資源簡介

第5章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
三角函數(shù)的定義
例1　(1)已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=　　　　.
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,π,則sin α=　　　　,tan α=　　　　.
小結　求三角函數(shù)值的兩種方法:(1)利用單位圓求解;(2)利用定義求解.當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時,要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論.
同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式
例2　(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,則=　　　　.
(2)已知f(α)=.
①化簡f(α);
②若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;
③若α=-,求f(α)的值.
方法指導　先用誘導公式化簡,再用同角三角函數(shù)的基本關系求值.
【變式探究】1.將本例(2)中的“”改為“-”,“<α<”改為“-<α<0”,求cos α+sin α的值.
小結　同角三角函數(shù)基本關系的應用
(1)牢記兩個基本關系式:sin2α+cos2α=1及=tan α,并能運用這兩個關系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.在應用中,要注意掌握解題的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意運用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.
(2)用誘導公式化簡求值的方法:①對于三角函數(shù)式的化簡求值,關鍵在于根據(jù)給出的角的特點,將角化成2kπ±α,π±α,±α,±α或k·±α,k∈Z的形式,再用“奇變偶不變,符號看象限”來化簡;②解決“已知某個三角函數(shù)值,求其他三角函數(shù)值”的問題,關鍵在于觀察分析條件角與結論角,理清條件與結論之間的差異,將已知和未知聯(lián)系起來,還應注意整體思想的應用.
三角函數(shù)的圖象
例3　(1)(2022年全國甲卷)將函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C,若C關于y軸對稱,則ω的最小值是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2021年全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f=　　　　.
小結　(1)由圖象或部分圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)中的參數(shù):①A:由最大值、最小值來確定A;②ω:通過求周期T來確定ω;③φ:利用已知點列方程求出φ.
(2)注意圖象變換的順序是先平移再伸縮還是先伸縮再平移.
三角函數(shù)的性質
例4　(1)(2022年新高考Ⅰ卷)記函數(shù)f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期為T.若　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B. C. D.3
(2)(2022年全國乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點,則ω的最小值為　　　　.
小結　研究函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性質,此時有兩種思路:一種是根據(jù)y=sin x的性質求出f(x)的性質;另一種是由x的值或范圍求得t=ωx+φ的范圍,然后由y=sin t的性質求出函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性質.
三角函數(shù)的最值或值域
例5　函數(shù)f(x)=2cos2x+3sin x+1的值域為　　　　.
小結　y=f(sin x)型三角函數(shù)的最值或值域可通過換元法轉為其他函數(shù)的最值或值域.
三角函數(shù)模型在實際問題中的應用
例6　長春某日氣溫y(℃)是時間t(0≤t≤24,單位:時)的函數(shù),下面是某天不同時間的氣溫預報數(shù)據(jù):
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
　　根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成余弦型函數(shù)y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),試求y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的表達式.
(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,某種特殊商品在室外銷售的利潤是室內銷售的3倍,但對室外溫度要求是氣溫不能低于23 ℃.根據(jù)(1)中所得模型,一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤,應在什么時間段(用區(qū)間表示)將該種商品放在室外銷售 單日室外銷售時間最長不能超過多長時間 (忽略商品搬運時間及其他非主要因素)
小結　解三角函數(shù)應用問題的基本步驟
【拓展延伸】
三角函數(shù)中的參數(shù)問題
含有參數(shù)的三角函數(shù)問題,一般屬于逆向型思維問題,要想正確利用三角函數(shù)的性質解答此類問題,熟練掌握三角函數(shù)的性質是前提,解答時通常將方程的思想與待定系數(shù)法相結合.
一、三角函數(shù)的值域與參數(shù)的取值范圍
例1　若函數(shù)f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,則ω的取值范圍是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0, B.,3
C.3, D.,
【
二、單調性與參數(shù)的取值范圍
例2　(1)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sinωx+在,π上單調遞減,則ω的取值范圍是(　　).
A., B.,
C., D.,
(2)若直線x=是曲線y=sinωx-(ω>0)的一條對稱軸,且函數(shù)y=sinωx-在區(qū)間0,上不單調,則ω的最小值為(　　).
A.3 B.7 C.9 D.11
點評　若三角函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調遞增,則區(qū)間[a,b]是該函數(shù)單調遞增區(qū)間的子區(qū)間,利用集合的包含關系即可求解.
