資源簡介

第6章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
抽樣方法
例1　某企業三月中旬生產A,B,C三種產品共3000件,根據分層抽樣的結果,企業統計員制作了如下的表格:
產品類別 A B C
產品數量/件 ● 1300 ●
樣本數量/件 ● 130 ●
　　由于不小心,表格中A,C產品的有關數據已被污染看不清楚,統計員記得A產品的樣本數量比C產品的樣本數量多10件,根據以上信息,可得C產品的生產數量是　　　　件.
方法指導　根據分層抽樣是“等比例”抽樣的特點,建立等式求出C產品的樣本數量,再根據抽樣比求C產品的生產數量.
小結　與分層抽樣有關問題的常見類型及解題策略:
(1)確定抽樣比.
(2)求某一層的樣本容量或總體容量.
(3)求各層的樣本容量.依據題意,求出各層的抽樣比,再求出各層樣本數.
(4)在按比例分配的分層抽樣中,可以用樣本平均數估計總體平均數.
用樣本的頻率分布估計總體
例2　(2021年全國甲卷)為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:
根據此頻率分布直方圖,下面結論不正確的是(　　).
A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%
C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
小結　與頻率分布直方圖有關問題的常見類型及解題策略:
(1)已知頻率分布直方圖中的部分數據,求其他數據,可根據頻率分布直方圖中的數據求出樣本與整體的關系,利用頻率和等于1可求出其他數據.
(2)已知頻率分布直方圖,求某種范圍內的數據,可利用圖形與某范圍結合求解.
利用樣本的百分位數估計總體的百分位數
例3　(1)某校高一年級15個班參加朗誦比賽的得分如下:
91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93
88　98　93
則這組數據的P40,P70分別為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.90,94 B.91,93
C.90.5,93 D.90.5,94.2
(2)某班最近一次化學考試成績的頻率分布直方圖如圖所示.若化學老師欲將大家的成績由高到低排列,并獎勵排名在前39%的同學,試估計化學老師選取的學生分數應不低于(　　).
A.73 B.75 C.77 D.79
小結　計算百分位數的方法:若給出的是具體數,先把所給數據按由小到大排序,然后根據百分位數的計算公式計算;若給出的是頻率分布直方圖或頻率分布表,則可類比中位數的計算方法計算.
用樣本的數字特征估計總體的數字特征
例4　(2021年全國乙卷)某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
　　舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和,樣本方差分別記為和.
(1)求,,,;
(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高如果-≥2,那么認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高,否則不認為有顯著提高.
小結　樣本的數字特征分為兩大類:一類是反映樣本數據集中趨勢的特征數,例如平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的特征數,例如極差、方差和標準差.通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差),從而實現對總體的估計.
【拓展延伸】
統計中的數學文化
數學文化是國家文化素質教育的重要組成部分,縱觀近幾年高考,統計部分以數學文化為背景的問題層出不窮,讓人耳目一新.
一、以古代文化經典為背景
例1　中國古代數學專著《算法統宗》中有這樣的記載:毛詩春秋周易書,九十四冊共無余,毛詩一冊三人讀,春秋一冊四人呼,周易五人讀一本.意思為:現有《毛詩》《春秋》《周易》3種書共94冊,若干人讀這些書,要求每個人都要讀到這3種書,若3人共讀一本《毛詩》,4人共讀一本《春秋》,5人共讀一本《周易》,則剛好沒有剩余.現要用分層抽樣的方法從中抽取47冊,則要從《毛詩》中抽取的冊數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.14 C.18 D.20
二、以傳統文化為背景
例2　佩帶香囊是端午節傳統習俗之一,香囊內通常填充一些中草藥,有清香、驅蟲、開竅的功效.經研究發現,一批香囊中一種草藥甲的含量x(單位:克)與香囊功效y之間滿足y=15x-x2,現從中隨機抽取了6個香囊,得到香囊中草藥甲的含量的平均值為6克,香囊功效的平均值為15,則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為(　　).
A. 克 B. 克
C.3 克 D.15 克
三、以新時代氣息為背景
例3　(2022年全國甲卷)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖,則(　　).
A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%
B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%
C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
2第6章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
抽樣方法
例1　某企業三月中旬生產A,B,C三種產品共3000件,根據分層抽樣的結果,企業統計員制作了如下的表格:
產品類別 A B C
產品數量/件 ● 1300 ●
樣本數量/件 ● 130 ●
　　由于不小心,表格中A,C產品的有關數據已被污染看不清楚,統計員記得A產品的樣本數量比C產品的樣本數量多10件,根據以上信息,可得C產品的生產數量是　　　　件.
方法指導　根據分層抽樣是“等比例”抽樣的特點,建立等式求出C產品的樣本數量,再根據抽樣比求C產品的生產數量.
【答案】800
【解析】設C產品的樣本數量為n,則A產品的樣本數量為n+10,由題意知,=,解得n=80,
故C產品的生產數量為80÷=800(件).
小結　與分層抽樣有關問題的常見類型及解題策略:
(1)確定抽樣比.
(2)求某一層的樣本容量或總體容量.
(3)求各層的樣本容量.依據題意,求出各層的抽樣比,再求出各層樣本數.
(4)在按比例分配的分層抽樣中,可以用樣本平均數估計總體平均數.
用樣本的頻率分布估計總體
例2　(2021年全國甲卷)為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:
根據此頻率分布直方圖,下面結論不正確的是(　　).
