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第十三章 立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）
題型十六 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例16】
1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：．
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2．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，Q為的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱上且.若平面，試確定實(shí)數(shù)t的值.

題型十七 直線與平面垂直的定義
【例17】
3．直線平面，直線，則與不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直
4．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號(hào)填空( )
①三角形的兩邊
②梯形的兩邊
③圓的兩條直徑
④正六邊形的兩條邊
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
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對(duì)線面垂直定義的理解
（1）直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解.實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.
（2）由定義可得線面垂直 線線垂直，即若a⊥α，b α，則a⊥b.
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5．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是( )
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
6．下列命題中，正確的序號(hào)是 ．
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；
②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；
③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；
④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．
題型十八 直線與平面垂直的判定
【例18】
7．如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn).求證：平面.
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（1）線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義.
②線面垂直的判定定理.
③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.
④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.
[提醒]要證明兩條直線垂直(無(wú)論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面.
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8．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
題型十九 線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例19】
9．如圖，已知正方體A1C．
(1)求證：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．
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（1）若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì).
（2）直線與平面垂直的其他性質(zhì)
①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線垂直；
②若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP α；
④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；
⑤如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面.
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10．在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，底面對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：

(1)平面；
(2).
題型二十　直線與平面所成的角
【例20】
11．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.
(1)求證：CD⊥平面PAB；
(2)求直線PC與平面PAB所成的角．
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12．如圖所示，在中，斜邊，它在平面上的射影長(zhǎng)為4，，求與平面所成角的正弦值．
題型二十一 兩個(gè)平面平行的判定
【例21】
13．如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.
(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD.
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證明兩個(gè)平面平行的方法
（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面即可.
（2）判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線.
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14．如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證：平面MNQ平面PBC.
題型二十二 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例22】
15．如圖所示，兩條異面直線與兩平行平面α，β分別交于點(diǎn)B，A和D，C，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，求證：平面α.

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應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟
[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)：面面平行 線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.與判定定理交替使用，可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.
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16．如圖，已知，點(diǎn)P是平面外的一點(diǎn)，直線和分別與相交于B和D.
（1）求證：；
（2）已知，求的長(zhǎng).
題型二十三 二面角的概念及其大小的計(jì)算
【例23】
17．在正方體中，截面與底面所成銳二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
18．一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的關(guān)系是
A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．不確定
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（1）求二面角大小的步驟
簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.
（2）作出二面角的平面角的方法,
方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖所示，∠AOB為二面角α a β的平面角.
方法二：(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖所示，∠AFE為二面角A BC D的平面角.
方法三：(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角.如圖所示，∠AOB為二面角α l β的平面角
[提醒]二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn).
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19．若是所在平面外一點(diǎn)，而和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則二面角的大小為 .
題型二十四 利用定義證明平面與平面垂直
【例24】
20．如圖，在四面體中，，．求證：平面平面．
題型二十五 利用判定定理證明平面與平面垂直
【例25】(2020·高考江蘇卷)
21．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面AB1C1；
（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．
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證明平面與平面垂直的兩種常用方法
（1）利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：
①找出兩相交平面的平面角；
②證明這個(gè)平面角是直角；
③根據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面互相垂直.
（2）利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直.即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：
　
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22．如圖所示，四邊形為正方形，平面，，．證明：平面平面．
題型二十六 面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例26】
23．已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC．
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應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意的問(wèn)題
若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線.
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24．如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求證：AE平面BCD.
題型二十七 直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積的計(jì)算
【例27】
25．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，且邊長(zhǎng)為4cm，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，E為BC的中點(diǎn)，高為PO，且，求該四棱錐的側(cè)面積和表面積．
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直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積的求法技巧
（1）直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的表面積是各個(gè)面的面積之和.
（2）組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.
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26．如圖，正四棱臺(tái)，它的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)面是全等的等腰梯形，求四棱臺(tái)的表面積．
題型二十八 圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積的計(jì)算
【例28】
27．已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）
A． B． C． D．
28．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2，6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.
（1）求圓臺(tái)的母線長(zhǎng).
（2）求圓臺(tái)的表面積.
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圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積或表面積的求法技巧
圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.
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29．在底面半徑為2母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積.

題型二十九 柱、錐、臺(tái)的體積
【例29】
30．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，過(guò)頂點(diǎn)B，D，A1截下一個(gè)三棱錐.
（1）求剩余部分的體積；
（2）求三棱錐A－A1BD的體積及高.
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求幾何體體積的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解.
（2）等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.
（3）補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等.
（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
[提醒]求幾何體的體積時(shí)，要注意利用幾何體的軸截面(尤其為圓柱、圓錐時(shí))，準(zhǔn)確求出幾何體的高和底面積.
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31．圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)12 cm，寬8 cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積為 (　　)
A．cm3 B．cm3
C．cm3或cm3 D．192cm3
32．如圖，已知正四棱錐中，底面是正方形，與交于點(diǎn)M，是棱錐的高，若，則正四棱錐的體積為 .

題型三上 球的表面積與體積
【例30】
33．已知過(guò)球面上 A，B，C 三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積和體積.
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球的體積與表面積的求法及注意事項(xiàng)
（1）要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過(guò)條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解.
（2）半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.
（3）由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義.根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積.此時(shí)要特別注意球的三種視圖都是直徑相同的圓.
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34．球的體積是，則此球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
35．若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為 .
36．兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為 .
題型三十一 組合體的體積
【例31】
37．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱 (如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

(1)若，，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？
(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，當(dāng)為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？
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求組合體的體積的步驟
（1）分析結(jié)構(gòu)特征：弄清組合體的組成形式，找準(zhǔn)有關(guān)簡(jiǎn)單幾何體的關(guān)鍵量.
（2）設(shè)計(jì)計(jì)算方法：根據(jù)組成形式，設(shè)計(jì)計(jì)算方法，特別要注意“拼接面”面積的處理，利用“切割”“補(bǔ)形”的方法求體積.
（3）計(jì)算求值：根據(jù)設(shè)計(jì)的計(jì)算方法求值.　
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(2020·高考江蘇卷)
38．如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 cm3.
39．如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
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參考答案：
1．證明見詳解
【分析】
連接交于點(diǎn)，連接，先利用三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定定理證明平面，然后由線面平行性質(zhì)定理可證.
【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以為中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?br/>所以