2第5章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
三角函數(shù)的定義
例1　(1)已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=　　　　.
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,π,則sin α=　　　　,tan α=　　　　.
【答案】(1)-8　(2)-　-
【解析】(1)因為r==,且sin θ=-,所以sin θ===-,所以θ為第四象限角,解得y=-8.
(2)因為θ∈,π,所以cos θ<0,所以r===-5cos θ.
故sin α==-,tan α==-.
小結　求三角函數(shù)值的兩種方法:(1)利用單位圓求解;(2)利用定義求解.當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時,要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論.
同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式
例2　(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,則=　　　　.
(2)已知f(α)=.
①化簡f(α);
②若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;
③若α=-,求f(α)的值.
方法指導　先用誘導公式化簡,再用同角三角函數(shù)的基本關系求值.
【答案】(1)
【解析】(1)由已知得-sin θ-2cos θ=0,故tan θ=-2,
則===.
(2)①f(α)==sin αcos α.
②由f(α)=sin αcos α=可知,(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=,
又∵<α<,∴cos α即cos α-sin α<0,
∴cos α-sin α=-.
③∵α=-=-6×2π+,
∴f-=cos-sin-
=cos-6×2π+sin-6×2π+
=cossin=×=.
【變式探究】1.將本例(2)中的“”改為“-”,“<α<”改為“-<α<0”,求cos α+sin α的值.
【解析】因為-<α<0,所以cos α>0,sin α<0且|cos α|>|sin α|,所以cos α+sin α>0,又(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+2×-=,所以cos α+sin α=.
2.在本例(2)中的條件下,用tan α表示.
【解析】===.
小結　同角三角函數(shù)基本關系的應用
(1)牢記兩個基本關系式:sin2α+cos2α=1及=tan α,并能運用這兩個關系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.在應用中,要注意掌握解題的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意運用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.
(2)用誘導公式化簡求值的方法:①對于三角函數(shù)式的化簡求值,關鍵在于根據(jù)給出的角的特點,將角化成2kπ±α,π±α,±α,±α或k·±α,k∈Z的形式,再用“奇變偶不變,符號看象限”來化簡;②解決“已知某個三角函數(shù)值,求其他三角函數(shù)值”的問題,關鍵在于觀察分析條件角與結論角,理清條件與結論之間的差異,將已知和未知聯(lián)系起來,還應注意整體思想的應用.
三角函數(shù)的圖象
例3　(1)(2022年全國甲卷)將函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C,若C關于y軸對稱,則ω的最小值是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2021年全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f=　　　　.
【答案】(1)C　(2)-
【解析】(1)由題意知,曲線C對應的函數(shù)解析式為y=sinωx++=sinωx++,又曲線C關于y軸對稱,則+=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω>0,故當k=0時,ω的最小值為.故選C.
(2)由題圖可知,f(x)的最小正周期T=-=π,所以ω==2.
因為f=0,所以由“五點法”作圖可得2×+φ=,解得φ=-,所以f(x)=2cos2x-,
所以f=2cos2×-=-2cos=-.
小結　(1)由圖象或部分圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)中的參數(shù):①A:由最大值、最小值來確定A;②ω:通過求周期T來確定ω;③φ:利用已知點列方程求出φ.
(2)注意圖象變換的順序是先平移再伸縮還是先伸縮再平移.
三角函數(shù)的性質
例4　(1)(2022年新高考Ⅰ卷)記函數(shù)f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期為T.若　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B. C. D.3
(2)(2022年全國乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點,則ω的最小值為　　　　.
【答案】(1)A　(2)3
【解析】(1)因為因為y=f(x)的圖象關于點,2中心對稱,
所以b=2,且sinω++b=2,
即sinω+=0,所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以<ω+<,
所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sinx++2,
所以f=sin×++2=sin+2=1.故選A.
(2)因為T=,f=,
所以cos2π+φ=,即cos φ=.
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=cosωx+.
因為x=為f(x)的零點,所以ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=9k+3(k∈Z).
又ω>0,所以當k=0時,ω取得最小值,且最小值為3.
小結　研究函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性質,此時有兩種思路:一種是根據(jù)y=sin x的性質求出f(x)的性質;另一種是由x的值或范圍求得t=ωx+φ的范圍,然后由y=sin t的性質求出函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性質.