A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%
C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】C
【解析】因為頻率分布直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率分布直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.
該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確;
該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正確;
該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D正確;
該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(萬元),超過6.5萬元,故C錯誤.
小結　與頻率分布直方圖有關問題的常見類型及解題策略:
(1)已知頻率分布直方圖中的部分數據,求其他數據,可根據頻率分布直方圖中的數據求出樣本與整體的關系,利用頻率和等于1可求出其他數據.
(2)已知頻率分布直方圖,求某種范圍內的數據,可利用圖形與某范圍結合求解.
利用樣本的百分位數估計總體的百分位數
例3　(1)某校高一年級15個班參加朗誦比賽的得分如下:
91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93
88　98　93
則這組數據的P40,P70分別為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.90,94 B.91,93
C.90.5,93 D.90.5,94.2
(2)某班最近一次化學考試成績的頻率分布直方圖如圖所示.若化學老師欲將大家的成績由高到低排列,并獎勵排名在前39%的同學,試估計化學老師選取的學生分數應不低于(　　).
A.73 B.75 C.77 D.79
【答案】(1)C　(2)C
【解析】(1)將數據按從小到大依次排列如下:85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98,而15×40%=6,15×70%=10.5,故這組數據的P40是×(90+91)=90.5,這組數據的P70是93.故選C.
(2)由題意可知,(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,
化學考試成績在[80,100]內的頻率為(0.025+0.005)×10=0.3,所以P39一定位于[70,80)內,設P39為x,則(80-x)×0.03+0.3=0.39,解得x=77,
所以化學老師選取的學生分數應不低于77分.故選C.
小結　計算百分位數的方法:若給出的是具體數,先把所給數據按由小到大排序,然后根據百分位數的計算公式計算;若給出的是頻率分布直方圖或頻率分布表,則可類比中位數的計算方法計算.
用樣本的數字特征估計總體的數字特征
例4　(2021年全國乙卷)某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
　　舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和,樣本方差分別記為和.
(1)求,,,;
(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高如果-≥2,那么認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高,否則不認為有顯著提高.
【解析】(1)=×(9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7)=10,
=×(10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
=×(0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32)=0.036,
=×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04.
(2)依題意,-=0.3=2×0.15=2=2,2=2=2,
所以-≥2,
所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.
小結　樣本的數字特征分為兩大類:一類是反映樣本數據集中趨勢的特征數,例如平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的特征數,例如極差、方差和標準差.通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差),從而實現對總體的估計.
【拓展延伸】
統計中的數學文化
數學文化是國家文化素質教育的重要組成部分,縱觀近幾年高考,統計部分以數學文化為背景的問題層出不窮,讓人耳目一新.
一、以古代文化經典為背景
例1　中國古代數學專著《算法統宗》中有這樣的記載:毛詩春秋周易書,九十四冊共無余,毛詩一冊三人讀,春秋一冊四人呼,周易五人讀一本.意思為:現有《毛詩》《春秋》《周易》3種書共94冊,若干人讀這些書,要求每個人都要讀到這3種書,若3人共讀一本《毛詩》,4人共讀一本《春秋》,5人共讀一本《周易》,則剛好沒有剩余.現要用分層抽樣的方法從中抽取47冊,則要從《毛詩》中抽取的冊數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.14 C.18 D.20
【答案】D
【解析】設《毛詩》有x冊,《春秋》有y冊,《周易》有z冊,學生人數為m,
則解得
因此,用分層抽樣的方法從中抽取47冊,要從《毛詩》中抽取的冊數為40×=20.故選D.
點評　本題以古代數學文化為背景,考查分層抽樣,背景新穎.
二、以傳統文化為背景
例2　佩帶香囊是端午節傳統習俗之一,香囊內通常填充一些中草藥,有清香、驅蟲、開竅的功效.經研究發現,一批香囊中一種草藥甲的含量x(單位:克)與香囊功效y之間滿足y=15x-x2,現從中隨機抽取了6個香囊,得到香囊中草藥甲的含量的平均值為6克,香囊功效的平均值為15,則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為(　　).
A. 克 B. 克
C.3 克 D.15 克
【答案】B
【解析】設抽取的6個香囊中草藥甲的含量分別為xi克,香囊功效分別為yi(i=1,2,…,6),因為草藥甲的含量的平均值為6克,香囊功效的平均值為15,即xi=36,yi=15xi-=90,則有=450,
則這6個香囊中草藥甲含量的方差s2=(xi-6)2=-12xi+6×36=×(450-12×36+6×36)=39,
所以這6個香囊中草藥甲含量的標準差為克,故選B.
點評　本題以端午節的傳統習俗為背景,考查標準差,滲透了數學文化素養.
三、以新時代氣息為背景
例3　(2022年全國甲卷)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖,則(　　).
A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%
B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%
C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】B
【解析】對于A,講座前問卷答題的正確率的中位數是=72.5%,所以A錯誤;
對于B,講座后問卷答題的正確率分別是80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均數顯然大于85%,所以B正確;
對于C,由題圖可知,講座前問卷答題的正確率波動較大,講座后問卷答題的正確率波動較小,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后問卷答題的正確率的標準差,所以C錯誤;
對于D,講座前問卷答題的正確率的極差是95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差是100%-80%=20%,所以講座前問卷答題的正確率的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差,所以D錯誤.故選B.
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