資源簡介

專題10 概率與統計
(
命題方向
)
概率與統計 統計（客觀題）
排列與組合
二項式定理
概率（客觀題）
概率與統計綜合（解答題）
(
模擬演練
)
統計（客觀題）
1．（2024·山東菏澤·一模）已知樣本數據為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數據與原來的數據相比，下列數字特征一定不變的是（ ）
A．極差 B．平均數 C．中位數 D．方差
【答案】C
【解析】樣本數據為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數據與原來的數據相比，假設從小到大就是從到，極差可能變化，故A錯；
平均數為，可能變，故B錯；
中位數還是按從小到大排序中間位置的數，故C正確；
方差為，有可能變，故D錯.
故選：C
2．（2024·山東濰坊·一模）某科技攻關青年團隊有人，他們年齡分布的莖葉圖如圖所示，已知這人年齡的極差為，則（ ）
A． B．人年齡的平均數為
C．人年齡的分位數為 D．人年齡的方差為
【答案】ACD
【解析】因為這人年齡的極差為，即，解得，故A正確；
所以這人年齡分別為、、、、、，
則人年齡的平均數為，故B錯誤；
又，所以人年齡的分位數為從小到大排列的第個數，即，故C正確；
又人年齡的方差，故D正確.
故選：ACD
3．（2024·山東泰安·一模）下列說法中正確的是（ ）
A．一組數據的第60百分位數為14
B．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生學習情況．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為100的樣本，則抽取的高中生人數為70
C．若樣本數據的平均數為10，則數據的平均數為3
D．隨機變量服從二項分布，若方差，則
【答案】BC
【解析】對A，，故第60百分位數為第6和第7位數的均值，故A錯誤；
對B，由題抽取的高中生抽取的人數為，故B正確；
對C， 設數據的平均數為，
由平均值性質可知：樣本數據的平均數為，
解得，故C正確；
對D，由題意可知，解得或，
則或，故D錯誤.
故選：BC
4．（2024·山東淄博·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17
B．一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5
C．用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
【答案】BCD
【解析】對A：若樣本數據的方差為2，則數據的方差為，故A錯誤；
對B：，則其第80百分位數是，故B正確；
對C，根據決定系數的含義知越大，則相應模型的擬合效果越好，故C正確；
對D，以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，
則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.
故選：BCD.
5．（2024·山東臨沂·一模）下列結論正確的是（ ）
A．一組樣本數據的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為
B．已知隨機變量，若，則
C．在列聯表中，若每個數據均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍（，其中）
D．分別拋擲2枚質地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點數是奇數”，“2枚骰子正面向上的點數相同”，則互為獨立事件
【答案】BCD
【解析】對于A：若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為，故A錯誤；
對于B：如，則，又，即
則，故B正確；
對于C：在列聯表中，若每個數據均變成原來的2倍，
則，
即也變成原來的倍，故C正確；
對于D：分別拋擲2枚質地均勻的骰子，基本事件總數為個，
事件“第一枚骰子正面向上的點數是奇數”，則事件包含的基本事件數為個，
事件“2枚骰子正面向上的點數相同”，則事件包含的基本事件數為個，
所以，，
又包含的基本事件有個，所以，
所以，則、互為獨立事件，故D正確；
故選：BCD
6．（2024·山東日照·一模）有一組按從小到大順序排列的數據：3，5，7，8，9，10，則這組數據的分位數為 ．
【答案】7
【解析】因為該組數據共6個，且，
所以這組數據的分位數為第三位數，即為7.
7．（2024·山東濟寧·一模）2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結構數學試題的考試中，小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數為 ．
【答案】11
【解析】由題意得小明同學第一題得6分；
第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；
第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；
由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，
所以中位數為
排列與組合
8．（2024·山東日照·一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（ ）
A．9種 B．36種 C．38種 D．45種
【答案】B
【解析】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，
剩余的2人，2部影片進行全排列，故共有種情況，故選B
9．（2024·山東煙臺·一模）將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
【答案】B
【解析】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有種方法，放入兩個盒子有種方法，所以不同放法的種數為，故選B
10．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【解析】若兩個2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種
若兩個2之間是1或7，則有272818；818272；212878； 878212，共4種；
則總共有16種，故選B.
