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第八章 立體幾何初步（一）（知識歸納+題型突破）
1.通過對模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐和棱臺的結構特征.
2.經歷從物體到幾何體的抽象過程，體驗研究幾何體的方法，提升直觀想象和數學抽象素養.
3.了解簡單組何體的概念及分類
4.掌握圓柱、圓臺、球的概念
5.培養學生的數學抽象、直觀想象等數學核心素養
6.了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟．
7.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．
8.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式．
9.能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題．
10.通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式．
11.能運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題．
知識點1：棱柱
（1）棱柱的定義
定義：一般地，有兩個面互相平行 ，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
底面(底)：兩個互相平行的面
側面：其余各面
側棱：相鄰側面的公共邊
頂點：側面與底面的公共頂點
（2）棱柱的圖形
（3）棱柱的分類及表示
①按棱柱底面邊數分類:
②按棱柱側棱與底面位置關系分類:
直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱
平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱
表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱
知識點2：棱錐
（1）棱錐的定義
定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
底面：多邊形面
側面：有公共頂點的各三角形面
側棱：相鄰側面的公共邊
頂點：各側面的公共頂點
（2）棱錐的圖形
（3）棱錐的分類及表示
按照棱錐的底面多邊形的邊數，棱錐可分為： 三棱錐、四棱錐、五棱錐……
特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐
表示法：棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐
知識點3：棱臺
（1）棱臺的定義
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺
上底面：原棱錐的截面
下底面：原棱錐的底面
側面：除上下底面以外的面
側棱：相鄰側面的公共邊
頂點：側面與上(下)底面的公共頂點
（2）棱臺的圖形
（3）棱臺的分類及表示
由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
用各頂點字母表示棱柱，如棱臺
知識點4：圓柱
（1）圓柱的定義
以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體
圓柱的軸：旋轉軸
圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面
圓柱的側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面
圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊
（2）圓柱的圖形
（3）圓柱的表示
圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱
知識點5：圓錐
（1）圓錐的定義
以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體
軸：旋轉軸叫做圓錐的軸
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面
側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面
母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
錐體：棱錐和圓錐統稱為錐體
（2）圓錐的圖形
（3）圓錐的表示
用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐
知識點6：圓臺
（1）圓臺的定義
用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺
軸：圓錐的軸
底面：圓錐的底面和截面
側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分
母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分
臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體
（2）圓臺的圖形
（3）圓臺的表示
用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺
知識點7：空間幾何體的直觀圖
（1）空間幾何體的直觀圖的概念
直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.
直觀圖是把空間圖形畫在平面內，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系的圖形.
（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）
（i）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，畫直觀圖時作出與之對應的軸和軸，兩軸相交于點，且使（或）
（ii）畫線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在軸，軸上的線段.
（iii）取長度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長度不變.在軸上或平行于軸的線段，長度為原來長度的一半.
（iv）成圖：連接有關線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.
方法歸納：設一個平面多邊形的面積為，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有.
知識點8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法
（1）畫軸. 在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點, 畫直觀圖時，把它們分別畫成對應的軸與軸，兩軸交于點, 且使”(或）, 它們確定的平面表示水平面；
（2）畫底面. 已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；
（3）畫側棱. 已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變為原來的一半；
（4）成圖. 連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.
簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側棱；④成圖.
知識點9：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質
①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．
知識點10：棱柱、棱錐、棱臺的表面積
（1）正方體、長方體的表面積
正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和
長、寬、高分別為的長方體的表面積：
棱長為的正方體的表面積：
.
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖
棱柱的側面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:
棱錐的側面展開圖由若干個三角形拼成如圖
棱臺的側面展開圖由若干個梯形拼成如圖
（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積
棱柱的表面積：
棱錐的表面積：
棱臺的表面積：
知識點11：棱柱、棱錐、棱臺的體積
（1）棱柱的體積
①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.
（2）棱錐的體積
①棱錐的高：錐體的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.
（3）棱臺的體積
①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長
②棱臺的體積：(,分別為上下底面面積，為臺體的高)
知識點12：圓柱、圓錐、圓臺的表面積
（1）圓柱的表面積
①圓柱的側面積：
圓柱的側面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側面積為.
②圓柱的表面積：
.
（2）圓錐的表面積
①圓錐的側面積：
圓錐的側面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側面積為
②圓錐的表面積：
（3）圓臺的表面積
①圓臺的側面積：
圓臺的側面展開圖是一個扇環.圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故圓臺的側面積為
②圓臺的表面積：
知識點13：圓柱、圓錐、圓臺的體積
（1）圓柱的體積：
（2）圓錐的體積：
（3）圓臺的體積：
知識點14：球的表面積和體積
（1）球的表面積：
（2）球的體積:
題型一：棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
例題1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）
1．下列關于空間幾何體的敘述，正確的是（ ）
A．圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體
B．有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一個棱錐的側面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐
D．用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺
例題2．（2023下·寧夏吳忠·高一統考期末）
2．下列關于幾何體特征的判斷正確的是（ ）
A．一個斜棱柱的側面不可能是矩形
B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐
C．有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐
D．平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形
例題3．（2023上·四川成都·高二校聯考階段練習）
3．下列說法正確的是（ ）
A．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C．多面體至少有5個面
D．六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形
例題4．（2023上·四川內江·高二四川省內江市第二中學校考階段練習）
4．下列說法中正確的有（ ）
A．正四面體是正三棱錐. B．棱錐的側面是全等的三角形.
C．正三棱錐是正四面體. D．延長棱臺所有側棱，它們會交于一點.
鞏固訓練
（2022上·陜西榆林·高一陜西省神木中學?？茧A段練習）
5．下列說法正確的是（ ）
A．側棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱
D．棱柱的側面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學?？茧A段練習）
6．下列命題中成立的是（ ）
A．有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐
C．一個棱錐的側面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐
D．各個側面都是矩形的棱柱是長方體
（2023上·黑龍江大慶·高二大慶市東風中學校考開學考試）
7．下列說法正確的是（ ）
A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
（2023下·上海楊浦·高二統考期末）
8．下列命題：
①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；
②各側棱的長都相等的棱錐是正棱錐；
③各側面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐.
其中真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
題型二：旋轉體的結構特征
例題1．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）
9．下列命題正確的是（　?。?br/>A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
B．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺
例題2．（2022下·廣東佛山·高一?？茧A段練習）
10．下列關于圓柱的說法中正確的是（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸，旋轉所形成的幾何體是圓柱
例題3．（2022下·廣東揭陽·高一統考期中）
11．下列說法正確的是（ ）
A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
B．以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐
C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面
D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
例題4．（2023上·上海虹口·高二校考期中）
12．下列命題中錯誤的是 ．
①過圓柱的旋轉軸的截面是矩形；
②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；
③圓臺所有平行于底面的截面都是圓面；
④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．
鞏固訓練
（2022·高一課時練習）
13．下列敘述中，正確的個數是（ ）
①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺；
③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；
④圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·全國·高一專題練習）
14．下列說法正確的是（　?。?br/>A．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
B．圓錐用平行于底面的平面截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
C．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線
D．過球面上任意兩不同點的大圓有且只有一個
（2023上·上?！じ叨ｎ}練習）
15．給出以下四個命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
③在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．
其中正確的是 ．
（2022·高一課時練習）
16．給出下列說法：
（1）圓柱的底面是圓面；
（2）經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；
（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體．
其中說法正確的是 ．
題型三：空間幾何體的展開圖及應用
例題1．（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學?？茧A段練習）
17．某同學為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字，該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面 后面 上面 下面 左面 右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（ ）

A．最 B．美 C．逆 D．敬
例題3．（2022·高一單元測試）
18．某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應依次寫上
A．快、新、樂 B．樂、新、快
C．新、樂、快 D．樂、快、新
例題3．（2022·高一課時練習）
19．根據如圖所示的幾何體的表面展開圖，畫出立體圖形.
鞏固訓練
（2023下·高一課時練習）
20．下列圖形經過折疊不能圍成一個棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022上·江西撫州·高一南城縣第二中學?？茧A段練習）
21．如圖①是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是 ．
（2020·高一課時練習）
22．如圖所示的平面圖形沿虛線折疊，能折疊成什么樣的立體圖形？
題型四：表面路徑最短問題
例題1．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學?？计谥校?br/>23．如圖，在長方體中，，點為上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C． D．
例題2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯考期末）
24．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC＝2，，A為銳角，側棱PA＝PB＝PC＝2，一只小蟲從A點出發，沿側面繞棱錐爬行一周后回到A點，則小蟲爬行的最短距離為（ ）

