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第十章 三角恒等變換（知識歸納+題型突破）
1.了解兩角差的余弦公式的推導過程．
2.能利用公式進行計算、化簡及求值．
3.理解兩角和與差的正弦公式的推導過程．
4.能夠運用兩角和與差的正弦公式解決求值、化簡等問題．
5.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式．
6.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．
7.會推導二倍角的正弦、余弦、正切公式．
8.能夠靈活運用二倍角公式解決求值、化簡和證明等問題．
9.了解積化和差公式及其推導過程．
10.了解和差化積公式及其推導過程．
11.了解半角公式及其推導過程．
1．兩角和與差的余弦公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角差的余弦 cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β C（α－β） α，β∈R
兩角和的余弦 cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β C（α＋β）
2.兩角和與差的正弦公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正弦 sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β S（α＋β） α，β為任意角
兩角差的正弦 sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β S（α－β）
3.兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正切 tan （α＋β） ＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）
兩角差的正切 tan （α－β） ＝ T（α－β） α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）
4.兩角和與差的正、余弦公式推導tan （α＋β）與tan （α－β）:
提示：tan（α＋β）＝＝
＝＝.
tan（α－β）＝＝
＝＝.
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
名稱 公式 推導 記法
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S（α＋β）S2α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C（α＋β）C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2α C2α
正切 tan2α＝ T（α＋β）T2α T2α
6．積化和差公式
（1）sin αcos β＝[sin （α＋β）＋sin （α－β）]；
（2）cos αsin β＝[sin （α＋β）－sin （α－β）]；
（3）cos αcos β＝[cos （α＋β）＋cos （α－β）]；
（4）sin αsin β＝－[cos （α＋β）－cos （α－β）]．
一是注意公式的推導過程；二是簡記為“積化和差，系數半拉，前面是和，后面是差”
7．和差化積公式
（1）sin α＋sin β＝2sin cos ；
（2）sin α－sin β＝2cos sin ；
（3）cos α＋cos β＝2cos cos ；
（4）cos α－cos β＝－2sin sin ．
8．半角公式
（1）sin ＝±；
（2）cos ＝±；
（3）tan ＝±＝＝．
題型一　兩角和與差的余弦公式的簡單應用
【例1】
1．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
思維升華
利用兩角和與差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角轉化為特殊角的和與差，正用公式直接求解．
（2）在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數值．
鞏固訓練
2．化簡下列三角函數的值：
(1)；
(2).
題型二　利用兩角和與差的余弦公式給值求值
【例2】
3．（1）已知，求和的值．
（2）已知，且，，求的值．
思維升華
給值求值問題的解題策略
（1）從角的關系中找解題思路：已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換．
（2）常見角的變換：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
鞏固訓練
4．已知，且，求的值.
5．已知，，，求與的值．
題型三　利用兩角和與差的余弦公式給值求角
【例3】
6．，，，為銳角，求.
思維升華
解給值求角問題的一般步驟
（1）根據條件確定所求角的范圍．
（2）求所求角的某種三角函數值，為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數．
（3）結合三角函數值及角的范圍求角．
鞏固訓練
7．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
題型四　利用兩角和與差的正弦公式給角求值
【例4】
8．求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3).
思維升華
解決給角求值問題的方法
（1）對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．
（2）一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式．
鞏固訓練
9．的值是 .
10．= .
題型五　利用兩角和與差的正弦公式給值求值
【例5】
11．已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
思維升華
給值（式）求值的解題策略
（1）當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．
（2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．
鞏固訓練
12．已知，都是銳角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
題型六　輔助角公式
【例6】
13．的值為( )
A．0 B． C． D．
14．已知中，，則的最大值為 ．
思維升華
輔助角公式及其運用
（1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝sin （α＋φ）（或a sin α＋b cos α＝cos （α－φ））將形如a sin α＋b cos α（a，b不同時為零）的三角函數式收縮為同一個角的一種三角函數式．
（2）形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數為正，這樣更有利于研究函數的性質．
鞏固訓練
15．化簡 .
16．已知則的大小關系為
題型七　正切公式的活用
【例7】
17．求值：
(1)；
(2)；
(3).