2．
【分析】連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，首先設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，表示出，然后由線面平行的性質(zhì)、截平行線段成比例即可求解.
【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，易知為的中點(diǎn)．

因?yàn)榉謩e為正三角形的邊上的中線，
所以為正三角形的中心．
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，
則，.
因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以.
所以.
即，所以實(shí)數(shù)的值為.
3．A
【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可以得到，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槠矫妫本€，由線面垂直的性質(zhì)可以知道，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)，注意空間中線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題．
4．A
【分析】
由線面垂直的判定定理逐一判斷.
【詳解】
①中的兩邊必相交，③中的兩直徑必相交，由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③所在的平面；
對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直．
故選：A.
5．B
【分析】
利用可能平行判斷，利用線面平行的性質(zhì)判斷B，利用或與異面判斷C，與可能平行、相交、異面，判斷D.
【詳解】
對(duì)A，，，則可能平行，A錯(cuò)；
對(duì)B，，，由線面垂直的性質(zhì)可得，B正確；
對(duì)C，，，則， 與異面；C錯(cuò)，
對(duì)D ，，，與可能平行、相交、異面，D錯(cuò)，.
故選：B.
6．③④
【分析】對(duì)①④，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定即可；
對(duì)②③，根據(jù)線面垂直的判定確定平面α內(nèi)與直線l垂直的直線滿足的條件即可
【詳解】對(duì)①，根據(jù)線面垂直的判定可知①錯(cuò)誤；
對(duì)②③，當(dāng)直線l不垂直于平面α?xí)r，α內(nèi)的直線只需垂直于直線l與其在α內(nèi)的投影直線所確定的平面即可與l垂直，故②錯(cuò)誤，③正確；
對(duì)④，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，若直線l與平面α垂直，則直線l與平面α內(nèi)所有的直線都垂直，故④正確
故答案為：③④
7．證明見解析
【分析】
先通過(guò)證明平面，得到，再得到，即可證明線面垂直.
【詳解】
由題意可知，平面，又平面，所以，
又，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，
在中，，所以，
所以，即，
而，面，
故有平面.
8．（1）見解析（2）見解析
【分析】（1）由平面得，結(jié)合得出平面P，于是，又，根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)果；（2）由（1）易得，又得出平面，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】證明 (1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM，
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.又NQ 平面ANQ.
∴PB⊥NQ.
【點(diǎn)睛】破解線面垂直關(guān)系的技巧：(1)解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．(2)由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在．
9．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)線線垂直的思路是證明直線垂直于另一直線所在的平面.
(2)直線與直線的平行，利用線面垂直的性質(zhì)垂直于同一平面的兩直線平行.
【詳解】（1）如下圖，連接A1C1．
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因?yàn)锳1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上圖，連接B1A，AD1．因?yàn)锽1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
10．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）連接，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）利用線面垂直的判定定理證明面，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）
如圖，連結(jié)，在正方體中，
因?yàn)椋瑸槔獾闹悬c(diǎn)，
所以為的中位線，所以，
又因?yàn)槠矫妫辉谄矫鎯?nèi)，
所以平面.
（2）在正方體中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
11．（1）見解析；（2）
【分析】（1）連接CO，由題意可得△ACO為等邊三角形，即得CD⊥AO，再由題意得PD⊥CD，即證得CD⊥平面PAB
（2）由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，在三角形中結(jié)合各邊長(zhǎng)解三角形即可求出結(jié)果
【詳解】(1)證明：連接CO，
由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．
又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD 平面PAB，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，
得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，
又△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以，∠CPD＝30°，
即直線PC與平面PAB所成的角為30°.
【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直及線面角得大小，需要熟練運(yùn)用線面垂直得判定定理，再結(jié)合題意證明出結(jié)果，求線面角時(shí)轉(zhuǎn)化為解三角形，關(guān)鍵是找出線面角，然后再計(jì)算
12．
【分析】由平面，知是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值．
【詳解】解：由題意知，是在平面內(nèi)的射影，所以平面，所以在平面內(nèi)的射影為．
所以即為直線與平面所成的角．又因?yàn)樵谥校?br/>所以．
在中，．
在中，．即與平面所成角的正弦值為．
13．（1）見解析；（2）見解析
【詳解】試題分析：（1）由，得，進(jìn)而證得平面平面.
（2）由，得，再由，則，進(jìn)而證得平面，即可得到結(jié)論.
試題解析：
(1)因?yàn)椋运倪呅蜝B1D1D是平行四邊形，
所以B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C，又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1，取BB1的中點(diǎn)G，連接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因?yàn)锳E＝B1G，所以四邊形AEB1G是平行四邊形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD.
又因?yàn)镚F＝AD，所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.
又因?yàn)锽D∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
點(diǎn)睛：本題主要考查了平面與平面平行的判定與證明問(wèn)題，其中解答中涉及到直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理的綜合應(yīng)用，此類問(wèn)題的解答中要證“面面平行”只要證明“線面平行”，只要證“線線平行”，把問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為線與線的平行問(wèn)題，著重考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
14．證明見解析
【分析】由相似三角形的性質(zhì)得NQBP，進(jìn)而得NQ平面PBC；
結(jié)合MQ平面PBC和MQ∩NQ=Q即可.
【詳解】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQAD，NQBP.
又∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
∴NQ平面PBC.
∵四邊形ABCD為平行四邊形.
∴BCAD，∴MQBC.
又∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ平面PBC.
又∵M(jìn)Q∩NQ=Q，
∴平面MNQ平面PBC.
15．證明見解析
【分析】
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，首先分別證明，，再由面面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證.
【詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)椋源_定平面.
則平面，平面，
因?yàn)椋?
又分別為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以.
又分別為的中點(diǎn)，
所以，且.
所以，
因?yàn)槊妫?br/>所以平面.
又平面，
所以平面.
16．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理得證線線平行；
（2）由平行線的性質(zhì)可求得線段長(zhǎng)．
【詳解】（1），所以確定一個(gè)平面，
由題意平面，平面，
所以；
（2）由（1），所以，所以，
所以．
17．C
【分析】
取是中點(diǎn)，連接，，確定是二面角的平面角，計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：是中點(diǎn)，連接，，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，

