資源簡介

第十一章　解三角形（知識歸納+題型突破）
1.了解余弦定理的推導過程．
2.掌握余弦定理的幾種變形公式及其應用．
3.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法．
4.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題．
5.理解測量中的有關名詞、術語的確切含義．
6.會利用正、余弦定理解決生產實踐中的有關距離、角度等問題．
7.能夠運用正、余弦定理解決三角形中的面積等綜合問題．
1．余弦定理
文字語言 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號語言 a2＝b2＋c2－2bc cos A b2＝c2＋a2－2ca cos B c2＝a2＋b2－2ab cos C
對余弦定理的理解
（1）適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．
（2）結構特征：“平方”“夾角”“余弦”．
（3）揭示的規律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系．
2．余弦定理的變形
cos A＝；cos B＝；cos C＝．
出現以下兩種情況可以考慮用余弦定理解答．
（1）已知一個三角形的兩邊及其夾角；
（2）條件中出現了余弦定理的局部或變形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等．
3．三角形的元素與解三角形
（1）三角形的元素
我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的元素．
（2）解三角形
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．
4．正弦定理
條件 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c
結論 ＝＝
文字敘述 三角形的各邊與它所對角的正弦的比相等
5．正弦定理的變形
若R為△ABC外接圓的半徑，則
（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝.
（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
（4）＝2R.
6．已知三角形的哪幾個元素，可以用正弦定理解相應三角形？
①已知三角形的任意兩角和一邊，求其他兩邊和另一角．
②已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角，求另一邊及另兩角．
7．實際測量中的有關名稱、術語
名稱 定義 圖示
基線 在測量上，根據測量需要適當確定的線段叫作基線
仰角 在同一鉛垂平面內，視線在水平線上方時與水平線的夾角
俯角 在同一鉛垂平面內，視線在水平線下方時與水平線的夾角
方向角 從指定方向線到目標方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°） 南偏西60°（指以正南方向為始邊，轉向目標方向線形成的角）
方位角 從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉過的水平角
8.解三角形應用題的基本步驟
（1）分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）.
（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在同一個三角形中，建立一個解三角形的數學模型．
（3）求【解析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解．
（4）檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解．
9．三角形的面積公式
（1）S＝a·ha＝b·hb＝c·hc（ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高）.
（2）S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sinB．
（3）S＝（a＋b＋c）·r（r為△ABC內切圓的半徑）.
（4）三角形的面積公式S＝ab sin C與原來的面積公式S＝a·h（h為a邊上的高）的關系為h＝b sin C，實質上b sin C就是△ABC中a邊上的高h.
題型一　已知兩邊及一角解三角形
【例1】
1．在中，,BC=1,AC=5，則AB=
A． B． C． D．
2．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=
A． B． C．2 D．3
思維升華
已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
（1）已知兩邊及其夾角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三邊，再利用余弦定理的變形公式及三角形內角和定理求其余兩角．
（2）已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，運用方程的思想求出第三邊，這樣可直接判斷取舍．　
鞏固訓練
3．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，，，則b＝（　　）
A．4 B．3
C．2或4 D．2或3
4．在中，已知，，，求.
題型二　已知三邊（三邊關系）解三角形
【例2】
5．在△ABC中，已知，則最大角與最小角的和為
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于（ ）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
思維升華
已知三角形的三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的變形公式求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的變形公式求出第二個角；最后利用三角形的內角和定理求出第三個角．
[注意]　若已知三角形三邊的比例關系，常根據比例的性質引入k，從而轉化為已知三邊求解．　
鞏固訓練
7．在中，若，求的最大內角的余弦值．
題型三　判斷三角形的形狀
【例3】
8．若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段（ ）
A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形
C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形
9．在中，若，試判斷的形狀．
思維升華
（1）判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路
（2）判斷三角形形狀時經常用到以下結論
①△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC為銳角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2.
③△ABC為鈍角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
④若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝.　