11．（2024·山東臨沂·一模）將1到30這30個正整數分成甲 乙兩組，每組各15個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小2，則不同的分組方法數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為甲組、乙組均為個數，則其中位數為從小到大排列的第個數，
即小于中位數的有個數，大于中位數的也有個數，
依題意可得甲組的中位數為或，
若甲組的中位數為，則乙組的中位數為，此時從中選個數放到甲組，剩下的個數放到乙組，
再從中選個數放到甲組，其余數均在乙組，此時有種分組方法；
若甲組的中位數為，則乙組的中位數為，此時從中選個數放到甲組，剩下的個數放到乙組，
再從中選個數放到甲組，其余數均在乙組，此時有種分組方法；
若甲組的中位數為，則乙組的中位數為，此時甲組中小于的數有個、乙組中小于 的數有個，
從而得到小的數一共只有個，顯然不符合題意，故舍去，
同理可得，甲組的中位數不能大于；
若甲組的中位數為，則乙組的中位數為，此時甲組中小于的數有個、乙組中小于 的數有個，
從而得到小的數一共只有個，顯然不符合題意，故舍去，
同理可得，甲組的中位數不能小于；
綜上可得不同的分組方法數是種，故選B
12．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
【答案】
【解析】在天里，連續天的情況，一共有種，
則剩下的人全排列有種排法，
故一共有種排法．
二項式定理
13．（2024·山東青島·一模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
【答案】D
【解析】通項公式為，當時，，
所以項的系數為80.故選D
14．（2024·山東濟寧·一模）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．30 D．60
【答案】B
【解析】，
則展開式中含有的項為，
故的展開式中的系數為.故選：B.
15．（2024·山東聊城·一模）設，其中，且，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
在所有的展開項中，只有不能被7整除，
故，其中，故選D
16．（2024·山東菏澤·一模），的展開式中項的系數等于40，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】的展開式中含項為，
故，解得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A
概率（客觀題）
17．（2024·山東濱州·一模）已知樣本空間含有等可能的樣本點，且，，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由題意，，，，，
所以事件與相互獨立，則與也相互獨立，
，故選A.
18．（2024·山東臨沂·一模）長時間玩手機可能影響視力，據調查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現從該校任意調查一名學生，他近視的概率大約是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設事件為“任意調查一名學生，每天玩手機超過”，事件為“任意調查一名學生，該學生近視”，則，，
所以，
則．故選：C
19．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（ ）
A．事件與是互斥事件 B．事件與是對立事件
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
【答案】AB
【解析】對于AB：取出的球的數字之積為奇數和取出的球的數字之積為偶數不可能同時發生，且必有一個發生，故事件與是互斥事件，也是對立事件，AB正確；
對于C：如果取出的數為，則事件與事件均發生，不互斥，C錯誤；
對于D：，
則，即事件與不相互獨立，D錯誤；
故選：AB.
20．（2024·山東濟寧·一模）下列說法中正確的是（ ）
A．線性回歸分析中可以用決定系數來刻畫回歸的效果，若的值越小，則模型的擬合效果越好
B．已知隨機變量服從二項分布，若，，則
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．已知隨機事件，滿足，，則
【答案】BC
【解析】對A：線性回歸分析中可以用決定系數來刻畫回歸的效果，
若的值越小，則模型的擬合效果越差，故A錯誤；
對B：隨機變量服從二項分布，若，，
則，解得，故B正確；
對C：隨機變量服從正態分布，若，
則，故，C正確；
對D：，，則，
又，故，D錯誤.
故選：BC.