思維升華
公式T（α±β）的逆用及變形應用的解題策略
（1）“1”的代換：在T（α±β）中，如果分子中出現“1”常利用1＝tan 來代換，以達到化簡求值的目的，如＝tan ；＝tan ．
（2）整體意識：若化簡的式子中出現了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個整體，常考慮tan（α±β）的變形公式．
鞏固訓練
18． ．
題型八　給值求角（值）
【例8】
19．已知，其中
（1）求；
（2）求的值.
思維升華
解決給值求角（值）問題的常用策略
（1）關于求值問題，利用角的代換，將所求角轉化為已知角的和與差，再根據公式求解．
（2）關于求角問題，先確定該角的某個三角函數值，再根據角的取值范圍確定該角的大?。?br/>鞏固訓練
20．已知，，求.
題型九　三角恒等式的證明
【例9】
21．證明下列恒等式.
（1）；
（2）.
思維升華
對于三角恒等式的證明主要是觀察等式的特點，可以由等式的一邊證到另一邊，也可以由兩邊證明得到同一結果．　
鞏固訓練
22．已知，求證：.
題型十　正用、逆用二倍角公式給角求值
【例10】
23．求下列各式的值.
(1);
(2);
(3);
(4).
思維升華
給角求值問題的兩類解法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化，一般可以化為特殊角．
（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．
鞏固訓練
24．求下列各式的值.
(1);
(2).
題型十一　正用、逆用二倍角公式給值求值
【例11】
25．已知 ，
（1）求 的值； （2）求 的值.
思維升華
三角函數求值問題的一般思路
（1）一是對題設條件變形，將題設條件中的角、函數名向結論中的角、函數名靠攏；另一種是對結論變形，將結論中的角、函數名向題設條件中的角、函數名靠攏，以便將題設條件代入結論．
（2）注意幾種公式的靈活應用，如：
①sin 2x＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin ＝sin ＝2sin cos .
鞏固訓練
26．已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2020·高考江蘇卷）
27．已知 =，則的值是 .
題型十二　三角函數式的化簡與證明
【例12】
28．（1）已知，求的值.
（2）證明：，.
思維升華
三角函數式的化簡與證明
（1）化簡的方法
①弦切互化，異名化同名，異角化同角；②降冪或升冪；③一個重要結論：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ.
（2）證明三角恒等式的方法
①從復雜的一邊入手，證明一邊等于另一邊；②比較法，左邊－右邊＝0，＝1；③分析法，從要證明的等式出發，一步步尋找等式成立的條件．
鞏固訓練
29．為第三象限的角，則 （數值）．
30．求證：.
題型十三　積化和差公式的應用
【例13】
31．化簡求值：（1）；
（2）．
思維升華
在利用積化和差公式解決問題時，要注意特殊角的運用，從而簡化運算，減少運算量．
鞏固訓練
32．已知，，求，的值．
題型十四　和差化積公式的應用
【例14】
33．化簡下列各式：
（1）；
（2）．
思維升華
利用和差化積公式化簡時，要注意觀察角和三角函數名稱的變化，不同名的必須化成同名的，然后再利用和差化積公式解決問題．
鞏固訓練
34．證明下列恒等式.
(1);
(2).
題型十五　半角公式的應用
【例15】
35．已知為鈍角，為銳角，且，，求的值．
思維升華
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解．
（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據角的范圍，求出相應半角的范圍．
（3）選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan ＝＝，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin2＝，cos2＝計算．
鞏固訓練
36．已知，，求的值.
題型十六　與三角函數性質有關的問題
【例16】
37．已知函數.
（I）求的最小正周期和最大值；
（II）求在上的單調遞增區間．
思維升華
應用公式解決三角函數綜合問題的三個步驟
↓
↓
鞏固訓練
38．已知函數，則f(x)（ ）
A．是奇函數
B．是偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．既不是奇函數又不是偶函數
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根據題意，結合兩角和與差的三角函數公式，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由
.
（4）解：由
，
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據特殊角的三角函數及兩角差的余弦公式化簡求值；
（2）根據兩角和的余弦公式求值.
【詳解】（1）
（2）.
