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第十二章　復數（知識歸納+題型突破）
1.了解數系的擴充過程，理解復數的概念.
2.理解復數的分類.
3.掌握復數相等的充要條件及其應用.
4.掌握復數代數形式的加法、減法運算法則.
5.掌握復數乘法運算，能夠進行復數的乘法運算.
6.理解共軛復數的概念.
7.理解復數乘法的運算律.
8.掌握復數乘方的運算律，并會進行乘方運算.
9.掌握復數除法運算的運算法則，能夠進行復數的除法運算.
10.了解復平面的概念.
11.理解復數、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系.
12.掌握復數的模的概念，會求復數的模.
13.理解復數代數形式的加法、減法運算的幾何意義.
14.正確理解復數的三角形式的意義.
15.明確復數代數形式和三角形式之間的相互關系，并能初步進行二者之間的相互轉化.
16.掌握三角形式的乘除法的運算.
1.復數的有關概念
（1）虛數單位：引入一個新數i，叫作虛數單位；
其中：i2＝－1；實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.
（2）復數
①定義：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫作復數.
②表示方法：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫作復數z的實部，b叫作復數z的虛部.
（3）復數集
①定義：全體復數所組成的集合叫作復數集.
②表示：通常用大寫字母C表示.
（4）復數集的組成：
復數集由實數集和虛數集構成.
2.復數的分類
復數z＝a＋bi（a，b∈R）
復數bi（b∈R）不一定是純虛數，只有當b≠0時，復數bi（b∈R）才是純虛數.
3.復數相等的充要條件
設a，b，c，d都是實數，則a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
4.復數加、減法的運算法則
（1）加、減法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意兩個復數，則z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i.
（2）加法運算律
對任意z1，z2，z3∈C，
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1.
②結合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.
5.復數乘法的運算法則和運算律
（1）復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
則z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
（2）復數乘法的運算律
對任意復數z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3）
分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
6.共軛復數
如果兩個復數滿足實部相等，虛部互為相反數時，稱這兩個復數互為共軛復數.z的共軛復數用表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），則＝a－bi.
7.復數乘方的運算律
對任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有
zmzn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1z2）n＝zz.
（1）復數的乘方運算與多項式乘方運算很類似，可仿照多項式乘方運算進行，但結果要將實部、虛部分開（i2換成－1）.
（2）一般地，如果n∈N*，那么：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
8.復數的除法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），
則＝＝＋i（c＋di≠0）.
9.復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面，x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸.實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
10.復數的兩種幾何意義
11.復數的模
復數z＝a＋bi（a，b∈R）對應的向量為，則的模叫作復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝.
12.復數加、減法的幾何意義
如圖所示，設復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應的向量分別為OZ1，OZ2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對應的向量是，與z1－z2對應的向量是Z2Z1.
13.輻角與輻角主值
如圖，以x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線（起點是原點O）為終邊的角θ叫作復數z＝a＋bi（a，b∈R）的輻角.
任一非零的復數z＝a＋bi的輻角有無限個值，任意兩個輻角之間相差2π的整數倍，適合于0≤θ<2π的輻角θ的值叫作復數z＝a＋bi的輻角主值，記作arg z；即0≤arg z<2π.
14.復數的三角形式
復數z＝a＋bi（a，b∈R）可以用復數的模r和輔角θ來表示：z＝r（cos θ＋isin θ），其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.r（cos θ＋isin θ）稱為復數 z的三角形式.而a＋bi稱為復數z的代數形式.
15.輻角三角形式的乘除法
設z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），則z1z2＝r1r2，＝.
題型一　復數的概念
【例1】
1．下列命題：
①若，則是純虛數；
②若，，且，則；
③若是純虛數，則實數；
④實數集是復數集的真子集.
其中正確的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
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判斷與復數有關的命題是否正確的方法
（1）舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這種類型的題時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答.
（2）化代數形式：對于復數實部、虛部的確定，不但要把復數化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實數時，才能確定復數的實部、虛部.
[提醒]　解答復數概念題時，一定要緊扣復數的定義，牢記i的性質.