21．（2024·山東日照·一模）從標有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依次得到數字a，b，記點，，，則（ ）
A．是銳角的概率為 B．是直角的概率為
C．是銳角三角形的概率為 D．的面積不大于5的概率為
【答案】ACD
【解析】A選項，標有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，共有種情況，
設與直線垂直，因為，則直線，
其中個點中，有8個落在直線上，剩余56個點中，一半在上方，
一半在下方，
要想為銳角，則點應在直線下方，
其中滿足要求的有28個點，
故是銳角的概率為，A正確；
B選項，過點作直線⊥，
則點落在直線上，滿足為直角，
其中，故直線的斜率為1，直線的方程為，即，
落在上的點的坐標有，共6個，
故是直角的概率為，B錯誤；
C選項，要想為銳角三角形，則點落在直線與直線之間，
根據點的坐標特征，應落在上，
滿足要求的點有，共7個，
故是銳角三角形的概率為，C正確；
D選項，直線的方程為，，
設直線，設直線與直線的距離為，
則，
令，解得，
故要想的面積不大于5，則點在上，或的下方，
即，
滿足要求的點有，
，
，
共個，
的面積不大于5的概率為，D正確.故選ACD
22．（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為，設事件“為整數”，“為偶數”，“為奇數”，則（ ）
A． B．
C．事件與事件相互獨立 D．
【答案】BCD
【解析】先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為，，
則基本事件總數為，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36種情況，
滿足事件的有，，，，，，，，，
，，共種，其概率，故A錯誤；
滿足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個，故；
滿足事件的有，，共個，所以，故B正確；
滿足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個，故，
滿足事件的有，，， ，，，
，，，共個，所以，
所以事件與事件相互獨立，故C正確；
滿足事件的有，，，，，，，共種，
所以，則，故D正確.
故選：BCD
23．（2024·山東聊城·一模）在一次數學學業水平測試中，某市高一全體學生的成績，且，，規定測試成績不低于60分者為及格，不低于120分者為優秀，令，，則（ ）
A．，
B．從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，該生測試成績及格但不優秀的概率為
C．從該市高一全體學生中（數量很大）依次抽取兩名學生，這兩名學生恰好有一名測試成績優秀的概率為
D．從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，在已知該生測試成績及格的條件下，該生測試成績優秀的概率為
【答案】BCD
【解析】對A：由，，則，，故A錯誤；
對B：由，，則，則，
，故有，，
則，則，
即從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，該生測試成績及格但不優秀的概率為，
故B正確；
對C：，則從該市高一全體學生中（數量很大）依次抽取兩名學生，
這兩名學生恰好有一名測試成績優秀的概率為，
故C正確；
對D：，又，
故從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，
該生測試成績及格的概率為，該生測試成績優秀的概率為，
則在已知該生測試成績及格的條件下，該生測試成績優秀的概率為，
故D正確.
故選：BCD.
概率與統計的綜合（解答題）
24．（2024·山東青島·一模）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．
(1)根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數記為，求隨機變量的分布列與數學期望．
【解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均閱讀時間的平均數為：
（分鐘）
（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人
的可能取值為：0，1，2
則
所以的分布列為：
0 1 2
25．（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用領域也將會更加廣泛，它將會成為改變人類社會發展的重要力量．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．在對該交互軟件進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應答的概率為；若出現語法錯誤，則軟件正確應答的概率為．假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為．
(1)求一個問題能被軟件正確應答的概率；
(2)在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應答相互獨立，記軟件正確應答的個數為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？
【解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，
由題意可知：，則，
所以.
（2）由（1）可知：，
則，可得，
令，則，
令，解得，可知當，可得；
令，解得，可知當，可得；
令，解得，可得；
所以當或時，最大，即n為7或8時，的值最大.
26．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量．設的一切可能取值為，，記表示在中出現的概率，其中．
(1)將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數為，2號盒子中的小球個數為，則是一個二維隨機變量．
①寫出該二維離散型隨機變量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（結果用，表示）；
(2)稱為二維離散型隨機變量關于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．
【解】（1）①該二維離散型隨機變量的所有可能取值為：
.
②依題意，，，
顯然，則，
所以.
（2）由定義及全概率公式知，
.
27．（2024·山東臨沂·一模）某學校舉辦了精彩紛呈的數學文化節活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎游.戲規則如下：拋擲一枚質地均勻的骰子一次，出現3的倍數，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復以上步驟，當參加游戲的學生位于第8 第9或第10級臺階時游戲結束規定：從平地開始，結束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失敗.，
(1)某學生拋擲三次骰子后，按游戲規則位于第級臺階，求的分布列及數學期望；
(2)甲 乙兩位學生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率；
【解】（1）由題意可知：每次擲骰子上兩級臺階的概率為，上三級臺階的概率為，
且的可能取值為，
可得，則有：
，
，
所以的分布列為：
6 7 8 9
的數學期望.
（2）因為位于第10級臺階則認定游戲失敗，無法獲得獎品，
結合題意可知：若學員位于第10級臺階，則投擲3次后，學員位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階，
可知不能獲得獎品的概率為，
所以甲 乙兩位學生參加游戲，恰有一人獲得獎品的概率.