3．（1）；（2）
【分析】（1）根據題意，求得，，再結合兩角和與差的余弦公式，即可求解；
（2）根據題意，求得，，結合，即可求解.
【詳解】解：（1）因為，可得，
又因為，可得，
所以，
.
（2）因為，所以，
由，，可得，，
所以
.
4．
【分析】根據同角三角函數基本關系式及兩角差的余弦公式可得結果.
【詳解】因為，所以,因為，
所以，又，
，
所以
，
故的值為.
5．，.
【分析】由題意結合同角三角函數的平方關系可得、，再由、結合兩角和差的余弦公式展開計算即可得解.
【詳解】因為，所以，，
所以，
，
所以，
．
6．
【分析】首先求出，，再根據求出，即可得解.
【詳解】因為，為銳角，所以，
又，，所以，，
所以
，
所以.
7．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由α，β的范圍求出α﹣β的范圍，由題意和平方關系求出sinα和cos（α﹣β），由兩角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由兩角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范圍求出β的值．
【詳解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【點睛】關鍵點點睛：拆角，是本題解題關鍵.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡求值；
（2）利用兩角差的正弦公式化簡求解；
（3）根據兩角和及誘導公式化簡即可求值.
【詳解】（1）
（2）
.
（3）
.
9．
【分析】用誘導公式化為同角，然后逆用兩角和的正弦公式求解．
【詳解】
．
故答案為：．
10．
【分析】由題意利用兩角和差正余弦公式化簡所給的三角函數式即可.
【詳解】由題意可得：
.
故答案為．
【點睛】本題主要考查三角函數式的化簡，兩角和差正余弦公式及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
11．（1）；（2）.
【分析】（1）由平方關系以及兩角和的正弦公式求解即可；
（2）由平方關系得出，由結合兩角差的正弦公式，即可得出的值.
【詳解】解：（1）因為，，所以
所以.
（2）因為，所以
又因為，所以
所以
.
【點睛】本題主要考查了同角三角函數的基本關系以及兩角和與差的正弦公式的應用，屬于中檔題.
12．（1）；（2）.
【解析】（1）由是銳角，求得.再利用商數關系得解
（2）由求得，再進行角的拆分
故 利用正弦兩角和公式得解.
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，∴，，
∴，
∴
.
【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式，兩角和與差的正弦，以及平方關系的應用，注意角的范圍和角之間的關系，屬于中檔題.
13．B
【分析】根據輔助角公式和三角函數的誘導公式，即可求解.
【詳解】根據輔助角公式，可得
故選：B．
14．1
【分析】根據三角形內角和關系結合三角恒等變換可得，再根據正弦函數有界性分析求解.
【詳解】因為，可得，且，
則
，
因為，可得，
當，即時，取得最大值1.
故答案為：1.
15．
【分析】
根據題意，利用兩角差的正弦公式，準確化簡，即可求解.
【詳解】
由.
故答案為：.
16．
【分析】利用輔助角法轉化為正弦型函數，再利用正弦函數的單調性比較.
【詳解】,,
,
因為在上是增函數，
所以
所以.
17．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根據兩角和的正切公式求解；
（2）由特殊角的三角函數值及兩角差的正切公式求解；
（3）兩角和的正切公式變形求解.
【詳解】（1）.
（2）原式.
（3）因為，
所以，
所以.
18．.
【解析】直接逆用差角的正切公式計算求解.
【詳解】原式．
故答案為：
【點睛】本題主要考查差角的正切公式的逆用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.
19．（1）7；（2）.
【解析】（1）根據題中條件，由兩角差的正切公式，即可得出結果；
（2）根據題中條件，先求出，再由角的范圍，即可得出結果.
【詳解】（1）把代入
.
（2）把代入
，
又所以，
所以
20．.
【分析】根據給定條件結合角的變換，利用差角的正切公式直接計算作答.
【詳解】依題意，，
所以.
21．（1）見解析 （2）見解析
【解析】（1）利用兩角和的正切公式、同角三角函數的基本關系式，化簡證得等式成立.
（2）利用兩角和與差的正切公式，化簡證得等式成立.
【詳解】（1）左邊右邊.