，則；，則，
平面，平面，
故是二面角的平面角，故.
故選：C
18．D
【解析】根據(jù)題意，可在正方體中，舉例說(shuō)明，得到答案.
【詳解】如圖所示，在正方體中，二面角與二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)，
所以這兩個(gè)二面角不一定相等或互補(bǔ).
例如：開門的過(guò)程中，門所在平面及門軸所在墻面分別垂直于地面與另一墻面，但門所在平面與門軸所在墻面所成二面角的大小不定，而另一二面角卻是，所以這兩個(gè)二面角不一定相等或互補(bǔ).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系的應(yīng)用，以及二面角的概念及應(yīng)用，其中解答中熟記二面角的概念，合理舉例是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.
19．.
【分析】取的中點(diǎn)，連接，則為二面角的平面角，在中，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，連接，則為二面角的平面角，
因?yàn)椋詾橹苯侨切危?
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的求解，其中解答中根據(jù)二面角的平面角的定義，得到為二面角的平面角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
20．證明見解析
【分析】利用線面垂直的判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)知，與是全等的等腰三角形，
取的中點(diǎn)E，連接，，則，．
在中，，，
所以，同理，
在中，，．
由于，所以，
又，平面．
又平面，所以平面平面．
21．（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.
【分析】（1）通過(guò)證明，來(lái)證得平面.
（2）通過(guò)證明平面，來(lái)證得平面平面.
【詳解】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.
22．證明見解析
【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明平面，則，利用平面幾何知識(shí)證明，從而可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明．
【詳解】證明：因?yàn)槠矫妫⑵矫妫?br/>所以，，
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
在梯形中，，所以梯形為直角梯形，
又，所以為等腰直角三角形，
則，，
因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)，連接，則四邊形為正方形，
所以，則，
所以為等腰直角三角形，
則，
由，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
23．證明見解析
【分析】分別根據(jù)面面垂直、線面垂直得到線線垂直，從而證明線面垂直，再證明線線垂直.
【詳解】證明:如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點(diǎn)D，
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC．
因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
因?yàn)锳DPA＝A，
所以BC⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，所以BC⊥AC．
24．證明見解析
【分析】取BC的中點(diǎn)M，連接DM，AM，則可得DM⊥BC，再由平面BCD⊥平面ABC，可得DM⊥平面ABC，而AE⊥平面ABC，所以AEDM，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論
【詳解】證明：如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接DM，AM，
因?yàn)锽D=CD，所以DM⊥BC.
又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，DM 平面BCD，兩平面交線為BC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AEDM.
又因?yàn)锳E 平面BCD，DM 平面BCD，
所以AE平面BCD.
25．，
【分析】根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系得出，結(jié)合三角形面積公式得到側(cè)面面積和表面積.
【詳解】如圖，，在中，．
，E為BC的中點(diǎn)，
側(cè)棱長(zhǎng)都相等，
，
【點(diǎn)睛】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各個(gè)面的面積之和，因此，我們可以利用平面圖形求面積的方法求立體圖形的表面積．
26．．
【詳解】試題分析：根據(jù)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，得出上、下底面邊長(zhǎng)，斜高等，利用公式求解，即可得出結(jié)論．
試題解析：∵正四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，
∴上底面、下底面的面積分別是4，16，
∵側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)面是全等的等腰梯形，
∴側(cè)面的高為，
∴側(cè)面的面積為，
∴四棱臺(tái)的表面積為．
考點(diǎn)：棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積．
27．A
【分析】設(shè)側(cè)面展開圖正方形邊長(zhǎng)為，用表示出圓柱底面半徑，然后求出全面積與側(cè)面積，再計(jì)算比值．
【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為，，，
全面積為，而側(cè)面積為，
所以全面積與側(cè)面積之比這．
故選：A．
28．（1）5（2）80π
【分析】（1）由圓臺(tái)的側(cè)面積公式與兩底面圓的面積之和的關(guān)系構(gòu)建方程，求得母線；
（2）由（1）可得圓臺(tái)的母線，再由圓臺(tái)的表面積的公式求得答案.
【詳解】（1）設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl(wèi)＝40π，∴l(xiāng)＝5，∴該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5；
（2）由（1）可得圓臺(tái)的表面積為S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
【點(diǎn)睛】本題考查由圓臺(tái)的性質(zhì)求圓臺(tái)的母線與表面積，屬于基礎(chǔ)題.
29．
【分析】由已知中底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，可計(jì)算出圓柱的底面半徑，代入圓柱表面積公式，即可得到答案.
【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，表面積為，
底面半徑為2母線長(zhǎng)為4的圓錐的高為，
則圓柱的上底面為中截面，可得，
，，
.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的表面積，其中根據(jù)已知條件，求出圓柱的底面半徑，是解答本題的關(guān)鍵.
30．（1）；（2）三棱錐A－A1BD的體積為，高為.
【分析】（1）由題意，先判斷剩余部分的體積是正方體的體積減去棱錐的體積，結(jié)合棱錐和正方體的體積公式，即可求解；
（2）由（1），利用等體積法求得三棱錐體積，再設(shè)三棱錐的高為，結(jié)合等邊三角形的面積解方程即得高.
【詳解】解：（1）由題意，正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積為，
又三棱錐的體積，
所以剩余部分的體積；
（2）由（1）知，設(shè)三棱錐的高為，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，即面積，
則，即，解得，
故三棱錐A－A1BD的體積為，高為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
求空間幾何體的表面積與體積的求法：
（1）公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體的表面積和體積，可直接利用公式進(jìn)行求解；
（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積的計(jì)算，或不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；
（3）等體積法：等體積法也稱積轉(zhuǎn)化或等積變形，通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決錐體的體積，特別時(shí)三棱錐的體積.
31．C
【分析】本題利用圓柱體積公式即可.
【詳解】圓柱的高為8 cm時(shí)，cm3，
當(dāng)圓柱的高為12 cm時(shí)， cm3.
故選：C.
32．24
【分析】
由題意先根據(jù)底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)度求得底面積，然后解直角三角形得四棱錐的高的長(zhǎng)度，結(jié)合棱錐體積公式即可求解.
【詳解】
因?yàn)樗睦忮F中，底面是正方形，且對(duì)角線，
所以，且，
所以，
因?yàn)槭抢忮F的高，且，
所以在中，，
所以正四棱錐的體積為.
故答案為：24.
33．表面積為，體積為
【分析】設(shè)截面的圓心為，球心為O，連接，由已知得截面圓半徑，然后由截面性質(zhì)求得球半徑后可得表面積和體積.
【詳解】設(shè)截面圓心為，球心為O，連接，