A． B．
C． D．
例題3．（2023上·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯考階段練習）
25．如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂的距離為，B是山坡的中點.為了發展當地旅游業，現要建設一條從A到B的環山觀光公路，當公路長度最短時，公路距山頂的最近距離為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2023上·上?！じ叨？茧A段練習）
26．如圖，一圓柱體的底面周長為，高為，是上底面的直徑.一只昆蟲從點出發，沿著圓柱的側面爬行到點，昆蟲爬行的最短路程是 .
鞏固訓練
（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）
27．如圖，正三棱錐中，，側棱長為，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（ ）

A． B． C． D．
（2022上·四川內江·高二四川省資中縣第二中學校考階段練習）
28．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，、分別是兩底面的直徑，、是母線.若一只小蟲從點出發，從側面爬行到點，求小蟲爬行的最短路徑為（ ）

A． B． C． D．
（2022下·內蒙古赤峰·高一統考期末）
29．在已知長方體中，，點為棱上一點且，點為線段上的動點，則的最小值為 ．
（2022下·河北邯鄲·高一校考期中）
30．如圖，在正四棱錐中，側棱長均為4，且相鄰兩條側棱的夾角為分別是線段上的一點，則的最小值為 ．
（2022·全國·高三專題練習）
31．如圖所示，圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長為6.求軸截面相對頂點A、C在圓臺側面上的最短距離.
題型五：空間幾何體的截面圖及應用
例題1．（2024上·福建泉州·高三統考期末）
32．已知圓柱母線長等于2，過母線作截面，截面的最大周長等于8，則該圓柱的體積等于（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·全國·高一假期作業）
33．一個正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（　　）
A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）
例題3．（2024·全國·高三專題練習）
34．已知，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
例題4．（2024·全國·高三專題練習）
35．在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為 ．
鞏固訓練
（2024·全國·高一假期作業）
36．用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀?br/>37．已知圓錐的底面直徑為8，母線長為5，過圓錐的任意兩條母線作一個平面與圓錐相截，則截面面積的最大值是 ．
（2024·全國·高三專題練習）
38．在棱長為a的正方體中，E，F分別為棱BC，的中點，過點A，E，F作一個截面，該截面將正方體分成兩個多面體，則體積較小的多面體的體積為 .
（2024·全國·高三專題練習）
39．如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；
題型六：立體圖形的直觀圖
例題1．（2024·全國·高一假期作業）
40．水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點，且平行于軸，則，，對應于原中的線段AB，AD，AC，對于這三條線段，正確的判斷是（ ）

A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．
例題2．（2024·全國·高一假期作業）
41．如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則在原平面圖形中有（　　）
A． B． C． D．
例題3．（2024·全國·高三專題練習）
42．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為
鞏固訓練
（2024·全國·高三專題練習）
43．如圖所示，一個平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說法中正確的是（ ）

A．該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形
B．該平面圖形的面積是8
C．該平面圖形繞著直線旋轉半周形成的幾何體的體積是
D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的外接球直徑為
（2024上·上海·高二校考期末）
44．如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是 .
（2024上·全國·高三專題練習）
45．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為 ．
題型七：簡單組合體的表面積與體積
例題1．（2024上·山東濰坊·高三統考期末）
46．已知圓錐的側面展開圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·天津·?？寄M預測）
47．中國國家館，以城市發展中的中華智慧為主題，表現出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質.如圖，現有一個與中國國家館結構類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024上·天津河北·高三統考期末）
48．底面邊長為，且側棱長為的正四棱錐的體積和側面積分別為（ ）
A． B． C．32，24 D．32，6
例題4．（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀?br/>49．若正四棱錐的底面邊長是2，高為，棱錐被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱臺的上、下底面邊長之比為，則該棱臺的體積是 ．
鞏固訓練
（2024上·河北張家口·高三統考期末）
50．已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·高一假期作業）
51．如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·全國·高一假期作業）
52．若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·上?！じ叨？计谀?br/>53．圖1中的機械設備叫做“轉子發動機”，其核心零部件之一的轉子形狀是“曲側面三棱柱”，圖2是一個曲側面三棱柱，它的側棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點之間的距離為40，則其側面積為 .
（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀?br/>54．已知中，，將繞所在的直線旋轉一周，則所得旋轉體的表面積是 ．
題型八：內切球問題之獨立截面法
例題1．（2024上·遼寧·高三校聯考期末）
55．以半徑為的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑滿足（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·四川遂寧·統考一模）
56．在正四棱臺內有一個球與該四棱臺的每個面都相切（稱為該四棱臺的內切球），若，則該四棱臺的外接球（四棱臺的頂點都在球面上）與內切球的半徑之比為 ．
例題3．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯考階段練習）
57．如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內切球(與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球)的表面積為 .
鞏固訓練
（2024·全國·模擬預測）
58．已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內切球，若球內有一個內接正三棱柱，則當該正三棱柱的側面積最大時，正三棱柱的體積為 ．
（2024·全國·高一假期作業）
59．已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內切球（球與圓錐的底面和側面均相切）的表面積為 .
（2023上·江蘇·高三期末）
60．與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球.若圓臺的上、下底面半徑分別為，且，則它的內切球的體積的最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據圓柱，棱柱，棱臺，棱錐的定義進行判斷.
【詳解】對于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；
對于B，若棱柱有兩個相鄰側面是矩形，則側棱與底面兩條相交的邊垂直，則側棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；
對于C，如圖所示，若，，滿足側面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；
對于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.若截面與底面不平行，則不是梭臺，故D錯誤.
故選：B.
2．C
【分析】
根據直棱柱、正棱錐、棱錐的分類，以及平行六面體的幾何結構特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，斜棱柱的側面中，可以有的側面是矩形，所以A不正確；
對于B中，根據正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；
對于C中，根據棱錐的分類，可得有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；
對于D中，平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯誤.
故選：C.
3．D
【分析】根據多面體、棱柱和棱臺的定義判斷即可.
【詳解】A選項：各側面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯；
B選項：有2個面平行，其余各面都是梯形，但若是各側棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，故B錯；
C選項：多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體，故C錯；
D選項：根據棱柱的定義可知六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形，故D正確.
故選：D.
4．AD
【分析】
根據棱錐、棱臺的有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，正四面體的四個面都是等邊三角形，是正三棱錐，A選項正確.
B選項，棱錐的側面是三角形，不一定全等，B選項錯誤.
C選項，正三棱錐的側棱長和底面棱長不一定相等，
所以正三棱錐不一定是正四面體，C選項錯誤.
D選項，根據棱臺的定義可知，延長棱臺所有側棱，它們會交于一點，D選項正確.
故選：AD
5．A
【分析】
根據棱柱的概念及其性質可知，側棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正六棱柱的兩個相對的側面都互相平行，但不是底面，底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，可能是平行六面體，棱柱的底面可以是任意多邊形，包括平行四邊形.
【詳解】對于A選項，根據直棱柱定義可知，側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，故A正確；
對于B選項，棱柱中兩個互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的兩個相對的側面都互相平行，但不是底面，故B錯誤；
對于C選項，底面是正方形，且側棱與底面垂直的棱柱是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，所以C錯誤；
對于D選項，棱柱的側面是平行四邊形，它的底面可以是任意多邊形，可以是三角形，也可以是平行四邊形，即D錯誤.
故選：A
6．A
【分析】
依據直棱柱、棱錐、正棱錐的概念來判斷.
【詳解】對A，以三棱柱為例，如圖，若側面和側面為矩形，則.
又平面ABC，所以 面，
又棱柱側棱互相平行，故其他側棱也與底面垂直.
所以此三棱柱為直三棱柱，故A正確；