（2）左邊右邊.
【點睛】本小題主要考查兩角和與差的正切公式，同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題.
22．證明見解析
【分析】先分析題目中出現的角度有,即可找到關系
,再進行化簡運算即可.
【詳解】由,故
,
合并同類項有,
所以,
左邊上下同除以有,即.
證畢.
【點睛】三角函數的內容主要觀察角度的關系,找到合適的變形與公式,本題需要考慮到
,有一定的難度.
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
利用三角函數的二倍角公式，結合誘導公式轉化計算即可得解.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）
.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，結合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根據題意，結合正弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，準確計算，即可求解.
【詳解】（1）解：由正切的倍角公式，可得.
（2）解：由
.
25．（1）（2）
【詳解】試題分析：（1）根據同角三角函數的基本關系可得，再由商數關系可求.最后由二倍角公式可求 的值；
（2）由二倍角公式可求 的值，再由兩角差的余弦公式可求 的值.
試題解析：
（1）由題意得 ，∴
∴
（2）∵ ，
∴
26．D
【詳解】試題分析：∵，，∴，∴，
∴．
考點：平方關系、倍角關系．
27．
【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結果.
【詳解】
故答案為：
【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
28．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用三角函數誘導公式及同角三角函數的關系進行化簡求值；（2）利用二倍角公式及同角三角函數的平方關系對左邊式子進行化簡，即可證明等式成立.
【詳解】（1）
.
（2）
（因為）
（因為），故等式成立.
【點睛】本題考查同角三角函數的關系、三角函數誘導公式、二倍角公式，屬于中檔題.
29．0
【分析】利用二倍角公式及三角函數在各象限的符號進行化簡求值.
【詳解】因為為第三象限的角，所以，
則.
故答案為：0
【點睛】本題考查二倍角公式、三角函數在各象限的符號，屬于基礎題.
30．證明見解析
【分析】
根據二倍角的正、余弦公式化簡即可得證.
【詳解】
證明：左邊＝＝右邊．
31．（1） （2）
【解析】（1）利用積化和差公式化簡整理即可得到結果；
（2）利用積化和差公式化簡整理即可得到結果.
【詳解】（1）
（2）
【點睛】本題考查利用積化和差公式化簡求值的問題，考查學生對于基礎公式的掌握和應用情況.
32．；
【解析】利用積化和差公式直接求解即可得到結果.
【詳解】
【點睛】本題考查積化和差公式的應用，屬于基礎公式應用問題.
33．（1）（2）
【解析】（1）利用和、差角的余弦公式，以及和差化積公式即可化簡；
（2）把與結合在一起利用和差化積公式即可化簡.
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
．
【點睛】本題主要考查的是和、差角的余弦公式以及和差化積公式的應用，考查學生的分析解決問題的能力，是中檔題.
34．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用和差化積公式化簡整理即可得到結果；
（2）利用積化和差、二倍角公式化簡整理得到結果.
【詳解】（1）
；
（2）
.
35．
【分析】由已知利用同角三角函數的基本關系可求出，然后根據兩角差的余弦公式可求得，根據角的范圍以及降冪公式即可求解.
【詳解】因為為鈍角，為銳角，，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
所以.
36．
【分析】由的范圍確定和的范圍，再利用降冪公式求得和，進而求得，結合二倍角的正切公式求解即可
【詳解】因為，
所以，，
所以.
又，所以，
整理得，
解得或.
又，所以，
所以.
【點睛】本題考查降冪公式的使用，正切角的二倍角公式的使用，同角三角函數的求法，屬于中檔題
37．（I）的最小正周期為，最大值為；（II）．
【詳解】試題分析：（I）利用三角恒等變換的公式，化簡，即可求解的最小正周期和最大值；（II）由遞增時，求得，即可得到在上遞增．
試題解析：
（I）的最小正周期為，最大值為1；
（II） 當遞增時，，
即,
所以，在上遞增
即在上的單調遞增區間是
考點：三角函數的圖象與性質．
38．A
【分析】利用三角恒等變換公式化簡函數解析式即可判斷.
【詳解】
故f(x)是奇函數.
故選：A.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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