程的根的個數時,通常不直接解方程,而是將問題轉化為判斷指數函數、對數函數等圖象的交點個數問題.
2.掌握指數函數、對數函數圖象的作法以及簡單的圖象平移翻折變換,提升直觀想象和邏輯推理素養.
指數函數、對數函數性質的綜合應用
例3　(1)(多選題)若caA.acB.abc>bac
C.ln(a2+1)>ln(b2+1)
D.logac(2)(2022年全國乙卷)若f(x)=lna++b是奇函數,則a=　　　　,b=　　　　.
小結　1.以函數的性質為依托,結合運算考查函數的圖象與性質,以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等.在解含對數式的方程或解不等式時,不能忘記對數中真數大于0,以免出現增根或擴大范圍.
2.掌握指數函數、對數函數的圖象及性質,重點提升數學運算和邏輯推理的素養.
函數的零點與方程的根
例4　(1)函數f(x)=ex+x3-9的零點所在的區間為(　　).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函數f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1x2x3的取值范圍是　　　　.
小結　1.函數的零點主要考查零點個數以及零點所在的區間,主要利用了轉化思想,把零點問題轉化成函數圖象與x軸的交點以及兩個函數圖象的交點問題.
2.掌握零點存在定理及轉化思想,提升邏輯推理和直觀想象素養.
函數模型的應用
例5　(2021年全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據,五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lg V.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約為(　　).(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
小結　根據具體問題,選擇合適的數學模型解決實際問題,體現了數學建模這一核心素養.
【拓展延伸】
二分法的實際應用
典例　現有a個乒乓球,從外觀上看完全相同,除了1個乒乓球質量不符合標準外,其余的乒乓球質量均相同.你能盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎 請用一架天平找出這個球,限稱b次,并說明此乒乓球是偏輕還是偏重.
【問題探究】
1.當a=12,b=3時,該如何稱
2.若“壞乒乓球偏輕”,當a=26時,求b的最大值.
3.將“a個乒乓球”改為“從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點”,現某接點發生故障,需及時修理,為了盡快找出故障的發生點,一般最多需要檢查多少個接點
2第4章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
指數與對數運算
例1　(1)(2021年天津卷)若2a=5b=10,則+=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2020年全國Ⅰ卷)設alog34=2,則4-a=(　　).
A. B.
C. D.
【答案】(1)C　(2)B
【解析】(1)∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,
∴+=+=lg 2+lg 5=1.故選C.
(2)由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以4-a=.故選B.
小結　1.指數、對數的運算主要考查對數與指數的互化,對數、指數的運算性質以及換底公式,會利用運算性質進行化簡、計算、證明等.
2.掌握基本運算性質,重點提升數學運算素養.
指數函數、對數函數的圖象及其應用
例2　(1)(2021年天津卷)函數y=的圖象大致為(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
(2)(2020年北京卷)已知函數f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(　　).
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)易得y=為偶函數,可排除A,C選項,當x=2時,y=>0,可排除D選項.故選B.
(2)因為f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等價于2x>x+1,
在同一平面直角坐標系中作出兩個函數y=2x和y=x+1的圖象,如圖所示,
兩個函數圖象的交點坐標為(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解為x<0或x>1.
所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.
小結　1.指數函數、對數函數的圖象及應用有兩個方面:一是已知函數解析式求作函數圖象,即“知式求圖”;二是判斷方程的根的個數時,通常不直接解方程,而是將問題轉化為判斷指數函數、對數函數等圖象的交點個數問題.
2.掌握指數函數、對數函數圖象的作法以及簡單的圖象平移翻折變換,提升直觀想象和邏輯推理素養.
指數函數、對數函數性質的綜合應用
例3　(1)(多選題)若caA.acB.abc>bac
C.ln(a2+1)>ln(b2+1)
D.logac(2)(2022年全國乙卷)若f(x)=lna++b是奇函數,則a=　　　　,b=　　　　.
【答案】(1)BC　(2)-　ln 2
【解析】(1)因為cab>1.
因為a>b>1,所以>1,又因為01 >1 ac>bc,因此A錯誤;
因為0b>1,所以=1-c>1 abc>bac,因此B正確;
因為a>b>1,所以a2>b2>1,可得a2+1>b2+1>2,所以ln(a2+1)>ln(b2+1),因此C正確;
logac-logbc=-=,因為a>b>1,00,lg b>0,lg b0 logac-logbc>0 logac>logbc,因此D錯誤.
綜上可知,B,C正確.
(2)因為函數f(x)=lna++b為奇函數,所以其定義域關于原點對稱.
由a+≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,解得x≠1或x≠1+,又定義域關于原點對稱,所以1+=-1,解得a=-,即函數的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),再由f(0)=0,可得b=ln 2,即f(x)=ln-++ln 2=ln,在定義域內滿足f(-x)=-f(x),符合題意.