鞏固訓練
10．在中，已知，則為（　　）
A．等邊三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
題型四　余弦定理的綜合應用
【例4】
11．已知中，三個內角，，所對的邊分別是，，．
（1）證明：；
（2）若，，______，求的周長．
（在①②，③這三個條件中任選一個補充在問題中，并解答）
思維升華
在利用余弦定理解決綜合問題時，如果是實際問題，應該首先抽象出數學模型，也就是轉化到哪些三角形中，再利用余弦定理解決問題．　
鞏固訓練
12．已知A船在燈塔C北偏東處，且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西處，A，B兩船的距離為3 km，則B到C的距離為 km.
題型五　已知兩角及一邊解三角形
【例5】
13．在中，已知，解這個三角形．
思維升華
已知三角形的兩角和任意一邊解三角形的思路
（1）若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內角和定理求出第三個角．
（2）若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．　
鞏固訓練
14．在，角的對邊分別為若，則最短邊長等于( )
A． B． C． D．
15．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他邊與角的大小.
題型六　已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
【例6】
16．已知△ABC中的下列條件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，.
思維升華
已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路
（1）首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．
（2）如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角．
（3）如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．　
鞏固訓練
17．已知中，，求.
18．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（　　）
A． B．
C．或 D．或
19．已知在△ABC中，，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
題型七　判斷三角形的形狀
【例7】
20．已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若a cos B＝b cos A，則△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
思維升華
判斷三角形形狀的兩種途徑
[注意]　在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．　
鞏固訓練
21．已知分別是的三個內角所對的邊，滿足，則的形狀是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
22．在三角形中，若，試判斷三角形的形狀.
題型八　正弦定理的綜合應用
【例8】
23．如圖，已知一艘船以的速度往北偏東的島行駛，計劃到達島后停留后繼續駛往島，島在島的北偏西的方向上.船到達處時是上午10時整，此時測得島在北偏西的方向，經過到達處測得島在北偏西的方向，如果切正常的話，此船約何時能到達島？（，）
思維升華
利用正弦定理解決綜合問題時，如果是實際問題，應首先轉化為解三角形的問題，然后再分析清楚在哪個三角形中，是利用正弦定理還是利用余弦定理解決問題．　
鞏固訓練
24．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）在①，②，③這三個條件中，選出兩個使唯一確定的條件補充在下面的問題中，并解答問題，若________，________，求的面積.
題型九　測量距離問題
【例9】
25．海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C 島和A島成的視角，則B、C間的距離是 海里．
思維升華
測量距離問題的解題思路
選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．構造數學模型時，盡量把已知元素放在同一個三角形中．　
鞏固訓練
26．要測量河對岸兩點之間的距離，選取相距的，兩點，并測得，，，，則（　　）
A．2 B．
C．3 D．
27．如圖，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C，D（CD與河岸平行）之間的距離，選取岸邊兩點A，B（AB與河岸平行），測得數據：，，，，試求C，D之間的距離．
題型十　測量高度問題
【例10】
28．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m.
思維升華
測量高度問題的解題思路
這里要解決的主要是一些底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題．常用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內構造三角形或者在空間構造三棱錐，再依據條件利用正、余弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度．　
鞏固訓練
29．如圖，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60°和45°，AB長為40 m，斜坡與水平面成30°角，則鐵塔CD的高為 m.
題型十一　測量角度問題
【例11】
30．如圖所示，在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以20海里/小時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船應沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時間．
思維升華
測量角度問題的基本思路
（1）測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，在圖形中標出相關的角和距離．
（2）根據實際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得的結果轉化為實際問題的解．　
鞏固訓練
31．若點在點的北偏東，點在點的南偏東，且，則點在點的（ ）
A．北偏東 B．北偏西 C．北偏東 D．北偏西
題型十二　三角形中的幾何計算
【例12】
32．四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
(1)求C和BD；
(2)求四邊形ABCD的面積.
思維升華
三角形中幾何計算問題的解題思路
（1）正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．
（2）此類問題突破的關鍵是仔細觀察，發現圖形中較隱蔽的幾何條件．　
鞏固訓練
33．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，若.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【詳解】分析：先根據二倍角余弦公式求cosC,再根據余弦定理求AB.
詳解：因為
所以，選A.
點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.
2．D
【詳解】由余弦定理得，
解得（舍去），故選D.
【考點】余弦定理
【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內容單一,根據余弦定理整理出關于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！
3．C
【分析】
根據余弦定理，即可求解.