對B，如圖所示的八面體滿足每個面都是三角形，但它不是棱錐，故B不正確；

對C，如圖所示的三棱錐中有，滿足側面是全等的等腰三角形，
但它不是正三棱錐，故C不正確；

對D，各個側面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是長方體，故D不正確.
故選：A
7．D
【分析】
由棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，判斷各選項是否正確.
【詳解】選項A，例如六棱柱的相對側面也互相平行，故A錯誤；
選項B，其余各面的邊延長后不一定交于一點，故B錯誤；
選項C，當棱錐的各個側面共頂點的角的角度之和是時，各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；
選項D，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．
故選：D
8．A
【分析】
由正棱錐滿足的條件即可判斷.
【詳解】
是正棱錐必須滿足兩個條件：（1）底面是正多邊形（2）過頂點作底面垂線，垂足為底面正多邊形中心，即側面是全等的等腰三角形.
對于①，底面是正多邊形的棱錐，但側面不是全等的等腰三角形時不滿足條件（2），故錯誤；
對于②，比如一個四棱錐滿足各側棱的長都相等，但其底面可以為矩形，此時不滿足條件（1），故錯誤；
對于③，比如一個四棱錐滿足各側面是全等的等腰三角形，但其底面可以為菱形，此時不滿足條件（1），故錯誤.
故選：A
9．C
【分析】
選項A，平面不一定平行于圓錐底面；選項B，棱柱底面多邊形各邊不一定相等，則側面不一定全等；選項D，空間直觀想象由直角梯形繞下底所在直線旋轉一周可得組合體.
【詳解】
只有在平面平行于圓錐底面時，才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺，
當平面不平行于圓錐底面時，得到的幾何體并非圓錐和圓臺，所以A錯；
棱柱的側棱都相等且平行，且側面是平行四邊形，
但其底面多邊形各邊不一定相等，則側面并不一定全等，所以B錯；
圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形，所以C對；
直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，
如圖所示，所以D錯.
故選：C.

10．ABD
【分析】根據圓柱的結構特征逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，圓柱的所有母線長都等于圓柱的高，且都相等，所以A正確，
對于B，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質可知截面是與底面全等的圓面，所以B正確，
對于C，用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，所以C錯誤，
對于D，一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸，旋轉所形成的幾何體是圓柱，所以D正確，
故選：ABD
11．BCD
【分析】
利用圓錐、圓柱、圓臺的結構特征逐一判斷，可得出結果.
【詳解】
對于A，以直角梯形中垂直于底的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺，故A錯誤；
對于B，以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，B對；
對于C，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，C對；
對于D，用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面，D對.
故選:BCD.
12．②
【分析】根據圓柱、圓臺、圓錐的結構特征，即可得出答案.
【詳解】對于①，根據圓柱的特征，可知①正確；
對于②，圓錐的軸截面為等腰三角形，該三角形頂角的取值范圍為，顯然面積不相等，故②錯誤；
對于③，根據圓臺的特征，可知③正確；
對于④，圓錐所有的軸截面都是等腰三角形，且腰長等于母線長，底長等于圓錐底面圓直徑，故④正確.
故答案為：②.
13．B
【分析】根據旋轉體的知識逐一判斷即可.
【詳解】①應以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸旋轉才可得到圓錐，故①錯；
②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉軸旋轉可得到圓臺，故②錯；
③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯；
④圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球，故④正確．
故選：B.
14．BC
【分析】對于A，由旋轉體的定義判斷A；對于B，根據圓臺的定義判斷B；對于C，由圓錐的性質判斷C；對于D，過球面上球的直徑的兩個端點的大圓有無數個，由此判斷D.
【詳解】對于A，當兩個平行平面與圓柱底面平行時，夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是旋轉體，當兩個平行平面與圓柱底面不平行時，夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故A錯誤；
對于B，根據圓臺的定義，圓錐用平行于底面的平面截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺，故B正確；
對于C，由圓錐的性質得圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線，故C正確；
對于D，過球面上球的直徑的兩個端點的大圓有無數個，故D錯誤.
故選：BC
15．②④
【分析】
結合圓柱、圓錐、圓臺的性質逐一判斷即可得.
【詳解】
①不正確，因為這兩點的連線不一定與圓柱的旋轉軸平行；
②正確，符合圓錐母線的定義；
③不正確，結合圓臺母線的定義可知，母線與旋轉軸的延長線應交于一點，
而從圓臺上、下底面圓周上各取一點，其連線未必滿足這一條；
④正確，符合圓柱母線的性質.
故答案為：②④.
16．（1）（2）
【分析】
由圓柱的性質判斷(1)、(2)、(4)；由圓臺的性質判斷(3).
【詳解】
解：圓柱的底面是圓面，故（1）正確；
圓柱的母線都平行且相等，且都垂直于底面，則經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面，故（2）正確；
圓臺是由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到的，則圓臺的任意兩條母線所在的直線相交，故（3）錯誤；
當兩個截面不平行或截面平行但不與底面平行時，兩個截面間的幾何體不是旋轉體，故（4）錯誤．
故答案為：（1）（2）．
17．A
【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點以及題意，把“行”放到正方體的左面，然后把平面展開圖折成正方體，看“行”的相對面，即可判斷.
【詳解】把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．

故選：A．
18．A
【分析】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，即可得出結論．
【詳解】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，
故選A．
【點睛】本題考查四棱錐的結構特征，考查學生對圖形的認識，屬于基礎題.
19．答案見解析
【分析】利用立體圖形及其表面展開圖的特點解題．圖1有四個全等的三角形一個四邊形，故應是四棱錐；圖2有6個四邊形是四棱柱.
【詳解】圖1是以ABCD為底面，P為頂點的四棱錐．
圖2是以ABCD和A1B1C1D1為底面的棱柱．
其圖形如圖所示．

圖1　　　　　　　　　　　圖2
20．B
【分析】
依據棱柱展開圖的特征對各個選項恢復成相應棱柱，即可得到所給圖形中經過折疊不能圍成一個棱柱的為選項B.
【詳解】選項AD經過折疊可以圍成四棱柱，選項C經過折疊可以圍成三棱柱，
選項B經過折疊后有四個側面，而上下底面為五邊形，故不能圍成棱柱.
故選：B
21．路
【分析】
根據正方體的表面展開圖找出相對面，再由其特征得到結果.
【詳解】由圖①可知，“國”和“興”相對，“夢”和“中”相對，“復”和“路”相對；
由圖②可得，第1、2、3、4、5格對應面的字分別是“興”、“夢”、“路”、“國”、“復”，
所以到第5格時，小正方體朝上面的字是“路”.
故答案為：路.
22．正五棱錐；三棱臺
【解析】由正五棱錐、三棱臺的定義想象其表面展開圖．或者這兩個圖形中各面的性質．
【詳解】（1）中一個面是正五邊形，其余各面都是等腰三角形，故（1）能折成正五棱錐.
（2）中有三個面是梯形，有兩個面是相似的三角形，故（2）能折成三棱臺.
【點睛】本題考查多面體的展開圖，掌握正五棱錐、三棱臺和概念與性質是解題關鍵．
23．D
【分析】
將繞翻折到與共面，連接，則的長度即為的最小值，利用勾股定理計算可得.
【詳解】將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：
連接，則的長度即為的最小值，
因為，所以 ，
所以，所以，即的最小值為.
故選：D
24．D
【分析】根據題意，求出的值，將三棱錐沿側棱展開，分析其展開圖，由余弦定理分析可得答案．
【詳解】根據題意，在三棱錐中，，
則有，可得，又，則，
而，則，又△PAB，△PAC為正三角形，
將三棱錐沿側棱展開，得到如圖所示的多邊形，其中，

根據余弦定理，最短距離
故選：D．
25．D
【分析】
根據圓錐的側面展開圖，即可根據弧長公式可得，進而根據等面積法即可求解.
【詳解】以為分界線，將圓錐的側面展開，可得其展開圖如圖.
則從點A到點B的最短路徑為線段，，所以.
過S作，則公路距山頂的最近距離為，
因為，所以，
故選:D.
26．
【分析】作出圓柱側面展開圖，可知所求最短路程為，利用勾股定理可求得結果.
【詳解】作出圓柱的側面展開圖如下圖所示，
則當昆蟲的爬行路線為線段時，爬行的路程最短，
圓柱體的底面周長為，；
最短路程為：.
故答案為：.
27．B
【分析】
將正三棱錐的側面展開，結合側面展開圖，得到要使的周長的最小，則共線，再由正三棱錐的結構特征和數量關系，即可求解.
【詳解】
將正三棱錐沿剪開，得到側面展開圖，如圖所示，
因為，即，
由的周長為，
要使的周長的最小，則共線，即，
又由正三棱錐側棱長為，是等邊三角形，
所以，即蟲子爬行的最短距離是.
故選：B.