設(shè)球半徑為，
因?yàn)?
在中，，
所以，所以，
所以.
.
34．B
【解析】先計(jì)算出球的半徑，再計(jì)算表面積得到答案.
【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的體積和表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
35．
【分析】
根據(jù)體積公式和面積公式列式計(jì)算.
【詳解】
設(shè)此球的半徑為，則，
解得.
故答案為：.
36．
【分析】設(shè)兩球的半徑分別為，根據(jù)列出關(guān)于，的方程組，解出方程組，根據(jù)球的體積公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為，
∵兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為，
∴，，解得，，
∴它們的體積和為，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
37．(1)
(2)，
【分析】
（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；
（2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.
【詳解】（1）由知.
因?yàn)椋?br/>所以正四棱錐的體積
正四棱柱的體積
所以倉(cāng)庫(kù)的容積.
（2）
設(shè)，下部分的側(cè)面積為，
則，，
，
設(shè)，
當(dāng)，即時(shí)，，.
即當(dāng)為時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是.
38．
【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.
【詳解】正六棱柱體積為
圓柱體積為
所求幾何體體積為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
39．10π.
【分析】用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，再由圓柱的體積公式求解即可得出答案.
【詳解】用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，
如圖，則圓柱的體積為，故所求幾何體的體積為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)第十三章　立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）
1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．
2.理解棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．
3.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體．
4．會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．
5.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．
6.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖．
7.會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．
8.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面．
9.能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．
10.能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，理解三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的作用．
11.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義．
12.理解并掌握基本事實(shí)4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問(wèn)題．
13.會(huì)用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在三角形中求簡(jiǎn)單的異面直線所成的角．
14.理解直線與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系．
15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題．
16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．
17．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問(wèn)題．
18．了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角．
19．理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念．
20．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題．
21.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系．
22.理解平面與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系．
23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題．
24.了解兩個(gè)平行平面間的距離．
25.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的大小．
26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．
27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題．
28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．
29.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．
30.能利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系．
31.掌握球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積．
32.會(huì)利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積．
1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
結(jié)構(gòu)特征及分類 圖形及記法
棱 柱 結(jié)構(gòu)特征 （1）兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行（2）側(cè)面都是平行四邊形 記作棱柱 ABCDEF A′B′C′D′E′F′
分類 按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱……
棱 錐 結(jié)構(gòu)特征 （1）底面是多邊形 （2）側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形 記作 棱錐S ABCD
分類 按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……
棱臺(tái) 結(jié)構(gòu)特征 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(tái) （1）上下底面互相平行，且是相似圖形 （2）各側(cè)棱延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn) 記作棱臺(tái) ABCD A′B′C′D
分類 由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……
2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系
在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(lái)（以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例）.
3．多面體
由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體．
4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球
分類 定義 圖形及表示 表示
圓柱 將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓柱 圓柱OO′
圓錐 將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐 圓錐SO
圓臺(tái) 將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺(tái) 圓臺(tái)OO′
球 半圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡(jiǎn)稱球 球O
5．旋轉(zhuǎn)體
一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體．
6．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
（1）建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)．畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝45°（或135°），它們確定的平面表示水平面．
（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．
（3）長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．
7．空間幾何體直觀圖的畫法
（1）與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z′軸．
（2）直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．
（3）已知圖形中平行于z軸（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變．
（4）成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．
8．平面
（1）平面的概念
平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念．平面通常用平行四邊形來(lái)表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．
（2）平面的表示法
平面通常用希臘字母α，β，γ，… 表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
9．幾何里的平面的特點(diǎn)
（1）平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量．
（2）平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的．
10．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系
位置關(guān)系 符號(hào)表示
點(diǎn)P在直線AB上 P∈AB
點(diǎn)C不在直線AB上 CAB
點(diǎn)M在平面AC內(nèi) M∈平面AC
點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi) A1平面AC
直線AB與直線BC交于點(diǎn)B AB∩BC＝B
直線AB在平面AC內(nèi) AB 平面AC
直線AA1不在平面AC內(nèi) AA1 平面AC
11．平面的基本事實(shí)
基本事實(shí) 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 作用
基本 事實(shí)1 過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 平面ABC ①確定平面的依據(jù) ②判定點(diǎn)線共面
基本 事實(shí)2 如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) AB α ①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù) ②判定點(diǎn)在平面內(nèi)
基本 事實(shí)3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定兩平面相交的依據(jù) ②判定點(diǎn)在直線上
基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；
基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；
基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．
12．基本事實(shí)的推論
推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．
推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．
圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．
推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．
圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．
13．空間直線的位置關(guān)系
（1）異面直線
定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．
（2）空間兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 共面情況 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
相交直線 在同一平面內(nèi) 有且只有一個(gè)
平行直線 在同一平面內(nèi) 沒(méi)有
異面直線 不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 沒(méi)有
14．平行直線
（1）基本事實(shí)4
文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性．
符號(hào)表示： a∥c．
（2）“等角”定理
如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．
15．異面直線所成的角
（1）定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．
（2）異面直線所成的角
定義：a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫作異面直線a，b所成的角（或夾角）.
范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.
異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．
16．直線與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 a α，b α，且a∥b a∥α
圖形語(yǔ)言
17．直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語(yǔ)言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
圖形語(yǔ)言
（1）線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)
①直線a與平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；
③直線a在平面β內(nèi)，即a β.
以上三個(gè)條件缺一不可．
（2）定理的作用
①線面平行 線線平行；
②畫一條直線與已知直線平行．
（3）定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
18．直線與平面垂直
定義 如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直
記法 a⊥α
有關(guān) 概念 直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足
圖示及 畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
（1）直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．
（2）注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線”．
19．直線與平面垂直的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A a⊥α
20．直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號(hào)語(yǔ)言 a∥b
圖形語(yǔ)言
作用 ①線面垂直 線線平行 ②作平行線
21．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．
22．直線與平面所成的角
（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫作斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．
如圖所示，過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過(guò)斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影．平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．
（2）規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角．
（3）范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.
23．兩個(gè)平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交
公共點(diǎn) 沒(méi)有公共點(diǎn) 有一條公共直線
符號(hào)表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
24.兩個(gè)平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 a α，b α，a∩b＝A且a∥β，b∥β α∥β
圖形語(yǔ)言
（1）平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．
（2）面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．
25．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
符號(hào)語(yǔ)言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語(yǔ)言
26．公垂線、公垂線段
與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段；我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．
27．二面角
（1）定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面．
（2）圖形和記法
圖形：
記作：二面角α—AB—β．
28．二面角的平面角
（1）定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．
（2）圖形、符號(hào)及范圍
圖形：
符號(hào)：OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角α l β 的平面角．
范圍：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
29．平面與平面垂直
（1）定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．
（2）平面與平面垂直的判定定理
文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直 α⊥β
30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
符號(hào)語(yǔ)言 a⊥β
圖形語(yǔ)言
作用 ①面面垂直 線面垂直 ②作面的垂線
31．直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積
（1）有關(guān)概念：
側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是直棱柱的高．
如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形．
正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái)．正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形．
（2）公式：S直棱柱側(cè)＝ch（c為直棱柱的底面周長(zhǎng)，h為直棱柱的高）
S正棱錐側(cè)＝ch′（c為正棱錐的底面周長(zhǎng)，h′為斜高）
S正棱臺(tái)側(cè)＝（c＋c′）h′（c，c′分別為正棱臺(tái)的上下底面周長(zhǎng)，h′為斜高）
32．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系
33．圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積
名稱 圖形 公式
圓柱 側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝2πrl
圓錐 側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝πrl
圓臺(tái) 側(cè)面積：S側(cè)＝（c＋c′）l＝πl(wèi)（r＋r′）
34.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系
35．體積公式
（1）柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．
（2）錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．
（3）臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝（S′＋＋S）h．
36.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系
V柱體＝ShV臺(tái)體＝（S′＋＋S）hV錐體＝Sh.
37．球的表面積和體積公式
設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2；球的體積V＝πR3．
對(duì)球的體積和表面積的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)
（1）從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對(duì)應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．
（2）由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．
（3）球的表面積恰好是球的大圓（過(guò)球心的平面截球面所得的圓）面積的4倍．
題型一　棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【例1】
1．下列命題正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱
B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面
C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形
2．下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：
（1）所有的面都是平行四邊形； （2）每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；
（3）兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行； （4）被平面截成的兩部分可以都是棱柱．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是 ．
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棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧
（1）扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．
（2）舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合，給予排除．　
鞏固訓(xùn)練
3．如圖所示的三棱柱，其中、、、是三棱柱對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過(guò)此四點(diǎn)作截面，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型二　棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
【例2】
4．下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：
①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；
②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；
③棱錐的側(cè)面只能是三角形；
④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確的序號(hào)是 ．
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判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法
（1）舉反例法
結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．
（2）直接法
棱錐 棱臺(tái)
定底面 只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面 兩個(gè)互相平行的面，即為底面
看側(cè)棱 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)
鞏固訓(xùn)練
5．如圖，在三棱臺(tái)A'B'C'-ABC中，截去三棱錐A'-ABC，則剩余部分是(　　)
A．三棱錐 B．四棱錐
C．三棱柱 D．三棱臺(tái)
6．（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐
C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面
D．棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等
題型三　旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
【例3】
7．（多選）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．圓柱的底面是圓面
B．經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面
C．圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交
D．夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體
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（1）判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法
①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；
②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．
（2）簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用
①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；
②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．　
鞏固訓(xùn)練
8．給出以下說(shuō)法：
①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長(zhǎng)；
②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長(zhǎng)；
③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面可以是一個(gè)正方形；
④過(guò)圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形．
其中正確的序號(hào)是 ．
題型四　簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征
【例4】
9．如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的　(　　)
A． B． C． D．
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不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略
（1）分割：首先要對(duì)原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓）等基本圖形．
（2）定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過(guò)程進(jìn)行分析．　
鞏固訓(xùn)練
10．若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．