【詳解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
故選：C.
4．或
【分析】
根據余弦定理，列式求解.
【詳解】
由余弦定理，得，
所以，即，
由,解得或.
5．B
【分析】先根據余弦定理求中間角，再根據三角形內角關系得結果.
【詳解】因為，所以最大角與最小角的和為
因為
故選:B
【點睛】本題考查利用余弦定理求角，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
6．B
【分析】根據余弦定理，結合特殊角的余弦函數值進行求解即可.
【詳解】因為(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以.
因為A三角形的內角，所以A＝60°.
故選：B
7．
【分析】
由三邊的比例，得最大內角，余弦定理求余弦值.
【詳解】
因為，不妨設，，，
顯然，所以的最大內角為，
則.
8．B
【分析】首先設的三邊分別為，，，得到角為最大的角，再根據得到為銳角，即可得到答案.
【詳解】由題知：設的三邊分別為，，，
因為，所以角為最大的角.
因為，，
所以為銳角，故三角形為銳角三角形.
故選：B
9．為直角三角形
【分析】解法一：根據正弦定理邊化角以及兩角和的余弦公式變形可得答案.
解法二：將已知等式變形為，把余弦定理代入化簡即可．
解法三：依題意可得，再由射影定理可得.
【詳解】解法一：因為，
由正弦定理可得，
所以，
因為，，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，則.
所以為直角三角形.
解法二：因為，
所以，
由余弦定理并整理得
，
所以．
所以，故是直角三角形．
解法三：因為，
所以，
∴，
∵，
∴，所以，故是直角三角形．
10．A
【分析】
根據題意，由余弦定理代入計算即可得到，從而得到結果.
【詳解】
由余弦定理可得，又，
則，化簡可得，所以，且，
所以為等邊三角形.
故選：A
11．（1）證明見解析；（2）答案見解析.
【分析】（1）由余弦定理化角為邊化簡已知等式即可求解．
（2）若選①．由（1）化簡已知等式可得，結合，可得的值，進而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周長；
若選②．由（1）化簡已知等式可得，結合，可得的值，進而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周長；
若選③．由（1）化簡已知等式可得，結合，可得的值，進而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周長；
【詳解】解：（1）證明：由題意得，
所以，得證．
（2）方案一：若選①．因為，
所以，
由（1）可知，，即，
因為，
所以．
在中，由余弦定理，得：，即，
解得，或（舍，
所以，即的周長為20．
方案二：若選②．因為，
所以，
由（1）中的證明過程同理可得，，
所以，即，
因為，
所以．
余下解法同方案一．
方案三：若選③．因為，
所以，
由（1）中的證明過程同理可得，，
所以，即，
因為，所以．
余下解法同方案一．
12．
【分析】
根據題中邊角關系，再利用余弦定理求解即可.
【詳解】由條件知，，
設，則由余弦定理知，
因為，所以.
故答案為：
13．答案見解析
【分析】
根據題意，結合正弦定理與余弦定理代入計算，即可得到結果.
【詳解】
因為，所以，
由可得，
又，
所以.
14．C
【分析】先求得，根據大邊對大角得知邊最小，再由正弦定理求解即可.
【詳解】解：在中，，故，
因為大邊對大角，所以中，邊最小.
在中，由正弦定理得.
故選：C.
15．B=30°，，，.
【分析】由三角函數值、三角形內角和性質確定、的大小，應用正弦定理求即可.
【詳解】由且，即，可知：.
∴，
由正弦定理，
∴，.
16．(1)三角形無解
(2)答案見解析
【分析】
利用正弦定理即可解三角形.
【詳解】（1）
因為，所以，所以三角形無解．
（2）
因為，所以，因為c＞a，所以C＞A.所以.
所以，.
17．答案見解析
【分析】
利用正弦定理求解即可.
【詳解】
因為，所以.
又，
所以或.
當時，.
當時，.
綜上：或.
18．C
【分析】
根據正弦定理，即可求解.
【詳解】
因為，，，
所以由正弦定理可得，又，，
所以,,所以或.
故選：C．
19．C
【分析】由題意判斷出三角形有兩解時，滿足的不等關系求解即可．
【詳解】因為， 要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，
半徑為2的圓與BA有兩個交點，
所以只需滿足，即，解得.