28．B
【分析】展開圓柱側面，根據兩點間直線距離最短求得正確結論.
【詳解】展開圓柱的側面如圖所示，

展開后，在矩形中，，，
由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是.
故選：B.
29．
【分析】
將矩形 和三角形 沿 翻折成平面圖形，連接， 的長就是的最小值，利用余弦定理即可得出答案．
【詳解】
如圖，將矩形和三角形沿翻折成平面圖形，
連接交于點，可知最短，
，，
，，
．
故答案為：
30．
【分析】將正四棱錐的側面展開，則的最小值為，根據數據求解即可．
【詳解】如圖，將正四棱錐的側面展開，則的最小值為；
在中，，則．
所以的最小值為.
故答案為：.
31．.
【分析】沿母線剪開將圓臺側面展開，則A、C在圓臺側面上的最短距離即為展開圖中線段的長求解.
【詳解】如圖所示：
沿母線剪開將圓臺側面展開，問題轉化為求展開圖中線段的長.
設圓臺的上底面、下底面半徑分別為、，因為側面展開圖圓心角，
，且B、C分別為所在弧的中點，
所以在等腰三角形中，，
則是等邊三角形，
因為，
所以，而，C為的中點，
所以，
即A、C兩點在圓臺側面上的最短距離為.
32．B
【分析】
根據已知條件知當截面的周長最大時，截面為圓柱的軸截面，結合已知條件求出圓柱的半徑，利用圓柱的體積公式即可求解.
【詳解】當過母線作截面，截面的周長最大時，此時截面為軸截面.
設圓柱的底面半徑為，則
因為過母線作截面，截面的最大周長等于8，
所以，解得.
所以該圓柱的體積為.
故選：B.
33．D
【分析】
根據相似比求得正確答案.
【詳解】
設截后棱錐的高為h，原棱錐的高為H，
由于截面與底面相似，一個正棱錐被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，，
則此正棱錐的高被分成的兩段之比：.
故選：D
34．D
【分析】
取，，的中點，，，可得，，，由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，從而求出截面是六邊形.
【詳解】
如圖所示，分別取，，的中點，，，連接 ，，，，，，則，.
，.
同理可得，.
由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，
所以平面截正方體所得的截面是六邊形.
故選：D.
35．
【分析】
作出截面截面，為的中點，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.
【詳解】
如圖，在正方體中，
平面平面，
平面與平面的交線必過且平行于，
故平面經過的中點，連接，得截面，
易知截面是邊長為的菱形，其對角線，
，截面面積．
故答案為：．
36．B
【分析】
根據球中截面圓的性質，結合錐體體積公式即可求解半徑，進而由球表面積公式求解.
【詳解】設平面截得截面圓的半徑為，球半徑為,
所以，
所以外接球的表面積為，
故選：B
37．##
【分析】
先計算出圓錐的高，然后分析軸截面三角形頂角的大小，結合三角形面積公式求解出截面面積的最大值.
【詳解】圓錐的高為，
因為，且為銳角，
所以，所以，
不妨設任意兩條母線的夾角為，
則截面面積，
當且僅當時取等號，此時兩條母線的夾角為，
所以，
故答案為：.
38．
【分析】
先作出截面，判斷出為三棱臺，結合臺體體積公式運算求解.
【詳解】
如圖，依次連接，四邊形即為所求截面，
因為點E、F分別為棱、的中點，所以∥，
可知為三棱臺，所以，
其體積，
且正方體的體積為，
則另一部分的體積為，
因為，所以體積較小的多面體的體積為.
故答案為：.
39．答案見解析
【分析】
由平面的基本性質作圖.
【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.
作法如下：連接并延長交的延長線于點，
連接交于點，交的延長線于點，
連接交于點，連接，，
所以五邊形即為所求截面.
40．A
【分析】
根據題意，由直觀圖與原圖的關系，結合條件，即可判斷.
【詳解】因為平行于軸，所以在中，，
又因為是中邊的中點，所以是的中點，
所以.
故選：A
41．AD
【分析】
根據斜二測畫法規則確定點的位置，再作出，逐項計算判斷即可.
【詳解】在直觀圖中，，取中點，連接，
則，而，于是，，
由斜二測畫法規則作出，如圖，
則，，
，，
顯然，AD正確，BC錯誤.
故選：AD
42．
【分析】利用直觀圖中的信息，求出的長度，從而得到原平面圖形中的長度，利用梯形的面積公式求解即可.
【詳解】
過作于，
在直觀圖中，，，，
所以，，
故原平面圖形的上底為 ，下底，高為，
所以這塊菜地的面積為，
故答案為：.
43．BC
【分析】
根據斜二測畫法還原原圖形即可求解AB，根據圓錐的體積公式即可求解C，根據長方體的外接球即可判斷D.
【詳解】如圖所示: 將直觀圖還原為平面圖形，

由題意可得，，故該平面圖形為正方形，即A錯誤；
面積，即B正確；
將平面圖形繞直線AC旋轉半周得幾何體為兩個圓錐，底面半徑和高均為2，
故體積，即C正確；
以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實為長方體，且長寬高分別為，所以長方體的體對角線長為，即D錯誤.
故選：BC
44．
【分析】
易知為等腰直角三角形，由此可求得；根據直觀圖面積與原圖面積的比值關系可求得結果.
【詳解】由斜二測畫法原理可知：，
是以為直角頂點的等腰直角三角形，又，
，，
.
故答案為：.
45．24
【詳解】因為矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以根據畫直觀圖的基本原理知原圖形是底邊長為6的平行四邊形，其高是，因此面積是，故答案為.
考點：畫直觀圖的基本原理，平行四邊形的面積公式.
46．C
【分析】
先求得圓錐的底面半徑和高，進而求得該圓錐的體積.
【詳解】
由圓錐的側面展開圖是半徑為的半圓，可得圓錐的母線長，
設圓錐的底面半徑為r，則，解之得，
則圓錐的高
則該圓錐的體積為
故選：C
47．B
【分析】
根據正四棱臺性質求出側棱長，繼而求得高，根據棱臺的體積公式，即可求得答案.
【詳解】因為是正四棱臺，，，
側面以及對角面為等腰梯形，故，，
，所以，
所以該四棱臺的體積為，
故選：B.
48．A
【分析】
由正四棱錐的結構特征求高、斜高，根據體積、側面積公式求結果.
【詳解】由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點在底面上射影，
結合題設，底面對角線長為，則棱錐的高，斜高為，
所以正四棱錐的體積為，
側面積為.
故選：A.
49．##
【分析】利用相似比得到被截去的小棱錐的邊長與高，再利用割補法，結合棱錐的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，
因為棱臺的上、下底面的邊長之比為，正四棱錐的底面邊長是，高為，
所以正四棱錐的底面邊長為，高為，
所以該棱臺的體積為.
故答案為：.
50．C
【分析】
求出上下底面的面積，作出輔助線，得到母線長，從而得到圓臺的表面積.
【詳解】
由題意，得上底面面積為，下底面面積為，
由圖形可得，，
母線與下底面所成的角為，故，
故圓臺的母線長為2，所以側面積為，
所以該圓臺的表面積為．
故選：C．
51．D
【分析】
根據棱臺的體積公式，求出，即可解出.
【詳解】設四棱臺的高度為，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，
則，
所以.
故選：D.
52．B
【分析】
正四棱柱底面邊長與圓柱底面半徑之比已知，由正四棱柱與圓柱的體積相同，求出正四棱柱與圓柱的高之比，代入側面積公式計算即可.
【詳解】
依題意，設正四棱柱的底面邊長為，高為，
圓柱的高為，則圓柱的底面半徑為，
則有，整理得，
正四棱柱與圓柱的側面積之比.
故選：B．
53．
【分析】由曲側面三棱柱的定義，其側面為矩形，即可根據幾何關系求側面積.
【詳解】由題意得為等邊三角形，且邊長為40，如圖所示，
所以弧的長度為，
曲側面三棱柱的三個側面展開后，均是長為，寬為10的矩形，
所以曲側面三棱柱的側面積為.
故答案為：
54．
【分析】
先分析出旋轉體為圓錐，然后根據表面積等于側面積加上底面積求解出結果.
【詳解】因為，所以，
所以旋轉體是底面半徑為，高為，母線長為的圓錐，
所以表面積為，
故答案為：.
55．D
【分析】
設圓錐的高為，作出圓錐的軸截面，利用相似比求出，再根據圓錐的體積公式結合二次函數的性質即可得解.
【詳解】設圓錐的高為，如圖，為圓錐的軸截面，
則，解得，
故圓錐的體積，
當，即時，，
所以圓錐體積最小值時，圓錐底面半徑滿足.
故選：D.
【點睛】
方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.
56．
【分析】
利用正棱臺的性質，分別求出內切球與外接球的半徑即可得解.
【詳解】根據題意，該正棱臺的軸截面，如圖：