11．直角梯形ABCD如圖所示，分別以AB、BC、CD、DA所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的大致形狀．
題型五　旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問(wèn)題
【例5】
12．如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．
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解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問(wèn)題的解法
用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程（組）而解得．
[注意]　在研究與截面有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意截面與物體的相對(duì)位置的變化．由于相對(duì)位置的改變，截面的形狀也會(huì)隨之發(fā)生變化．　
鞏固訓(xùn)練
13．已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底半徑分別為，截得圓臺(tái)的圓錐母線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為 ．
14．某地球儀上北緯30°緯線圈的長(zhǎng)度為，如圖所示，則該地球儀的半徑是 cm.
題型六　畫水平放置的平面圖形的直觀圖
【例6】
15．畫水平放置的直角梯形（如圖所示）的直觀圖．

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畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)
（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．
（2）畫圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長(zhǎng)度關(guān)系是否發(fā)生變化．　
鞏固訓(xùn)練
16．如圖所示，在中，邊上的高，試用斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖．

題型七　畫簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖
【例7】
17．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為6，高為4，用斜二測(cè)畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．
思維升華
畫空間圖形的直觀圖的原則
（1）用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．
（2）平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的.　
鞏固訓(xùn)練
18．已知一棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長(zhǎng)為，試用斜二測(cè)畫法畫出此棱柱的直觀圖.
題型八　直觀圖的還原與計(jì)算
【例8】
19．如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.
思維升華
（1）直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．　
（2）直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系
若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．
鞏固訓(xùn)練
20．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型九　圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化
【例9】
21．（1）用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫出圖形．
平面與平面交于，平面與平面交于.
（2）將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖形語(yǔ)言予以表示．
.
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三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法
（1）用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言敘述，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．
（2）根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．　
鞏固訓(xùn)練
22．根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．
(1)點(diǎn)與直線；
(2)點(diǎn)與直線；
(3)點(diǎn)與平面；
(4)點(diǎn)與平面；
(5)直線與直線；
(6)直線與平面；
(7)平面與平面.
題型十　點(diǎn)、線共面問(wèn)題
【例10】
23．證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).
已知：如圖所示，
，，.
求證：直線在同一平面內(nèi).
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證明點(diǎn)、線共面的常用方法
（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．
（2）輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．　
鞏固訓(xùn)練
24．如圖，已知.求證：直線共面．
題型十一　三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問(wèn)題
【例11】
25．如圖所示，在正方體中，分別為的中點(diǎn)．求證：三線交于一點(diǎn)．