28．（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數比為1：2：1，且取到異號球的概率為．
(1)求盒中2號球的個數；
(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）
球號 1號球 3號球
答對概率 0.8 0.5
獎金 100 500
【解】（1）由題意可設1，2，3號球的個數分別為n，，n，
則取到異號球的概率，
，即．解得．
所以盒中2號球的個數為4個．
（2）若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，
因為猜對謎語的概率相互獨立，記為甲獲得的獎金總額，
則可能的取值為0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列為
X 0 100 600
P 0.2 0.4 0.4
的均值為，
若甲先回答3號球再回答1號球，因為猜對謎語的概率相互獨立，
記Y為甲獲得的獎金總額，則Y可能的取值為0元，500元，600元，
．
Y的分布列為
Y 0 500 600
P 0.5 0.1 0.4
的均值為，
因為，所以推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語．
29．（2024·山東泰安·一模）某學校為了緩解學生緊張的復習生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．
(1)求在1次游戲中，獲獎的概率；
(2)求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．
【解】（1）設“在1次游戲中摸出個紅球”為事件，
設“在1次游戲中獲獎”為事件，則，且互斥，
，，
所以在1次游戲中，獲獎的概率.
（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，
，，
，
，，
所以的分布列為：
2 5 8
數學期望.
30．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.
年齡 次數 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；
(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，
由題得列聯表如下：
青年 中年 合計
體育鍛煉頻率低 125 95 220
體育鍛煉頻率高 75 105 180
合計 200 200 400
，
根據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，
即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.
（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內的人數分別為1，2，
依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
0 1 2
所以的數學期望為.
（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，
星期天選擇跑步為事件，則，
，
所以
所以小明星期天選擇跑步的概率為.
31．（2024·山東濟寧·一模）袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球．某人進行摸球游戲，一輪摸球游戲規則如下：①每次從袋中摸取一個小球，若摸到紅球則放回袋中，充分攪拌后再進行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次數達到4次時本輪摸球游戲結束．
(1)求一輪摸球游戲結束時摸球次數不超過3次的概率；
(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結束時，此人總得分的分布列和數學期望．
【解】（1）設一輪摸球游戲結束時摸球次數不超過3次為事件A，記第i次（，2，3）摸到紅球為事件，
則事件，
顯然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因為每次摸到紅球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依題意，X的可能取值為2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一輪摸球游戲結束時，此人總得分X的分布列為：
X 2 3 4 5
P
.
32．（2024·山東煙臺·一模）聯合國新聞部將我國農歷二十四節氣中的“谷雨”定為聯合國中文日，以紀念“中華文字始祖”倉頡的貢獻.某大學擬在2024年的聯合國中文日舉行中文知識競賽決賽，決賽分為必答 搶答兩個環節依次進行.必答環節，共2道題，答對分別記30分 40分，否則記0分；搶答環節，包括多道題，設定比賽中每道題必須進行搶答，搶到并答對者得15分，搶到后未答對，對方得15分；兩個環節總分先達到或超過100分者獲勝，比賽結束.已知甲 乙兩人參加決賽，且在必答環節，甲答對兩道題的概率分別，乙答對兩道題的概率分別為，在搶答環節，任意一題甲 乙兩人搶到的概率都為，甲答對任意一題的概率為，乙答對任意一題的概率為，假定甲 乙兩人在各環節 各道題中答題相互獨立.
(1)在必答環節中，求甲 乙兩人得分之和大于100分的概率；
(2)在搶答環節中，求任意一題甲獲得15分的概率；
(3)若在必答環節甲得分為70分，乙得分為40分，設搶答環節經過X道題搶答后比賽結束，求隨機變量X的分布列及數學期望.
【解】（1）兩人得分之和大于100分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三種情況，
所以得分大于100分的概率.
（2）搶答環節任意一題甲得15分的概率.
（3）的可能取值為2，3，4，5，
由搶答任意一題甲得15分的概率為，得搶答任意一題乙得15分的概率為，
，，
，
，
所以的分布列為：
2 3 4 5
數學期望.
33．（2024·山東聊城·一模）如圖，一個正三角形被分成9個全等的三角形區域，分別記作，，，，，，，，. 一個機器人從區域出發，每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域（有公共邊的區域），且到不同相鄰區域的概率相等.