由題意，由知，
由圓的切線長性質可知，所以，
所以，
所以該四棱臺的內切球的半徑為，
下面畫出正四棱臺，
連接,，交于點,連接,，交于點，如圖，

由可得,，，
設外接球的半徑為，，則，
由得，解得，
于是，則.
所以.
故答案為：.
57．
【分析】利用已知條件求得圓臺的母線長，進而根據勾股定理求得圓臺的高，即內切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.
【詳解】
設圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內切球的球心O一定在的中點處,
設球O與母線切于M點,所以,所以 (R為球O的半徑),
所以與全等, 所以,同理，
所以， ，所以，
所以圓臺的內切球半徑，內切球的表面積為.
故答案為：.
58．
【分析】
畫出截面圖，利用，得到，由相似比求出球的半徑為，再利用正三棱柱的幾何性質找到（正三棱柱的高為），最后由側面積公式結合基本不等式得到最值.
【詳解】圓錐與球的軸截面如圖所示，為圓錐的頂點，為圓錐的底面直徑，D，E為切點，連接，，
則，，且過點，設球的半徑為，
由題意可得，故，即，
整理得，得．
設正三棱柱的底面邊長為，正三棱柱的高為，則，即，
正三棱柱的側面積，當且僅當，且，即時取等號，
此時該正三棱柱的側面積最大，故此時正三棱柱的體積．
故答案為：
59．
【分析】根據已知先求母線長，再結合軸截面可得半徑，然后可得.
【詳解】有題意可知，，所以
所以，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，圓錐的內切球的半徑等于該正三角形的內切圓的半徑，
所以，
所以該圓錐的內切球的表面積為.
故答案為：
60．
【分析】
根據圓臺的軸截面圖，結合圓臺和球的結構特征以及基本不等式運算求解.
【詳解】
如圖，畫出截面圖，

可得，則，
記內切球的半徑為R，可知，
過B作，垂足為G，
則，，
所以，解得，即，
當且僅當時，等號成立，
所以它的內切球的體積的最大值為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第八章 立體幾何初步（一）（知識歸納+題型突破）
題型九：內切球問題之等體積法
例題1.
（2024上·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）
1．點為正四面體的內切球球面上的兩個動點，為棱上的一動點，則當取最大值時，（ ）
A． B．1 C． D．
例題2.
（2024·全國·高三專題練習）
2．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
例題3.
（2024上·湖南永州·高三永州市第一中學?？茧A段練習）
3．已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球與外接球表面積的比值為 .
鞏固訓練
（2023上·山東濟南·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）
4．棱長為2的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最大半徑為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江蘇無錫·高二江蘇省太湖高級中學校考階段練習）
5．正四面體的棱長為12，點是該正四面體內切球球面上的動點，當取得最小值時，點到的距離為 ．
（2024·全國·高一假期作業）
6．一個正四面體表面積為，其內切球表面積為S2.則= .
題型十：外接球問題之公式法
例題1.
（2023·浙江紹興·統考模擬預測）
7．已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2022下·陜西安康·高二統考期末）
8．長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A． B． C． D．
例題3.
（2023上·貴州六盤水·高二統考階段練習）
9．已知正方體的外接球的體積為，則該正方體的棱長為 ．
鞏固訓練
（2024上·廣東·高三統考學業考試）
10．一個邊長為的正方體八個頂點都在一個球上，則球的半徑為
（2023下·福建寧德·高一統考期中）
11．長方體的所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別為2，1，1，那么這個球的表面積是 ．
（2021上·內蒙古包頭·高三包頭市第四中學?？计谥校?br/>12．長 寬 高分別為1，2，3的長方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .
題型十一：外接球問題之補形法（墻角形）
例題1.
（2024·全國·模擬預測）
13．已知三棱錐中，，且PA，PB，PC兩兩垂直，點是三棱錐外接球的球面上一點，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2023·四川涼山·統考一模）
14．在三棱錐中，，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
例題3.
（2023上·四川南充·高二四川省南充高級中學校考階段練習）
15．已知四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，且為等腰直角三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為 ．
例題4.
（2023上·四川達州·高二達州市第一中學校?？茧A段練習）
16．《九章算術》是西漢張蒼等輯撰的一部數學巨著，被譽為人類數學史上的“算經之首”.書中“商功”一節記錄了一種特殊的錐體，稱為鱉臑 (biēnào). 如圖所示，三棱錐 中，平面，則該三棱錐即為鱉臑. 若且三棱錐外接球的體積為，則三棱錐體積的最大值是
鞏固訓練
（2023上·天津·高三天津市咸水沽第一中學校考期中）
17．古代數學名著《九章算術·商功》中，將底面為矩形.且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·吉林白山·統考一模）
18．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
（2022上·山西忻州·高三?？计谀?br/>19．在四面體ABCD中，，則四面體的外接球的體積為 ．
題型十二：外接球問題之補形法（對棱相等形）
例題1.
（2023上·陜西咸陽·高三陜西咸陽中學?？茧A段練習）
20．已知正四面體的外接球的體積為， 則該正四面體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2023上·江西南昌·高三江西師大附中?？计谥校?br/>21．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的表面積是 ．
例題3.
（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽市翔宇中學?？茧A段練習）
22．已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為 ．
例題4.
（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）
23．在中，，，E，F，G分別為三邊，，的中點，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓練
（2023上·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）
24．已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山東青島·高三山東省萊西市第一中學校聯考期中）
25．在中，，，，將各邊中點連線并折成四面體，則該四面體外接球直徑為 ；該四面體的體積為 .
（2023上·貴州六盤水·高二統考期中）
26．四面體ABCD中，，，，則該四面體的外接梂的表面積為 ．
題型十三：外接球問題之單面定球心法
例題1.
（2024·河南·模擬預測）
27．已知體積為的正四棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2024·陜西渭南·統考一模）
28．在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點為三棱錐外接球上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球的表面積為 ．
例題3.
（2023上·全國·高三統考競賽）
29．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為 ．
鞏固訓練
（2023上·海南?？凇じ呷？茧A段練習）
30．在菱形中，，將沿對角線折起，使點A到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）
31．在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球體積為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川·高二校聯考階段練習）
32．已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 .
題型十四：外接球問題之雙面定球心法
例題1.
（2024上·山東德州·高三統考期末）
33．在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2023上·江西九江·高二九江一中?？计谥校?br/>34．如圖，是邊長為的正三角形的一條中位線，將沿翻折至，當三棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的表面積為 ；過靠近點的三等分點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是
鞏固訓練
（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）
35．在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川內江·高二校考期中）
36．在菱形中，，，將沿折起，使得點到平面的距離最大，此時四面體的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .
題型十五：空間幾何體表面積，體積最值問題
例題1.
（2024·全國·高三專題練習）
37．已知四面體的體積為3，從頂點出發的三條棱兩兩垂直，若，則該四面體外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題2.
（2024上·湖北·高三統考期末）
38．圓錐中，為圓錐頂點，為底面圓的圓心，底面圓半徑為3，側面展開圖面積為，底面圓周上有兩動點，則面積的最大值為（ ）
A．4 B． C． D．6
例題3.
（2024·全國·模擬預測）
39．某禮品盒生產廠擬給如圖所示的八面體形的玻璃制品設計一個球形禮品包裝盒．若該八面體可以看成是由一個棱長為的正四面體在4個頂點處分別截去一個棱長為的小正四面體而得到的，則該球形禮品包裝盒的半徑的最小值為（ ）（不考慮包裝盒材料的厚度）
A． B． C． D．
例題4.
（2024上·上海寶山·高二?？计谀?br/>40．從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個深度為米的圓錐筒（如圖2）．若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為．
(1)求圓錐筒的容積；
(2)在（1）中的圓錐內有一個底面圓半徑為的內接圓柱（如圖3），求內接圓柱側面積的最大值以及取最大值時的取值．
鞏固訓練
（2024·全國·模擬預測）
41．若半徑為的小球可以在棱長均為的四棱錐內部自由轉動，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）
42．在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 .
（2024·全國·模擬預測）
43．已知圓錐的側面積為，高為，設圓錐的頂點為，點，B在底面圓周上，則面積的最大值為 ．
（2024上·全國·高三期末）
44．如圖，在底面為菱形的四棱錐中，底面，其中為底面的中心.
(1)證明：平面平面.
(2)若，求四棱錐體積的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
根據正四面體體積的等積性、球的幾何性質、圓的切線性質，結合銳角三角函數定義、正切二倍角公式、正弦函數的單調性進行求解即可.
【詳解】設該正四面體的棱長為，
設該正四面體的內切球的球心為，頂點在底面的射影為，
顯然在線段上，顯然該正四面體內切球的半徑為，
如圖所示：