思維升華
　
鞏固訓(xùn)練
26．如圖所示，在正方體中，分別為上的點(diǎn)且．求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．

27．如圖，已知平面，且，設(shè)在梯形中，，且.求證：共點(diǎn)．
28．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長(zhǎng)線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

題型十二　空間兩直線位置關(guān)系的判定
【例12】
29．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，判斷下列直線的位置關(guān)系：

（1）直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
（2）直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是 ；
（3）直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
（4）直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是 ．
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（1）判定兩條直線平行或相交的方法
判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷．
（2）判定兩條直線是異面直線的方法
①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；
②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為Aα，B∈α，l α，Bl AB與l是異面直線（如圖）.
　
鞏固訓(xùn)練
30．三棱錐A一BCD的六條棱所在直線成異面直線的有
A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)
31．若直線a∥b，，則a與c的位置關(guān)系是(　　)
A．異面 B．相交
C．平行 D．異面或相交
題型十三　平行公理和等角定理的應(yīng)用
【例13】
32．如圖，已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求證:四邊形是菱形.
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（1）證明兩直線平行的常用方法
①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊；
②定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；
③利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．
（2）證明兩角相等的方法
①利用等角定理；
②利用三角形全等或相似．
[注意]　在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)注意說(shuō)明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角．　
鞏固訓(xùn)練
33．已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點(diǎn).

求證：（1）四邊形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
題型十四　異面直線所成的角
【例14】
34．如圖，在正方體ABCD EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：
(1)BE與CG所成的角；
(2)FO與BD所成的角．
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求異面直線所成角的步驟
（1）找出（或作出）適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．
（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角．
（3）結(jié)論——設(shè)由（2）所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．
[提醒]　求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過(guò)解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.　
鞏固訓(xùn)練
35．如圖，在正方體中，為側(cè)面的中心，是平面的中心，求和所成的角．

36．如圖，在正方體中，若分別是的中點(diǎn)，且和所成的角為，求和所成的角．

37．如圖所示，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，求與所成的角．
題型十五　直線與平面平行的判定
【例15】
38．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
思維升華
應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
（1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
（2）三角形中位線法；
（3）平行四邊形法；
（4）成比例線段法．
[提醒]　線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)
（1）條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．
（2）不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．　
鞏固訓(xùn)練
39．如圖，下列正三棱柱中，若、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出平面的是
A． B．
C． D．
40．已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ（如圖）．求證：PQ∥平面CBE．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)棱柱的定義以及其結(jié)構(gòu)特征，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】對(duì)于A，有兩個(gè)面平行其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，即A錯(cuò)誤，
例如圖示幾何體上下兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但不是棱柱，而是組合體；
對(duì)于B，正六棱柱有四對(duì)平行的面，但只有一對(duì)正六邊形的面可以為底面，
如圖示，只有上下兩個(gè)平行的面可以叫做底面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面可以是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，根據(jù)棱柱的定義可知，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，正確，
故選∶D．
2．（3）（4）
【分析】利用棱柱的定義逐一判斷即可.
【詳解】（1）錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；
（2）錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；
（3）正確，由棱柱的定義易知；
（4）正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，
所以說(shuō)法正確的序號(hào)是（3）（4）．
故答案為（3）（4）
【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查棱柱的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
3．截面以上的幾何體是三棱柱，截面以下的幾何體是四棱柱.
【分析】根據(jù)棱柱的定義即可判斷出兩幾何體的形狀.
【詳解】截面上、下的幾何體都滿足：有兩個(gè)平面互相平行，其它側(cè)面都是平行四邊形，相鄰側(cè)面的棱互相平行且相等，這樣的幾何體為棱柱，
所以，截面以上的幾何體是三棱柱，截面以下的幾何體是四棱柱.
【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的判斷，考查棱柱定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
4．②③④
【分析】
根據(jù)棱錐和棱臺(tái)的定義、結(jié)構(gòu)特征依次判斷命題即可求解.
【詳解】
①：若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，
棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)，故①錯(cuò)誤；
②：棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形，故②正確；
③：由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形，故③正確；
④：由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，故④正確；
⑤：如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，故⑤錯(cuò)誤；
故答案為：②③④.
5．B
【分析】結(jié)合圖形以及四棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可判斷.
【詳解】剩余部分是四棱錐A'-BCC'B'.
故選：B.
6．AC
【分析】
根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.
【詳解】
A：由棱錐的定義知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故A正確；
B：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，
如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故B錯(cuò)誤；
C：四面體就是由4個(gè)三角形所圍成的封閉幾何體，
因此以四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；
D：棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，故D錯(cuò)誤．
故選：AC
7．AB
【分析】
根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
A：圓柱的底面是圓面，故A正確；
B：如圖所示，經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面，故B正確；
C：圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
D：圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，故D錯(cuò)誤.

故選：AB
8．①④
【分析】
根據(jù)球的定義、結(jié)構(gòu)特征以及球的截面依次判斷命題即可.
【詳解】
①：根據(jù)球的定義知，球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長(zhǎng)，故①正確；
②：因?yàn)榍虻闹睆奖剡^(guò)球心，故②不正確；
③：因?yàn)榍虻娜魏谓孛娑际菆A面，故③不正確，
④：過(guò)圓柱軸的平面截圓柱所得的截圖為矩形，故④正確．
故答案為：①④
9．A
【詳解】該幾體的上部分是圓錐，中間是兩個(gè)同底的圓臺(tái)，下部分是圓柱，
圓錐的軸截面是直角三角形，
圓臺(tái)的軸截面是直角梯形，
圓柱的軸截面是矩形
∴這個(gè)幾何圖形是由一個(gè)直角三角形和兩個(gè)直角梯形以及一個(gè)矩形圍繞直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到．
故選A．
10．答案見解析
【分析】
如圖，將圖形分成直角三角形、直角梯形和矩形3個(gè)部分，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的定義即可求解.
【詳解】
①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；
②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺(tái)；
③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．
通過(guò)觀察可知，該幾何體是由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱自上而下拼接而成的．