(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域；
(2)求經過2秒機器人位于區域的概率；
(3)求經過秒機器人位于區域的概率.
【解】1）經過2秒機器人可能位于的區域為、，，
經過3秒機器人可能位于的區域為，，，，，；
（2）若經過2秒機器人位于區域，則經過1秒時，機器人必定位于，
有三個相鄰區域，故由的概率為，
有兩個相鄰區域，故由的概率為，
則經過2秒機器人位于區域的概率為；
（3）機器人的運動路徑為
，
設經過秒機器人位于區域的概率，
則當為奇數時，，
當為偶數時，由（2）知，，由對稱性可知，
經過秒機器人位于區域的概率與位于區域的概率相等，亦為，
故經過秒機器人位于區域的概率為，
若第秒機器人位于區域，則第秒機器人位于區域的概率為，
若第秒機器人位于區域，則第秒機器人位于區域的概率為，
若第秒機器人位于區域，則第秒機器人位于區域的概率為，
則有，即，
令，即，即有，
即有，則，
故有、、、，
故，
即，
綜上所述，當為奇數時，經過秒機器人位于區域的概率為，
當為偶數時，經過秒機器人位于區域的概率為.專題10 概率與統計
(
命題方向
)
概率與統計 統計（客觀題）
排列與組合
二項式定理
概率（客觀題）
概率與統計綜合（解答題）
(
模擬演練
)
統計（客觀題）
1．（2024·山東菏澤·一模）已知樣本數據為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數據與原來的數據相比，下列數字特征一定不變的是（ ）
A．極差 B．平均數 C．中位數 D．方差
2．（2024·山東濰坊·一模）某科技攻關青年團隊有人，他們年齡分布的莖葉圖如圖所示，已知這人年齡的極差為，則（ ）
A． B．人年齡的平均數為
C．人年齡的分位數為 D．人年齡的方差為
3．（2024·山東泰安·一模）下列說法中正確的是（ ）
A．一組數據的第60百分位數為14
B．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生學習情況．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為100的樣本，則抽取的高中生人數為70
C．若樣本數據的平均數為10，則數據的平均數為3
D．隨機變量服從二項分布，若方差，則
4．（2024·山東淄博·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17
B．一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5
C．用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
5．（2024·山東臨沂·一模）下列結論正確的是（ ）
A．一組樣本數據的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為
B．已知隨機變量，若，則
C．在列聯表中，若每個數據均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍（，其中）
D．分別拋擲2枚質地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點數是奇數”，“2枚骰子正面向上的點數相同”，則互為獨立事件
6．（2024·山東日照·一模）有一組按從小到大順序排列的數據：3，5，7，8，9，10，則這組數據的分位數為 ．
7．（2024·山東濟寧·一模）2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結構數學試題的考試中，小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數為 ．
排列與組合
8．（2024·山東日照·一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（ ）
A．9種 B．36種 C．38種 D．45種
9．（2024·山東煙臺·一模）將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
10．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
11．（2024·山東臨沂·一模）將1到30這30個正整數分成甲 乙兩組，每組各15個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小2，則不同的分組方法數是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
二項式定理
13．（2024·山東青島·一模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
14．（2024·山東濟寧·一模）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．30 D．60
15．（2024·山東聊城·一模）設，其中，且，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．（2024·山東菏澤·一模），的展開式中項的系數等于40，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
概率（客觀題）
17．（2024·山東濱州·一模）已知樣本空間含有等可能的樣本點，且，，則（ ）
A． B． C． D．1
18．（2024·山東臨沂·一模）長時間玩手機可能影響視力，據調查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現從該校任意調查一名學生，他近視的概率大約是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（ ）
A．事件與是互斥事件 B．事件與是對立事件
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
20．（2024·山東濟寧·一模）下列說法中正確的是（ ）
A．線性回歸分析中可以用決定系數來刻畫回歸的效果，若的值越小，則模型的擬合效果越好
B．已知隨機變量服從二項分布，若，，則
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．已知隨機事件，滿足，，則
21．（2024·山東日照·一模）從標有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依次得到數字a，b，記點，，，則（ ）
A．是銳角的概率為 B．是直角的概率為
C．是銳角三角形的概率為 D．的面積不大于5的概率為
22．（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為，設事件“為整數”，“為偶數”，“為奇數”，則（ ）
A． B．
C．事件與事件相互獨立 D．