鞏固訓練
2．對于復數，下列說法正確的是（ ）
A．若，則為純虛數
B．若，則
C．若，則為實數
D．i的平方等于1
題型二　復數的分類
【例2】
3．當實數為何值時，復數為
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
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解決復數分類問題的方法與步驟
（1）化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi（a，b∈R）的形式，以確定實部和虛部.
（2）定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）即可.
（3）下結論：設所給復數為z＝a＋bi（a，b∈R），
①z為實數 b＝0；
②z為虛數 b≠0；
③z為純虛數 a＝0且b≠0.
鞏固訓練
4．若復數(,i為虛數單位)不是純虛數,則
A． B．且 C． D．
5．復數，其中.
(1)若復數為實數，求的值；
(2)若復數為純虛數，求的值.
題型三　復數相等
【例3】
6．（1）已知，其中i為虛數單位，求實數x，y的值；
（2）已知，其中i為虛數單位，求實數x、y的值.
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復數相等的充要條件
復數相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據，多用來求解參數.解決復數相等問題的步驟是分別分離出兩個復數的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程（組）求解.
[注意]　在兩個復數相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立.
鞏固訓練
7．復數,,,i為虛數單位,若,則 .
8．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求實數a的值．
題型四　復數的加、減法運算
【例4】
9．（1）計算：；
（2）設，（，），且，求.
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解決復數加（減）運算的思路
兩個復數相加（減），就是把兩個復數的實部相加（減），虛部相加（減）.復數的減法是加法的逆運算，兩個復數相減，也可以看成是加上這個復數的相反數.當多個復數相加（減）時，可將這些復數的所有實部相加（減），所有虛部相加（減）.
鞏固訓練
10．計算：（1）；
（2）；
（3）.
題型五　復數的乘法運算
【例5】
11．計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
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解決復數乘法運算問題的思路
復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將i2換成－1，并將實部、虛部分別合并.多項式展開中的一些重要公式仍適用于復數，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i.
鞏固訓練
12．計算下列各式的值.
（1）；
（2），其中.
題型六　共軛復數
【例6】
13．已知，是虛數單位，若與互為共軛復數，則
A． B． C． D．
14．把復數z的共軛復數記作，已知，求z
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共軛復數性質的巧用
（1）實數的共軛復數是它本身，即z∈R z＝，利用此性質可以證明一個復數是實數.
（2）若z≠0且z＋＝0，則z為純虛數，利用此性質可證明一個復數是純虛數.
鞏固訓練
15．已知，為的共軛復數，若，求.
題型七　復數的乘方運算
【例7】
16．設，求證：
(1)；
(2).
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復數的乘方運算，主要是根據復數的乘法進行計算，需要注意（1±i）2＝±2i等類似結論.
鞏固訓練
17．已知，復數滿足，則（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
18．的值為（ ）
A． B． C． D．
題型八　復數的除法運算
【例8】
19．計算：
(1)；
(2).
思維升華
解決復數的除法運算問題的思路
復數的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算.
鞏固訓練
20．
A． B． C． D．
21．計算：
(1)；
(2).
題型九　在復數集內解方程
【例9】
22．已知復數，i為虛數單位.
(1)求；
(2)若復數z是關于x的方程的一個根，求實數m，n的值.
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實系數的一元二次方程的虛數根是成對出現的，并且兩根互為共軛復數.
鞏固訓練
23．關于x的實系數方程.
（1）設（i是虛數單位）是方程的根，求實數a，b的值；
（2）證明：當時，該方程沒有實數根.
題型十　復數與復平面內的點
【例10】
24．已知復數，其中.當復數z在復平面內對應的點滿足下列條件時，求a的值（或取值范圍）
（1）在實軸上；（2）在第三象限
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利用復數與點的對應關系解題的步驟
（1）找對應關系：復數的幾何表示法即復數z＝a＋bi（a，b∈R）可以用復平面內的點Z（a，b）來表示，是解決此類問題的根據.
（2）列出方程：此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）求解.
鞏固訓練
25．已知復數（），是實數，是虛數單位.