由正弦定理可知：，
由勾股定理可知：，
由三棱錐體積的等積性可得：
，
，
由球的性質可知：當與圓相切時，最大，
如圖所示：，
由圓的切線長定理可知：，
在直角三角形中，，
最大時，最小，因為，
所以此時為的中點，即有，
正四面體的內切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，
所以，
因此，
，
于是有，

故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用球的幾何性質、正弦函數的單調性、三棱錐的體積等積性.
2．C
【分析】設四面體內切球的球心為，半徑為，則，求得，，從而求得，根據球的表面積公式即可求解.
【詳解】
因為四面體四個面都為直角三角形，平面，
所以，，
設四面體內切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因為四面體的表面積為，
又因為四面體的體積，
所以，
所以內切球表面積.
故選：C.
3．
【分析】
根據題意利用余弦定理求得，由此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個長方體的六個面的對角線，利用長方體的性質求外接圓半徑，再等體積法求出內切球半徑，運算求解即可.
【詳解】
在中，，
故，即，
則折成的三棱錐中，，，，
即此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個長方體的六個面的對角線，
設長方體從同一個頂點出發的三條棱長分別為a，b，c
則，解得，
此長方體的外接球是三棱錐的外接球，
設外接球的直徑，即，
又因為三棱錐是長方體切掉四個角，
故三棱錐，
三棱錐四個側面是全等的，
，
設內切球半徑為，以內切球球心為頂點，把三棱錐分割為以球心為頂點，四個面為底面的的四個小三棱錐，四個小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，
故，
則三棱錐的內切球與外接球表面積的比值為.
故答案為：.
【點睛】
方法定睛：多面體與球切、接問題的求解方法
(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解．
(2)若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方體的內切球的直徑為正方體的棱長．
(4)球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．
(5)利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．
4．C
【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內切球的半徑，再通過求出空隙處球的最大半徑即可.
【詳解】由題，當球和正四面體的三個側面以及內切球都相切時半徑最大，
設內切球的球心為，半徑為R，空隙處最大球的球心為，半徑為，
為的中心，得平面，為中點，
球和球分別和平面相切于，，
在底面正三角形中，易求，，，
又，
由，即得，又，
，，，
又，可得即，即球的最大半徑為.
故選：C.
5．
【分析】先根據正四面體的體積求出內切球的半徑，取的中點為，再根據數量積得到，可得當的長度最小時，取得最小值，再求出球心到點的距離，從而可得點到的距離為，進而求解即可．
【詳解】由正四面體的棱長為12，則其高為，
則其體積為，
設正四面體內切球的半徑為，
則，解得，
如圖，取的中點為，
則，
顯然，當的長度最小時，取得最小值，
設正四面體內切球的球心為，可求得，
則球心到點的距離，
所以內切球上的點到點的最小距離為，
即當取得最小值時，點到的距離為．
故答案為：．
【點睛】關鍵點睛：本題考查幾何體的內切球問題，解題的關鍵是先根據正四面體的體積可求出內切球的半徑，得出點P到AD的距離為球心O到點E的距離減去半徑．
6．
【分析】設正四面體的棱長為a，用a表示正四面體表面積為，求得正四面體的高，再利用等體積法求得其內切球的半徑為r即可.
【詳解】如圖所示：
設正四面體的棱長為a，
因為正四面體表面積為，
所以，正四面體的高為，
設正四面體的內切球的半徑為r，
則正四面體的體積為，
解得，
所以，
所以
故答案為：
7．D
【分析】
根據正六棱柱的性質可求解半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】由正六棱柱的性質可得為其外接球的球心（如圖）,
由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,
所以,
所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，
故選：D
8．A
【分析】求出長方體外接球半徑，再由球體體積公式求體積.
【詳解】球O的半徑為，
∴體積．
故選：A
9．
【分析】
設該正方體的棱長為，由正方體的性質得得到對角線，也就是外接球的直徑，進而得到半徑，然后利用球的體積公式得到關于的方程，求解即得.
【詳解】
設該正方體的棱長為，則該正方體的外接球的半徑為.
由，得,
故答案為：.
10．
【分析】
根據幾何體外接球半徑的求法求得正確答案.
【詳解】正方體外接球的直徑等于體對角線長，
所以球的半徑為.
故答案為：
11．
【分析】
先求出長方體對角線的長度，即得外接球的直徑，再求球的表面積即可.
【詳解】由題意，長方體的對角線的長度即外接球的直徑，為，
故這個球的表面積是.
故答案為：
12．
【分析】由長方體的體對角線為其外接球的直徑，可計算出長方體的外接球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結果.
【詳解】設球的半徑為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.
故答案為：.
13．B
【分析】
根據題意可求得三棱錐外接球的球心到平面的距離，再利用球面上的點到平面距離的最值問題即可求得三棱錐體積的最大值.
【詳解】由題可得將三棱錐補形成正方體，
可得三棱錐的外接球即正方體的外接球，且外接球半徑．
設為外接球球心，根據正方體的結構特征可知點到平面ABC的距離為，如下圖所示：
又，故可得點到平面ABC的距離，
則點到平面ABC的距離，
故點到平面ABC的距離．
易得是邊長為的等邊三角形，故三棱錐的體積，
因此三棱錐體積的最大值為．
故選：B．
14．B
【分析】
利用二面角的平面角的定義、勾股定理及余弦定理，將三棱錐補形成正方體，利用正方體的體對角線為外接球的直徑，再利用球的表面積的公式即可求解..
【詳解】設是的中點，連接，
因為，
所以，
所以是二面角的平面角，
所以，
由，得
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，
所以 兩兩垂直.
由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，