故選：C
20．A
【分析】利用正弦定理邊角互化，再結合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】
由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．
故選：A.
21．C
【詳解】由正弦定理得：,又，
所以有，即.
所以是等邊三角形.
故選C
22．等腰三角形或直角三角形
【解析】根據正弦定理，把邊化角，可得結果.
【詳解】因為，
所以
，
由正弦定理可知，
所以，
即，
又，所以，
于是，
因此或，
即或，
故三角形是等腰三角形或直角三角形.
【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬基礎題.
23．11點34
【分析】利用正弦定理先后在三角形中分別求得，再根據船速，即可求得結果.
【詳解】在中，，，，
根據正弦定理得：，所以.
在中，，，，
根據正弦定理得：，
所以，
，
，
所以船約在11點34到達島.
【點睛】本題考查利用正弦定理處理距離問題，屬基礎題.
24．（1）；（2）答案見解析.
【分析】（1）用邊化角和三角形內角和知識化簡可得，再由，即可求A；
（2）方案一：選條件①和②，先用正弦定理求，再由余弦定理求，用三角形面積公式即可求解；方案二：選條件①和③，用余弦定理求出，判斷出三角形形狀，即可求面積．
【詳解】（1）∵，又由正弦定理得
，又，
∴，
即
整理得，即，
又，∴；
（2）方案一：選條件①和②，
由正弦定理，得
由余弦定理，得
解得，所以的面.
方案二：選條件①和③，
由余弦定理，得，
即，解得．∴，∴，為直角三角形，
所以的面積．
【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式，屬于常規題.
25．
【詳解】因為,所以,由正弦定理知，解得，故填．
26．B
【分析】
在中計算，在中根據正弦定理計算，在中利用余弦定理計算出.
【詳解】
根據題意，作出如下圖形：
由于中，，，
則，所以，
在中，，，所以，
由正弦定理可得：，且，
則，解得：，
在中，由余弦定理得:，且，
所以，故
故選：B
27．
【分析】
根據幾何圖形，再結合正弦定理，即可求解.
【詳解】
，
因為，所以，
在△ABD中，，，
所以，
所以
在Rt△DBC中，.
所以C，D之間的距離為.
28．
【詳解】試題分析:由題設可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填.
考點：正弦定理及運用．
29．##
【分析】
通過做輔助線，延長CD交過A，B的水平線于點E，F，進一步可以推導出得到AC＝AB，再利用正弦定理可解三角形.
【詳解】
延長CD交過A，B的水平線于點E，F，因為∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.
所以AC＝AB＝40 m，
在△ACD中，由正弦定理，得，
即，解得.
故答案為：.
30．緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要小時.
【分析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得∠BCD，得，由速度公式可得時間．
【詳解】設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點）走私船，
則海里，BD=20t海里．
在中，由余弦定理，有
則.
又，，
∴∠ABC=45°，故B點在C點的正東方向上．
∴∠CBD=90°+30°=120°，在中，由正弦定理得，，
，
∴∠BCD=30°，則緝私船應沿北偏東60°的方向行駛．
又在中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，.
，解得，
故緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要小時．
31．B
【分析】由題意畫出圖形，數形結合可得答案．
【詳解】解：由，又，∴，
而，∴.∴點在點的北偏西.
故選：B.
32．(1)，
(2)
【分析】（1）在和中分別根據邊的余弦定理可得，進而求得和；
（2）根據三角形的面積公式求解和的面積和即可
【詳解】（1）由題設及余弦定理得
，故，解得，故，，故.
（2）由題意，，故四邊形ABCD的面積，即四邊形ABCD的面積為
33．（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正余弦平方和為1的性質將余弦化為正弦，再由正弦定理角化邊可得，進而利用余弦定理可得解；
（2）由正弦定理可得，進而可得，利用三角恒等變換化簡結合三角函數性質求最值即可.
【詳解】（1）因為，
故，
由正弦定理可得，，
由余弦定理得，，又因為，
故.
（2）因為，，則有，
，其中，
故的最大值為.
【點睛】本題主要考查了正余弦定理解三角形及三角恒等變換，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
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