(1)求的值；
(2)若復數所表示的點在第一象限，求實數m的取值范圍.
題型十一　復數與復平面內的向量
【例11】
26．已知O為坐標原點，向量 分別對應復數，，且，，若是實數.
(1)求實數a的值；
(2)求以 為鄰邊的平行四邊形的面積.
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復數與平面向量的對應關系
（1）根據復數與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數即為向量對應的復數，反之復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數對應的向量.
（2）解決復數與平面向量一一對應的問題時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具，實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化.
鞏固訓練
27．已知平面直角坐標系中O是原點，向量對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對應的復數是（ ）
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
28．在復平面內，O為原點，向量對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為點B，則向量對應的復數為（ ）
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
題型十二　復數的模
【例12】
29．已知虛數滿足.
（1）求的值；
（2）若，求實數的值．
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復數的模的求解思路
解決復數的模的求解問題，應先把復數表示成標準的代數形式，再根據復數的模的定義求解.
鞏固訓練
30．已知復數 滿足的復數的對應點的軌跡是（　　）
A．1個圓 B．線段 C．2個點 D．2個圓
31．已知復數，，其中.
（1）若復數為實數，求的取值范圍；
（2）求的最小值.
題型十三　復數的代數形式化為三角形式
【例13】
32．把下列復數的代數形式化為三角形式：
(1)；
(2).
思維升華
把復數的代數形式轉化為三角形式只要找到復數的模和復數的輻角主值即可.
鞏固訓練
33．把()的代數形式化為三角形式.
題型十四　復數的三角形式化為代數形式
【例14】
34．把下列復數的三角形式化為代數形式：
(1)；
(2).
思維升華
把復數的三角形式化為代數形式只需將三角函數計算出值即可.
鞏固訓練
35．把下列復數的三角形式化為代數形式：
(1)；
(2).
題型十五　復數三角形式的乘除法運算
【例15】
36．計算下列各式的值：
(1)；
(2).
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復數三角形式的乘除法運算只需要利用復數乘除法的運算法則進行計算即可.
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37．化簡下列各式：
(1) ；
(2)
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
對于①，當時，即可判斷；對于②，兩個虛數不能比較大小；對于③，當時，即可判斷；對于④，由復數集與實數集的關系即可判斷.
【詳解】對于①，若，則不是純虛數，則①錯誤；
對于②，兩個虛數不能比較大小，則②錯誤；
對于③，若，則，，此時不是純虛數，則③錯誤；
對于④，由復數集與實數集的關系可知，實數集是復數集的真子集，則④正確.
故選：.
2．C
【分析】
根據純虛數定義、復數相等的定義，結合虛數單位的性質、復數的分類逐一判斷即可.
【詳解】A：當時，顯然是實數，因此本選項說法不正確；
B：，因此本選項說法不正確；
C：，，因此本選項說法正確；
D：由虛數單位的定義可知：，因此本選項說法不正確，
故選：C
3．(1)；
(2)且；
(3).
【分析】（1）令虛部等于且即可求解；
（2）令虛部不等于且即可求解；
（3）令實部等于，虛部不等于即可求解.
【詳解】（1）若復數為實數，則 ，可得，
所以當時，復數表示實數.
（2）若復數為虛數，則，可得且，
所以當且時，復數表示虛數.
（3）若復數為純虛數，則，解得：．
所以當時，復數為純虛數.
4．C
【解析】先求出(,i為虛數單位)是純虛數時的范圍，再取補集即為所求.
【詳解】當復數是純虛數時,
需滿足解得即
,∴當復數不是純虛數時,
a的取值集合為.
故選:C.
【點睛】本題考查純虛數的定義，考查化歸轉化思想，屬于基礎題.
5．(1)或
(2)
【分析】
（1）根據題意，由復數為實數列出方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由純虛數的定義，列出方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由復數為實數可得，
解得或.
（2）由復數為純虛數可得，
解得.
6．（1）；（2）
【解析】（1）由復數等于零可知實部和虛部均為零，由此構造方程組求得結果；
（2）由復數相等可知實部與虛部分別相等，由此構造方程組求得結果.