正方體的邊長為，則體對角線長為.
設正方體外接球的半徑為，則
，解得，
所以外接球的表面積為.
故選：B.
15．
【分析】將四棱錐放到一個正方體內，從而可求解.
【詳解】由題意得平面，為等腰直角三角形，則，
可將四棱錐放到一個正方體內，如圖所示：
得此正方體的邊長為，此正方體的外接球即是四棱錐的外接球，
所以得外接球半徑，
所以外接球的表面積.
故答案為：.
16．
【分析】
構造長方體，根據外接球直徑為,建立等式關系，繼而求得三棱錐體積，結合基本不等式即可求得最大值.
【詳解】設三棱錐的外接球的半徑為,
則其體積,解得,
因為平面，,
構造長方體如下圖，
由圖可知，，
即，
則三棱錐體積
,
當且僅當時，等號成立，
故三棱錐體積的最大值是
故答案為：
17．D
【分析】
根據補形的方法求得外接球的表面積.
【詳解】由于平面，平面，所以，
由于四邊形是矩形，所以，
所以兩兩相互垂直，
所以四棱錐可補形為長方體，且長方體的體對角線為，
所以外接球的直徑，
所以外接球的表面積為.
故選：D
18．
【分析】
將四面體放在長方體中，通過求長方體的外接球半徑得出結果.
【詳解】
如圖，依題意將四面體放在長方體中，設長方體的高為.
根據錐體的體積，解得，
所以長方體的長寬高分別為，和4，
所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.
所以四面體外接球的體積為．
故答案為：.
19．##
【分析】根據四面體棱長關系可知其由長方體切割所得，將其放在長方體中，可知四面體外接球即為長方體外接球，根據長方體外接球半徑為體對角線長度一半，求得體對角線長度即可得到外接球半徑，代入球的體積積公式即可求得結果.
【詳解】因為，
所以由勾股定理可知，，，，
如圖，將四面體ABCD補全為長、寬、高分別為、、的長方體，

則四面體外接球即為長方體外接球，長方體外接球直徑即為體對角線長度，
所以，即，
所以該四面體外接球的體積為.
故答案為：.
【點睛】本題考查多面體外接球體積的求解問題，關鍵是能夠根據四面體棱長長度關系，將其變為長方體的一個部分，從而將問題轉化為長方體外接球體積的求解問題.
20．C
【分析】
求出正四面體的外接球半徑，將正四面體放入正方體中，求出正方體的棱長，即可求得該正四面體的棱長.
【詳解】
設正四面體的外接球半徑為，則， 解得，
將正四面體放入正方體中，設正方體的棱長為，如下圖所示：
則，所以，，故該正四面體的棱長為.
故選：C.
21．
【分析】
將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，確定，進而得到球的半徑，進而根據球體的表面積公式計算即可.
【詳解】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，如圖所示：
則，則，
因為球的直徑即為長方體的體對角線，
則球的半徑為，
所以球的表面積是.
故答案為：.
22．
【分析】
把四面體補成為一個長方體，利用長方體求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.
【詳解】對于四面體中，因為，，
所以可以把四面體放入一個長方體，如圖：

設從同一個頂點出發的三條邊長分別為、、，則有：
，解得，
點、、、均為長、寬、高分別為，，的長方體的頂點，
且四面體的外接球即為該長方體的外接球，
于是長方體的體對角線即為外接球的直徑，
不妨設外接球的半徑為，∴，
∴外接球的表面積為.
故答案為：.
23．B
【分析】設，，由題設．將放在棱長為x，y，z的長方體中，可得的關系式，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，利用基本不等式結合球的表面積公式求解.
【詳解】設，，由題設.
三棱錐中，，，，
將放在棱長為x，y，z的長方體中，如圖，
則有，
三棱錐的外接球就是長方體的外接球，
所以，
由基本不等式，當且僅當時等號成立，
所以外接球表面積.
故選：B.
【點睛】
關鍵點睛：本題解決的難點是根據題意得到三棱錐的特征，從而放置到相應的長方體中，由此得解.
24．B
【分析】
將將四面體放入長方體中，求出長方體的體對角線，進而得到外接球半徑，得到表面積.
【詳解】將四面體放入長方體中，如圖，
則四面體的外接球，即為長方體的外接球，
設長方體中，則，
三式相加得，故，
所以四面體的外接球半徑為，
故四面體的外接球表面積為.
故選：B
25．
【分析】設、、分別為、、中點，沿、、折成四面體，把四面體補成一個長方體，作出圖形，設長方體的棱長分別為、、，根據勾股定理可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，可求得該四面體的外接球直徑，再利用柱體和錐體的體積公式可求得該四面體的體積.
【詳解】設、、分別為、、中點，沿、、折成四面體，
設折起后、、重合為點，把四面體補成一個長方體，如圖，
其中，，，
設長方體的棱長分別為、、，則，解得，
因此，該四面體的外接球直徑為，
該四面體的體積為.
故答案為：；.
26．##
【分析】利用補形法即可得解
【詳解】
因為，，，
故此四面體ABCD的外接球等價于如圖所示的長方體的外接球，
所以，，，
所以，
外接球的直徑，
故外接球的半徑為，
所以外接梂的表面積為.
故答案為：.
27．B
【分析】
利用棱錐的體積公式得到的關系式，進而得到球的半徑關于的關系式，利用三元基本不等式求得其最小值，從而得解.
【詳解】設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則體積，所以，
設球的半徑為，則，即，

則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以球的表面積的最小值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是求得球的半徑關于的關系式，從而利用三元基本不等式即可得解.
28．
【分析】
取的中點，設，設等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，結合線面垂直的性質與判定求得，再根據垂直關系可得點到平面的距離等于點到平面的距離，進而列式求解即可.
【詳解】取的中點，連接，因為底面為等腰三角形，，所以，所以，
又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，
又因為，平面，所以平面，
因為三角形為等腰三角形，，則，設，則，
設等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，
連接，則三點共線，由平面得平面，
由正弦定理得，故，則，
連接，則，由平面，且三角形外接圓的圓心為，可得，
因為平面，所以，又平面，平面，故平面，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，
又因為點到平面的距離的最大值為，所以，解得，所以，球的表面積為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；
②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；
④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.
29．
【分析】
根據已知條件易得為等邊三角形，為等腰三角形，進而確定外接圓圓心及半徑，再證面面，利用面面垂直模型求外接球半徑，即可求面積.
【詳解】
由，，由余弦定理可得，
又，所以為等邊三角形，令其外接圓圓心為，
等腰的外接圓半徑，令其外接圓圓心為，在射線上，
則是中點，連接，且，，又，
所以，則，又，
，面，則面，面，
所以面面，若是三棱錐的外接球的球心，如上圖，
易知為矩形，故，而，
所以外接球半徑為，該三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
30．C
【分析】
根據給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計算作答.
【詳解】如圖所示：

由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，
，
由勾股定理得，
所以，即是等邊三角形，，
設點為外接圓的圓心，
則外接圓的半徑為，，
如圖所示：