三角函數(shù)的最值或值域
例5　函數(shù)f(x)=2cos2x+3sin x+1的值域為　　　　.
【答案】-2,
【解析】依題意,f(x)=2cos2x+3sin x+1=-2sin2x+3sin x+3,
令sin x=t∈[-1,1],則y=-2t2+3t+3,其圖象開口向下,對稱軸為直線t=,
故當t=-1時,y取得最小值,最小值為y=-2×(-1)2+3×(-1)+3=-2,
當t=時,y取得最大值,最大值為y=-2×2+3×+3=,
故f(x)的值域為-2,.
小結　y=f(sin x)型三角函數(shù)的最值或值域可通過換元法轉為其他函數(shù)的最值或值域.
三角函數(shù)模型在實際問題中的應用
例6　長春某日氣溫y(℃)是時間t(0≤t≤24,單位:時)的函數(shù),下面是某天不同時間的氣溫預報數(shù)據(jù):
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
　　根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成余弦型函數(shù)y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),試求y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的表達式.
(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,某種特殊商品在室外銷售的利潤是室內銷售的3倍,但對室外溫度要求是氣溫不能低于23 ℃.根據(jù)(1)中所得模型,一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤,應在什么時間段(用區(qū)間表示)將該種商品放在室外銷售 單日室外銷售時間最長不能超過多長時間 (忽略商品搬運時間及其他非主要因素)
【解析】(1)根據(jù)題意知,解得
由=15-3=12,解得T=24,所以ω==.
當x=3時,y=14,即6cos+φ+20=14,
得cos+φ=-1,即+φ=π+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
由0<φ<π,得φ=,
所以y=6cost++20,t∈[0,24].
(2)令y=6cost++20≥23,得cost+≥,即-+2kπ≤t+≤+2kπ,k∈Z,
解得-13+24k≤t≤-5+24k,k∈Z,
當k=1時,11≤t≤19,所以一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤,應在t∈[11,19]時間段將該種商品放在室外銷售,且單日室外銷售時間最長不能超過19-11=8(小時).
小結　解三角函數(shù)應用問題的基本步驟
【拓展延伸】
三角函數(shù)中的參數(shù)問題
含有參數(shù)的三角函數(shù)問題,一般屬于逆向型思維問題,要想正確利用三角函數(shù)的性質解答此類問題,熟練掌握三角函數(shù)的性質是前提,解答時通常將方程的思想與待定系數(shù)法相結合.
一、三角函數(shù)的值域與參數(shù)的取值范圍
例1　若函數(shù)f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,則ω的取值范圍是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0, B.,3
C.3, D.,
【答案】B
【解析】因為ω>0,所以當x∈0,時,
ωx-∈-,-.
又因為函數(shù)f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,
所以≤-≤,
解得≤ω≤3.
點評　三角函數(shù)的最值(值域)問題,主要是整體代換ωx±φ,利用正、余弦函數(shù)的性質求解,要注意自變量的取值范圍.
二、單調性與參數(shù)的取值范圍
例2　(1)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sinωx+在,π上單調遞減,則ω的取值范圍是(　　).
A., B.,
C., D.,
(2)若直線x=是曲線y=sinωx-(ω>0)的一條對稱軸,且函數(shù)y=sinωx-在區(qū)間0,上不單調,則ω的最小值為(　　).
A.3 B.7 C.9 D.11
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=sinωx+在,π上單調遞減,
設函數(shù)的周期為T,則=≥π-,解得0<ω≤2.
由函數(shù)f(x)=sinωx+滿足2kπ+≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,
解得+≤x≤+,k∈Z.
取k=0,得≤x≤,故函數(shù)f(x)的一個減區(qū)間為,.
再由得≤ω≤,故選B.
(2)因為直線x=是曲線y=sinωx-(ω>0)的一條對稱軸,
所以ω-=kπ+,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,
由-≤ωx-≤,得-≤x≤,
則函數(shù)y=sinωx-在-,上單調遞增,
又函數(shù)y=sinωx-在區(qū)間0,上不單調,
則<,解得ω>9,所以ω的最小值為11.
點評　若三角函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調遞增,則區(qū)間[a,b]是該函數(shù)單調遞增區(qū)間的子區(qū)間,利用集合的包含關系即可求解.
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