【詳解】（1） ，解得：
（2）由得：，解得：
【點睛】本題考查根據復數相等求解參數值的問題，關鍵是明確復數相等，則實部和虛部分別相等，屬于基礎題.
7．5
【解析】根據復數相等的性質求解即可.
【詳解】因為,,所以.
由復數相等的充要條件得解得.
故答案為：5
【點睛】本題主要考查了復數相等的性質與二次方程的求解,屬于基礎題型.
8．a＝－1
【分析】利用交集的性質可得a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，再根據復數相等列方程求解即可.
【詳解】因為A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，
所以a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
解得a＝－1.
9．（1）；（2）.
【分析】
（1）（2）運用復數加減運算及復數相等求解即可.
【詳解】（1）原式＝.
（2）因為，，，
所以，
所以，解得，
所以.
10．（1）1+i（2）6-2i（3）
【解析】（1）1-2+2即為所求復數的實部，2+1-3為所求復數的虛部；
（2）2-（-1）+3為所求復數的實部，-1-5+4為所求復數的虛部；
(3)a-(3a)為所求復數的實部，b-(-4b)+5為所求復數的虛部.
【詳解】解：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【點睛】本題考查了復數加法、減法的混合運算，考查了運算能力，屬于基礎題.
11．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】運用復數乘法運算法則、加減法的運算法則直接運算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【點睛】本題考查了復數乘法的運算、加減法的運算法則，考查了數學運算能力.
12．（1）；（2）.
【解析】（1）根據復數的乘法運算,展開化簡即可求解.
（2）根據復數的乘法運算,展開化簡即可求解.
【詳解】（1）根據復數的乘法運算,展開化簡可得
（2）根據復數的乘法運算,展開化簡可得
【點睛】本題考查了復數的乘法運算,由多項式乘法法則展開即可求解,屬于基礎題.
13．A
【分析】由a﹣i與2+bi互為共軛復數，可求出a，b的值，代入（a+bi）2進一步化簡求值，則答案可求．
【詳解】∵a﹣i與2+bi互為共軛復數，
∴a=2，b=1．
則（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．
故選A．
【點睛】利用復數相等求參數：．
14．
【分析】根據復數的除法運算求解即可.
【詳解】解：
∴
∴
15．或
【分析】
設（，），代入方程，結合復數相等求解即可.
【詳解】設（，），則（，），
由題意得，
即，
則，解得或，
所以或.
16．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
運用復數加法、乘法運算證明即可.
【詳解】（1）證明：因為，
所以.
（2）證明：因為，
所以.
17．B
【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡求出、的值，即可得到答案.
【詳解】，
所以，即，
所以，即，所以
所以，所以
故選：B
【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算以及復數相等的條件，屬于基礎題.
18．C
【分析】利用復數的乘法可得計算結果.
【詳解】，
故選：C.
【點睛】本題考查復數的乘方，利用復數的乘法展開計算即可，本題屬于基礎題.
19．(1)
(2)
【分析】運用復數四則運算計算即可.
【詳解】（1）.
（2）.
20．D
【詳解】分析：根據復數除法法則化簡復數，即得結果.
詳解：選D.
點睛：本題考查復數除法法則，考查學生基本運算能力.
21．(1)0
(2)
【分析】
利用復數代數形式的四則運算化簡求值.
【詳解】（1）
.
（2）
.
22．(1)；
(2)；
【分析】
（1）利用復數的除法運算法則可得，即可求得；
（2）將z代入方程利用復數相等的概念即可求得.
【詳解】（1）因為復數，
所以
（2）因為復數z是關于x的方程的一個根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
23．（1），；（2）見解析
【解析】（1）利用實系數一元二次方程的虛根成對原理、根與系數的關系、復數的運算法則即可得出；
（2）利用一元二次方程的實數根與判別式的關系即可得出．
【詳解】（1）是方程的根，也是方程的根，
由根與系數的關系得，，解得，；
（2）證明：，，，原方程無實數根.