11．見解析
【詳解】以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，可得到的幾何體如圖（1），它是一個(gè)圓臺(tái)；以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，如圖（2）；以CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，可得到一圓臺(tái)，一底面挖出一個(gè)小圓錐，另一底面增加一個(gè)較大的圓錐，如圖（3）；以AD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，可得一個(gè)不完整的圓柱，上面挖去一個(gè)圓錐，如圖（4）．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征.
12．．
【分析】由圓錐平行于底面的截面的性質(zhì)求解．
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為，．過(guò)軸作截面，如圖所示．
則，所以，
又，
所以，解得，
即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.
13．6
【分析】根據(jù)圓錐的截面的性質(zhì)計(jì)算．
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則，解得：．
故答案為：6．
14．
【分析】先求緯圓半徑，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，再求地球儀的半徑．
【詳解】如圖所示，由題意知，
北緯30°所在小圓的周長(zhǎng)為，
則該小圓的半徑，
其中，
所以該地球儀的半徑.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查球的半徑的計(jì)算，利用球心到截面的距離、截面半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，解直角三角形即可求解半徑，屬于簡(jiǎn)單題.
15．作圖見解析
【分析】
根據(jù)斜二測(cè)畫法的步驟，即可作出直觀圖.
【詳解】
（1）在已知的直角梯形中，以底邊所在直線為軸，
垂直于的腰所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖①所示．
（2）畫相應(yīng)的軸和軸，使，在軸上截取，
在軸上截取，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，
在上沿軸正方向取點(diǎn)使得.連接，如圖②.
（3）所得四邊形就是直角梯形的直觀圖．如圖③.

16．作圖見解析
【分析】
根據(jù)斜二測(cè)畫法的定義和步驟即可求解.
【詳解】
（1）在中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系，
再建立如圖②所示的坐標(biāo)系，使.
(2)在坐標(biāo)系中，在軸上截取；
在軸上截取，使.
(3)連接，擦去輔助線，得到，即為的直觀圖(如圖③所示).

17．答案見解析
【分析】畫法步驟：（1）畫坐標(biāo)軸；
（2）畫下底面：按水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法作出下底面的直觀圖；
（3）畫上底面：與畫下底面相同方法作出下底面直觀圖．
（4）連線并擦去輔助線得直觀圖．
【詳解】【解】（1）畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過(guò)G，H分別作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中點(diǎn)為G，CD的中點(diǎn)為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺(tái)的下底面ABCD的直觀圖．
（3）畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過(guò)O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．
（4）連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖
如圖②）．
18．見解析
【解析】根據(jù)空間圖形直觀圖的斜二測(cè)畫法規(guī)則作圖．
【詳解】（1）畫軸.畫出軸、軸軸，三軸相交于點(diǎn)，使，.
（2）畫底面.以點(diǎn)為中點(diǎn)，在軸上畫，在軸上畫，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的平行線，過(guò)點(diǎn)，作軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為，，，，則四邊形就是該棱柱的底面.
（3）畫側(cè)棱.過(guò)點(diǎn)，，，分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長(zhǎng)的線段，，，，如圖①所示.
（4）成圖.連接，，，，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示.
【點(diǎn)睛】本題考查空間圖形的斜二測(cè)畫法，掌握空間圖形斜二測(cè)畫法規(guī)則是解題基礎(chǔ)．畫空間幾何體的直觀圖時(shí)，已知圖形中平行坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸，已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.
19．作圖見解析；5
【分析】由直觀圖的斜二測(cè)畫法作出圖象，由其圖象作法的要求與梯形面積公式求得面積.
【詳解】如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2
在過(guò)點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長(zhǎng)度為AD＝2.
所以面積為S＝×2＝5.
【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖的斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題.
20．D
【分析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖，計(jì)算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.
【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.

由斜二測(cè)畫法可知，，，
在圖②中作于，則.
所以.
故選：D.
21．（1）答案見解析；（2）答案見解析
【分析】
由題意，根據(jù)點(diǎn)、線、平面之間的關(guān)系，依次作出圖形，即可求解.
【詳解】
符號(hào)語(yǔ)言表示：平面平面，平面平面.
用圖形表示如圖①所示．
(2)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)在平面與平面的交線上，直線分別在平面內(nèi)，
圖形語(yǔ)言表示如圖②所示．