小結　1.以函數的性質為依托,結合運算考查函數的圖象與性質,以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等.在解含對數式的方程或解不等式時,不能忘記對數中真數大于0,以免出現增根或擴大范圍.
2.掌握指數函數、對數函數的圖象及性質,重點提升數學運算和邏輯推理的素養.
函數的零點與方程的根
例4　(1)函數f(x)=ex+x3-9的零點所在的區間為(　　).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函數f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1x2x3的取值范圍是　　　　.
【答案】(1)B　(2)(2,3)
【解析】(1)由y=ex為增函數,y=x3為增函數,得f(x)=ex+x3-9為增函數,又f(1)=e-8<0,f(2)=e2-1>0,根據零點存在定理可得, x0∈(1,2),f(x0)=0,故選B.
(2)不妨設x1小結　1.函數的零點主要考查零點個數以及零點所在的區間,主要利用了轉化思想,把零點問題轉化成函數圖象與x軸的交點以及兩個函數圖象的交點問題.
2.掌握零點存在定理及轉化思想,提升邏輯推理和直觀想象素養.
函數模型的應用
例5　(2021年全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據,五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lg V.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約為(　　).(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【答案】C
【解析】在L=5+lg V中,L=4.9,所以4.9=5+lg V,即lg V=-0.1,解得V=10-0.1===≈0.8,所以其視力的小數記錄法的數據約為0.8.故選C.
小結　根據具體問題,選擇合適的數學模型解決實際問題,體現了數學建模這一核心素養.
【拓展延伸】
二分法的實際應用
典例　現有a個乒乓球,從外觀上看完全相同,除了1個乒乓球質量不符合標準外,其余的乒乓球質量均相同.你能盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎 請用一架天平找出這個球,限稱b次,并說明此乒乓球是偏輕還是偏重.
【問題探究】
1.當a=12,b=3時,該如何稱
【解析】第一次,天平左右各放4個乒乓球,有兩種情況:
(1)若平衡,則“壞乒乓球”在剩下的4個乒乓球中.第二次,取剩下的4個乒乓球中的3個乒乓球放一邊,取3個好乒乓球放另一邊,放在天平上.
①若仍平衡,則“壞乒乓球”為剩下的4個乒乓球中未取到的那個乒乓球,將此乒乓球與1個好乒乓球放上天平兩邊,即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重;
②若不平衡,則“壞乒乓球”在取出的3個乒乓球之中,且知其是輕還是重,任取其中2個乒乓球放在天平上,無論平衡還是不平衡,均可確定“壞乒乓球”.
(2)若不平衡,則“壞乒乓球”在天平上的8個乒乓球中,不妨設右邊較重.從右邊4個乒乓球中取出3個乒乓球置于一容器內,然后從左邊4個乒乓球中取3個乒乓球移入右邊,再從外面“好乒乓球”中取3個乒乓球補入左邊.看天平,有三種可能.
①若平衡,則“壞乒乓球”是容器內3個乒乓球之一且偏重;
②若左邊重,則“壞乒乓球”已從一邊換到另一邊,因此,“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的3個乒乓球之一,并且偏輕;
③若右邊重,據此知“壞乒乓球”未變動位置,而未被移動過的乒乓球只有兩個(左右各一),“壞乒乓球”是其中之一(暫不知是輕還是重).
顯然對于以上三種情況的任一種,再用一次天平,即可找出“壞乒乓球”,且知其是輕還是重.
2.若“壞乒乓球偏輕”,當a=26時,求b的最大值.
【解析】將26個乒乓球平均分成兩份,分別放在天平兩端,則“壞乒乓球”一定在質量小的那13個乒乓球里面;從這13個乒乓球中拿出1個,然后將剩下的12個乒乓球平均分成兩份,分別放在天平兩端,若天平平衡,則“壞乒乓球”一定是拿出的那一個;若天平不平衡,則“壞乒乓球”一定在質量小的那6個乒乓球里面;將這6個乒乓球平均分成兩份,分別放在天平兩端,則“壞乒乓球”一定在質量小的那3個乒乓球里面;從這3個乒乓球中任拿出2個,分別放在天平兩端,若天平平衡,則剩下的那一個即是“壞乒乓球”.若天平不平衡,則質量小的那一個即是“壞乒乓球”.
綜上可知,最多稱4次就可以發現這個“壞乒乓球”,即b的最大值為4.
3.將“a個乒乓球”改為“從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點”,現某接點發生故障,需及時修理,為了盡快找出故障的發生點,一般最多需要檢查多少個接點
【解析】先檢查中間的1個接點,若正常,則可斷定故障在其另一側的7個接點中,然后檢查這一段中間的1個接點,若仍正常,則可斷定故障在其另一側的3個接點中,最后只需檢查這3個接點中間的1個,即可找出故障所在.故一般最多只需檢查3個接點.
2

展開更多......

收起↑