23．（2024·山東聊城·一模）在一次數學學業水平測試中，某市高一全體學生的成績，且，，規定測試成績不低于60分者為及格，不低于120分者為優秀，令，，則（ ）
A．，
B．從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，該生測試成績及格但不優秀的概率為
C．從該市高一全體學生中（數量很大）依次抽取兩名學生，這兩名學生恰好有一名測試成績優秀的概率為
D．從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，在已知該生測試成績及格的條件下，該生測試成績優秀的概率為
概率與統計的綜合（解答題）
24．（2024·山東青島·一模）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．
(1)根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數記為，求隨機變量的分布列與數學期望．
25．（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用領域也將會更加廣泛，它將會成為改變人類社會發展的重要力量．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．在對該交互軟件進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應答的概率為；若出現語法錯誤，則軟件正確應答的概率為．假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為．
(1)求一個問題能被軟件正確應答的概率；
(2)在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應答相互獨立，記軟件正確應答的個數為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？
26．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量．設的一切可能取值為，，記表示在中出現的概率，其中．
(1)將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數為，2號盒子中的小球個數為，則是一個二維隨機變量．
①寫出該二維離散型隨機變量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（結果用，表示）；
(2)稱為二維離散型隨機變量關于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．
27．（2024·山東臨沂·一模）某學校舉辦了精彩紛呈的數學文化節活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎游.戲規則如下：拋擲一枚質地均勻的骰子一次，出現3的倍數，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復以上步驟，當參加游戲的學生位于第8 第9或第10級臺階時游戲結束規定：從平地開始，結束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失敗.，
(1)某學生拋擲三次骰子后，按游戲規則位于第級臺階，求的分布列及數學期望；
(2)甲 乙兩位學生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率；
28．（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數比為1：2：1，且取到異號球的概率為．
(1)求盒中2號球的個數；
(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）
球號 1號球 3號球
答對概率 0.8 0.5
獎金 100 500
29．（2024·山東泰安·一模）某學校為了緩解學生緊張的復習生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．
(1)求在1次游戲中，獲獎的概率；
(2)求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．
30．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.
年齡 次數 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；
(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
31．（2024·山東濟寧·一模）袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球．某人進行摸球游戲，一輪摸球游戲規則如下：①每次從袋中摸取一個小球，若摸到紅球則放回袋中，充分攪拌后再進行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次數達到4次時本輪摸球游戲結束．
(1)求一輪摸球游戲結束時摸球次數不超過3次的概率；
(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結束時，此人總得分的分布列和數學期望．
32．（2024·山東煙臺·一模）聯合國新聞部將我國農歷二十四節氣中的“谷雨”定為聯合國中文日，以紀念“中華文字始祖”倉頡的貢獻.某大學擬在2024年的聯合國中文日舉行中文知識競賽決賽，決賽分為必答 搶答兩個環節依次進行.必答環節，共2道題，答對分別記30分 40分，否則記0分；搶答環節，包括多道題，設定比賽中每道題必須進行搶答，搶到并答對者得15分，搶到后未答對，對方得15分；兩個環節總分先達到或超過100分者獲勝，比賽結束.已知甲 乙兩人參加決賽，且在必答環節，甲答對兩道題的概率分別，乙答對兩道題的概率分別為，在搶答環節，任意一題甲 乙兩人搶到的概率都為，甲答對任意一題的概率為，乙答對任意一題的概率為，假定甲 乙兩人在各環節 各道題中答題相互獨立.
(1)在必答環節中，求甲 乙兩人得分之和大于100分的概率；
(2)在搶答環節中，求任意一題甲獲得15分的概率；
(3)若在必答環節甲得分為70分，乙得分為40分，設搶答環節經過X道題搶答后比賽結束，求隨機變量X的分布列及數學期望.
33．（2024·山東聊城·一模）如圖，一個正三角形被分成9個全等的三角形區域，分別記作，，，，，，，，. 一個機器人從區域出發，每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域（有公共邊的區域），且到不同相鄰區域的概率相等.

(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域；
(2)求經過2秒機器人位于區域的概率；
(3)求經過秒機器人位于區域的概率.

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