設三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，
而均垂直平分，過點，
所以點在面，面內的射影分別在直線上，
不妨設點在面，面內的射影分別為，
即，
由題意，且二面角為直二面角，即面面，，
所以，即，
結合可知四邊形為矩形，不妨設，
則由以上分析可知，，
由勾股定理以及，即，
可得，解得，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：畫出圖形，通過數學結合分析已知量與未知量的關系，建立適當的橋梁關系即可得到球心的位置以及球的半徑，關鍵是首先去找，底面外接圓的圓心，綜合性較強.
31．C
【分析】
畫出圖形，由正三棱臺的對稱性可得，正三棱臺的外接球的球心落在上底面中心與下底面中心的連線上，先求出三棱臺的高，再由外切球的性質得到外接球的半徑.
【詳解】分別取、的中心，連結，過作,
因為，由正弦定理得，得，同理可得，所以，
所以設正三棱臺的外接球球心O，O在EF上，
設外接球O的半徑為R，所以
，
即，又因為
解得
所以正三棱臺的外接球體積.
故選：C.
32．
【分析】求出底面直角三角形內切圓半徑，即可得直棱柱的高，如圖，分別取的中點，連接，的中點是其外接球球心，求出半徑后可得表面積．
【詳解】由已知是直角三角形，，的內切圓半徑為，
直三棱柱中存在內切球，則其高為，
分別取的中點，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點是其外接球球心，
，
所以外接球的表面積為．
故答案為：．
33．A
【分析】取的中點，所以為二面角的平面角，過點作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設球的半徑為，在中利用余弦定理可得，從而可得外接球的表面積.
【詳解】如圖，取的中點，連接，，
由題意，，所以，
所以為二面角的平面角，所以，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，且，
所以，為外接圓的圓心，
又是邊長為2的等邊三角形，所以，
過點作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，
設球的半徑為，連接，可得，
在中，，
利用余弦定理可得，
所以，解得，
所以外接球的表面積為.
故選：A.
34．
【分析】先判斷當平面平面時，三棱錐的體積最大，求得，再找出四棱錐外接球的球心，由勾股定理求得半徑，進而得到表面積；當垂直于截面圓時，截面圓半徑最小，面積最小即得答案.
【詳解】第一空：設點到平面的距離為，
在中，取的中點，連接交于點，連接，
因為為等邊三角形，為的中點，則，
由題意可知，、分別為、的中點，則，則，，
翻折后，則有，所以二面角的平面角為，
過點在平面內作或其延長線上，
因為，，，、平面，
所以平面，
因為平面，則，
又因為，，、平面，
所以平面，
所以，且，則，
當為直角時，取最大值，
因為為的中點，為定值，
故當為直角時，取最大值，
此時，平面平面，
故是邊長為的等邊三角形，
因為，則，
因為為的中點，為的中點，則且，
同理可得，則為四邊形的外心，
設等邊的外心為點，過點作平面，
因為平面，則，
過點作平面的垂線交于點，則為四棱錐的外接球球心，
連接，則為球的一條半徑，
因為平面平面，平面平面，，
平面，則平面，因為平面，則，
又因為平面，則，故四邊形為矩形，
且，則，
因為，則，則，
所以，
所以球的表面積為；
第二空： 因為等邊的外心為點，，則，，又，，
則，
當過點的截面與垂直時，截面圓的半徑取最小值，
且，
因此，過的三等分點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是.
故答案為：；.
35．C
【分析】如圖，取的中點D，連接和，則為二面角的平面角，即，過點D作平面的垂線，過點作平面的垂線，則交點為球心，連接，，然后在、中分別運用勾股定理、余弦定理可得，從而可求得球的表面積.
【詳解】
如圖，因為，，所以，
因為，所以為等邊三角形，所以.
取的中點D，連接和，則為二面角的平面角，即.
因為為直角三角形，所以D為的外心.設的外心為，
過點D作平面的垂線，過點作平面的垂線，則交點為球心，連接，.設三棱錐外接球的半徑為R.
在中，，
由已知得，在中，由余弦定理得，
即，解得，
故三棱錐外接球的表面積為.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是準確畫出圖形然后根據找到外接球心的位置，最終根據解三角形知識確定球的半徑即可順利求解.
36．
【分析】作出圖象，由題意可得平面平面，和均是邊長為3的等邊三角形，連接外接圓的圓心為與四面體的外接球的球心為，在直角三角形中由勾股定理解出的值，再根據球的表面積公式計算即可.
【詳解】設菱形對角線，如圖，

因為四邊形為菱形，，，
所以和均是邊長為3的等邊三角形，則．
因為翻折后點到平面的距離最大，所以平面平面，
設的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，
則平面，且，
設，則，解得，
所以外接球的半徑，
所以四面體的外接球的表面積．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是分析得出平面平面，進一步得出平面，且，然后通過列出等式即可求出，從而進一步求解.
37．A
【分析】
先求外接球半徑，后運用基本不等式求最值即可.
【詳解】
設四面體體積是，外接球半徑是，表面積是，
棱兩兩垂直，，
，，
易知，
當且僅當時取等，故有，
則，
故選：A
38．D
【分析】
根據給定條件，求出圓錐的母線長，進而求出圓錐軸截面頂角即可求解得答案.
【詳解】令圓錐母線長為，顯然圓錐側面展開圖扇形弧長為，
由側面展開圖面積為，得，解得，
又圓錐軸截面等腰三角形底邊長為6，底角滿足，即，
因此圓錐軸截面等腰三角形頂角為，等腰的頂角，
則面積，當且僅當時取等號，
所以面積的最大值為6.
故選：D
39．C
【分析】
作圖連輔助線，先求出正四面體的外接球半徑，再求出四面體的高，在中求出即為禮品包裝盒半徑的最小值.
【詳解】
如圖，正四面體的棱長為，正四面體的棱長為，取的中點D，連接，過點P作平面于點H，交平面于點I，則H為的重心，平面，I為的重心．八面體的外接球的球心O與正四面體的外接球的球心重合，且在上．
設正四面體的外接球半徑為R，連接，則．
在正三角形中，，
在中，由勾股定理得．
在中，，即，解得．
連接，因為，所以，則,
所以．
連接，在中，，所以，所以球形禮品包裝盒的半徑的最小值為．
故選：C
40．(1)
(2)，
【分析】（1）根據圓錐的結構特征，扇形即為為圓錐的側面展開圖，求出圓錐的底面半徑和高，即可求出容積；
（2）根據圓柱內接圓錐關系，求出圓柱的高與底面半徑的關系式，進而求出圓柱側面積的目標函數，根據函數特征求其最值即可.
【詳解】（1）設圓錐筒的半徑為，容積為，
∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，
∴，解得，
∴，
∴.
∴圓錐筒的容積為.
（2）設內接圓柱高為，由圓錐內接圓柱的軸截面圖，
得，
所以內接圓柱側面積
，
所以當時內接圓柱側面積最大，最大值為.
【點睛】本題考查圓錐與扇形展開圖的關系、體積以及內接圓柱側面積最值的計算，考查計算求解能力，屬于中檔題.
41．C
【分析】
根據球與四棱錐內切的條件，即可判斷選項.其中：
解法一：利用“等體積法”，即可求解；
解法二：根據內切球半徑滿足的條件，將其放在三角形中，通過已知條件列方程，結合解三角形知識即可求解.
【詳解】
解法一：記該四棱錐為四棱錐，如圖：

由四棱錐的棱長均為8，得其表面積，高為，則其體積．
當小球的半徑最大時，小球與四棱錐的5個面均相切，設此時小球的球心為，半徑為，
即為球心到四棱錐四個側面和底面的高，
四棱錐的體積又可表示為
，
，
，
所以，解得.
故的最大值為．
故選：C.
解法二：記該四棱錐為四棱錐，如圖：

連接，，交于點，連接，則該四棱錐的內切球球心在線段上．
設內切球與側面相切于點，球的半徑為，連接，
則平面，且．
連接并延長，交于點，連接，
則為的中點，，．
由四棱錐的棱長均為8，可知，，．
易知，
所以，
即，得，故的最大值為.
故選：C．
42．
【分析】
根據余弦定理以及不等式可得，進而可求解面積的最大值，進而根據，即可求解高的最大值，進而可求解體積，根據正弦定理求解外接圓半徑，即可根據球的性質求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.
【詳解】由余弦定理可得,
故，所以，
當且僅當時取等號，故，
故面積的最大值為，
，
由于，所以點在以為直徑的球上（不包括平面），故當平面平面時，此時最大為半徑，
故，
由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，
設四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當時，此時最小，
故外接球的表面積為,
故答案為：,
43．6
【分析】
求出圓錐的底面半徑和母線長，確定當等腰三角形PAB的頂角為時，其面積取得最大值，即可求得答案.
【詳解】
設圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的高，
又圓錐的側面積為，所以，解得，，
則該圓錐的軸截面三角形的三邊長為，，6，則它是頂角為的等腰三角形．
()
故當等腰三角形PAB的頂角為時，其面積取得最大值，為，
故答案為：6
44．(1)證明詳見解析
(2)
【分析】
（1）通過證明平面，來證得平面平面.
（2）設，然后利用基本不等式求得四棱錐體積的最大值.
【詳解】（1）由于底面，平面，所以，
由于四邊形是菱形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）設，所以，
所以
，
當且僅當時等號成立.
所以四棱錐體積的最大值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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