22．(1)點(diǎn)直線
(2)點(diǎn)直線
(3)點(diǎn)平面
(4)點(diǎn)平面
(5)直線直線點(diǎn)
(6)直線平面
(7)平面平面直線
【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，結(jié)合圖形依次判斷即可求解.
【詳解】（1）點(diǎn)直線
（2）點(diǎn)直線
（3）點(diǎn)平面
（4）點(diǎn)平面
（5）直線直線點(diǎn)
（6）直線平面
（7）平面平面直線
23．證明見解析
【解析】由，可知和確定一個(gè)平面，再根據(jù)在內(nèi)，可知在上，即可得證，也可由確定一個(gè)平面，確定一個(gè)平面，再根據(jù)兩個(gè)平面都過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)，知兩個(gè)平面重合.
【詳解】證明：方法一（納入法）
，∴和確定一個(gè)平面.
，.
又，.同理可證.
又，，，∴直線在同一平面內(nèi).
方法二（同一法）
，確定一個(gè)平面.，確定一個(gè)平面.
，，.，，.
同理可證，，，.
∴不共線的三個(gè)點(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面然內(nèi).
∴平面和重合，即直線在同一平面內(nèi).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定一個(gè)平面的公理及推論，屬于容易題.
24．證明見解析
【分析】
由題意，根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，即可證明.
【詳解】
因?yàn)椋院痛_定一個(gè)平面，
因?yàn)椋?
故.
又，所以和確定一個(gè)平面.
同理.
即和既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，且與相交，
故平面，重合，即直線共面．
25．證明見解析
【分析】
如圖，連接，可證明四點(diǎn)共面，結(jié)合基本事實(shí)3即可證明.
【詳解】
連接，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以且.
又因?yàn)榍遥郧遥?br/>所以四點(diǎn)共面，
設(shè).又平面平面，
所以點(diǎn)為平面與平面的公共點(diǎn)．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以根據(jù)基本事實(shí)3,得，
即三線交于一點(diǎn)．
26．證明見解析
【分析】
由題意可證平面，平面，進(jìn)而，即可證明.
【詳解】
因?yàn)椋移矫妫云矫妫?br/>同理平面，
從而M在兩個(gè)平面的交線上，
因?yàn)槠矫妗善矫妫猿闪ⅲ?br/>所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．
27．證明見解析
【分析】
設(shè)交于點(diǎn)，再根據(jù)若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線，即可得證.
【詳解】如圖，梯形中，因?yàn)椋?br/>所以與必交于一點(diǎn)，
設(shè)交于點(diǎn)，則，
又因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以共點(diǎn)．
28．證明見解析.
【分析】根據(jù)推論3及公理2可知，兩條平行直線AB和CD可以確定一個(gè)平面ABCD，并且平面ABCD與平面的所有的公共點(diǎn)應(yīng)該在一條直線上，根據(jù)題意，這些公共點(diǎn)即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，所以這四點(diǎn)必定共線.
【詳解】證明：因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD確定平面AC，因?yàn)锳B∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事實(shí)3可知，E必在平面AC與平面α的交線上．同理F，G，H都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．
【點(diǎn)睛】在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理2，即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論.
29． 平行 異面 相交 異面
【分析】
由直線平行，相交和異面的概念判斷即可.
【詳解】
由正方體性質(zhì)易知，故為平行四邊形，故直線，則兩直線“平行”，所以(1)應(yīng)該填“平行”；
直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以(3)應(yīng)該填“相交”；
點(diǎn) 平面內(nèi)， 平面而且，點(diǎn)C不在平面內(nèi)，則直線與直線 “異面”．同理，直線與直線 “異面”．所以(2)(4)都應(yīng)該填“異面”.
故答案為：平行；異面；相交；異面
30．A
【分析】由三棱錐的圖形即可判定出結(jié)果
【詳解】如圖：
三棱錐中六條棱所在直線成異面直線的有AB與CD，AC與BD，AD與BC共3對(duì)
故選A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐的六條棱所在直線存在多少對(duì)異面直線，結(jié)合異面直線的定義即可判斷出結(jié)果，較為簡(jiǎn)單
31．D
【分析】畫出正方體，舉出實(shí)例，可得到a與c的位置關(guān)系.
【詳解】在正方體中，
，，與相交，
，，與異面，
令，，
∴直線，，則與的位置關(guān)系相交或異面.
故選：D.
32．證明見詳解.
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形判定定理，根據(jù)公理即可證明.
【詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，.如下圖所示：
由正方體的性質(zhì)，可知側(cè)面為正方形，又分別為棱的中點(diǎn)，
所以，，從而四邊形為平行四邊形，
所以，.
又分別為棱，的中點(diǎn)，且側(cè)面為正方形，
所以四邊形為平行四邊形，所以，.
又，，
所以，，且
從而四邊形為平行四邊形.
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
易知，
又四邊形為平行四邊形，故四邊形是菱形.即證.
【點(diǎn)睛】本題考查線線平行的證明，主要應(yīng)用了公理，平行四邊的判定，屬基礎(chǔ)題.
33．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)直線的平行性的傳遞性可得且，根據(jù)梯形的定義可得結(jié)論成立；
（2）根據(jù)等角定理可證結(jié)論成立.
【詳解】（1）連接，

因?yàn)镸，N分別是棱CD、AD的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>所以，且，
所以且，
所以四邊形是梯形.
（2）由（1）知，又根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且與的方向相同，
所以根據(jù)等角定理可得.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行直線的傳遞性，考查了等角定理，屬于基礎(chǔ)題.
34．(1)45°
(2)30°
【分析】（1）判斷出與所成角，并求得其大小.
（2）作出與所成角，并求得其大小.
【詳解】（1）因?yàn)镃G∥BF，所以∠EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°．
（2）連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．
所以HF∥BD，所以∠HFO（或其補(bǔ)角）為異面直線FO與BD所成的角．
連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH為等邊三角形，
又知O為AH的中點(diǎn)，
所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°．
35．
【分析】
連接，，確定異面直線與所成的平面角，即可求解.
【詳解】
連接，則分別為的中點(diǎn)，連接，
則，又，
所以(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角，
由于是等腰直角三角形，故，
即與所成的角為.
36．
【分析】
連接，可證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而確定和、和所成的角，結(jié)合即可求解.
【詳解】
連接，因?yàn)槭钦叫危郧遥?br/>因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以(或其補(bǔ)角)是和所成的角，(或其補(bǔ)角)是和所成的角，
因?yàn)椋裕?br/>則，所以和所成的角為.

37．
【分析】
如圖，取的中點(diǎn)，連接.根據(jù)中位線的性質(zhì)確定線線角，結(jié)合即可求解.
【詳解】
如圖所示，取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，
所以，且.
所以(或其補(bǔ)角)就是與所成的角，.
因?yàn)椋?故.
所以為等腰直角三角形．得，
即與所成的角為.
38．證明見解析.
【解析】連接BC1，由四邊形ABC1D1是平行四邊形，可得BC1∥AD1，進(jìn)而EF∥BC1，利用線面平行的判定定理證得命題成立.
【詳解】連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理,考查學(xué)生的直觀想象能力與邏輯思維能力,屬于基礎(chǔ)題.
39．C
【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)中平面是否成立進(jìn)行判斷.
【詳解】在A、B選項(xiàng)中，、分別為、的中點(diǎn)，則，
在正三棱柱中，，，平面，平面，則平面，A、B選項(xiàng)正確；
在C選項(xiàng)中，如下圖所示：
取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可證，在正三棱柱中，，，同理可證，則四邊形為平行四邊形，則與平面相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
在D選項(xiàng)中，在正三棱柱中，，且、分別為、的中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，D選項(xiàng)正確.故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判斷，常用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.
40．見解析
【分析】作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，由平面幾何知識(shí)可證PM∥QN，PM=QN，即四邊形PMNQ是平行四邊形，故PQ∥MN．由此可證PQ∥平面CBE．
【詳解】作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，
則PM∥QN，
∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ．
又AB＝CD，∴PM∥QN，PM=QN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形，
∴PQ∥MN．
又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE．
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，屬基礎(chǔ)題.
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