【點睛】本題考查復數的運算法則，考查復數與方程的綜合，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于中檔題.
24．（1）；（2）.
【解析】首先表示出復數在復平面內對應的點的坐標，再根據條件得到方程（不等式組），解得即可.
【詳解】解：復數在復平面內對應的點的坐標為
（1）若復數在復平面內對應的點在實軸上，則有，解得.
（2）若復數在復平面內對應的點在第三象限，則有，解得
故實數的取值范圍是
【點睛】本題考查復數的幾何意義的應用，屬于基礎題.
25．(1)2
(2)
【分析】
（1）運用復數四則運算可得，結合復數為實數的定義即可求得，進而可求得復數模.
（2）化簡，結合復數幾何意義即可求得結果.
【詳解】（1）因為（），所以，
又因為是實數，
所以，即，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
又因為復數所表示的點在第一象限，
所以，解得，
故的取值范圍為.
26．(1)
(2)
【分析】（1）由已知結合為實數求得的值，（2）求得、對應的點的坐標，再由的值計算夾角的正余弦，則可求面積．
【詳解】（1）由，得
，則的虛部為0，
．
解得：或．
又，．
（2）由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以以 為鄰邊的平行四邊形的面積
27．B
【分析】
根據向量的運算，結合復數的幾何意義求解即可
【詳解】
向量對應的復數分別記作，，
根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量，，
由向量減法的坐標運算可得向量，
根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量對應的復數是5－5i.
故選：B
28．B
【分析】根據復數的幾何意義得出點A的坐標，再由點的對稱得出點B的坐標，從而可得選項.
【詳解】因為復數－1＋2i對應的點為A(－1，2)，點A關于直線y＝－x的對稱點為B(－2，1)，所以對應的復數為－2＋i.
故選：B.
【點睛】本題考查復數的幾何意義和點關于線的對稱，屬于基礎題.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）設虛數，、，由題意列方程求出的值，即可得出；
（2）由，列方程求出實數的值.
【詳解】（1）設虛數（、且），
代入得，
，
即，可得，因此，；
（2）由（1）知，其中、，且，，
又知，.
，
，，解得.
【點睛】關鍵點點睛：復數分類的關鍵：
（1）利用復數的代數形式，對復數進行分類，關鍵是根據分類標準列出實部、虛部應滿足的關系式，求解參數時，注意考慮問題要全面，當條件不滿足代數形式時應先轉化形式；
（2）注意分清復數分類中的條件：設復數，則：
①為實數；②為虛數；③為純虛數，；④.
30．A
【詳解】因為,所以, (負舍)
因此復數的對應點的軌跡是以原點為圓心以3為半徑的圓,選A.
31．（1）；（2）
【分析】（1）由復數為實數，則，即可求解的取值范圍；
（2）根據題意，求得，由模的計算公式得，即可求解，得到答案.
【詳解】（1）由復數為實數，則，解得，
即復數為實數，求的取值范圍為；
（2）因為，
所以，
故的最小值為，此時
【點睛】本題主要考查了復數的分類，以及復數的模的計算，其中解答中熟記復數的分類，以及復數的模的計算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
32．(1)
(2)
【分析】運用復數的三角形式公式計算即可.
【詳解】（1）由題意知，，
在復平面內對應的點在第三象限，設為輻角主值，
所以，即，
所以.
（2）由題意知，，
在復平面內對應的點在第四象限，設為輻角主值，
所以，即，
.
33．
【分析】
運用復數三角形式公式計算即可.
【詳解】因為，所以，
在復平面內對應的點在軸的正半軸上，
所以，
所以.
34．(1)
(2)
【分析】
運用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即可.
【詳解】（1）.
（2）.
35．(1)－6
(2)
【分析】
運用特殊角的三角函數值計算即可.
【詳解】（1）.
（2）.
36．(1)
(2)
【分析】根據復數三角形式的乘方和除法計算法則可得.
【詳解】（1）.
（2）.
37．(1)
(2)1
【分析】
利用復數三角形式的乘法除法法則，化簡求值.
【詳解】（1）
；
（2）
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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